平面应变问题实例
弹性力学-平面应力-平面应变问题
平面应力问题的求解方法
解析法
实验法
通过数学分析的方法，将问题转化为 数学方程进行求解。适用于简单几何 形状和边界条件的问题。
通过实验测试来测量物体的应力分布， 通常需要制作模型并进行加载测试。 适用于无法通过理论分析求解的问题。
有限元法
将物体离散化为有限个小的单元，通 过求解每个单元的平衡方程来得到整 个物体的应力分布。适用于复杂几何 形状和边界条件的问题。
弹性力学的基本方程
描述物体在受力后的应力 与应变之间的关系。
描述物体在受力后发生的 位移和应变关系。
描述物体内部力的平衡关 系03
平面应力问题
平面应力问题的定义
平面应力问题是指在弹性力学中，物 体受到的应力作用在某一平面内，且 在该平面上没有作用力的问题。
平面应力问题通常适用于薄板、薄壳 等二维结构，其中应力分量在某一平 面内变化，而垂直于该平面的方向上 ，应力和应变均为零。
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04
平面应变问题
平面应变问题的定义
平面应变问题是指在弹性力学中，应变和应力都仅发生在某一平面内的现象。在 此情况下，应变和应力分量都与离开平面的距离无关。
平面应变问题通常出现在薄壁结构、板壳结构等二维结构中，其中主要的变形和 应力分布都在一个平面内。
平面应变问题的求解方法
1 2 3
有限元法
通过将问题离散化为有限个小的单元，利用弹性 力学的平衡方程和变形协调方程，求解每个单元 的应力、应变和位移。
跨学科的研究
与其他学科的交叉研究 可能会带来新的思想和 理论。例如，与物理学 、化学、生物学等学科 的交叉可能会为弹性力 学的研究提供新的视角 和思路。
实验与理论的结 合
实验技术的发展将有助 于更好地验证理论的正 确性和实用性。同时， 理论的发展也将为实验 提供更好的指导。因此 ，实验与理论的结合将 是未来研究的一个重要 方向。
第七章 结构线性静力学 2平面应变问题.pptx
(1) Main Menu/Preprocessor/Element Type/Add/Edit/Delete，选择Solid，8node 82， 在element type reference number文本框中输 入1，ok。
(12) Utility Menu/Select/Everything
(13) Utility Menu/File/Save as,输入 EXERCISE22.db，ok.
(17) Main Menu/Solution/Solve/Current LS,ok. (18)Utility Menu/File/Save as,输入
由于管道沿长度方向的尺寸远大于管道的直径，在 计算过程中忽略管道的端面效应，认为其在长度方 向无应变产生，即可将该问题简化为平面应变问题；
将单元关键字设置为平面应变属性； 选取管道横截面建立几何模型求解。
1、定义工作文件名和工作标题
(1)Utility Menu/File/Change Jobname, 输入新的 工作文件名EXERCISE2，单击ok。
（10）Utility Menu/WorkPlane/Change Active CS to/Global Cylindrical ;（转换成柱坐标系）
（11） Utility Menu/Select/Entities，第1个下 拉菜单选择Lines，第2个下拉列表选择By Location, 第3栏选择X coordinates，在Min， Max中输入0.5，在第5栏中选择From Full，ok.
