第八讲 静定桁架的内力分析
3.4静定桁架的内力解析
5 FNGD FP 2 FX 0
FNGC
3 5 FP FNGD cos 2 FP sin 0 2
(f)
FNGC 5FP
结点C：见图(h)
2 F P
2 F P
F P
F N C D
F P
(h)
FY 0
FNCD FP
用图(j)表示桁架内力计算的最终结果。
b
A
(a)
解：
对于简单桁架，可以用节点法求出全部 杆件的轴力。
要点是
按拆二元体的顺序，依次取节点（每次截 断两根未计算的杆件）为隔离体，可不解 联立方程。
对本例，用节点法计算如下：
节点A： 见图(c)
F A x = 0
F N A G
F= A y2 F P
F A x = 0 F A y = 2 F P
节点单杆的情况：
当节点上无荷载作用时，节点上单杆轴力等于 零，称为零杆。 判断下面两图所示桁架中的零杆
D C
C F P
2 F P
D
C
C F P
2 F P
（2）截面法：用一个假想的截面， 将桁架截成两部分，取其任一部分为 隔离体，建立该隔离体的平衡方程， 求解杆轴力的方法。
截面法所截开的杆件中，轴力未知 的杆件一般不应超过三根，这样可 不解联立方程。
(e)
F N E D
F= A y2 F P
FY 0
FX 0
FNEG 0
FNED 3FP
(c)
(d)
节点G：见图(f)
F A x = 0 F= 2 F F N G C
A y
P
35 F P 2
F N G D
桁架的内力计算
图1 屋架节点荷载的计算桁架的内力计算当桁架只受节点荷载时，其杆件内力一般按节点荷载作用下的铰接桁架计算。
这样，所有杆件都是轴心受压或轴心受拉杆件，不承受弯矩。
具体计算可用数解法（节点法或截面法）、图解法（主要是节点法）、图解法（主要是节点法）、计算机法（常用有限元位移法）等。
实际桁架节点为焊缝、铆钉或螺栓连接，具有很大的刚性，接近于刚接。
按刚接节点分析桁架时，各杆件将既受力又受弯矩。
但是，通常钢桁架中各杆件截面的高度都较小，仅为其长度的1/15（腹杆）和1/10（弦杆）以下，抗弯刚度较小；因而按刚接桁架算得的杆件弯矩M 常较小，且杆件轴心力N 也与桁架计算结果相差很小。
故一般情况都按铰接桁架计算。
对少数荷载较大的重型桁架，例如铁路桥梁等，当杆件截面高度超过其长度的1/10时，次应力份额逐渐增大，可达10～30%或以上，必要时应作计算。
目前用计算机计算刚接桁架已无困难。
据上所述，檩条或大型屋面板等集中荷载只作用在屋架节点处时，可按铰接桁架承受节点荷载计算杆件内力，例如图1。
这时节点荷载值即为檩条或边肋处的集中荷载值，按式上一小节公式，即：100011122F qA qbd d F qA qb d d d F qA qb == ==++== 来计算。
该图中檐口檩条集中荷载F 0在桁架计算时可归并入F 1内（或端节间按伸臂梁而将F 0（1＋d 1/ d ）并入F 1，－F 0 d 1/d 并入第二节点F ）；另外在计算上弦杆的支座截面时，除考虑轴心压力外还考虑偏心弯矩M e ＝F 0 d 1。
当檩条或屋面板等布置未与屋架节点相配合，屋面板没有边肋而是全宽度支图2 承受节间荷载的屋架 承于屋架上弦（上弦均布荷载）、或其它特殊情况时，桁架将受节间荷载，例如图1。
这时桁架内力计算可按下列近似方法：(1)把所有节间内荷载按该段节间为简支的支座反力关系分配到相邻两个节点上作为节点荷载，据此按铰接桁架计算杆件的轴心力。
-静定桁架受力分析
RH = 20 kN
RA = 20 kN
取节点A为研究对象画受力图.
