高中数学1.5函数y=Asin(ωxψ)的图象(二)教案新人教A版必修4
Asin(ωx+ψ)的图象教案 新人教A版必修4
1. 5函数)sin(ϕω+=x A y 的图象一、教材分析三角函数是中学数学的重要内容之一，它既是解决生产实际问题的工具，又是学习高等数学及其它学科的基础．本节课是在学习了任意角的三角函数，正、余弦函数的图象和性质后，进一步研究函数y ＝Asin(ωx +φ)的简图的画法，由此揭示这类函数的图象与正弦曲线的关系，以及A 、ω、φ的物理意义，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图象变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映．二、教学目标1. 分别通过对三角函数图像的各种变换的复习和动态演示进一步让学生了解三角函数图像各种变换的实质和内在规律。
2. 通过对函数y = Asin(wx+4)(A>0，w>0)图象的探讨，让学生进一步掌握三角函数图像各种变换的内在联系。
3. 培养学生观察问题和探索问题的能力。
三、教学重点难点重点：通过五点作图法正确找出函数y ＝sin x 到y ＝sin(ωx +φ)的图象变换规律。
难点：对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象平移量的理解． 四、学法分析 本节课是在学习了三角函数的性质和图象的基础上来学习)sin(ϕω+=x A y 的图像，应用三角函数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。
在教师的引导下，积极、主动地提出问题，自主分析，再合作交流，达到殊途同归．在思维训练的过程中，感受数学知识的魅力，成为学习的主人．五、教法分析教学的目的是以知识为平台，全面提升学生的综合能力．本节课突出体现了以学生能力的发展为主线，应用启发式、讲述式引导学生层层深入，培养学生自主探索以发现问题、分析问题和解决问题的能力，注重利用非智力因素促进学生的学习，实现数学知识价值、思维价值和人文价值的高度统一。
六、课时安排：2课时 七、教学程序及设计意图（一）复习引入：在现实生活中，我们常常会遇到形如y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的函数解析式(其中A ，ω，ϕ都是常数)下面我们讨论函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)，x ∈R 的简图的画法（二）讲解新课：例 1、 画出函数y ＝sin(x ＋3π)，x ∈R ，y ＝sin(x －4π)，x ∈R 的简图描点画图：(1)函数y ＝sin(x ＋3π)，x ∈R 的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动3π个单位长度而得到(2)函数y ＝sin(x －4π)，x ∈R 的图象可看作把正弦曲线上所有点向右平行移动4π个单位长度而得到一般地，函数y ＝sin(x ＋ϕ)，x ∈R (其中ϕ≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时＝平行移动｜ϕ｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)y ＝sin(x ＋ϕ)与y ＝sin x 的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换设计意图：引导学生学习y ＝sin(x ＋3π)，x ∈R ，y ＝sin(x －4π)，x ∈R 图象上点的坐标和y=sinx 的图象上点的坐标的关系，获得ϕ对y ＝sin(x ＋ϕ)的图象的影响的具体认识。
人教课标版高中数学必修四《函数y=Asin(ωx+ψ)的图象》教案-新版
函数sin()y A x ωφ=+的图象一、教学目标 (一)核心素养通过这节课学习，了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题． (二)学习目标1．理解参数A (A ﹥0)，ω(ω﹥0)，φ对函数图象的影响．2．掌握正弦型函数的变换过程，会用“五点法”作函数y =Asin (ωx +φ)的图象． 3．y =Asin (ωx +φ)，x ∈[0，∞+)(其中A ﹥0，ω﹥0)中各量的物理意义． (三)学习重点1．φ对函数图象的影响． 2．掌握正弦型函数的变换过程．3．理解A (A ﹥0)，ω(ω﹥0)，φ的物理意义． (四)学习难点通过探究理解参数A (A ﹥0)，ω(ω﹥0)，φ对y =Asin (ωx +φ)图像的影响，尤其注意区别先伸缩后平移和先平移后伸缩两种变换过程的不同． 二、教学设计 (一)课前设计 1．预习任务参数A (A ﹥0)，ω(ω﹥0)，φ对函数y =Asin (ωx +φ)图象的影响．①函数y =sin x 图象上所有点 向左 (φ﹥0)，或 向右 (φ﹤0)平移|φ|个单位长度 y =sin (x +φ) 的图象．②y =sin (x +φ) 图象上所有点的横坐标 缩短 (ω﹥1)或 伸长 (0﹤ω﹤1)到原来的ω1倍，纵坐标不变 y =sin (ωx +φ)的图象． ③函数y =sin (ωx +φ) 图象上所有点的纵坐标 伸长 (A ﹥1)或 缩短 (0﹤A ﹤1)到原来的A 倍，横坐标不变 y =Asin (ωx +φ)的图象． 2．预习自测（1）A (A>0)对y=Asin (ωx+φ)的图象的影响：函数图象的 纵向伸缩 变换(振幅变换.)（2）ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)图象的影响：函数图象横向伸缩变换(周期变换.) （3）φ对y=sin(x+φ)图象的影响：函数图象的左右平移变换(平移变换.) (二)课堂设计1．知识回顾(1)三角函数的图象．(2)三角函数的值域和定义域．(3)三角函数的性质．2.新课讲解活动一：请用五点作图法画出函数y=sin x的图象．【设计意图】使学生能准确作出y=sin x 的图象，并为后面的图象变换提供必要的保障．探究一：在同一坐标系中用“五点法”画出函数y=3sin x，x∈R和函数y=sin x，x∈R的简图，R的图象关系．再观察它们与函数y=sin x，x∈【设计意图】复习巩固“五点作图法”，让学生直观感知图象的变化规律，由特殊到一般的学习方法，即培养学生的动手作图习惯，同时也提高了学生的观察能力以及抽象概括能力，增强学生的合作意识．探究二在同一坐标系中画出函数y =sin 3x ，x ∈R 和函数y =sin x ，x ∈R 的简图，再观察它到原来的ω倍(纵坐标不变)而得到． 【设计意图】让学生直观感知图象的变化规律，由特殊到一般的学习方法，即培养学生的动手作图习惯，同时也提高了学生的观察能力以及抽象概括能力． 探究三在同一坐标系中画出函数sin ,3y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的简图，再观察它与函数sin ,y x x R =∈的图象关系．(作图并观察、讨论、回答上述探究，教师用几何画板动态演示变化过程，引导学生发现并归纳出ϕ对图象的影响．)养学生的动手作图习惯，同时也提高了学生的观察能力以及抽象概括能力． 探究四：由正弦函数如何变换得到函数y =sin(2x +3π)？ 猜想：变换过程1 y =sin x y =sin(x +3π) y =sin(2x +3π) 变换过程2 y =sin xy =sin2xy =sin(2x +3π) 【设计意图】观察函数解析式，容易发现参数ω、φ都发生了变化，根据已有的知识基础，自然地提出本节核心问题：两种变换能否任意排序？ 问题1：按照变换过程1由函数y =sin x 的图象如何变换得到y =sin(2x +3π)的图象？变换过程2呢？(学生小组合作，在两种变换过程中选择一个进行研究) 变换过程1：(1)将y =sin x 图象上各点 左 平移 3 个单位长度，得到y =sin(x +3π)的图象； (2)再把y =sin(x +3π)图象上各点的 横 坐标 缩短 (ω﹥1)到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y =sin(2x +3π)的图象．变换过程2：(1)将 y =sin x 图象上各点的 横 坐标 缩短 (ω﹥1)到原来的 2倍(纵坐标不变)，得到函数 y =sin 2x 的图象； 问题2：第二种变换方法，平移量是3π还是6π？为什么？【设计意图】这部分内容是本堂课的难点，通过提问探究、数形结合的方法打破学生的错误直觉，使学生直观的从形中感受数的严谨． (2)再将y =sin2x 图象上各点 左 平移 6π 个单位长度，得到y =sin (2x +3π)的图象．问题3：类似的，你能讨论出参数A (A ﹥0)对y =A sin(2x +3π)的图象的影响吗？【设计意图】巩固A 对正弦函数图象的影响，让学生通过观察变换过程中的变量和不变量总结规律．问题4：通过上述研究讨论，请归纳总结正弦曲线变换得到函数y =A sin(ωx +φ)的图象的方法． 归纳总结：函数y =Asin (ωx +φ)的图象可以由y =sin x 的图象经过以下变换而得到．【设计意图】通过学生讨论，教师用几何画板演示，完整总结出正弦曲线变换得到函数y =A sin(ωx +φ)的图象的方法，体会由简到杂，由特殊到一般的思想方法． 探究五y =A sin(ωx +φ)，[)0,x ∈+∞(其中A ﹥0，ω﹥0)中各量的物理意义． 当函数y =Asin (ωx +φ)，[)0,x ∈+∞(其中A ﹥0，ω﹥0)表示一个振动量时：A ：这个量振动时离开平衡位置的最大距离,称为“振幅”．T ：ωπT 2=往复振动一次所需要的时间,称为“周期”． f ：ωωT f 21==单位时间内往复振动的次数,称为“频率”．φωx +称为相位．φ：x =0时的相位φ称为初相．(注：若A ﹤0，ω﹤0，φ就不是初相，此时应先用诱导公式将x 前的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ．)例1．