弹性力学平面问题的分析——无限长厚壁圆筒
弹性力学平面问题的分析——无限长厚壁圆筒一无限长厚壁圆筒,如图1所示，内外壁分别承受压力p1=p2=10N/mm2。
受载前R1=100mm，R2=150mm，E=210Gpa，μ=0.3 。
取横截面八分之一进行计算，支撑条件及网格划分如下图2所示。
求圆筒内外半径的变化量及节点8处的支撑力大小及方向。
图1 图2 此问题是弹性力学中的平面应变问题。
1进入ANSYSChange jobname: pipeChange directory：你自定义的路径2设置计算类型ANSYS Main Menu: Preferences →选择Structural →OK3实体建模1）生成八分之一圆环。
ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Areas →circle →partial annulus在弹出的part annular circ area 控制面板中rad-1域中填入100，在rad-2域中填入150，在theta-2域中填入45，点击OK退出。
在图形界面上生成八分之一圆环。
4划分有限元模型1）选择单元类型因是平面应变问题，故可选42号（plane42）单元。
main menu>preprocessor>element type>add/edit/delete>add>solid>quad 4node 42，点击OK退出。
2）ANSYS Main Menu: Preprocessor →Element T ype→Add/Edit/Delete →Add →选择Solid Quad 4node 42 →OK(再在Element T ypes 窗口中点击)→Opt ions… →选择K3: Plane S train →OK→Close (the Element T ype window)如下图所示：ANSYS Main Menu: Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural→Linear→Elastic→Isotropic→input EX:2.1e5, PRXY:0.3→OK，并退出。
平面应力和平面应变
N lm( 2 1 )
σ1 与 σ2 分别为最大和最小应力。
结论
（4）最大、最小剪应力 由
因板很薄，且外力 沿 z 轴方向不变。
z z t 0 2 zx z t 0
y
结论： 平面应力问题只有三个应力分量：
yx
x x ( x, y) y y ( x, y ) xy yx xy ( x, y)
x
xy
y yx
yx x
y
dx dy ds
斜面外法线 N 的关于坐标轴的方向余弦：
xy
B
YN
cos( N , x) l cos( N , y) m
由微元体平衡： Fx 0, x dy 1 yx dx 1 X N ds 1 0
dx ds m dy ds l
建立边界条件：
（1）应力边界条件； （2）位移边界条件；
O §3-2 平面问题基本方程
P
y
x
yx A
X
x
y
xy
D
x x dx x
Y C
B
yx
yx y
xy
dy
xy x
d
dy
y
y y
xy
xy x
dx
§ 3.2.1 平衡微分方程
2 2
y
xy N
B YN
N
s
N
（5）
（1）运用了剪应力互等定理： xy 说明： （2） N 的正负号规定
N lm( y x ) (l 2 m2 ) xy
（6） —— 任意斜截面上应力计算公式
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
有限差分法的精度取决于差分格式的选择和网格的划分，同时需要注意数 值稳定性和计算精度的问题。
边界元法
边界元法是一种基于边界积 分方程的数值分析方法，通 过将微分方程转化为边界积
分方程来求解。
变形特点
应用领域
在平面应力问题中，变形主要发生在作用 面上，而在平面应变问题中，变形可以发 生在整个结构中。
平面应力问题在桥梁、建筑和机械等领域 有广泛应用，而平面应变问题在岩土、地 质和材料等领域有广泛应用。
06
结论与展望
结论总结
平面应力问题和平面应变问题在弹性力学中具有重要地位，它们是描述物体在应力作用下的变形和应 力分布的基础。
弹性模量表示材料在受力作用下的刚度，是衡量材料抵 抗弹性变形能力的重要参数。
剪切模量表示材料在剪切力作用下的刚度，与弹性模量 和泊松比有关。
03
平面应变问题
应变状态分析
平面应变条件
应变分量中，只有$varepsilon_{x}$ 、$varepsilon_{y}$和 $gamma_{xy}$不为零，其余分量为 零。
有限元法在弹性力学平面应力问题和平面应变问题中广泛 应用，因为它能够处理复杂的几何形状和边界条件，且计 算精度高。
有限元法的实现需要建立离散化的模型、选择合适的单元 类型和求解算法，并进行数值稳定性和误差分析。
有限差分法
