应变分析
第三章-应变分析
3－4 体积应变
单元体的体积： dVdxdydz
变形后，体积： dV'(dxxdx)(dyydy)(dzzdz)
dxdy(d1z )(1 )(1 )
x
y
z
dxdy(d1z )
x
y
z
则，体积应变：
d' V d V d
x(1 d y d z) d
x
y
z
x d y d z
dV
d xd yd zx y z
Man◇ ._Ha!n.℡ɡ1rl。 ゜ eVer ㄨ 、 Give up沸 点 soon startˊ Sorry -aesar 凯 撒 Julietˋ Ａ m , 七 分 醒 ▌SakitIf- ExpectΜ elod y丶 低 声 、 saybetrayeiove 均 My、
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第二种位移是弹性体形状的变化，位移发生时不仅改变 物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个点的相对位 置，这是物体形状变化引起的位移，称为变形位移。
M（x，y，z）移动至M'（x'，y'，z'）
点的位移为MM'
z
u = x'- x = u（x，y，z）
v = y'- y = v（x，y，z）
w = z’- z = w（x，y，z）
变形后：
m'点的坐标为( x+u，y+v）
a '点的坐标为( x+dx+u+微分增量，y+v +微分增量）
b '点的坐标为 ( x+u+微分增量，y+dy+v +微分增量）
工程力学中的应变分析与变形
工程力学中的应变分析与变形工程力学是研究物体在受力作用下的运动和变形规律的一门学科。
在工程力学中，应变分析与变形是一个十分重要的内容，它研究的是物体受力后产生的应变以及由此引起的变形现象。
本文将介绍工程力学中的应变分析方法和变形规律。
一、应变分析应变是描述物体变形程度的物理量，通常采用应变张量进行描述。
应变张量是一个二阶张量，表示物体各点上的应变状态，并由六个独立的应变分量组成。
在工程力学中，常用的应变分析方法包括线性应变分析和非线性应变分析。
1.1 线性应变分析线性应变分析是指在小应变范围内，物体的应变与受力之间存在线性关系的分析方法。
线性应变分析假设物体在受力作用下，材料的应变与受力成正比，比例系数为弹性模量。
通过测量物体在不同受力状态下的应变，可以计算出其弹性模量。
1.2 非线性应变分析非线性应变分析是指在大应变范围内，物体的应变与受力之间存在非线性关系的分析方法。
在非线性应变分析中，考虑了物体材料的非线性本性，可以更准确地描述物体的变形行为。
在实际工程中，非线性应变分析常用于研究高应变下的变形规律。
二、变形规律变形是指物体由原来的形状、尺寸和位置发生改变的现象。
在工程力学中，变形规律可以通过应变分析和应力分析得到。
通过研究物体的受力和应变状态，可以计算出物体的变形量和变形形态。
2.1 变形量变形量是指物体由于受力作用而发生的形态和尺寸的改变。
根据应变分析的结果，可以计算出物体各点上的位移和旋转量，从而得到物体的变形量。
常用的计算方法包括位移法、变形图法等。
2.2 变形形态变形形态是指物体经过受力作用后的形态和尺寸的变化规律。
通过应变分析的结果，可以绘制出物体的变形形态图，以直观地展示物体的变形规律。
变形形态图对于工程设计和结构分析具有重要的参考价值。
三、应变分析与变形规律的应用应变分析与变形规律在工程力学中具有广泛的应用。
在结构设计和工程施工中，应变分析可以用于评估物体受力后的变形情况，从而确定结构的稳定性和安全性。
应变分析
然满足连续方程。如果先用其他方法求得应变分量，则只有当他们满足应变 连续方程，才能用几何方程求得正确的位移分量。
设 x a x2 y2 ; y axy; xy 2bxy; a，b常数，
应变分析
