河南省实验中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)
河南省实验中学2022-2023学年下期期中高二数学试卷含答案
河南省实验中学2022-2023学年下期期中试卷高二 数学（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知函数()sin cos f x x x x =+，则()(f x '= ) A ．cos x xB ．cos x x -C ．2sin cos x x x +D ．sin x x2.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且3781a a =，则313539log log log (a a a ++= ) A ．3B ．4C ．5D ．63.将3名男生和2名女生排成一队照相，要求女生相邻，共有( )排法． A ．120B ．24C ．48D ．964.已知n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，且51013S S =，那么520(=SS ) A ．19B ．110C ．18D ．135.若443243210(1)x a x a x a x a x a -=++++，则41032(-+-=+a a a a a ) A ．1-B ．1C ．15D ．166.数列{}n a 中，11a =，12(2nn n a a n a +=+为正整数），则(n a = ) A ．12n + B ．21n + C ．21nn + D ．12n n+ 7.函数3211()132=++-f x x ax x 存在两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．()()+∞-∞-,,22B ．(][)+∞-∞-,,22C ．()22,-D ．[]22,-8.将4个A 和2个B 随机排成一行，则2个B 不相邻的概率为( ) A ．13B ．25C ．23D ．459.函数2()2f x lnx ax =+-在区间(1,4)内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是( ) A ．1(,)32-∞-B ．1(,)2-∞-C ．1(,]32-∞-D ．1(,]2-∞-10.数列{}n a 满足14a =，132n n a a +=-，*n N ∀∈，(1)28n n a a λ-<-，则实数λ的取值范围是( ) A ．(,9)-∞-B ．(,8)-∞-C ．(12,9)--D ．(12,7)--11.设函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，且满足()()1f x f x >'+，(0)2023f =，则不等式()2022x x e f x e -->+（其中e 为自然对数的底数）的解集是( ) A ．(2022,)+∞ B ．(,2023)-∞C ．(0,2022)D ．(,0)-∞12.设1111,tan ,101011a lnb c ===，则( ) A ．a b c << B ．c b a << C ．a c b << D ．c a b <<二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.在26(21)+x 的展开式中，2x 的系数为 ．（用数字作答） 14.设数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，若2339-=+n n S n T n ，则22=a b ． 15.在学雷锋志愿活动中，安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有 种．16.已知正实数x ，y 满足xe ylnx ylny =+，则-xe lny x的最小值为 ．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题10分，其 余试题每题12分）17.已知{a n }满足：()*+-∈≥+=N n ,n a a a n n n 2211，11=a ，3235a a =．(1)求a n ； (2)令()*n n n N n a a b ∈⋅=+11，求数列{b n }的前n 项和T n ．18.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a ln x ()R a ∈．(1)若函数在x ＝1处的切线与直线x －y －2＝0垂直，求实数a 的值； (2)当a >0时，讨论函数的单调性．19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*∈=+N n a S n n 312． (1)求n a ； (2)求数列{}n na 的前n 项和n T ．20.如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，PD CD AD 22==，M 为BC 的中点．(1)证明：AM ⊥平面PBD ； (2)求二面角P －AM －D 的正弦值．21.已知椭圆()2222:10+=>>x y C a b a b ，离心率12=e ，过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． (1)求C 的方程；(2)直线l 过点()10,M ，交椭圆与A 、B 两点，记()30,N ，证明0=+NB NA k k ．22.已知函数()1=--x f x e ax ．(1)若0>x 时，()0>x f 恒成立，求a 的取值范围； (2)记()221x x g =，讨论函数()x f 与()x g 的交点个数．河南省实验中学2022--2023高二数学期中考试答案13． 12 14．615．150 16．1 9.解：函数2()2f x lnx ax =+-的定义域是(0,)+∞，2121()20+'=+=<ax f x ax x x在()41,有解，即大212⎪⎭⎫⎝⎛-<x a ，即1612-<a ，解得132a <-，所以a 的取值范围是1(,)32-∞-．10.解：数列{}n a 满足132n n a a +=-，则113(1)n n a a +-=-，且113a -=，∴数列{1}n a -是以3为首项，3为公比的等比数列，则11333n n n a --=⨯=，即31n n a =+，又*n N ∀∈，(1)28n n a a λ-<-，转化为3327n n λ<-对*n N ∈恒成立，即2713nλ<-， 又数列27{1}3n -是递增数列，则当1n =时，27(1)83min n-=-，即8λ<-， 故实数λ的取值范围是(,8)-∞-． 11.解：设()1()xf xg x e -=，()()1f x f x >'+，即()()10f x f x '-+<，()()1()0xf x f xg x e '-+∴'=<，()g x ∴在R 上单调递减，又(0)2023f =，∴不等式0()1(0)1()20222022(0)1x x x f x f e f x e f e e ---->+⇔>=-=， 即()(0)g x g >，0x ∴<，∴原不等式的解集为(,0)-∞． 12.解：由11(1)tan 1010a b ln -=+-，令()(1)tan f x ln x x =+-，0x >， 所以211()1cos f x x x '=-+，因为21cos [1,1],(,1]cos x x∈--∈-∞-， 因为0x >，所以11x +>，1011x <<+，故()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减， 又(0)(10)tan00f ln =+-=，所以1()(0)010f f <=，所以11(1)tan 01010ln +-<，即111tan 1010ln <，所以a b <． 