5kN
SAC
A SAB
sin = 0.6
cos = 0.8
20 kN
Yi = 0 Xi = 0
20 - 5 + 0.6 SAC = 0 (-25)×0.8+SAB = 0
SAC = - 25 kN SAB = 20 kN
取节点B为研究对象画受力图.
20 kN B
Xi = 0 SBA SBA - 20 = 0
SBA = 20 kN
10kN
取节点C为研究对象画受力图.
C
SCD
Xi = 0 0.8×[SCD+SCE -(-25)]= 0 Yi = 0
(1)
-25kN
SCE
0.6×[SCD-SCE -(-25)]-10 = 0 (2)
联立(1)(2)两式得: SCD = - 22 kN
在桁架中三根杆件的结点上，如有两根杆在一条直线上， 另一根在独立方向上的杆称为“单杆”。
3. 结点法计算时，通常假定未知轴力为拉力。若 所的结果为负，则为压力。
解题要点：力的投影三角形与杆长的投影三角形相似
N Nx Ny l lx ly
例：
P
PHP
3a P/ 2 D P F
JP L P/2
XA A
对于简单桁架,若与组成顺序相反依 次截取结点,可保证求解过程中一个方程 中只含一个未知数.
结点单杆:利用结点的一个平衡方程可求出内力的杆件
单杆
单杆
零杆：在桁架中，轴力为零的杆件。 （1）两根杆的结点
（a）若结点上无荷载，则二杆全为零。 （b）若荷载沿其中一杆的方向，则该杆轴
《结构力学》静定桁架和组合结构的内力分析-知识点归纳总结
5.2 《结构力学》静定桁架和组合结构的内力分析-知识点归纳总结一、桁架按几何组成特征分类（1）简单桁架：由基础或一个基本铰结三角形依次增加二元体形成；（2）联合桁架：由几个简单桁架按几何不变体系的几何组成规则形成；（3）复杂桁架：不是按简单桁架或联合桁架几何组成方式形成。
二、桁架计算的结点法1、取隔离体截取桁架结点为隔离体，作用于结点上的各力（包括外荷载、反力和杆件轴力）组成平面汇交力系，存在两个独立的平衡方程，可解出两个未知杆轴力。
采用结点法计算桁架时，一般从内力未知的杆不超过两个的结点开始依次计算。
计算时，要注意斜杆轴力与其投影分力之间的关系（图1）：图1式中，为杆件长度，和分别为杆件在两个垂直方向的投影长度；为杆件轴力，和分别为轴力在两个相互垂直方向的投影分量。
结点法一般适用于求简单桁架中所有杆件轴力。
2、特殊杆件（如零杆、等力杆等）的判断L 形结点（图2a ）：呈L 形汇交的两杆结点没有外荷载作用时两杆均为零杆。
T 形结点（图2b ）：呈T 形汇交的三杆结点没有外荷载作用时，不共线的第三杆必为零杆，而共线的两杆内力相等且正负号相同（同为拉力或同为压力）。
X 形结点（图2c ）：呈X 形汇交的四杆结点没有外荷载作用时，彼此共线的杆件轴力两两相等且符号相同。
K 形结点（图2d ）：呈K 形汇交的四杆结点，其中两杆共线，而另外两杆在共线杆同侧且夹角相等。
若结点上没有外荷载作用，则不共线杆件的轴力大小相等但符号相反（即一杆为拉力另一杆为压力）。
Y 形结点（图2e ）：呈Y 形汇交的三杆结点，其中两杆分别在第三杆的两侧且夹角相等。
若结点上没有与第三杆轴线方向倾斜的外荷载作用，则该两杆内力大小相等且符号相同。
对称桁架在正对称荷载下，在对称轴两侧的对称位置上的杆件，应有大小相等、性质相y N x x yF F F l l l ==l x l y l N F x F y F同（同为拉杆或压杆）的轴力；在反对称荷载下，在对称轴两侧的对称位置上的杆件，应有大小相等、性质相反（一拉杆一压杆）的轴力。
静定平面桁架的内力计算
8×1.5 m
扩展内容
2024/3/12
3
荷载单位：kN
基本概念 ۞主内力于次内力
基本概念 结点法 截面法 联合法
拱式桁架 扩展内容
起点 终点 桁架轴力 2 4 -35.000 6 8 -75.000 3 5 35.000 7 9 75.000 2 3 54.672 6 7 23.431 6 5 -30.000 10 9 -12.000