函数y =sin x 的图象经过一个变换,可得到函数y =cos x 的图象,则这个变换为( )A ．向右平移2π个单位长度 B ．向左平移2π个单位长度C ．向右平移π个单位长度D ．向左平移π个单位长度 【知识点】三角函数图象的平移转换． 【数学思想】三角函数的图象与性质【解题过程】y =sin x =cos (2π-x )=cos (x -2π)，故y =sin x 的图象向左平移2π个单位长度即可得到y =cos x 的图象．【思路点拨】确定影响平移方向和平移量的量φ． 【答案】B ．同类训练 函数x y cos =经过怎样的变换能够得到x y sin -=？ 【知识点】正、余弦函数图像的变换.【数学思想】转化的思想.【解题过程】⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2sin 2sin cos ππx x x y ，故将x y cos =向右平移2π个单位长度后得到x y sin -=.【思路点拨】通过诱导公式，适当的变更函数名.例2．将函数y =sin(x -3π)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移3π个单位，则所得图象对应的函数解析式为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=621sin πx y . 【知识点】函数y =A sin(ωx +φ)的图象变换． 【数学思想】三角函数的图象的平移，伸缩变换．【解题过程】把y =sin(x -3π)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y =sin (21x -3π)的图象，再将所得图象向左平移3π个单位得到y =sin (21x -6π)的图象．【思路点拨】由左加右减的原则，以及伸缩变换，推出结果．【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛-=621sin πx y ． 同类训练 为了得到函数R x x y ∈⎪⎭⎫⎝⎛+=，63sin 2π的图象,只需把函数Rx x y ∈=，sin 2的图象上所有的点( ) A.向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变) B.向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变) C.向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) D.向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)【知识点】正弦函数图像的变换. 【数学思想】转化和数形结合的思想. 【解题过程】2sinx +6π))63sin(2π+x .故选C.【思路点拨】观察x 前系数，确定横坐标是扩大还是缩小. 【答案】C.例3．已知函数y =3sin3x ．(1)作出函数在5,66ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象．(2)求(1)中函数的图象与直线y =3所围成的封闭图形的面积． 【知识点】五点法作函数y =Asin (ωx +φ)的图象；正弦函数的图象．【数学思想】五点法作函数y =Asin (ωx +φ)的图象，正弦函数的图象和性质． 【解题过程】解：(1)令函数y =3sin 3x 中，3x 的值取2π，π，23π，2π，25π，可得 故函数在5,66ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象，如下图所示：(2)由图可得函数的图象与直线y =3所围成的封闭图形的面积S=S △ABC =156=2266πππ⋅-⋅（）【思路点拨】(1)由已知中函数解析式为y =3sin3x ，当5,66ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，53,22ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，分别令3x 的值取2π，π，23π，2π，25π，然后利用五点法可得函数的图象； (2)根据(1)中函数的图象，利用割补法可求函数图象与直线y =3所围成的封闭图形的面积．【答案】(1)如上图(2)2π同类训练：函数f (x )=sin x +2|sin x |，x ∈［0,2π］的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是_____________. 【知识点】绝对值，正弦函数的图像. 【数学思想】数形结合的思想方法.【解题过程】⎩⎨⎧∈-∈=].2,[,sin ],,0[,sin 3)(πππx x x x x f作图如下:由图知k ∈(1,3).【思路点拨】函数图像交点问题，往往采取数形结合的方法，通过作图辅助解题. 【答案】k ∈(1,3). 三．课堂总结 知识梳理由y =sin x 变换到y =Asin (ωx +φ)的两种方法．沿x 平移|φ|个单位 横坐标伸长或缩短横坐标伸长或缩短沿x重难点归纳参数A ，ω，φ函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的影响． (1)振幅变化，由A 的变化引起； (2)周期变化，由ω的变化引起； (3)相位变化，由ωφ或φ的变化引起．(三)课后作业 基础型 自主突破1．为了得到函数y =sin (2x ﹣5π)，x ∈R 的图象，只需将函数y =sin 2x ，x ∈R 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动5π个单位长度B ．向右平行移动5π个单位长度C ．向左平行移动10π个单位长度D ．向右平行移动10π个单位长度【知识点】函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象变换． 【数学思想】把y =sin (2x ﹣5π)变形为y =sin 2(x ﹣10π)，然后结合函数图象的平移得答案．【解题过程】解：∵y =sin (2x ﹣5π)=sin 2(x ﹣10π)，∴为了得到函数y =sin (2x ﹣5π)的图象，只需将函数y =sin 2x 的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度． 【思路点拨】本题考查函数图象的平移变换，关键是注意x 的变化． 【答案】D ．2．要得到函数y =cos(2x -4π)的图象，只需将函数y =sin 2x的图象( ) A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度【知识点】函数y =Asin (ωx +φ)的图象变换． 【数学思想】使用诱导公式进行角的互化．【解题过程】解：y =cos(2x -4π)=sin(2x -4π+2π)=sin(2x +4π)=sin[21(x +2π)]故把y =sin 2x 的图象向左平移2π个单位，即得函数y =sin[21(x +2π)]的图象，即得到函数y =cos(2x -4π)图象．【思路点拨】本题考查诱导公式，以及y =A sin(ωx +φ)图象的变换，把两个函数化为同名函数是解题的关键． 【答案】A ． 能力型 师生共研3．函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A ﹥0，|φ|﹤2π)的图象如图所示，为了得到g (x )=sin2x 的图象，只需将f (x )的图象( )A. 向右平移6π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移6π个单位D ．向左平移12π个单位【知识点】三角函数的图象和性质【数学思想】由f (x )=A sin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式；函数f (x )=A sin(ωx +φ)的图象变换．【解题过程】由图象可知A =1，4T =127π-3π=4π，即周期T =π=ωπ2,所以ω=2，所以f (x )=sin(2x +φ)又f (127π)=sin(2×127π+φ)=-1，即sin(6π+φ)=1，所以6π+φ=2π+2kπ，k ∈Z ，即φ=3π+2kπ，k ∈Z ，因为|φ|﹤2π，所以当k =0时，φ=3π，所以f (x )=sin (2x +3π)⋅g (x )=sin 2x =sin [2(x -6π)+3π]，所以只需将f (x )的图象向右平移6π个单位，即可得到g (x )=sin 2x 的图象． 【思路点拨】根据图象求出A ，ω 和φ，即可求函数f (x )的解析式，根据函数解析式之间的关系即可得到结论． 【答案】A ．4．函数y =2sin (21x -4π)的周期、振幅、初相分别是( ) A ．4π，﹣2，4π B ．4π，2，4π C ．2π，2，﹣ D ．4π，2，﹣4π【知识点】y =Asin (ωx +φ)中各参数的物理意义．【数学思想】三角函数的图象与性质的应用，三角函数的图象中周期、振幅、初相的意义．【解题过程】解：∵函数y =2sin (21x -4π)， ∴ω=21，周期T =212π=4π；振幅A =2；初相φ=-4π．【思路点拨】由函数解析式，根据三角函数的图象中周期、振幅、初相的意义 ，求出其周期、振幅和初相． 【答案】D ．5．要得到函数y =2cos (2x +3π)的图象．可以由诱导公式先把它变成 y =2sin ( )然后由y =sin x 的图象先向 平移 个单位，再把各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍，最后把各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍，就可以得到y =2cos (2x +3π)的图象． 【知识点】函数y =Asin (ωx +φ)的图象变换． 