有限差分法是一种基于差分原理的数值分析方法，通过将微分方程转化为 差分方程来求解。
薄板弯曲问题
考虑一个矩形薄板，受到一对相距较远的集中力作用，使板发生弯曲。根据平面应力问题，可以分析 板的应力分布、中性面位置以及挠度等。
厚壁圆筒平面应力问题和平面应变问题
厚壁圆筒平面应力问题和平面应变问题下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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ANSYS平面应变分析-1
ANSYS 平面應變彈塑性分析-材料非線性一無限長厚壁圓筒，作用力和體力方 向與橫截面平行，且不沿長度發生變 化，(無軸向壓力，軸向長度為無窮) 內徑r 1=50mm 、外徑r 2=100mm 、 作用在內壁的壓力p=375MPa ，試求 徑向應力與切向應力沿半徑r 方向的 變化。
以雙線性隨機動態硬化來描述 延性金屬材料的非線性行為，其塑性斜率為0，屈服強度yielding stress 是MPa y 500=σ依據材料力學破壞理論，V on Mise 強度，彈塑性界面之半徑ρ理論解為)2(ln32222221r r r p y ρρσ-+=試求ρ的值為何。
沿半徑r 方向的彈性區、塑性區的徑向應力與切向應力之理論解分別是彈性區(2r r ≤≤ρ)：)1(3222222--=rr r y r ρσσ)1(322221222rr r r yt +-=ρσσ塑性區(ρ≤≤r r 1)：p r ry r -=1ln32σσ p r r y t -+=)ln 1(321σσ試求在r 1、ρ、r 2的徑向應力與切向應力為何。
在卸下負載後的殘餘應力為 彈性區(2r r ≤≤ρ)：)1()1(3222212221222222--+--=rr r r pr rr r y r ρσσ)1()1(322221222122221222+--+-=rr r r pr rr r r y t ρσσ塑性區(ρ≤≤r r 1)：)1(ln 322222122211--+-=r r r r pr p r ry r σσ)1()ln 1(322222122211+---+=r r r r pr p r ry t σσ試求在r 1、ρ、r 2的殘餘徑向應力與殘餘切向應力為何。
開始－＞程式集－＞ANSYS5.7－＞Interactive檢查Production Selection 及Working Directory 、修改Initial Jobname 為nonlinps 後－＞RUN進入ANSYS Main Menu1. Preferences －＞點選Structural －＞OK 進入Preprocessor2. Preprocessor －＞Element Type －＞Add/Edit/Delete －＞Add －＞Structural solid Quad 8node 183－＞OK －＞Close －＞Option －＞下拉plane strain －＞OK －＞⌧3. Material Props －＞Material Models －＞Structural －＞Linear －＞Elastic －＞Isotropic －＞在EX 框內輸入2e11、在PRXY 框內輸入0.3－＞OK －＞Nonlinear －＞Inelastic －＞Rate Independent －＞Kinematic Hardening Plasticity －＞Mises Plasticit y －＞Bilinear －＞在Yield Stss 輸入500e6及在Tang Mod 輸入0－＞單擊Graph －＞OK －＞ －＞4. Modeling Create －＞Areas －＞Circle －＞By Dimensions －＞在對話框中針對RAD 1、RAD 2、THETA2輸入0.1，0.00、90－＞OK －＞⌧5. Mesh Tool –＞打開Size Control 區域Global 的Set －＞在SIZE 輸入0.003－＞OK －＞選擇單元形狀為 Q uad 及劃分型式為Mapped 後按Mesh －＞Pick All －＞Close6. 在下拉式Utility Menu 選取File －＞Save as Jobname.db 進入Solution7. Solution －＞Loads Apply －＞Structural Displacement －＞Symmetry B.C. On Lines －＞選取框點選左線與底線－＞OK －＞⌧ 加載8. Solution －＞Load Step Opts －＞Time/frequenc －＞Time-Time Step －＞在Time 輸入1、在DELTIM Time Step Size 輸入0.2、選擇KBC 為Ramped 、選擇AUTOTS 為on 、在DELTIM Minimum Time Step Size 輸入0.1、在DELTIM Maximum Time