角.圆中有关的角.AAAdoc
角的概念解析
角的概念解析角是几何学中一个重要的概念，它是由两条射线共同确定的一个图形。
角常用来讨论线段之间的相对位置和旋转方向，并被广泛应用于各个领域的数学问题中。
本文将对角的概念、性质和角度单位进行详细解析。
一、概念解析角是由两条射线共同确定的一个图形，这两条射线称为角的边，相交的点称为角的顶点。
角可表示为∠ABC或∠CBA，其中A、B、C分别代表角的顶点和边。
根据角的大小，可以将其分为三类：锐角、直角和钝角。
- 锐角：角的大小小于90°；- 直角：角的大小等于90°；- 钝角：角的大小大于90°。
二、角的性质1. 角的度量角的度量是用角度来表示的，角度是角相对于一个圆的弧上所对应的弧度数。
一个完整的圆共有360°，每个角度可以等分为60分，每一分再等分为60秒。
2. 角的对立角在平面几何中，角的对立角是指与其顶点和边分别在同一直线上的两个角。
对立角互为补角，即其角度数之和为180°。
例如，∠ABC与∠CBD为对立角，则∠ABC + ∠CBD = 180°。
3. 角的互补角和余补角互补角是指角度数之和为90°的两个角，而余补角是指角度数之和为180°的两个角。
例如，∠ABC与∠CBD为互补角，则∠ABC +∠CBD = 90°；若∠ABC与∠CBD为余补角，则∠ABC + ∠CBD = 180°。
4. 角的平分线角的平分线是指将角分为两个相等的角的射线。
角的平分线通过角的顶点，并将角划分为两个度数相等的角，即∠ABC = ∠CBD。
5. 角的内部、外部与共线角角的内部是指位于角边所在直线两侧的点构成的集合；角的外部是指不在角内部的点构成的集合；共线角是指由一个点和两条相交的射线所确定的两个角，这两个角的顶点和边分别在同一直线上。
三、角度单位角度单位有两种常用的表示方法：度（°）和弧度。
度是在几何学中最常用的角度单位，将一个完整的圆等分为360等份。
圆中的角
圆中的角理论回顾：圆中的角包括圆周角、圆心角、弦切角, 辅以圆内角、圆外角、圆内接四边形的内角与外角的变化特点.复习目的：要求同学们熟练地辨认这些角, 能通过连线构造这些角, 注重这些角的变化和跳跃特点, 在计算与证明过程中, 灵活地使用它们. “等量跳跃”是这些角在使用过程中最大的特征.训练解题：1. 已知：如图1, BC为⊙O的直径, A为⊙O上一点, AD⊥BC于D, EA切⊙O于A, 交BC延长线于E, ∠EAD＝54°, 则∠DAC＝__________.2. 已知：如图2, ⊙O的半径OA⊥OB, 过A的一条直线交OB于C, 交⊙O于E, 过E引⊙O的切线交OB的延长线于D, 且EC＝ED, 则∠A＝__________.3. 已知：如图3, 从直径AB的延长线上一点C作圆的切线CD, 切点为D, ∠ACD的平分线交AD于E, 则∠CED＝__________.4. 已知：如图4, P为⊙O外一点, PA切圆于A, 从PA中点M引⊙O割线MNB, ∠PNA＝128°, 则∠PBA＝__________.5. 已知：如图5, DC切⊙O于C, DA交⊙O于P、B两点, AC交⊙O于Q, PQ为⊙O直径,PQ交BC于E, ∠A＝18°, ∠D＝35°, 则∠PEC＝__________.6. 已知：如图6, QA切⊙O于点A, QB交⊙O于B, C, P是弧BC上任意一点, ∠P＝114°, ∠AOC＝70°, 则∠Q＝__________.7. 已知：如图7, CD是半圆直径, 圆心为O, A是DC延长线上的一点, E是半圆上一点, AE连线交圆于B, 如果AB＝OD, ∠EOD＝75°, 则∠BAO＝__________.8. 已知：如图8, PA、PB切⊙A于A、B, AC⊥PB于C, 交⊙O于D, ∠DBC＝14°,则∠APB＝__________.圆中的线段理论回顾：由垂径定理得出的弓形计算, 相交弦定理、切割线定理、平行与比例的关系、相似与比例的关系.复习目的：要求同学们熟记这些用于计算线段的基本理论, 解题时多设未知数, 引进方程思想, 构造相似或利用相似得比例求相关线段是重点, 亦是难点, 做题时多悟.训练解题：9. 已知：如图9, AB是⊙O直径, 弦CD⊥AB于G, F是CG中点, 延长AF交⊙O于E, CF＝2, AF＝3, 则EF＝__________.10. 已知：如图10, AB是⊙O直径, AC是⊙O的弦, 过弧BC中点D作AC的垂线交AC的延长线于E, 若DE＝2, EC＝1, 则⊙O直径＝__________.11. 