【数学思想】利用诱导公式把函数y =2cos (2x +3π)化为y =2sin (2x +65π)，然后再由左加右减，上加下减的原则，以及伸缩变换，推出结果即可．【解题过程】函数y =2cos (2x +3π)=2sin(2x +2π+3π)=2sin(2x +65π)，由y =sin x 的图象先向左平移65π个单位，再把各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的21倍，最后把各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，即可得到y =2cos (2x +3π)的图象．故答案为：2x +65π；左；65π；21；2． 【思路点拨】考查诱导公式的化简，三角函数的图象的平移，伸缩变换，化简是第一位的，注意平移时先φ，后ω，不影响φ的数值． 探究型 多维突破 6．将函数y =2cos (3πx +21)的图象作怎样的变换可以得到函数y =cosx 的图象？ 【知识点】函数y =Asin (ωx +φ)的图象变换． 【数学思想】函数y =Asin (ωx +φ)的图象变换规律．【解题过程】将函数y =2cos (3πx +21)图象上各点的横坐标变为原来的π3倍，得到函数y =2cos (x +21)的图象，再将曲线上各点纵坐标变为原来的21，再将图象向右平移21个单位，得到函数y =cos x 的图象．【思路点拨】考查函数y =Asin (ωx +φ)的图象变换规律． 7．已知函数y =3sin (21x -4π)，说出此图象是由y =sin x 的图象经过怎样的变化得到的．【知识点】函数y =Asin (ωx +φ)的图象变换． 【数学思想】函数y =Asin (ωx +φ)的图象变换规律． 【解题过程】 方法一：“先平移，后伸缩”．先把y =sin x 的图象上所有的点向右平移4π个单位，得到y =sin (x -4π)的图象；再把y =sin (x -4π)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y =sin (21x -4π)的图象；最后将y =sin (21x -4π)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y =3sin (21x -4π)的图象．方法二：“先伸缩，后平移”．先把y =sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y =sin (21x )的图象；再把y =sin (21x )图象上所有的点向右平移2π个单位，得到y =sin (21x -4π)的图象；最后将y =sin (21x -4π)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y =3sin (21x -4π)的图象．【思路点拨】函数y =Asin (ωx +φ)的图象变换． 8．函数y =cos (2x+φ)(−π≤φ﹤π)的图象向右平移2π个单位后，与函数y =sin (2x +3π)的图象重合，则|φ|=____．【知识点】函数y =Asin (ωx +φ)的图象变换．【数学思想】根据函数y =Asin (ωx +φ)的图象变换规律，可得结论． 【解题过程】函数y =cos (2x +φ)(−π≤φ﹤π)的图象向右平移2π个单位，得平移后的图象对应的函数解析式为y =cos [2(x -2π)+φ]=cos (2x +φ−π)， Q 其图象与函数y =sin (2x +3π)重合，∴2x +φ−π=2x +3π−2π+2k π，k Z ∈， ∴φ=3π−2π+π+2k π，k Z ∈， ∴φ=65π+2k π，k Z ∈， 又Q −π≤φ﹤π， ∴φ=65π． 【思路点拨】三角函数的图象与性质，注意取值范围． 【答案】65π．自助餐1.用五点作图法作y =2sin 4x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )A ．0，2π，π，23π，2π B ．0，4π，2π，43π，πC ．0，8π，4π，83π，2πD ．0，6π，3π，23π，32π【知识点】五点法作函数y =Asin (ωx +φ)的图象. 【数学思想】函数y =Asin (ωx +φ)的图象变换. 【解题过程】由“五点法”作图知：令4x =0，2π，π，23π，2π， 解得x =0，8π，4π，83π，2π，即为五个关键点的横坐标. 【思路点拨】根据y =sin x 的第一个周期内五个关键点：(0，0)，(2π，1)，(π，0)，(23π，﹣1)，(2π，0)，计算求得y =2sin 4x 的五个点的横坐标. 【答案】C ．2.为了得到函数y =sin (2x ﹣5π)，x ∈R 的图象，只需将函数y=sin 2x ，x ∈R 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动5π个单位长度 B ．向右平行移动5π个单位长度C ．向左平行移动10π个单位长度D ．向右平行移动10π个单位长度【知识点】函数y =Asin (ωx +φ)的图象变换. 【数学思想】函数y =Asin (ωx +φ)图象的平移变换.【解题过程】∵y =sin (2x ﹣5π)=sin 2(x ﹣10π)， ∴为了得到函数y =sin (2x ﹣5π)的图象，只需将函数y =sin 2x 的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度.【思路点拨】把y =sin (2x ﹣5π)变形为y =sin 2(x ﹣10π)，然后结合函数图象的平移变换得到答案. 【答案】D ．3.若将函数y =2sin (3x +φ)的图象向右平移4π个单位后得到的图象关于点(3π，0)对称，则|φ|的最小值是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．43π【知识点】由函数y =Asin (ωx +φ)的部分图象确定其解析式；函数y =Asin (ωx +φ)的图象变换.【数学思想】三角函数的图象和性质，图象变换与解析式的关系，三角函数的对称性及其应用.【解题过程】将函数y =2sin (3x +φ)的图象向右平移4π个单位后得到的函数解析式为y =2sin (3x-43π+φ)， ∵y =2sin (3x-43π+φ)的图象关于点(3π，0)对称， ∴3×3π-43π+φ=kπ，(k ∈Z ) ∴φ=kπ-4π∴|φ|的最小值是4π.【思路点拨】利用图象变换的法则求出平移后函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，求出所得函数的对称中心，进而求得|φ|的最小值. 【答案】A ．4.函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (6π)的值是 ．【知识点】由y =Asin (ωx +φ)的部分图象确定其解析式. 【数学思想】由函数y =Asin (ωx +φ)的部分图象求函数的解析式.【解题过程】由图象可得A=2，4T =ωπ42=127π﹣3π，解得ω=2． 再由五点法作图可得2×3π+φ=π，φ=3π，故f (x )=2sin (2x +3π)，故f (6π)=2sin (2×6π+3π)=2sin (2×3π)=26.【思路点拨】根据顶点的纵坐标求A ，根据周期求出ω，由五点法作图的顺序求出φ的值，从而求得f (x )的解析式，进而求得f (6π)的值.【答案】26. 5.已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x =4π和x =45π是函数f (x )=sin (ωx +φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ= ．【知识点】y =Asin (ωx +φ)中参数的物理意义. 【数学思想】三角函数的最值的应用. 【解题过程】因为直线x =4π和x =45π是函数f (x )=sin (ωx +φ)图象的两条相邻的对称轴，所以T =2×(45π﹣4π)=2π， 所以ω=1，所以f (x )=sin (ωx +φ)， 故4π+φ=2π+kπ，k ∈Z ， 所以φ=4π+kπ，k ∈Z ，又因为0＜φ＜π， 所以φ=4π【思路点拨】通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及φ的范围，确定φ的值即可. 【答案】4π．。
人教A版高中数学必修四 1.5《函数y=asin(ωx ψ)》教案2
1.4.1(第三课时) 正弦型函数y=A sin(ωx+φ) 的图象
教学目的：
1理解振幅、周期、频率、初相的定义；
2理解振幅变换、相位变换和周期变换的规律;
3会用“五点法”画出y=A sin(ωx+φ)的简图，明确A、ω和φ对函数图象的影响作用；
4.培养学生数形结合的能力。
5.培养学生发现问题、研究问题的能力，以及探究、创新的能力。
教学重点：熟练地对y＝sin x进行振幅、周期和相位变换。
教学难点：理解振幅变换、周期变换和相位变换的规律。
教学方法：引导学生结合作图过程理解振幅和相位变化的规律。
本节课采用作图、观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动，首先按照由特殊到一般的认知规律，由形及数，数形结合，通过设置问题，引导学生观察、分析、归纳，形成规律，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探究和交流的过程中获得对正弦函数图象变换全面的体验和理解
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
怎样的关系呢？
y
且
看作把正弦曲线上所有
＝sin 2
1x ，x ∈R 的周期T ＝12π
＝。
Asin(ωx+ψ)的图象教学设计2 新人教A版必修4