Step Size 輸入0.3－＞OK9.Solution－＞Loads Apply－＞Structural Pressure－＞On Lines－＞選取框點選內圓邊線－＞OK－＞在對話框中V ALUE輸入375e6－＞OK－＞⌧－＞⌧10.Solution－＞Load Step Opts－＞Write LS File－＞在LSNUM輸入1－＞OK卸載11.Solution－＞Load Step Opts－＞Time/Frequenc－＞Time-Time Step－＞在Time 輸入2－＞OK12.Solution－＞Loads Apply－＞Structural Pressure－＞On Lines－＞選取框點選內圓邊線－＞OK－＞在對話框中V ALUE輸入0－＞OK－＞⌧－＞⌧13.Solution－＞Load Step Opts－＞Write LS File－＞在LSNUM輸入2－＞OK求解14.Solution－＞Solve－＞From LS Files－＞在LSMIN中輸入1、在LSMAX中輸入2－＞OK－＞運算進行中、注意文字視窗敘述－＞在黃色對話框Solution is done點選OK、關閉文字視窗－＞⌧進入General PostProc15.General Postproc－＞Options for Outputs－＞出現對話框在RSYS座標系列選擇Global cylindric－＞OK－＞座標系統改變成圓柱作標，x方向是徑向、y方向是切線。
第05章平面问题分析实例
第05章平⾯问题分析实例第五章平⾯问题分析实例本章将介绍⼯程常见的⼀⼤类问题：平⾯问题。
平⾯问题在模型上可以⼤⼤简化⽽⼜不失精度。
平⾯问题分为平⾯应⼒问题和平⾯应变问题。
本章中将对平⾯应⼒问题进⾏举例进⾏介绍，平⾯应变问题的分析过程和要求与平⾯应⼒问题基本⼀致，所区别的只是单元的⾏为⽅式选项设置不同⽽已，平⾯应⼒要求选择的是Plane Stress，⽽平⾯应变问题选择Plane Strain。
本章中通过对⾼速旋转的光盘的应⼒分析来介绍ANSYS中关于平⾯应⼒问题分析的基本过程和注意事项。
5．1 问题描述标准光盘，置于52倍速的光驱中处于最⼤读取速度（约为10000转/分），计算其应⼒分布。
标准光盘参数：外径：120mm内孔径：15mm厚度：1.2mm弹性模量1.6×104MPa密度：2.2×103Kg/m35．2 建⽴模型完整的前处理过程包括：设定分析作业名和标题；定义单元类型和实常数；定义材料属性；建⽴⼏何模型；划分有限元⽹格。
下⾯就结合本实例进⾏介绍，本实例中的单位为应⼒单位MPa，⼒单位为N，长度为mm。
5．2．1 设定分析作业名和标题在进⾏⼀个新的有限元分析时，通常需要修改数据库⽂件名（原因见第⼆章），并在图形输出窗⼝中定义⼀个标题⽤来说明当前进⾏的⼯作内容。
另外，对于不同的分析范畴（结构分析、热分析、流体分析、电磁场分析等）ANSYS6.1所⽤的主菜单的内容不尽相同，为此我们需要在分析开始时选定分析内容的范畴，以便ANSYS6.1显⽰出跟其相对应的菜单选项。
（1）选取菜单路径Utility Menu >File >Change Jobname，将弹出修改⽂件名(Change Jobname)对话框，如图5.1所⽰。
图5.1 设定分析⽂件名（2）在输⼊新⽂件名(Enter new jobname)⽂本框中输⼊⽂字“CH05”，为本分析实例的数据库⽂件名。
（3）单击按钮，完成⽂件名的修改。
平面应力问题与平面应变问题
• Plane displacement problem 平面位移问题
2021/1/23
弹性力学 第二章
12
G. Stresses for plane strain problem 平面应变问题的应力
Symmetric condition对称条件:zx=0,zy=0
A
B
w0
2021/1/23
弹性力学 第二章
14
' zy
将mn作为对称面，按作用反作用关系，左部分某点若
有
zy
，右部分则有
' zy
，大小与 zy
相等。
'
由对称性，对称点切应力应具有相同方向，右边又可
zy
有
" zy
，而
" zy
' zy
y)
dx
F 2 ( x, y) 2!x 2
dx2
F (x, y) F (x, y) dx
F (x,
y
dy)
x F (x,
y)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F (x, y
y)
dy
F 2 (x, y) 2!y 2
dy 2
F (x, y) F (x, y) dy y
2021/1/23
弹性力学 第二章
27
Review: Taylor’s series: 泰勒级数
可见弹力的平衡微分方程的推导并不是全新的内容其所用的方法取单元体考虑单元体的平衡在材力中早已用过2013814弹性力学第二章25?弹力的单元体变小了所得方程从反力内力的四则运算和常微分关系变成了应力体力的偏微分关系
材料力学实验中平面问题的应变分析