已知：如图11, 在△ABC中, ∠C＝90°, ⊙O是△ABC的内切圆, 切点是D、E、F, AO交BC于G, 若AC＝3, CG＝1, 则⊙O的半径＝__________.12. 已知：如图12, P是⊙O的直径AB延长线上一点, PC切⊙O于C, PC＝6, BC∶AC＝1∶2, 则AB＝__________.13. 已知：如图13, PT切⊙O于T, PA交⊙O于A、B, 交直径CT于D, CD＝2, AD＝3, BD＝4, 则PB＝__________.14. 已知：如图14, PA、PB切⊙O于A、B, AC是⊙O直径, PC交⊙O于D, ∠APB＝60°, AC＝2, 则CD＝__________.15. 已知：如图15, 在Rt△ABC中, ∠C＝90°, AC＝4, BC＝3, 以BC上一点为圆心作⊙O与AC、AB都相切, 交BC于D, 则BD＝__________.16. 已知：如图16, A是⊙O直径CB延长线上一点, 过A作⊙O切线A T, T为切点, ∠ATB＝30°, ⊙O半径为4, 则AC＝__________.17. 已知：如图17, AB切⊙O于B, BC是直径, AC交⊙O于D, DE是切线, CE⊥DE, DE＝3, CE＝4, 则AB＝__________.18. 已知：如图18, EF切⊙O于F, EDC, EAB为圆割线, AB＝35, DC＝50, AD∶BC＝1∶2,则EF＝__________.直线与圆的证明19. 已知：如图19, P为⊙O外一点, PA、PB分别切⊙O于A、B, OP与AB相交于M, C是弧AB上一点.求证：∠OPC＝∠OCM.20. 已知：如图20, A是⊙O上一点, 割线PC交⊙O于B、C两点, D是PC上的一点, 且PD是PB和PC的比例中项, PD＝PA, 连结AD并延长交⊙O于点E.求证：BE＝CE.21. 已知：如图21, AB是半圆的直径, AC⊥AB, AB＝AC, 在半圆上任取一点D, 作DE⊥CD交直线AB于E, BF⊥AB交线段AD的延长线于点F.①设弧AD是x度的弧, 若要使点E在线段BA的延长线上, 则x的取值范围是________,若在线段AB上呢？其范围__________.②不论点D在半圆的什么位置时, 图中除AB＝AC外, 还有两条线段一定相等, 请你指出并证明之.22. 已知：如图22, Rt △ABC 中, ∠C ＝90°, 以BC 边为直径做半圆半AB 于E, 交AC 边的中线BD 于F. 求证：BC ∶BE ＝CF ∶EF.23. 以下几个图形中, 直线y ＝－43x ＋3与圆相切, 试求切点坐标, 同学们亦可总结此类求点坐标的规律.。
2.2 与圆有关的角
2.2 与圆有关的角一个角有一个顶点和两条边，顶点和边相对于一个圆的位置关系分别有各种情况，由此可得到不同类型的与圆有关的角。
1.圆心角我们已经知道，顶点在圆心的角叫做圆心角。
圆心角的两边都与圆相交，两边所夹⌒。
的的弧是这个圆心角所对的弧。
如图2-28，∠AOB是圆心角，它所对的弧是AB在圆周上给定一条弧，由分别过弧的端点的两条半径所确定的圆心角，是这条弧所对的圆心角。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；相等的弧所对的圆心角相等。
2.圆周角操作⌒上的任意两点，试分别作出∠AMB、如图2-29，圆心角∠AOB=70°，M、N是APB∠ANB，并量出这两个角的度数。
如上所作的∠AMB和∠ANB，它们的顶点都在⊙O上，两边都与圆相交。
分别度量这两个角，所得角度都是35°，说明它们都等于∠AOB的度数的一半。
顶点在圆周上并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
圆周角的两边所夹的弧，是这个圆周角所对的弧；由圆周上一点分别与弧的两端点的连线确定的圆周角，是这条弧所对的圆周角。
⌒，与圆心角∠AOB 在图2-29中，∠AMB和∠ANB是圆周角；它们所对的弧都是AB所对的弧相同。
如果圆周角与圆心角所对的弧相同，那么这两个角之间的大小有以下关系：圆周角定理一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
试一试在⊙O上取一点A，以A为顶点画一些圆周角；在观察圆心与圆周角的位置关系，有几种可能的情况？通过画图可见，圆心与圆周角的位置关系有三种情况：圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部。