基本概念 ۞桁架的分类
➢按受力特点分
基本概念
结点法 截面法 联合法
梁式桁架：竖向荷载作用下不引起支座水 平反力
拱式桁架
扩展内容
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8
拱式桁架 竖向荷载作用下引起支座水平反力
基本概念 ۞桁架的分类
➢按几何组成分析
基本概念
结点法
截面法
联合法 拱式桁架
简单桁架：由一个基本铰接三角形依次增 加二元体而组成的桁架
结果。
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19
结点法 ۞结点法
➢基本原则：按与几何组成相反顺序逐
基本概念 结点法 截面法
步求解，逐次建立各结点的平衡方程 。使得各结点未知内力的数目一定不 超过独立方程数
➢基本方法：以结点为隔离体，结点承
联合法 拱式桁架 扩展内容
受汇交力系的作用，列结点平衡方程
➢基本思路：尽可能简化问题，一般先
4m
联合法 解：(3)取E结点为隔离体分析
拱式桁架 扩展内容
E FNED
YNEC
XNEC FNEC 15 FNEC=-50
20 15
25
YNGE 30 kN
X NGF
4 3 YNGE
40 kN
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静定平面桁架的内力计算
静定平面桁架的内力计算
图13-11
静定平面桁架的内力计算
按照桁架的杆件所在位 置不同，可分为弦杆和腹杆 两类。弦杆是指在桁架上、 下外围的杆件，上边的杆件 称为上弦杆，下边的杆件称 为下弦杆。桁架上弦杆和下 弦杆之间的杆件称为腹杆， 腹杆又称为竖杆和斜杆。弦 杆上相邻两结点之间的区间 称为节间，其距离d称为节间 长度（见图13-12）。
静定平面桁架的内力计算
常用的桁架一般是按下列两种方式组成的。 （1）由基础或由一个基本铰结三角形开始，依 次增加二元体，组成一个桁架，如图13-11（a）、 （b）、（c）所示。这样的桁架称为简单桁架。 （2）几个简单桁架按照几何不变体系的简单组 成规则联成一个桁架，如图13-11（d）、（e）所 示。这样的桁架称为联合桁架。
静定平面桁架的内力计算
【例13-5】
图13-16
静定平面桁架的内力计算
静定平面桁架的内力计算
一般截面法截断的杆件个数不超过三根可以直 接求得杆的内力，但有一些特殊情况虽然截开的杆件 个数超过三个，但对于某一个杆件仍可以直接求解， 如图13-17所示。图13-17(a)中除a杆外截断的其他 杆件交于一点K，则取隔离体对K点取矩，可以直接 求得a杆轴力；图13-17（b）中除b杆外，截断的其 他杆件都相互平行，则取隔离体，利用∑Fx=0，可能完全符合上述理想情况。例如，桁架的 结点具有一定的刚性，有些杆件在结点处可能是连续直杆，或杆 件之间的夹角几乎不变动。另外，各杆轴无法绝对平直，结点上 各杆的轴线也不一定全交于一点，荷载不一定都作用在结点上等。 因此，桁架在荷载作用下，其中某些杆件必将发生弯曲而产生弯 曲应力，并不能如理想情况下只产生轴向均匀分布的应力。通常 把桁架理想情况下计算出来的应力称为初应力或基本应力，由非 理想情况产生的附加应力称为次应力。关于次应力的计算有专门 的参考文献论述，本节只限于讨论桁架的理想情况。
静定桁架的内力分析PPT教案
L=6d
称性知：
R1
R2
R1=R2=2.5F
2.用Ⅰ-Ⅰ截面将桁架切开取左边 作为研究对象画出受力图。
1)求杆5－7的内力
46 2
1 35
C
M6 0, N57 d F d R1 2d 0
R1
N57 4F （拉力）
第33页/共45页
2)求杆6－7的内力
Fy 0, N67 sin 45 2F 2.5F 0
10
4
1
F
8
2
5
9
11 6
3
A
B
第18页/共45页
思考/讨论：试判断下图所示桁架结构中的零杆
P
第19页/共45页
受力分析时可以去掉零杆, 是否表示该杆在结构中是可 F 有可无的?
