3 空间力系

例题3 例题3-6
及各尺寸， 均质长板 重为P及各尺寸，A处作用水平力 已知： 已知： F=2P。 F=2P。求：各杆内力 解：研究对象为长方板 受力如图
P a M 6 6 ∑ AB(F) =0 −F ⋅a−2⋅P=0 F = 2 M ∑ AE(F) =0 F =0 5 M F =0 ∑ AC(F) =0 4
Fz
α=7 ° 1 64 '
z
F
β =7 ° ' 17
γ =2 ° 3
空间汇交力系平衡的充分必要条件(平衡方程)： 空间汇交力系平衡的充分必要条件(平衡方程)
例3-2 如图所示为空气动力天平上测定模型所受阻力用的一个悬挂 3 节点O，其上作用有铅直载荷F。钢丝OA和 所构成的平面垂直于 节点 ， 其上作用有铅直载荷 。 钢丝 和 OB所构成的平面垂直于 铅直平面Oyz，并与该平面相交于OD，而钢丝 则沿水平轴 。已知 ，并与该平面相交于 ，而钢丝OC则沿水平轴 则沿水平轴y。 铅直平面 OD与轴 间的夹角为 ，又∠AOD = ∠BOD = α，试求各钢丝中的拉 与轴z间的夹角为 ， 与轴 间的夹角为β， 力。
在三轮货车上放着一重W=1 000 kN的货物，重力 的货物， 例3-4 在三轮货车上放着一重 的货物 重力W 的 作 用 线 通 过 矩 形 底 板 上 的 点 M 。 已 知 O1O2=1 m ， O3D=1.6 m，O1E=0.4 m，EM=0.6 m，点D是线段 1O2的中 点 是线段 是线段O 试求A，B，C，各处地面的铅直反力。 各处地面的铅直反力。 点，EM⊥ O1O2。试求 试求 各处地面的铅直反力
合力偶） ⊕ 主矩 Mo (合力偶） 合力偶
3）空间任意力系的平衡方程 ）
F F F ∑ =0, ∑ =0, ∑ =0
x y z
M M M ∑ (F) =0, ∑ (F) =0, ∑ (F) =0
x y z
矩式， 矩式， 有2力4矩式，3力3矩式， 4力2矩式， 5力1矩式， 6矩式 矩式， 矩式，
简化结果讨论
FR ≠ 0, Mo= 0 FR = 0, Mo ≠ 0 FR = 0, Mo = 0 FR ≠ 0, Mo ≠ 0 FR ⊥ M FR ∥ M FR非∥非⊥M ∥ ⊥
合力 FR 力偶 M 平衡
合力 FR 力螺旋 力螺旋
力螺旋工程实例
空间一般力系的简化和平 衡 ⇒ 主矢 FR (合力） 合力） 合力
F1 F2
z
′ F 2
F3
O
y
′ F 3 ′ F 1
又问: 使这个刚体平衡， 又问 使这个刚体平衡，还需要施加怎样
x
一个力偶。 一个力偶。
解： 1.画出各力偶矩矢(见右图) .画出各力偶矩矢(见右图)
z
M1 M2
45° 45°
M3 y
O
x
2.合力偶矩矢M 的投影。 .合力偶矩矢 的投影。
M =Mx(=0 +Mx(=0 +Mx(=0 =0 ) ) ) x 1 2 3
x y z
M M M ∑ (F) =0, ∑ (F) =0, ∑ (F) =0
x y z
两个原则 1. 选取投影轴时, 应尽量使得较多的未知力与该轴垂直 选取投影轴时 应尽量使得较多的未知力与该轴垂直 未知力与该轴垂直; 投影轴 2. 选取取矩轴时, 应尽量使得较多的未知力通过或平行该轴 选取取矩轴时 取矩轴
A
x
2 2 2 F= F +F +F = 45 +63 + 8 . 2 . 2 12 x y z
x
Fy y
α β γ
= 96 k 1. N 力F的方向 的方向
F 45 . x c s α= = o =02 0 , .2 F 1 .6 9 F 63 . y c s β= = o =03 2 , .2 F 1 .6 9 F 1 8 z .1 c sγ= = o =09 9 , F 1 .6 9
O1 E D B A
M W
O3 C
z
FA FB
O1 E D
O2
FC
解:
y
M
O3
1.取货车为研究对象。 取货车为研究对象。 取货车为研究对象 2.受力分析如图。 受力分析如图。 受力分析如图
x
O2
W
3.列平衡方程 列平衡方程
F ∑ =0 ,
z
F +F +F − =0 A B C W
F ⋅OD W E =0 C 3 − ⋅ M
M x ( , =0, ∠Mi) =9 ° 0 M M ( , c s M j) = y =02 2, ∠M j) =7 .8 o( , .6 4 ° M M ( , ) 5° c s Mk = z =09 5, ∠Mk =1 .2 o( , ) .6 M
4. 为使这个刚体平衡，需加一力偶，其力偶矩矢为 为使这个刚体平衡，需加一力偶， M4 = － M 。