函数()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象教学目标1．知识与技能（1）结合物理中的简谐振动，了解()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的实际意义；（2）用“五点法”作出()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象, 并借助图形计算器动态演示三角函数图象，研究参数ϕω，，A 对函数图象变化的影响，让学生进一步了解三角函数图象各种变换的实质和内在规律．（3）考察参数A 、ϕ、ω对()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 图象影响的过程中认识到函数x y sin =与()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的联系.2．过程与方法（1）经历x y sin =到()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 图象变换探究的过程，培养学生的数学发现能力和概括总结能力.（2）让学生经历三角函数图象各种变换的探求和运用，体验各种变换的内在联系，提高学生的推理能力、分析问题和解决问题的能力．（3）在研究各种变换的过程中，让学生体验由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想，渗透数形结合的思想．3．情感、态度、价值观（1）通过三角函数图象各种变换的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度．（2）通过合作学习，探求三角函数图象各种变换，培养学生团结协作的精神. 教学重点与难点教学重点：函数()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象以及参数ϕω,,A 对图象变换的影响.函数x y sin =的图象与函数()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象之间的变换关系.教学难点：函数()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象与函数x y sin =的图象与之间的变换关系. 教学方法与技术支持问题教学法、合作学习法，多媒体课件，卡西欧图形计算器. 教学过程：课前准备：用“五点法”在同一坐标系用不同颜色的线画出下列几组函数的图象（要求有列表过程）： （1）x y sin =，y=2sin x ，y=21sin x （2）x y sin =，y=sin(x +3π)，y=sin(x -4π)（3）x y sin =，y=sin2x ，y=sin21x[设计意图]通过作三组不同函数的图象，进一步体会“五点法”作函数图象的基本方法,同时为本节课的图象变换做好准备. 一.创设情境,引出问题 1．借助PPT 演示物理实例：简谐振动中，位移与时间的关系()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 2．介绍其中几个量的物理意义A 是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；ωπ=2T 是往复振动一次所需的时间，称为振动的周期； πω==2T 1f 是单位时间内往复振动的次数，称为振动的频率； ϕω+x 称为相位，x =0的相位ϕ称为初相. 问题: 函数x y sin =就是()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 在A=1,0,1==ϕω时的特殊情况，在0,1,1≠≠≠ϕωA 时函数()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象与x y sin =的图象有何关系？[设计意图]结合生活中简谐振动创设问题情境,加强数学与物理学科的联系,让学生体会到数学的应用价值. x y sin =为()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的特殊情况引起学生的探究兴趣,通过设置问题,引起认知冲突,激发求知欲望.二.互助探究,感受规律(分组讨论，寻求一般规律，每组选派代表汇报“研究成果”) 问题1 A 对图象的影响：寻找函数x y sin =，x y sin 2=，x y sin 21=三者图象之间的联系. 学生活动(1) 组织学生交流讨论,鼓励学生大胆猜想,通过操作图形计算器进行验证,并探求理性解释.(2) 借助图形计算器的动态演示图象的功能,让学生感受x A y sin =)0(>A 的变化过程.通过学生合作探究,交流展示,概括总结振幅变换的一般规律:一般地，函数)1,0(sin ≠>=A A x A y的图象，可以看做是将函数x y sin =图象上所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的．易知，函数函数x A y sin =的值域为],[A A -． 问题2：ϕ对图象的影响 寻找函数x y sin =，⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin πx y ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin πx y ，三者图象之间的联系. 学生活动(1) 组织学生交流讨论,鼓励学生大胆猜想,通过操作图形计算器进行验证,并探求理性解释.(2)引导学生借助图象上的对应变化点横坐标之间的对应关系理解图象平移变换的实质 (3)借助图形计算器的动态演示图象的功能,让学生感受)sin(ϕ+=x y 的变化过程.通过学生合作探究,交流展示,概括总结振幅变换的一般规律:一般地，函数)sin(ϕ+=x y 的图象，可以看做是将函数x y sin =图象上所有点向左(0>ϕ)或向右(0<ϕ)平移ϕ个单位而得到的．问题3 ω对图象的影响:寻找函数三者x y sin =，y=sin2x ，y=sin 21x 图象之间的联系.学生活动(1) 组织学生交流讨论,鼓励学生大胆猜想,通过操作图形计算器进行验证,并探求理性解释.(2)引导学生借助图象上对应变化点的坐标之间对应关系,理解图象周期变换的实质: (3)借助图形计算器的动态演示图象的功能,让学生感受x y ωsin =的变化过程.通过学生合作探究,交流展示,概括总结振幅变换的一般规律:一般地，函数)10(sin ≠>=ωωω且x y的图象，可以看做是将函数x y sin =图象上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到的． [设计意图]将ϕω,,A 对图象变换的影响进行分解,问题提出后,教师不急于讲解,而是有学生合作解决,教师适当引导.在探究过程中注重借助图形计算器辅助思维,并通过前后坐标的变化理解图象变换的实质. 问题4(难点突破)（1）函数x y 2sin =通过怎样变换可以得到函数)32sin(π+=x y 的图象?(2) 将函数y=sin(2x +3π)的图象向右平移3π个单位,所得到的图象的函数解析式为 (3)一般地，函数()0,0)sin(≠>+=ϕωϕωx y 的图象，可以看做是将函数x y ωsin =图象上所有点 (0>ϕ)或 (0<ϕ)平移 个单位而得到的． （4）函数)3sin(π+=x y 的图象通过怎样的变换可以得到函数)32sin(π+=x y 的图象？[设计意图]周期变换和相位变换的不同顺序对图象的影响是本课的难点. 不能广而告之, 鼓励学生在提出猜想的基础上,充分经历图象变换过程，共同发现规律,总结一般性结论,自然流畅,易于接受理解,从而突破难点. 三.典例分析，形成能力 例 若函数)32sin(3π-=x y ,x ∈R 表示一个振动量:(1) 求这个振动的振幅,周期,初相;(2) 不用计算机和图形计算器,画出该函数的图象． 解：(1) 函数)32sin(3π-=x y 的振幅为3,初相为3π-,周期为π.(2)方法一“五点法”周期T=π,令X=2x -3π则x =6223ππ+=+x X 列表作出正弦曲线，并将曲线上每一点的横坐标变为原来的21倍（纵坐标不变），得到函数x y 2sin =的图象；再将函数x y 2sin =的图象向右平移6π个单位长度，得到函数)32sin(π-=x y 的图象；再将函数)32sin(π-=x y 的图象上每一点的纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变），即可得到函数)32sin(3π-=x y 的图象.)32sin(3)32sin(2sin sin ππ-=→-=→=→=x y x y x y x y方法三(先相位后周期)作出正弦曲线，并将其向右平移3π个单位长度，得到函数)3sin(π-=x y 的图象;再将函数)3sin(π-=x y 图象上每一点的横坐标变为原来的21倍（纵坐标不变），得到函数)32sin(π-=x y 的图象;再将函数)32sin(π-=x y 图象上每一点的纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变），即可得到函数)32sin(3π-=x y 的图象.)32sin(3)32sin()3sin(sin πππ-=→-=→-=→=x y x y x y x y[设计意图]互动探究部分将ϕω,,A 三元素对图象变换的影响进行分解,本环节通过例题让学生体会三者结合对图象变化的作用,并着重分析先周期后相位与先相位后周期在图象变换过程中的注意点.四.回顾反思,拓展深化 1. “五点法”作图 2.图形变换过程两种方法殊途同归总结参数A ，ω，φ函数y ＝A（1）振幅变化，由A 的变化引起; （2）周期变化，由ω的变化引起; （3）相位变化，由ωϕ或ϕ的变化引起. [设计意图]引导学生从知识和方法两个方面进行小结.培养学生及时总结,概括提升的能力,为在课后能继续独立探究思考埋下伏笔. 五.课后研究，突出重点（1）阅读书后链接内容并通过网络了解三角函数知识在简谐运动,波的传播,交流电中的应用; （2）书后习题4，5，6.课后思考：（1）函数x y sin =的图象通过怎样的变换可以得到函数x x y 3sin 3cos -=的图象？ （2）函数)(x f y =的图象经过怎样的变换可以得到)32(+=x f y 的图象？[设计意图]通过阅读让学生了解数学学科与人类社会发展间的相互关系,体会数学的科学价值和应用价值;通过思考题使知识更加完整,落实知识的掌握与思想方法的理解.。