桁架中的零杆，是对一定结点 荷载而言：
1）当荷载情况改变时，桁架中的零杆也会相应改变 2）即使荷载一定，桁架的零杆也是不能去掉的，因 为去掉零杆，结构将会成为几何可变体系而失去结构 的稳定性。
2）选择合适的隔离体；
3）选择合适的平衡方程 例： 计算桁架中a杆的D
d
a
d
K
GH
2d
由结点T
0.5P T
A
B
N DT
2P 4
由截面 - 右
Y 0
NDG 1.25P 由截面 -上
MF 0
NTD
2P
P
4D
N DG
Na 0.05 2P
2d
2d
2d
0.5P T
P
1.3P
CD
F
Na
a、三角形桁架
b、矩形桁架
c、梯形桁架
第6页/共45页
静定桁架结构内力分析典型例题(附详细解题过程)
静定桁架结构的内力分析——典型例题【例1】求如图1(a)所示桁架中所有杆件的轴力。
图1【解】（1）取截面Ⅰ-Ⅰ以右部分作研究，由有：，解得：从而有：（2）再依次由结点8、4、3、7、6、5、1的平衡条件，求得其它杆轴力，如图1(b)所示。
【例2】求如图2所示桁架中杆件a 、b 的轴力。
图2【解】经几何组成分析，此结构为三铰桁架。
（1）求支座反力取铰7右边部分为隔离体分析，由有：10M =∑89230x F d F d F d ⨯-⨯-⨯=892x F F=892)3N F F d ==拉力70M =∑22x y F F =由整体平衡条件有：从而有： ， 再分别由整体平衡条件、有：， （2）作截面Ⅰ-Ⅰ，取左边作为隔离体研究，由得：（3）作截面Ⅱ-Ⅱ，取右边作为隔离体研究，由有：，解得： 从而得：。
【例3】求如图3所示桁架中杆件a 、b 的轴力。
图3【解】经几何组成分析，此结构为主从结构，截面Ⅰ-Ⅰ左边为附属部分，右边为基本部分。
杆件58、78为零杆。
（1）作截面Ⅰ-Ⅰ，取左边作为隔离体研究，由得：10M =∑2224x y F d F d F d ⨯+⨯=⨯()223x F F =←()223y F F =↑0x F =∑0y F =∑()123x F F =→()113y F F =↑0y F =∑()13Na F F =-压力80M =∑222xb x y F d F d F d ⨯+⨯=⨯23xb F F =-()Nb F =压力0y F =∑()1V F F =↑由整体平衡条件得 ，由有 （2）作截面Ⅱ-Ⅱ，取右边作为隔离体研究研究 由有：，从而得： 由有：，从而得：【例4】求如图5-7所示桁架中杆件a 、b 的轴力。
图4【解】（1）取截面Ⅰ-Ⅰ以上部分为隔离体分析，由有：，从而得：（2）取截面Ⅱ-Ⅱ以左部分为隔离体，由有：，从而得：【例5】求如图5(a)所示桁架中杆件a 、b 的轴力。
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1.5a 1.5a
3、截面法
Ⅰ
5)、应用举例3(P149)
2 己知，桁架受力如图所示， 求杆件5－7，6－7，6－8 1 的内力。
Ⅰ
4
II
6
8
10
12
14
3
5
C
Ⅰ II
7
9
11
13
解： 1.求支座反力，由对 称性知：
R1=R2=2.5F
L=6d
R1
R2
2.用Ⅰ-Ⅰ截面将桁架切开取左边 作为研究对象画出受力图。 1)求杆5－7的内力
E 点无荷载,红色杆不受力
FAy
FBy
对称结构受反对称荷载作用, 内力和反力均为 反对称:
垂直对称轴的杆不受力
FAy
FBy
对称轴处的杆不受力
例2：利用对称性研 究原结构内力。
3P 2
P 2
P 2
正对称
P 2 P 2
P
P 2
3P 2
P 2
P 2
P 2 P 2
P 2
P 2
a
＝
P 2
3P 2
P 2
N1
1 2
N2
N1
N3=
2 1 1 1 2 2
3
F1
N2
N3 N 4
N1 N 2
–F
1
N1≠N2
F
F
F
F
思考/讨论：试判断下图所示桁架结构中的零杆
D C
7 8
10
4
1 2
F
5 9 11 6 3
A
B
思考/讨论：试判断下图所示桁架结构中的零杆
P
受力分析时可以去掉零杆, 是否表示该杆在结构中是可 有可无的?