力对点之矩
空间力系问题中用力矩矢量 描述力的转动效应。 描述力的转动效应。
矢量r 矢量 为自矩心至力作用 点（A）的矢径。 ）的矢径。
力对点之矩的矢量运算
力对轴之矩
力与轴(1)相交或(2)平行时 力对该轴的矩为零。 力与轴(1)相交或(2)平行时,力对该轴的矩为零。 (1)相交 平行
力对轴之矩的运算
力偶矩矢 M1
(1)力偶的三要素： 力偶的三要素： 力偶的三要素 大小:力偶矩(矢量 的大小 的大小) 大小:力偶矩(矢量M的大小)； 作用平面:力偶方向垂直于作用平面; 作用平面:力偶方向垂直于作用平面; 转向:右手螺旋(正向)。 转向:右手螺旋(正向)
M2
力偶矩矢
(2) 力偶矩矢是自由矢量，一般从力偶 力偶矩矢是自由矢量， 矩中点画出。 矩中点画出。 M1
W O −F ⋅O −F ⋅O 2 =0 ⋅ 1E C 1D B 1 O
z
FA FB
O1 E D
M ∑ =0 ,
x
M ∑ =0 ,
y
4.联立求解 联立求解
F =3 5 N F =2 3 N F =4 2 N 7 , B 1 , A 1 C
x
FC
y
M
O3
O2
W
例3-5 在图中皮带的拉力 F2 = 2F1， 曲柄上作用有铅垂力F 曲柄上作用有铅垂力 = 2 000 N。 曲 已知：皮带轮的直径 已知：皮带轮的直径D=400 mm，曲 的直径 皮带1和皮带 柄长R=300 mm，皮带 和皮带 与铅 皮带 和皮带2与铅 垂线间夹角分别为α和β, α =30o , β 垂线间夹角分别为 和 =60o ，其它尺寸如图所示。 其它尺寸如图所示。 其它尺寸如图所示 求：皮带拉力和轴承约束力。 皮带拉力和轴承约束力。
y
D F − (F −F) =0 R 2 1 2 Fsn 3 o ×2 0+F sn 6 o ×2 0−Fx ×4 0=0 0 0 2i 0 0 B 0 1 i
M , ∑ (F) =0
z
又有 解得
F2=2F1
F =3 0 N 00 1 F =60 0N 0 2 Fx =− 0 4N 10 A Fz =93 7N 9 A Fx =3 4 N 38 B Fz =− 7 9N 19 B
三维空间中的力对轴之矩 等于该力在垂直于轴的平 面上的投影对轴与该平面 交点之矩。 交点之矩。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
力对轴之矩代数量的正负号
力对轴之矩
力对点的矩与力对轴的矩之间关系
力对点的矩与力对轴的矩之间关系
力对点的力矩矢在通过该点的任一轴上的投影， 力对点的力矩矢在通过该点的任一轴上的投影，等 于力对该轴的矩。 于力对该轴的矩。
3.空间一般力系的简化和平衡 3.空间一般力系的简化和平衡 1） 简化方法 简化方法:
基础:力的平移定理 基础 力的平移定理
3.空间一般力系的简化和平衡 3.空间一般力系的简化和平衡
1） 简化方法
基础:力的平移定理 基础 力的平移定理 简化中心 O 空间汇交力系 ⊕ 空间力偶系
=> 主矢 FR (合力） ⊕ 对简化中心的主矩 Mo (合力偶） 合力） 对简化中心的主矩 合力偶） 合力 合力偶
M =My +My +My =1 .2N m 1 ⋅ y 1 2 3
M =Mz +Mz +Mz =4 .2N m 1 ⋅ z 1 2 3
3.合力偶矩矢M 的大小和方向。 .合力偶矩矢 的大小和方向。
2 2 2 M= M +M +M =4 .7 N m 2 ⋅ x y z
c s Mi) = o( ,
列平衡方程
D B
A
F3
z y C
O
F ， ∑ =0 Fsinα−Fsinα=0
x
2 3
F2 x
α β α
F , ∑ =0
y
F1
F−Fc sα i β−Fc sα i β=0 sn sn 1 2 o 3 o
F , ∑ =0
z
F
F c sαc sβ+Fc sαc sβ−F=0 o o 2 o 3 o
联立求解可得
3）空间任意力系的平衡方程 ）
F F F ∑ =0, ∑ =0, ∑ =0
x y z
M M M ∑ (F) =0, ∑ (F) =0, ∑ (F) =0
x y z
Q1. 空间平行力系的平衡方程有几个? 形式如何? 空间平行力系的平衡方程有 的平衡方程有几 形式如何?
有3个。
3）空间任意力系的平衡方程 ）
F=Ft nβ a 1
F F =F = 2 3 2 o αc sβ cs o
2 力对点之矩和力对轴之矩
使螺母产生绕O F 使螺母产生绕O点转动效应的 度量:力矩(force moment for a 度量:力矩 given point)