对于圆心与圆周角位置关系的三种情况，分别画圆周角；在画出与圆周角所对的弧相同的圆心角，如图2-30所示。
下面，我们来证明圆周角定理。
已知：如图2-30，在⊙O 中，BC ⌒ 所对的圆周角是∠BAC ，所对的圆心角是∠BOC 。
求证：∠BAC=21∠BOC 。
分析：如果圆心O 在圆周角∠BAC 的一边上，入股2-30⑴，这时圆心角∠BOC 恰好为等腰三角形AOC 的外角，可推出结论；如果圆心O 在∠BAC 的内部或外部，如图2-30⑵、⑶，那么可考虑构造如图2-30⑴的图形，将问题转化。
圆中有关的角
年 级 初三 学 科 数学 编稿老师 田一鹏 课程标题 圆中有关的角一校 张琦锋二校林卉审核孙永涛一、考点突破1. 掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角、圆内角、圆外角、弦切角的定义及其度量。
2. 掌握圆内接四边形的性质定理。
3. 了解弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系，并能运用这些关系解决有关问题。
二、重难点提示重点：弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系。
难点：圆周角定理的应用和分类讨论的思想在解题中的应用。
一、圆中有关的角⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩圆心角圆周角圆中有关的角圆内角圆外角弦切角1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
OCB把整个圆周等分成360份，每一等份弧是1°的弧，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们相对应的其余各组量都相等。
2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
OBCA一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之也成立。
直径所对的圆周角是直角。
BCAO3. 圆内角：顶点在圆内（两边自然和圆相交）的角叫圆内角。
P OBA圆内角的度数等于它所对的弧的度数与它的对顶角所对的弧的度数的和的一半。
DPB COA4. 圆外角：顶点在圆外，并且两边都和圆相交（或相切）的角叫圆外角。
DPBCAO圆外角的度数等于它所夹的两弧度数的差（较大弧的度数减去较小弧的度数）的一半。
5. 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
推论①弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半。
推论②如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
二、圆的内接四边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
数学中的角的概念-概念解析以及定义
数学中的角的概念-概述说明以及解释1.引言1.1 概述数学中的角是几何学中的重要概念之一，它在几何图形的研究和解决实际问题中起着重要作用。
角的概念贯穿于整个数学学科，并且在许多实际应用中都具有重要意义。
本文将对角的定义、角的种类以及角在实际生活中的应用进行深入探讨，以期帮助读者全面了解角的概念及其重要性。
通过学习角的知识，读者不仅可以丰富数学知识，还可以更好地应用数学解决实际生活中的问题。
1.2 文章结构文章结构部分：本文将从引言开始，首先概述本篇文章要讨论的内容，接着介绍文章的结构，说明各个部分的内容安排和逻辑，最后说明本文的目的和意义。
接下来将进入正文部分，分别讨论角的定义、角的种类以及角的应用。
最后，结论部分将对角的重要性进行总结，并具体阐释角在实际生活中的应用和对数学学习的启示。
通过这样的结构安排，可以使读者清晰地了解本文要讨论的内容和各部分之间的联系，也能更好地理解数学中的角的概念。
1.3 目的目的部分:本文旨在深入探讨数学中角的概念，通过对角的定义、种类和应用进行系统的介绍和分析，旨在帮助读者更好地理解和掌握角的概念，进而拓展数学知识，提高数学应用能力。
同时，通过对角在实际生活中的应用和对数学学习的启示进行讨论，旨在激发读者对数学学习的兴趣，以及更深层次的思考和学习方式。