RA RB 2F
F F
y
0, 0,
x
F 2 F N AD sin 30 0 2 N AC N AD cos30 0
y
F 2
NAD
30
o
N AD 3F N AC 2.598 F
(压力） (拉力）
NAC
RA 2F
图b
x
Fy 0, -F cos30 NDC 0 N DC 0.866 F (压力）
2 P 4 D
T
C a K
D
P d d G
H 2d
A 2d 2d
B
NTD
P
2d
由截面 - 右
Y 0
1.3P
0.5P T
P
D
N DG N DG 1.25P 由截面 - 上 MF 0 Na 0.05 2P
C
F
Na
1.25P
例5：己知F=10KN，判别结构中的零杆,
2 1
4
6
3
5
C R1
M
6
0, N57 d F d R1 2d 0
N57 4F （拉力）
d
ห้องสมุดไป่ตู้)求杆6－7的内力
F
y
0,
N67 sin 45 2F 2.5F 0
2
4
6
8 7
N67 0.707F （拉力）
1
3 5
C
3)求杆6－8的内力
M
R1
相 交 情 况
FP
Na
FP FP FP FP FP
Na
除截面单 杆外，其 余杆（或 延长线） 均交于同 一点。
a 为 截 面 单 杆
除截面单杆外，其余杆件均互相平行。
FP
平行情况
FP
b为截面单杆
除截面单杆外，其余杆件均互相平行。
FP
平行情况
FP
Nb
b为截面单杆
F
y
0 Nb
Ⅰ
1 2F 3
1）定义：
截面法是截取桁架一部分作为 研究对象计算桁架内力的方法。
2)要求：
截面法将桁架截成二部分，每 一部分至少有一根完整的杆件。
a
a F
a
3)要点：
N1
N2
N3
一个截面将桁架截成二部分，取一部分作为研 究对象时。在平面内可以建立三个方程，可求三个 未知量，故可同时截断三根未知内力的杆。 4）技巧：对于由两刚片用三根链杆联结的联合 桁架，可切断此三根链杆。
求1.2.3杆 内力？
F F
1 2
Ⅰ
F
C
F
F
1.求支反力，
3
A
Ⅰ
由对称性知：
FVA=FVB=2.5F
FHA FVA
B
FHB
4×8=32m FVB
FHA=FHB=－0.5F
2.判别结构中的零杆
4×2=8m
解：
2.求1.2.3杆的内力 Σ MD=0
F
F
E C
－FN1×4－ (FVA－F)×4 +F×12－FHA×4= 0
7
0, N68 d 2.5F 3d F d F 2d 0
N68 4.5F （压力）
例4：己知F=10KN，求1.2.3.4杆内力？ 解： 1.求支反力，由对称性知： FRA=FRB=3.5F
F F F Ⅰ
1 2 3
F
F
F
F 3×2=6m
Ⅰ 4 4×6=24m
实践表明，钢桁架的长细比 100 ，次内力的 影响可以不考虑。
二、桁架的分类
1、按桁架的外形分为：
a、三角形桁架
b、矩形桁架
c、梯形桁架
d、折线桁架
2、按几何组成规则分为：
b、联合桁架 a、简单桁架
c、复杂桁架
3、按桁架受竖向荷载作用有否水平反力分为
a、梁式桁架
b、拱式桁架
三、桁架的内力计算
1、结点法：
以结点作为研究对象来计算结构内力的方法。
结点法的计算要点：
一个结点在平面内有二个自由度， 可以建立二个方程， 可求二个未知量。
P
D a A C 4 a
3P /4
E
-3√ 2
P
D
-2
E
-√ 2
3
√2
B
B
A C
√2
1
P /4
3P /4
P /4
P NDE 45o NDA D NDC NCD 45o NCA C NCE 45o
Ⅰ
a
C
a
a
D
F
N1
N2
N3
四、 几种 主要 梁式 桁架 受力 性能 比较
补充：结点法与截面法的联合应用 为了使计算简捷应注意： 1.3P 0.5P 1）选择一个合适的出发点； 2）选择合适的隔离体； 3）选择合适的平衡方程 E F
例： 计算桁架中a杆的内力。 由结点T 0.5P T
N DT 2 P 4
Class is over & Thank you very much!