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 量 第六节 第七节
位移与应变 质点的应变状态和应变张量 小应变几何方程、应变连续方程 塑性变形体积不变条件 速度分量和速度场、位移增量和应变增
对数应变 平面应变问题和轴对称问题
1位移与应变
1）位移与其分量
变形体内质点M（x，y，z）变形后移动到M1，我们把它们在 变形前后的直线距离称为位移，如图 a中的MM1，位移是矢量。
全量速度分量
u u t
v v t
w w t
ui
ui t
位移速度既是坐标的连续函数，又是时间的函数，故
ui ui x, y, z,t
上式表示变形体内运动质点的速度场。若已知变形体内各 点的速度分量，则物体中的速度场可以确定。
物体在变形过程中，在某一极短的瞬时dt，质点产生的位移改变
rz dz1 z
因此变形后的单元体体积为
单元体体积的变化（单位体积变化率）
在塑性成形时，由于物体内部质点连续且致密，可以认为体积 不发生变化，因此
上式称为体积不变条件。它表明，塑性变形时三个正应变之和 等于零，说明三个正应变分量不可能全部同号。 体积不变条件用于塑性成形过程的坯料或工件半成品的形状和 尺寸计算。
ij
y
y z
应变分析
应变增量强度（等效应变增量）
d i
2 3
d1 d 2 2 + d 2 d 3 2 + d 3 d1 2
2 3
d x d y
2+
d y d z
2+
d z d x
2+3 2
d
2 xy
+
d
2 yz
+
d
2 zx
六、对数应变
❖ 当应变较大时，考虑一截面积为A0、长为l0 的杆，受力后 长为l ，截面积为A，当杆伸长dl 时，应变增量为：
z
1 2
zx
zx ＝ xz
1 2
xy
y
1 2
zy
1 2 1 2
xz yz
z
ij yxx
xy y
xz yz
zx zy z
I1 1 + 2 + 3 I2 1 2 + 2 3 + 31
I3 1 2 3
➢ 一点的应变状态完全由应变张量确定
❖任一方向上的正应变： N (l, m, n)
v
B1 y + B2 xy +
1 2
B3
y
2
+
f2 ( x)
xy
v x
+ u y
B2 y +
A3 x
+
df1 ( y) dy
+
df2( x) dx
C1 + C2 x + C3 y
df2( x) dx
+
(
A3
C2 )x C1
df1 ( y) dy
( B2
22 力学基础复习-应变分析
dl l 1 ln L l L b db b 2 ln B b B h dh h 3 ln H h H
4
变形程度—真应变特点
1. 一般相对变形(工程应变)不能反映真实变形程度； 变形越大，其误差越大： =ln(l/L)=ln{[L+(l-L)]/L}=ln{L/L+(l-L)/L} =ln(1+e)=e-e2/2+ e3/3- e4/4+· · · · · · 2. 真应变具有可加性，而一般相对变形没有； 1=ln(l2/l1)； 2=ln(l3/l2) 则： = 1 + 2 = ln(l2/l1) +ln(l3/l2) = ln(l3/l1)
v dx B ' B' ' d v v xy x AB dx dx x
同理，AD变形中沿x方向的剪切变形为： u dy D' D' ' d u u y yx AD dy dy y
11
应变状态—位移与应变
同理可求得对单元体ABCDEFG： v w v yy ayz azy y y z
5
变形程度—真应变特点
3. 真应变具有可比性，而一般相对变形没有； 如单位长方体在1轴方向无变形，在3轴方向伸长 一倍和缩短一半。则其变形实际是一样的。 以工程应变表示： et=(2l1-l1 ) /l1=100% ep=(0.5l1-l1 ) /l1=-50% 以真应变表示： t=ln(2l1/l1 ) =ln2 p=ln(0.5l1-/l1 ) =ln(1/2)=-ln2
xx xy xz 1 ij yx yy yz (ui , j uj , i ) 2 zx zy zz