通过本文的阅读，读者可以更好地认识到角在数学中的重要性，以及在生活和学习中的实际应用价值，进而促进对数学学科的全面发展。
2.正文2.1 角的定义:角是由两条射线以一个公共端点相交而形成的图形部分。
这个公共端点被称为角的顶点，而两条射线分别被称为角的边。
角可以用符号表示为∠ABC，其中A是角的顶点，B和C分别是角的两边的端点。
角的大小通常用角的度数来表示，通常以度（）为单位。
角的大小也可以用弧度来表示，在数学中，一个完整的圆的周长为360度或2π弧度。
角度可以用度数或弧度数进行测量，这取决于具体的问题和需求。
在数学中，角是一种重要的概念，它在几何学和三角学中有着广泛的应用。
九年级数学圆中的角知识点
九年级数学圆中的角知识点在九年级数学学习中，圆是一个重要的几何图形，而圆中的角也是其中的一个重要概念。
本文将为您介绍九年级数学圆中的角的知识点。
一、圆心角圆心角是指以圆心为顶点的角。
在一个圆中，以圆心为顶点的角所对的弧长恰好等于该角的大小。
这是因为在圆的任意两点之间，弧长与圆心角是相等的。
二、弧度制和度数制在计量圆心角时，我们通常使用度数制和弧度制。
度数制是我们较为熟悉的角度计量方式，一圆的度数为360°。
而弧度制则是将角度的度数转换为弧长与半径之比的计量方式，通常用π来表示。
三、圆内切、圆心角在圆内切问题中，我们经常遇到的一个重要概念是圆心角。
当两个圆相切时，连接切点与圆心所形成的角即为圆心角。
在圆内切问题中，我们可以利用相关的角关系来求解问题。
四、弦和弦心角在圆中，一条弦是连接圆上两个点的线段。
而以圆内任意一点为顶点的角，它的两条边分别为切线和与切线相交的弦，我们称之为弦心角。
在求解弦心角时，我们可以利用圆周角的性质来推导和计算。
五、相交弦和相交弦心角当两条弦在圆内相交时，所形成的角即为相交弦心角。
相交弦心角是圆内切角和圆周角的重要推论。
我们可以利用相交弦心角的性质来解决圆内相交问题，如求解弦的长度以及圆内接四边形的性质等。
六、正多边形的圆内角和圆心角在正多边形中，每个内角都相等，且每个内角都对应一个圆心角。
通过研究正多边形的特性，我们可以得出正多边形内角的计算公式，从而在解决相关题目时能够更加便捷地计算。
七、切割圆和弧长的概念圆的切割是指通过特定的线段将圆分割成几个部分。
在切割圆的过程中，我们需要关注到切割弧的长度。
通过计算切割弧的长度，我们可以更好地掌握切割圆的相关知识点，并应用到实际问题中。
结语通过本文的介绍，希望能够帮助九年级的同学们掌握圆中的角的知识点。
在数学学习中，理论的掌握和实践能力的培养同样重要，希望同学们能够通过大量的练习和实例分析，不断提升自己的数学能力。
加油！。
角ppt课件
在科学实验中的应用
光学中的折射角
在光学实验中，光线的传播方向与介质的折射率有关，折射角的 大小决定了光线的偏折程度。
力学中的摩擦角
在力学实验中，摩擦角是描述摩擦力与重力之间关系的角度，对于 机械设计和运动分析具有重要意义。
电学中的电场强度方向
在电学实验中，电场强度方向与电荷的运动轨迹密切相关，通过测 量电场强度方向可以研究电荷的运动规律。
03
角的基本性质
角的和与差
角的和
两个角相加，其度数等于两个角度数之 和。例如，∠ABC + ∠ADC = 180°。
VS
角的差
两个角相减，其度数等于两个角度数之差 。例如，∠ABC - ∠ADC = 30°。
角的倍数关系
要点一
倍角
一个角的度数是另一个角的两倍，称为倍角。例如，∠ABC = 2 × ∠ADC。
在日常生活中的应用
钟表指针的角度
在日常生活中，时间的计算与角 度密切相关，钟表指针的角度表
示时间的长短和快慢。
角度与平衡
在建筑、桥梁、道路等工程设计中 ，角度的合理设置对于保持结构的 平衡和稳定性至关重要。
角度与运动
在体育比赛中，角度的掌握对于运 动员取得优异成绩至关重要，如射 箭、投掷、跳水等项目。
小或扩大。
05
角的应用
在几何图形中的应用
角度的测量
多边形的内角和
在几何学中，角度是描述两条射线或 线段之间夹角的重要量度，通过测量 角度，可以确定图形的形状和大小。
多边形的内角和与边数相关，通过计 算多边形的内角和，可以得出多边形 的性质和特点。
三角形的分类
根据角度的大小和类型，可以将三角 形分为直角三角形、锐角三角形和钝 角三角形等不同类型。
9上09章 圆中的角
主讲：土豆
基础知识
圆周角：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角.