高中数学 第一章 三角函数 1.5 函数y=Asin(ωx ψ)的图象教学设计2 新人教A版必修4
函数()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象教学目标1．知识与技能（1）结合物理中的简谐振动，了解()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的实际意义；（2）用“五点法”作出()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象, 并借助图形计算器动态演示三角函数图象，研究参数ϕω，，A 对函数图象变化的影响，让学生进一步了解三角函数图象各种变换的实质和内在规律．（3）考察参数A 、ϕ、ω对()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 图象影响的过程中认识到函数x y sin =与()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的联系.2．过程与方法（1）经历x y sin =到()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 图象变换探究的过程，培养学生的数学发现能力和概括总结能力.（2）让学生经历三角函数图象各种变换的探求和运用，体验各种变换的内在联系，提高学生的推理能力、分析问题和解决问题的能力．（3）在研究各种变换的过程中，让学生体验由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想，渗透数形结合的思想．3．情感、态度、价值观（1）通过三角函数图象各种变换的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度．（2）通过合作学习，探求三角函数图象各种变换，培养学生团结协作的精神. 教学重点与难点教学重点：函数()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象以及参数ϕω,,A 对图象变换的影响.函数x y sin =的图象与函数()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象之间的变换关系.教学难点：函数()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象与函数x y sin =的图象与之间的变换关系. 教学方法与技术支持问题教学法、合作学习法，多媒体课件，卡西欧图形计算器. 教学过程：课前准备：用“五点法”在同一坐标系用不同颜色的线画出下列几组函数的图象（要求有列表过程）： （1）x y sin =，y=2sin x ，y=21sin x （2）x y sin =，y=sin(x +3π)，y=sin(x 4π) （3）x y sin =，y=sin2x ，y=sin21x[设计意图]通过作三组不同函数的图象，进一步体会“五点法”作函数图象的基本方法,同时为本节课的图象变换做好准备. 一.创设情境,引出问题 1．借助PPT 演示物理实例：简谐振动中，位移与时间的关系()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 2．介绍其中几个量的物理意义A 是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；ωπ=2T 是往复振动一次所需的时间，称为振动的周期； πω==2T 1f 是单位时间内往复振动的次数，称为振动的频率；ϕω+x 称为相位，x =0的相位ϕ称为初相. 问题: 函数x y sin =就是()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 在A=1,0,1==ϕω时的特殊情况，在0,1,1≠≠≠ϕωA 时函数()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象与x y sin =的图象有何关系？[设计意图]结合生活中简谐振动创设问题情境,加强数学与物理学科的联系,让学生体会到数学的应用价值. x y sin =为()0,0)sin(>>+=ωϕωA x A y 的特殊情况引起学生的探究兴趣,通过设置问题,引起认知冲突,激发求知欲望.二.互助探究,感受规律(分组讨论，寻求一般规律，每组选派代表汇报“研究成果”) 问题1 A 对图象的影响：寻找函数x y sin =，x y sin 2=，x y sin 21=三者图象之间的联系. 学生活动(1) 组织学生交流讨论,鼓励学生大胆猜想,通过操作图形计算器进行验证,并探求理性解释.(2) 借助图形计算器的动态演示图象的功能,让学生感受x A y sin =)0(>A 的变化过程.通过学生合作探究,交流展示,概括总结振幅变换的一般规律:一般地，函数)1,0(sin ≠>=A A x A y 的图象，可以看做是将函数x y sin =图象上所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的．易知，函数函数x A y sin =的值域为],[A A -． 问题2：ϕ对图象的影响 寻找函数x y sin =，⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin πx y ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin πx y ，三者图象之间的联系. 学生活动(1) 组织学生交流讨论,鼓励学生大胆猜想,通过操作图形计算器进行验证,并探求理性解释.(2)引导学生借助图象上的对应变化点横坐标之间的对应关系理解图象平移变换的实质 (3)借助图形计算器的动态演示图象的功能,让学生感受)sin(ϕ+=x y 的变化过程.通过学生合作探究,交流展示,概括总结振幅变换的一般规律:一般地，函数)sin(ϕ+=x y 的图象，可以看做是将函数x y sin =图象上所有点向左(0>ϕ)或向右(0<ϕ)平移ϕ个单位而得到的．问题3 ω对图象的影响:寻找函数三者x y sin =，y=sin2x ，y=sin 21x 图象之间的联系.学生活动(1) 组织学生交流讨论,鼓励学生大胆猜想,通过操作图形计算器进行验证,并探求理性解释.(2)引导学生借助图象上对应变化点的坐标之间对应关系,理解图象周期变换的实质: (3)借助图形计算器的动态演示图象的功能,让学生感受x y ωsin =的变化过程.通过学生合作探究,交流展示,概括总结振幅变换的一般规律:一般地，函数)10(sin ≠>=ωωω且x y 的图象，可以看做是将函数x y sin =图象上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到的．[设计意图]将ϕω,,A 对图象变换的影响进行分解,问题提出后,教师不急于讲解,而是有学生合作解决,教师适当引导.在探究过程中注重借助图形计算器辅助思维,并通过前后坐标的变化理解图象变换的实质. 问题4(难点突破)（1）函数x y 2sin =通过怎样变换可以得到函数)32sin(π+=x y 的图象?(2) 将函数y=sin(2x +3π)的图象向右平移3π个单位,所得到的图象的函数解析式为 (3)一般地，函数()0,0)sin(≠>+=ϕωϕωx y 的图象，可以看做是将函数x y ωsin =图象上所有点 (0>ϕ)或 (0<ϕ)平移 个单位而得到的． （4）函数)3sin(π+=x y 的图象通过怎样的变换可以得到函数)32sin(π+=x y 的图象？[设计意图]周期变换和相位变换的不同顺序对图象的影响是本课的难点. 不能广而告之, 鼓励学生在提出猜想的基础上,充分经历图象变换过程，共同发现规律,总结一般性结论,自然流畅,易于接受理解,从而突破难点. 三.典例分析，形成能力 例 若函数)32sin(3π-=x y ,xR 表示一个振动量:(1) 求这个振动的振幅,周期,初相;(2) 不用计算机和图形计算器,画出该函数的图象． 解：(1) 函数)32sin(3π-=x y 的振幅为3,初相为3π-,周期为π.(2)方法一“五点法”周期T=,令X=2x -3π则x =6223ππ+=+x X 列表作出正弦曲线，并将曲线上每一点的横坐标变为原来的21倍（纵坐标不变），得到函数x y 2sin =的图象；再将函数x y 2sin =的图象向右平移6π个单位长度，得到函数)32sin(π-=x y 的图象；再将函数)32sin(π-=x y 的图象上每一点的纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变），即可得到函数)32sin(3π-=x y 的图象.)32sin(3)32sin(2sin sin ππ-=→-=→=→=x y x y x y x y方法三(先相位后周期)2作出正弦曲线，并将其向右平移3π个单位长度，得到函数)3sin(π-=x y 的图象;再将函数)3sin(π-=x y 图象上每一点的横坐标变为原来的21倍（纵坐标不变），得到函数)32sin(π-=x y 的图象;再将函数)32sin(π-=x y 图象上每一点的纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变），即可得到函数)32sin(3π-=x y 的图象.)32sin(3)32sin()3sin(sin πππ-=→-=→-=→=x y x y x y x y[设计意图]互动探究部分将ϕω,,A 三元素对图象变换的影响进行分解,本环节通过例题让学生体会三者结合对图象变化的作用,并着重分析先周期后相位与先相位后周期在图象变换过程中的注意点.四.回顾反思,拓展深化 1. “五点法”作图 2.图形变换过程两种方法殊途同归总结参数A ，ω，φ函数y ＝A （1）振幅变化，由A 的变化引起; （2）周期变化，由ω的变化引起; （3）相位变化，由ωϕ或ϕ的变化引起. [设计意图]引导学生从知识和方法两个方面进行小结.培养学生及时总结,概括提升的能力,为在课后能继续独立探究思考埋下伏笔. 五.课后研究，突出重点作y=sinx （长度为2的某闭区间）（1）阅读书后链接内容并通过网络了解三角函数知识在简谐运动,波的传播,交流电中的应用; （2）书后习题4，5，6.课后思考：（1）函数x y sin =的图象通过怎样的变换可以得到函数x x y 3sin 3cos -=的图象？ （2）函数)(x f y =的图象经过怎样的变换可以得到)32(+=x f y 的图象？[设计意图]通过阅读让学生了解数学学科与人类社会发展间的相互关系,体会数学的科学价值和应用价值;通过思考题使知识更加完整,落实知识的掌握与思想方法的理解.。