图a
N BG N AD 3F （压力），N DE NGE 2.5F （压力）， N CE N KE 0.866 F （拉力），N BK N AC 2.598F （拉力）， N DC N GK 0.866 F （压力）
(4)校核 取结点E为脱离体，满足平衡方程，证明计算无误。
FRA
2
ΣХ=0
N2=0
ΣMD=0 N1×3a+F×a=0 ΣMC=0 – N3×3a – F×2a=0
N1 = –F/3= –10KN N2 = 0 N 3= –2F/3 =－20KN 2.判别结构中的零杆
1.5a 1.5a
思考/讨论：己知F=30KN，判别结构中的零杆,求 1.2.3杆内力？ 解： 1.用Ⅰ-Ⅰ截面 Ⅰ F 求1.2.3杆的内力 1 3
第八章 静定结构的内力分析
第八章 静定结构的内力分析
§8-7
静定平面桁架的内力
§8-7 静定平面桁架的内力 一、概述
桁架是由链杆组成的格构体系，当荷载仅作用在结 点上时，杆件仅承受轴向力，截面上只有均匀分布的正 应力，是最理想的一种结构形式。
理想桁架：
端 杆
节间
上弦杆
桁高
下弦杆
腹杆
（1）桁架的结点都是光滑无摩擦的铰结点； （2）各杆的轴线都是直线，并通过铰的中心； （3）荷载和支座反力都作用在结点上
小结
以结点作为平衡对象，结点承受汇交力系作
用。灵活选点，所选结点未知力不超过2 个 按与“组成顺序相反”的原则，逐次建立各
结点的平衡方程，则桁架各结点未知内力数目一 定不超过独立平衡方程数 由结点平衡方程可求得桁架各杆内力。
2、计算简化方法
（1）特殊结点的应用
1）二杆结点无荷载
N1 N1 0 N2 N2 0 N2
F
桁架中的零杆，是对一定结点 荷载而言：
1）当荷载情况改变时，桁架中的零杆也会相应改变 2）即使荷载一定，桁架的零杆也是不能去掉的，因 为去掉零杆，结构将会成为几何可变体系而失去结构 的稳定性。
（２）利用对称性，减少计算量 1）如果静定结构杆件轴线的位置对某轴 线对称，同时结构支座也对同一条轴线对称， 则称该结构为对称结构。 2）对称结构在对称或反对称的荷载作用下， 结构的内力和变形必然对称或反对称，这称为 对称性。
理想桁架中的所 有杆均是二力杆
理想桁架计算得出的内力（轴力）叫主内 力，相应的应力叫主应力。而由于与理想假定 偏差而产生的附加内力叫次内力，相应的应力 叫次应力。
三堆子金沙江桥，简支刚桁梁桥，跨度达 192m，全长390.4m。
济南国际机场 新航站楼整体为双曲面钢桁架结构