工程力学中的应力和应变分析
工程力学中的应力和应变分析工程力学是应用力学原理解决工程问题的学科，它研究物体受外力作用下的力学性质。
应力和应变是工程力学中的重要概念，它们对于分析材料的强度和变形特性具有重要意义。
本文将就工程力学中的应力和应变进行详细分析。
一、应力分析应力是指物体单位面积上的内部分子间相互作用力。
根据作用平面的不同，可以分为法向应力和剪切应力两种。
1. 法向应力法向应力是指力作用垂直于物体某一截面上的应力。
根据物体受力状态的不同，可以分为拉应力和压应力两种。
- 拉应力拉应力是指作用于物体截面上的拉力与截面面积的比值。
拉应力的计算公式为：σ = F/A其中，σ表示拉应力，F表示作用力，A表示截面面积。
- 压应力压应力是指作用于物体截面上的压力与截面面积的比值。
压应力的计算公式与拉应力类似。
2. 剪切应力剪切应力是指作用在物体截面上切向方向上的力与截面面积的比值。
剪切应力的计算公式为：τ = F/A其中，τ表示剪切应力，F表示作用力，A表示截面面积。
二、应变分析应变是指物体由于外力的作用而产生的形变程度。
根据变形情况，可以分为线性弹性应变和非线性应变。
1. 线性弹性应变线性弹性应变是指物体在小应力下，应变与应力成正比，且随应力消失而恢复原状的应变现象。
线性弹性应变的计算公式为：ε = ΔL/L其中，ε表示线性弹性应变，ΔL表示物体的长度变化，L表示物体的原始长度。
2. 非线性应变非线性应变是指物体在较大应力下，应变与应力不再呈线性关系的应变现象。
非线性应变的计算公式较为复杂，需要根据具体情况进行分析。
三、应力和应变的关系应力和应变之间存在一定的关系，常用的关系模型有胡克定律和杨氏模量。
1. 胡克定律胡克定律是描述线性弹性材料的应力和应变之间关系的基本模型。
根据胡克定律，拉应力和拉应变之间的关系可以表示为：σ = Eε其中，σ表示拉应力，E表示弹性模量，ε表示拉应变。
2. 杨氏模量杨氏模量是描述材料抵抗拉伸或压缩变形能力的物理量。
应变分析PPT课件
yz
x
zx
y
2
y
zx
z
yz
x
zx
y
xy
z
2 z
xy
x
zx
y
xy
z
yz
x
2 x
yz
应 变
不同坐标平面内，应变分量之间应满足的关系：
分 在三维空间内三个切线应变分量一经确定，则线应变分量随之被确定。
析
材料科学与工程学院
塑
性
成
形
力
如果已知一点的位移分量，利用几何方程求得的应变分量
l0
l1
l2
ln1
应用微分的概念 ln dl ln ln
l l0
lo
应
变
——自然应变（对数应变），反映了物体变形的实际情况，也
分
称真实应变。
析
材料科学与工程学院
塑 性
对数应变的优点：
成 形
1、表示变形的真实情况
力
学
将真实应变用相对应变表示，并按泰勒级数展开：
ln ln ln(1 ) 2 3 4
塑
性 §3.4 成 形 力 学
材料科学与工程学院
小应变几何方程(位移场和应变场之间的关系)
应 变 分 析
材料科学与工程学院
塑
性 §3.4 小应变几何方程(位移场和应变场之间的关系)
成
形 力
单元体在xoy坐标平面上的投影：变形前abcd,变形后为 a1b1c1d1
学 设ac=dx, ac∥ox轴，则 ab=dy, ab∥oy轴
力
位移速度：质点在单位时间内的位移。
学
位速度分量：位移速度在三个坐标轴上的投影称为位移速度分量，
弹性力学-第三章 应变分析
(3.9)
α xy
% dr2
% dr1
dr2
α yx
dr1
x
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
由式(3.12)得 由式(3.12)得dr1和dr2间直角的减小量为 (3.12)
∆ϕ = 22ε ij nm j j = 2ε 12 = 2ε xy ∆ϕ = ε ij ni i m
上式表示剪应变是角度变化的一半 图中: 图中:
% dr 2 = dr 2 + 2dr ⋅ G ⋅ dr = (1 + 2n ⋅ G ⋅ n)dr 2
第三章 应变分析 §3-2
变形状态和应变张量
只讨论小变形问题,忽略高阶项 只讨论小变形问题 忽略高阶项 式(3.6) 为 其中
∇u ⋅ u∇
(3.7)
% dr 2 = (1 + 2n ⋅ ε ⋅ n)dr 2
ε x 1 γ ε ij = 2 yx 1 γ zx 2
εy
1 γ zy 2
对称张量 张量的剪切应变分量 ≠ 实际的剪切应变
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
应变与位移的关系（几何方程） 点的位移是u(x+dx，y)、 应变与位移的关系（几何方程） A点的位移是 点的位移是 ， 、 v(x+dx，y)， ， ，
分别为Y 分别为Y和Z方向的正应变 如图, 如图, 设n为x轴向的单位基矢量即n=e1 轴向的单位基矢量即n=e n1 = 1, n2 = 0, n3 = 0 设m为y轴向的单位基矢量即m=e2 轴向的单位基矢量即m=e O m1 = 0, m2 = 1, m3 = 0
y
ε nn = εijni⋅ ε ⋅ n11 =ε ijxni n j ε = n nj = ε = ε
应变分析报告
应变分析报告1. 引言应变分析是指在工作和生活中面对突发事件和困难时，人们采取的应对方法和策略的分析。
通过对应变分析的深入研究，可以帮助我们更好地应对压力和挑战，提高自身的应变能力。
本文将通过一个实际案例，对应变分析的方法和策略进行探讨。
2. 案例背景最近公司面临一次重大的变革，由于市场竞争激烈，公司决定进行组织结构优化，以提高竞争力和效率。
此次变革将导致部门合并、人员调整等重大改变，给员工带来一定的压力和困惑。
3. 应变分析方法3.1 情绪管理应对变革带来的情绪压力是应变分析的关键一环。
在面对突发事件和困难时，我们常常会面临情绪上的波动和不稳定。
因此，有效地管理自己的情绪是应变分析的重要步骤。
情绪管理的方法包括：•深呼吸：在遇到压力时，通过深呼吸来缓解情绪，保持冷静和镇定；•放松训练：通过身体放松的方法，如伸展运动、瑜伽等来缓解紧张情绪；•积极思考：通过对问题的积极思考和乐观态度来调整情绪。
3.2 信息获取和沟通面对变革，及时获取和传递信息是应变分析的重要环节。
不了解变革的具体内容和进展，员工容易产生猜测和恐慌的情绪。
信息获取和沟通的方法包括：•主动获取信息：通过与上级、同事交流以及参加公司会议等途径，获取变革的最新信息；•积极沟通：及时与上级沟通，了解自己的角色和职责的变化，与同事分享自己的困惑和问题，共同探讨应对方法。
3.3 目标设定和规划在应对变革时，要设定明确的目标，并制定相应的规划。
目标和规划可以帮助员工有条理地应对变革，减少迷茫和不安。
目标设定和规划的方法包括：•确定短期和长期目标：根据具体的变革情况，制定能够实现的短期和长期目标；•制定行动计划：根据目标，具体规划每个步骤和时间节点，并配备相应的资源；•督促自我执行：自我监督和督促，确保按照计划执行。
4. 案例应用针对上述变革案例，我们可以应用上述的应变分析方法和策略，帮助员工更好地应对变革带来的压力和困难。
首先，员工可以通过情绪管理的方法来应对压力。
应变分析(g)
这样，平面上一点 的变形我们用该点x方 向上的正应变、y方向 上的正应变和xy方向构 成的直角的变化—切应 力来描述，称为应变分 量。
u x x v y y
xy
1 v u 2 x y
u x x v y y w z z
yz
zx 等乘上1/2以后才形成一个张量
张量形式为
u j 1 u i ij 2 x j xi
xx ij yx zx
xy xz 11 12 yy yz 21 22 zy zz 31 32
xy xz 11 12 yy yz 21 22 zy zz 31 32
11 13 1 23 21 2 33 1 31 2