高中数学 1.5函数y=Asin(ωx ψ)教案2 新人教A版必修4
ω1ω14π2)4sin(+-=πx y 2)4sin(-+=πx y 2)4sin(--=πx y §1.5 函 数)sin(ϕω+=A y 的图象【学习目标、细解考纲】1.会用 “五点法”作出函数)(ϕ+=wx Asm y 以及函数)cos(ϕ+=wx A y 的图象的图象。
2.理解A W 、、ϕ对函数)sin ϕ+=wx A y （的图象的影响.3.能够将x y sin =的图象变换到)sin(ϕ+=wx A y 的图象.4.会根据条件求解析式.【知识梳理、又基再现】1.函数)sinϕ+=x y （，x R ∈（其中0≠ϕ）的图象，可以看作是正弦曲线上所有的点_________（当ϕ>0时）或______________（当ϕ<0时）平行移动ϕ个单位长度而得到.2.函数R x x y ∈=,sin ω（其中ω>0且1ω≠）的图象，可以看作是把正弦曲线 上所有点的横坐标______________（当ω>1时）或______________（当0<ω<1时）到原来的 倍（纵坐标不变）而得到. 3.函数A R x x A y (,sin ∈=>0且A ≠1)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标___________（当A>1时）或__________（当0<A<1）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的，函数y=Asinx 的值域为______________.最大值为______________，最小值为______________.4. 函数R x x A y ∈+=),sin(ϕω其中的（A>0,ω>0）的图象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点___________（当ϕ>0时）或___________（当ϕ<0时）平行移动ϕ个单位长度，再把所得各点的横坐标____________（当ω>1时）或____________（当0<ω<1）到原来的 倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵横坐标____________（当A>1时）或_________（当0<A<1时到原来的A 倍（横坐标不变）而得到.【小试身手、轻松过关】1.将函数y=sinx 的图象向左平移 个单位，再向上平移2个单位，得到的图象的函数解析式是（ ）.A. B. C.2)4sin(++=πx y )42sin(3π+=x y 4π8π8π3π14sin()23y x π=-)32sin(4π-=x y )321sin(4π+=x y )32sin(4π+=x y 2,πϕπ-=2,πϕπ=2,πϕπ=2,πϕπ-=12x π=127x π=)3sin(x 21y π+=)3sin(2x 2y π+=)6sin(2x 2y π+=)62x sin(2y π+=3π6π D. 2.要得到 的图象，只需将y=3sin2x 的图象（ ）. A. 向左平移 个单位 B. 向右平移4π个单位 C. 向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 3.把y=sinx 的图象上各点向右平移 个单位，再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的4倍，则所得的图象的解析式是（ ）.A. B. C. D. 4.已知函数A x A y )(sin(ϕω+=>0,ω>0)在同一个周期内的图象如图，则它的振幅、周期、初相各是（ ）.A. A=2,T=2B. A=2,T=3C. A=2,T=2D. A=2, T=3 5.已知函数）＋ϕωx sin(y A =，在一个周期内，当 时，取得最大值2，当 时取得最小值-2，那么（ ）. A. B. C. D. 6.将函数x)sin(y -=的图象向右平移 个单位，所得到的函数图象的解析式是____________________；将函数x)2cos(y -=的图象向左平移 个单位，所得到的函数图象的解析是____________________.2π),4sin(x y π+=【基础训练、锋芒初显】1.若将某正弦函数的图象向右平移 以后，所得到的图象的函数式是则原来的函数表达式为（ ）. A. )43sin(x y π+= B. )2sin(x y π+= C. )4sin(x y π-= D. y sin(x )-44ππ=+2.已知函数)x Asin(y ϕω+=在同一周期内，当12x π=时,y 最大＝2，当x ＝,127时π y 最小＝-2，那么函数的解析式为（ ）.A. )3x 22sin(y π+= B. )6-x 2sin(2y π= C. )6x 2sin(2y π+= D. )3x 22sin(y π-= 3. 已知函数f(x)f(x),y 将=图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图形沿着x 轴向左平移2π个单位，这样得到的曲线与sinx 21y =的图象相同，那么已知函数f(x)y =的解析式为（ ）. A.1x f(x)sin(-)222π= B. )2x 2sin(21f(x)π+= C. )22x sin(21f (x)π+= D. )2-x 2sin(21f (x)π= 4.下列命题正确的是( ).A. cosx y =的图象向左平移sinx y 2=得π的图象 B. sinx y =的图象向右平移cosx y 2=得π的图象C. 当ϕ<0时，sinx y =向左平移ϕ个单位可得)sin(x y ϕ+=的图象D. x 2sin y )3x 2sin(y =+=的图象由π的图象向左平移3π个单位得到 5.把函数sinx y =的图象向右平移8π后，再把各点横坐标伸长到原来的2倍，所得到的函数的解析式为（ ）.A. )8-x 21sin(y π= B. )8x 21sin(y π+= C. )8-x 2sin(y π= D. )4-x 2sin(y π= 6.函数)3x 2sin(3y π+=的图象，可由函数sinx y =的图象经过下述________变换而得到（ ）.A.向右平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21，纵坐标扩大到原来的3倍 B.向左平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21，纵坐标扩大到原来的3倍 C. 向右平移6π个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的31 D.向左平移6π个单位，横坐标缩小到原来的21，纵坐标缩小到原来的31 7.函数)3x 2sin(3y π+=的图象可看作是函数x 2sin 3y =的图象，经过如下平移得到的，其中正确的是（ ）.A.向右平移3π个单位 B.向左平移3π个单位 C.向右平移6π个单位 D.向左平移6π个单位 8.如图所示，与函数)x Asin(y ϕω+=的图象相对应的解析式是（ ）. A.)322x sin(2y π-= B. )342x sin(2y π+= C. )322x sin(2y π+=D. )32x sin(2y π-= 9.函数)4-x 21s i n (3y π=的周期是_________，振幅是__________，当x=____________________时，=m a xy __________；当x=____________________时，=y m i n __________.10.函数)25x 2sin(y π+=的图象的对称轴方程为____________________. 11.已知函数)x Asin(y ϕω+=（A>0，ω>0，0<πϕ<）的两个邻近的最值点为（26，π）和（232-，π），则这个函数的解析式为____________________. 12.函数Q)5x 2sin(3f(x)+=的图象关于y 轴对称，则Q 的最小值为________________. 13.已知函数)Asin(y ϕω+=(A>O, ω>0,ϕ<π)的最小正周期是32π，最小值是-2，且图象经过点（095，π），求这个函数的解析式.14.函数sinx y =的图象可由)6-x 2cos(y π=的图象经过怎样的变化而得到？【举一反三 能力拓展】1、函数sin()(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><的最小值为-2，其图象相邻的最高点和最低点横坐标差是3π,又图象过点（0，1），求这个函数的解析式.2、下图为某三角函数图形的一段.(1)用正弦函数写出其解析式.(2)求与这个函数关于直线2x π=对称的函数解析式3、已知函数sin()(0,0,y A x b A b ωϕω=++>>为常数，||)ϕπ<的一段图象如图所示，求该函数的解析式。
人教a版必修4学案：1.5函数y=asin(ωx+φ)的图象(2)(含答案)