圆的内接四边形：在圆的内部，四个顶点都在圆周上的四边形.
入门篇
基础篇 提高篇
竞赛篇
入门篇
【 例题】 如图 ， ⊙ ������ 是 ������������ ������������ 的 外接 圆， ������������ 是 直径 ， ∠ ������ = 40° ， 则 ∠ ������������������ 的度 数是 .
������
【 例题】 如图 ，已知 ������ ������ 是 ⊙ ������ 的 直径， ������������ 平 分 ∠ ������������������ . 求 证： ������ ������ + ������ ������ = 2������������
�1
������2
基础篇
【 例题】 如图 ，已知 ⊙ ������ 的 内 接四边 形 ������������ ������������ 的 对角线 ������ ������ 平 分 ∠ ������������������ , ������������ = ������ ������ , ������ ������ ⊥ ������ ������ 于 ������ ，给出 下列结 论： 其中，正确结论的序号是 . ① ������ ������ ⊥ ������ ������ ； ② ������ ������ + ������������ = 2������ ������ ； ③ ∠ ������������������ − ∠ ������ ������������ = ∠ ������������������ .
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圆中有关的角
1、如图，已知AB、CD是⊙O的两条直径，弦DE//AB，如果为40°的弧，求∠BOC的度数。
2、如图，△ABC是等边三角形，P为上任意一点，求证：PA=PB+PC
3、如图，已知∠E=30°，AB=BC=CD；求∠ACD的度数。
4、如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于E、的度数为60°的度数为100°；
求∠AEC的度数。
5、如图，以O为圆心，∠AOB=120°，弓形高ND=4cm，矩形EFGH的两个顶点E、F在弦AB上，
H、G在上，且EF=4HE；求HE的长。
6、如图，⊙O的弦AB与半径OC交于F，AF=3，BF=5，CF=1；求⊙O的半径。
7、如图所示，⊙O中，AB、AC为两条弦，且∠BAC=120°，AB=AC=3cm，
求⊙O的直径。
8、如图，以的顶点A为圆心，AB为半径作圆，交AD、BC于E、F，延长BA交⊙
A于G，求证：
9、如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，D、E在⊙O上；求证：BD=DE
10、如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、
AD、BD的长。
11、如图，BC为⊙O的直径，A D⊥BC，垂足为D，，BF与AD交于E。
（1）求证：AE=BE；
（2）若A、F把半圆三等份，BC=12，求AE的长。
12、如图，⊙O的半径为5，弦AB=53，C是⊙O上一点，求∠ACB的度数。
13、如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，求∠DCF的度数。
14、如图，AB是⊙O的直径，C D⊥AB于D，AD=9cm，DB=4cm，求CD、AC的长。
15、如图，AB、CD是⊙O的弦，∠A=∠C。
求证：AB=CD
16、如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC
于D，若AC=8，DE=2，求OD的长。
2，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上。
求：17、如图，⊙O半径是2，弦BD=3
四边形ABCD的面积。