1 12 2
22
yz zx xy
w v y z u w z x v u x y
同样，空间一 点的变形我们用该 点x、y、z方向上 的正应变和xy、yz、 zx方向构成的直角 的变化－切应变来 描述。
应变分量(工程应变）不是张量，不服从张量坐标变换式，
将 xy
第三章
应变分析
外力作用下，物体各点发生位移，但是某 点位移的大小并不能确定该处应力的大小，它 与物体的整体约束有关。应变反映局部各点相 对位置的变化，与应力直接相关，变形体力学 中弹性力学对这种关系作了最为简化的假设， 在各向同性线弹性的条件下，弹性常数只有两 个。 第一节 位移与应变
物体在外力或温度作用下,物体内各部分之间要产生相对移动. 这种移动使物体形态和尺寸发生的变化称为变形
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习题
1．平面应变状态下某点在xy坐标平面上的位移分量为u，v。
试求在圆柱坐标中的位，uθ
移分量u
r
(提示：利用转轴公式。
)
2. 图4.a为开式圆锥形凹模挤压。
冲头P以s/m1u0−=&的速度向左推移。
假设：材料不可压缩，变形区限制在a—a及b—b线之间的锥台区内，区内各质点的速度矢量部指向锥顶点o，而且所有垂直于x轴的平面上的x向速度分量均布。
试求：a) 变形区内的速度场和应变速率场，b) 在某时刻后10-4s时间之内的位移场及应变场。
3. 设物体在变形过程中某一极短时间内的位移场为
试求: 点（1，l，1)的应变分量、主应变、主应变方向和等效应变。
4. 试判断下列各应变场能否存在：
5. 在直角坐标系中有一试样进行单向均匀塑性拉伸。
a) 设某瞬时试样变形区长度为100mm，然后再拉伸0.1mm。
现以与拉伸轴成45°角的
平面作为
一个微分面切取一个单元体，试求其应变分量；
b) 设以不变的拉伸速度1m ／min 将试样长度从100mm 拉至150mm ，试求试样内各质点主应变
速度的变化范围。
6. 设图4.
7 所示例题中α＝15°,H=30mm, h=20mm, δL=0.1mm ，试求点A(75，20，0)的主应变及其方向。
7. 某物体处于平面变形状态,在无应变方向表面上的某点，用电阻应变片测得与x 轴成0°、45°、90°三个方向上的正应变为ε0，ε45，ε90，试求应变分量、主应变及其方向。
(提示：假定主应变及主方向已知，画出莫尔圆及圆上ε0，ε45，ε90所在的点，然后用几何关系求解。
)
8已知平面应变状态下，变形体某点的位移函数为
y x U x 401200341++=
，
y
x U y 200125151-+=，试求该点的应奕分量xy y x γεε,,，并求出主应变21,εε的大小与方向。
9 为测量平面应变下应变分量
xy
y x γεε,, 将三片应变片贴在与x 轴成0°, 60°，
120°夹角的方向上，测得它们的应变值分别为c b a εεε,,。
试求xy y x γ
εε,,以及主应变21,εε的大小与方向。
10 已知圆盘平锤均匀压缩时，质点的位移速度场为0V h z V z -=，021V h r V r =，0
=ϕV ，
其中o V 为全锤头压下速度，h 为圆盘厚度。
试求应变速度张量),,,(ϕεr z j i ij =⋅。
11 一长为l 的圆形薄壁管，平均半径为R ，在两端受拉力P ，扭矩M 作用后，管子
的长度变成l 1，两端的相对扭转角为θ，假设材料为不可压缩的。
在小变形条件下给出等效应变e ε与洛德参数εμ的表达式。
12某轧钢厂在三机架连轧机列上生产h ×b ×l =1.92×500×100,000mm 的A 3带钢产品（见图1-14），第1、3机架上的压下率为20%，第2机架上为25%，若整个轧制过程中带材的宽度b 保持不变，试求带钢在该连轧机列上的总压下量及每机架前后带钢的尺寸为多少？
图1-25 三机架连轧机列示意图。