1.5 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象(二)自主学习知识梳理1．函数y ＝2.简谐振动在物理学中，常用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[0，＋∞)，其中A >0，ω>0描述做简谐运动的一个振动量．A 就是这个简谐运动的________，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的____________；这个简谐运动的周期是____________，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率f ＝1T＝________，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的__________；__________称为相位；x ＝0时的相位φ称为________．自主探究利用“五点法”作出函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω≠0，φ>0)在一个周期上的图象，要，____________，__________.若设T ＝2πω，则这五个关键点的横坐标依次为________，________，________，________，________.对点讲练知识点一 利用五点法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图例1 作出y ＝2.5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象．回顾归纳 “五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx ＋φ分别为0、π2、π、3π2、2π，解出x ，从而确定这五点．变式训练1 作出y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4一个周期上的图象．知识点二 求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段，求其解析式．回顾归纳 由图象求解析式，本质就是“五点法”作图的逆向思维：五点对应．如本题用到五点中的第一、五个点．若图象中有最值点坐标，也可代入解方程求φ，但φ的范围不能太大．变式训练2 若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象(部分)如图所示，则ω和φ的取值分别为________．知识点三 正、余弦函数的对称问题例3 如图为函数y 1＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一个周期的图象．(1)写出y 1的解析式；(2)若y 2与y 1的图象关于直线x ＝2对称，写出y 2的解析式； (3)指出y 2的周期、频率、振幅、初相．回顾归纳 (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)关于(x 0,0)中心对称⇔f (x 0)＝0⇔ωx 0＋φ＝k π(k ∈Z )； (2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)关于直线x ＝x 0轴对称⇔f (x 0)＝A 或f (x 0)＝－A ⇔ωx 0＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．变式训练3 关于f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )图象关于⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )图象关于x ＝－π6对称．其中正确命题的序号为______(将你认为正确的都填上)．1．由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图象上的最大值，最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一零点⎝⎛⎭⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口．以y ＝A sin(ωx ＋φ)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时，注意采用整体代换的思想．如，它在ωx ＋φ＝π2＋2k π (k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝3π2＋2k π (k ∈Z )时取得最小值．课时作业一、选择题1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)为偶函数的条件是( )A ．φ＝π2＋2k π (k ∈Z )B ．φ＝π2＋k π (k ∈Z )C ．φ＝2k π (k ∈Z )D ．φ＝k π(k ∈Z ) 2．函数图象的一部分如图所示，其函数为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 3．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π34．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则( )A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π65．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π5，若对于任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．4B ．2C ．1D.12二、填空题6．函数y ＝－3sin ⎝⎛⎫－2x ＋π3 (x ≥0)的初相是________． 7．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是__________． 8．函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值是________．三、解答题9. 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解析式； (2)写出f (x )的递增区间．10．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫38π，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．§1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(二)答案知识梳理 1.2.振幅 最大距离 T ＝2πω ω2π次数 ωx ＋φ 初相自主探究⎝⎛⎭⎫－φω，0 ⎝⎛⎭⎫－φω＋π2ω，A ⎝⎛⎭⎫－φω＋πω，0 ⎝⎛⎭⎫－φω＋3π2ω，－A ⎝⎛⎭⎫－φω＋2πω，0 －φω －φω＋T 4 －φω＋T 2 －φω＋34T－φω＋T 对点讲练例1 解 令X ＝2x ＋π，则x ＝1⎝⎛⎭⎫X －π.列表：变式训练例2 解 方法一 以N 为第一个零点，则A ＝－3，T ＝2⎝⎛⎭⎫5π6－π3＝π，∴ω＝2，此时解析式为y ＝－3sin(2x ＋φ)．∵点N ⎝⎛⎭⎫－π6，0，∴－π6×2＋φ＝0，∴φ＝π3， 所求解析式为y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 方法二 由图象知A ＝3，以M ⎝⎛⎭⎫π3，0为第一个零点，P ⎝⎛⎭⎫5π6，0为第二个零点． 列方程组⎩⎨⎧ω·π3＋φ＝0ω·5π6＋φ＝π解之得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2φ＝－2π3.∴所求解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3 ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 变式训练2 2，π6解析 ∵图象过点⎝⎛⎭⎫0，12，∴sin φ＝12. 又|φ|<π，∴φ＝π6或5π6.又由“五点法”可得ω×0＋φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6. ∵⎝⎛⎭⎫11π12，0是第五个点，∴ω⎝⎛⎭⎫11π12＋φ＝2π，即ω⎝⎛⎭⎫11π12＋π6＝2π. ∴ω＝2.综上，ω＝2，φ＝π6.例3 解 (1)由图知，A ＝2，T ＝7－(－1)＝8，ω＝2πT ＝2π8＝π4.∴y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ. 将点(－1,0)代入得0＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ. ∴φ＝π4.∴y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. (2)设P (x ，y )为函数y 2图象上任意一点，则P (x ，y )关于直线x ＝2的对称点P ′为 (4－x ，y )．∵y 1与y 2关于直线x ＝2对称．∴点P ′(4－x ，y )落在y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4上． ∴y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π4(4－x )＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－π4x ＋π即y 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4. (3)由(2)知y 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4. ∴周期T ＝2ππ4＝8；频率f ＝1T ＝18；振幅A ＝2；初相φ＝－π4.