ψ α1
=
ε
x.dx sin(α dl
−ψ α1)
≈
ε
x
sin α
cosα
C1 C
B1 B
γ xy
α o
dx
A A1
(1 + ε x )dx
x
y
图54
C
B
B
' 1
δ (d1)
d1
α
ψ α1
O dx
图55
A
A1
x
ε xdx
在只有εy 的情况下，单元体 OABC 变形后成为 OAB2' C1'（图 56），则 OB 线段的应变为：
sin
2α
同 理 可 得 ψ α =ψ α1 +ψ α 2 +ψ α 3 = ε x sin α cosα − ε y sin α cosα + γ xy sin 2 α
=
ε
x
− 2
ε
y
sin
2α
+
γ
xy
sin
2
α
（ 2B） （ 3）
在求得ψα 后，就可推导剪应变γα 的表达式。 现在我们看图 58 的单元体 OBED，它的 OB 边和 OD 边与 OX 轴分别夹 α 角和 90ｏ+α 角。
2．应变花 在电测中，εx 和εy 可以直接测出，而γxy 不易直接测量故通常再增加测量某一斜方向 上的线应变来转换，即测定三个选定方向α1、α2、α3 上的线应变εα1 、εα2、εα3。用三 个电阻应变片组成的应变花来测定三个选定方向上的应变，常用的是直角应变花（45ｏ应变 花）和等角应变花（60ｏ应变花）两种。现以直角应变花为例来说明。
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、问题描述：
一天然气输送管道，内表面承受气体压力P 的作用,分析管道的应力分布。
因为管道长度很长,可以作为
平面应变问题处理，建模时只需要建立其横截面就可以了. 管道几何参数：
外径：0。
6m ，内径0.4m ，壁厚0.2m
管道材料参数:
弹性模量: E=200GPa，泊松比v=0.26
载荷：P=1MPa
二、建模过程
1 、定义单元类型：选择Solid 8
2 单元, 然后在单元类型对话框中点击Options.。
.
按钮，弹出如下对话框：
K3选项选为:PIane Strain ，其他两个保持默认就可以.如上图所示。
2、定义材料性质
3、创建几何模型
LtJ 3*XJ LHJIl⅞曰ModeImg
B Create
θ
Keypoints
[±j LiIIeS
EJ Area,s 田ArbrtrarV Q
ReCtangle
3.1 选择PartiaI AnnUIUS 命令
3.2在弹出的对话框中输入如下图所示参数：
单击Ok按钮即可生成如下所示图形：
3。
3对上述模型分别沿yz平面和XZ平面镜像,生成完整的几何模型。
完成后的模型如下图所示:
3。
4合并重复的关键点和线
IL^—］r rκιerE∣κ—κs
□ PreProCeSSOr 国EIement TVPe 田RealCOf 田
Hater⅛alPr⅛ρ⅛E SeCtionS
田HodeUng
[+] MeShmg
E CheCking CtiIS E NUnIbermg CtTIS
从如下菜单中选择Merge ItemS
从弹出的如下所示的对话框中，选择all ,然后单击Ok按钮退出。
4、剖分网格
4.1网格尺寸控制
定义单元大小为0.05 ,用mapped 的方法剖分，如下图：
剖分完成后的网格如下图所示:
5。
2定义约束,由于结构的对称性，只需要约束如下所示线段2和线段9的X方向约束,以及线段4和线段7的y方向约束即
可。
定义完成后的模型如下：
5、求解,查看结果
位移云图:
1 ΛNSYS
NODAL aθLUTI□H
,4＆QE —05 *500E-G5 T 521E —OS
t 54IK —OS ,562E —D5
< 490E-0S ・511E-OS .SJlE-0& .552E —QS ・S72E-05
X 方向应力云图
STFF-I
SUR =1
TlME=I
USUM (AVG^ RSYS=O
DwX -τS'∕2E -05 SMN ⅛60E -05
SMX =.572E-Q5
MAY -EJ 201υ 10:05:24
ΛNSYS MmAτ。
—OLITr ION
STEP—L
SUB =1
TTME = I
SX (ΛVG）RSYS=O
CHX -.572E^05
ΞMN —30Q SMX =。
259E+07MAY se 2□10
ID：C’€：10
-S92300 —19＆12S €00056・140E+07 —219E+01
—S94011 2025∈79991⅛4 .1SOE+O7 .2Ξ9E+07 y方向应力云图
ANSYS NODAL SOLUTlON
STEP=I
SUB =1
TlMZ=I
SY （AVG)
RSYS=O
DMX ≡.572E-05
SMN =—992300
SMX =・2S9E÷07。
140E+07MAY 28 2010 10：07:32
—992300 -195722 600856
•594011202567 999144。
219E÷07。
180E÷07.259E÷07。