变式训练3 ②③解析 对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π (k ∈Z )．∴x ＝k 2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3利用公式得： f (x )＝4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∴②对；对于③，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π (k ∈Z )，∴x ＝k 2π－π6(k ∈Z )， ∴⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心．∴③对； 对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．∴④错．课时作业 1．B2．D [由图知T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT＝2. 又x ＝π12时，y ＝1.]3．D [ω＝2π＝2，又f (0)＝2sin φ＝3，∴sin φ＝32.又∵|φ|<π2，∴φ＝π3.]4．D [由图象知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，ω＝2.且2×7π12＋φ＝k π＋π(k ∈Z )，φ＝k π－π6(k ∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝－π6.]5．B [∵对任意x ∈R ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立． ∴f (x 1)＝f (x )min ＝－2，f (x 2)＝f (x )max ＝2.∴|x 1－x 2|min ＝T 2＝12×2ππ2＝2.]6．－π3解析 由诱导公式可知y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故初相为－π3. 7．x ＝－π6解析 令2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．由k ＝0，得x ＝π3；由k ＝－1，得x ＝－π6.∴与y 轴最近的对称轴方程为x ＝－π6.8.5π129．解 (1)由图象可知：A ＝2，T ＝2×(6＋2)＝16，则ω＝2πT ＝2π16＝π8.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ由π8×2＋φ＝π2，得φ＝π4. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4.(2)由－π2＋2k π≤π8x ＋π4≤π2＋2k π，得16k －6≤x ≤16k ＋2，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4的递增区间为[16k －k,16k ＋2]，k ∈Z .10．解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫38π－π8＝π， ω＝2πT＝2，sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1， ∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝π4. ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (2)列出x 、y。
人教新课标版数学高二-A版必修四第一章 1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象教学案
课题名称：§1．5.1.1函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象课程模块及章节：必修四第一章第一课时教学背景分析（一）课标的理解与把握1.“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)的图象与求函数图象对应的函数解析式．(重点)2．正弦曲线与y＝Asin(ωx＋φ)的图象的关系，特别是ω对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．(难点) 3．求函数解析式时φ值的确定．(易错点)（二）教材分析：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。
在本模块中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。
（三）学情分析：加强基础知识教学。
了解到学生目前的学习情况，大部分学生对初中的相关知识掌握不好，利用自习课或课余时间为他们补充初中知识的盲点，加强基础知识。
同时在上课的时候，以基础简单题目为主，争取让大部分学生在课堂上有所收获。
加强合作学习。
对于班级出现的两极分化情况，发动成绩好的学生带动基础薄弱的学生，促使大家共同进步。
注重情感交流。
分层教学、因材施教。
主要方法是对作业也要分层次布置，基础不同，要求不同。
多表扬、多鼓励。
教学目标1．知识与技能(1)了解三种变换的有关概念．(2)能进行三种变换综合应用．(3)掌握y＝Asin(ωx＋φ)的图象信息．2．过程与方法通过把y＝sin x的图象经过三种图象变换方式变为y＝Asin(ωx＋φ)这一复杂的过程，让学生从中体验三种图象变换与各参数之间关系，熟悉各种图象变换方法．3．情感、态度与价值观通过本节内容学习使学生学会研究函数应通过现象看本质的哲学观点．教学重点和难点重点：将考察参数φ，ω，A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响的问题进行分解，从而学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法．难点：ω对y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象的影响规律的概括．教学准备、教学资源和主要教学方法自主学习与合作探究相结合。
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1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象（二）
教学目标
知识与技能目标
（1）了解三种变换的有关概念；
（2）能进行三种变换综合应用；
（3）掌握y=Asin(ωx+φ)+h 的图像信息．
过程与能力目标
能运用多种变换综合应用时的图象信息解题．
情感与态度目标
渗透函数应抓住事物的本质的哲学观点．
教学重点
处理三种变换的综合应用时的图象信息．
教学难点
处理三种变换的综合应用时的图象信息．
教学过程
一、复习
1. 如何由y=sinx 的图象得到函数. )sin(A 的图象
ϕω+=x y . )sin(A A 2.图象的影响对函数、、ϕωϕω+=x y
的物理意义：其中，二、函数)0,0)(,0[)sin(A >>+∞∈+=ωϕωA x x y 函数表示一个振动量时：
A ：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”.
T ：.
2T 间，称为“周期”往复振动一次所需的时ωπ=
f ：. 2T 1次数，称为“频率”单位时间内往返振动的πω==
f :ϕω+x 称为“相位” .
:ϕ x=0时的相位，称为“初相”.
三、应用
例1、教材P54面的例2。
.)|)(|sin(.2的表达式求
由右图所示函数图象，例πϕϕω<+=x A y
解析：由图象可知A=2，
).42sin(2.
4082)0,8
(.22,)8
(87ππ
ϕϕπ
πωπω
ππππ+==∴=+-⨯-=∴==--=
x y T 为因此所求函数的表达式，）（因此，为五点作图的第一个点又，即
.
)0,0)(sin(.3求这个函数的解析式的图象的一部分，右图所示的曲线是例>>+=ωϕωA x A y
解：由函数图象可知
).
32sin(2.32652065(2
1263π
πϕπϕππωω+=∴=∴=+⋅=∴x y 所求函数的解析式为
，即第五个点，）是“五点法”作图的，又
.)sin(析式的图象的一段，求其解下图为思考ϕω+=x A y ：
解1：以点N 为第一个零点，则,3-=A
,)365(2πππ=-=T
)32sin(3.3026)0,6
().
2sin(3,2ππ
ϕϕπ
πϕω+-=∴=⇒=+⨯-∴-+-==∴x y N x y 所求解析式为点此时解析式为
解2：以点)0,3(πM 为第一个零点，则,22,3===T A πω 解析式为),2sin(3ϕ+=x y 将点M 的坐标代入得,32032πϕϕπ-=⇒=+⨯ ).322sin(3π-=∴x y 所求解析式为 . 32311 3735 )0,0()sin(.4求此函数的解析式，有最小值为时，当；有最大值为时，当在同一周期内，
函数例-==>>++=y x y x A k x A y ππωϕω 解由已知⎪⎩
⎪⎨⎧-=+-=+,32,37k A k A 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.65,23k A
又ωπ4,4)33(2==-=T .21=∴ω 又），（
3735π为“五点法”作图得第二个点，则有.323521πϕπϕπ-=∴=+⋅，）（ ∴所求函数的解析式为
.65)321sin(23+-=πx y
四、课堂小结：
的表达式：求函数)sin(ϕω+=x A y
;.1由图像中的振幅确定A
;.2由图像的周期确定ω
代点法平移法
常用的两种方法：
求)2( )1( .3ϕ
五、课后作业
1.阅读教材第53～55页；
2.教材第56页第3、4题． 作业：《习案》作业十三。