由11(1)1111a c ln -=---，令()(1)gx l n x x =---，01x <<，所以1()1011xg x x x'=-=>--，所以()g x 在(0,1)上单调递增，所以1()(0)10011g g ln >=--=，所以11(1)01111ln --->，即1111011ln>，所以a c >，综上，c a b <<． 16.解：x e ylnx ylny =+，x e ylnxy ∴=即x xe xylnxy =，设()x f x xe =，则()()f x f lnxy =，且()(1)x f x e x '=+，所以()f x 在(1,)-+∞上单调递增， 正实数x ，y ，01x e ylnxy e ∴=>=，即10l n x y y>>，所以()()f x f lnxy =，等价于x lnxy =， 即=x e y x ，则ln 1⎛⎫-=-=-≥⎪⎝⎭x xx e e e lny ln y y x x x，于是最小值为1． 17.解：(1){a n }满足：()*+-∈+=N n a a a n n n 112，则{a n }为等差数列，11=a ，3235a a =， 即()()d d 21315+=+，解得2=d ，12-=n a n ；......................5分 (2) ()()⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=⋅=+121121*********n n n n a a b n n n ，则12121121121121513131121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛+--++-+-=n nn n n T n ．......................10分 18.解：函数定义域为(0，＋∞)，求导得f ′(x )＝2x －2＋ax ．(1)由已知得f ′(1)＝2×1－2＋a ＝－1，得a ＝－1．..............4分(2)f ′(x )＝2x －2＋a x ＝2x 2－2x ＋a x(x >0)，对于方程2x 2－2x ＋a ＝0，记Δ＝4－8a . ①当Δ≤0，即a ≥12时，f ′(x )≥0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当Δ>0，即0<a <12时，令f ′(x )＝0，解得x 1＝1－1－2a 2，x 2＝1＋1－2a 2.又a >0，故x 2>x 1>0. 当 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--∈22110a ,x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞-+,a 2211时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增， 当⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--∈22112211a ,a x 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 综上所述，当a ≥12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当0<a <12时，函数f (x )在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22110a ,上单调递增，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--22112211a ,a 上单调递减， 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞-+,a 2211上单调递增．..............12分 19.解：(1)当n ＝1时，2a 1+1＝3a 1，∴a 1＝1，又 ，∴可知a n ≠0， 当n ≥2时，由 ，得2S n ﹣1+1＝3a n ﹣1， 两式相减得2a n ＝3a n ﹣3a n ﹣1，∴a n ＝3a n ﹣1，∴{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴ ．..............6分(2)由(1)可得 ，∴ ， ∴ ， ∴，∴．..............12分 20.解： (1)证明：M 为BC 的中点，∴AD ABAB AM==又四棱锥P ABCD -的底面是矩形， ∴2DAB MBA π∠=∠=，Rt DAB Rt ABM ∴∆∆∽，DBA AMB ∴∠=∠， 又2MBD DBA π∠+∠=，∴2MBD ANB AM DB π∠+∠=⇒⊥，PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂底面ABCD ， PD AM ∴⊥，又DBPB B =，且DB ，PB ⊂平面PBD ，AM ∴⊥平面PBD ．........5分(2)PD ⊥平面ABCD ，又AD ，DC ⊂平面ABCD ，PD AD ∴⊥，PD DC ⊥，又四棱锥P ABCD -的底面是矩形，AD DC ∴⊥，∴建立如下图所示的空间直角坐标系，设1=CD ：(0,0,0),(0,0,1),D P A M ，∴(2,0,1)=-PA ，2(1,0)2=-MA ，(0,0,1)=DP ， PD ⊥平面ABCD ，∴平面AMD 的法向量为(0,0,1)=DP ，设平面APM 的法向量为(,,)n x y z =， 则20202⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩n PA x z n MA x y ，取(2,1,2)n =， ∴二面角P －AM －D 的余弦值为：||4|cos ,|||||27DP n DP n DP n ⋅<>===，于是二面角P －AM －D 的正弦值为721...............12分21.解：(1)由题得22222191412⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎪⎩a b c e a a b c ，解得32==b ,a ，于是22:143+=x y C ；..............4分(2)直线l 的斜率不存在时，易得0=+NB NA k k ；直线l 的斜率存在时，可设为1+=kx y :l ，联立方程即221431⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x y y kx ， 消y 可得()0884322=-++kx x k ，易得0>∆，设()()2211y ,x B ,y ,x A ， 韦达定理可得221221438438k x x ,k k x x +-=+-=+； 212121221122112211222233x x x x k x x k x kx x kx x y x y k k NB NA +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-=-+-=+， 韦达代入得08822222221212121=---=+-=+-=+kk x x x x k x x x x k k k NB NA ，得证．..............12分 22..解：(1)()1=--x f x e ax ，()∴'=-x f x e a ．0x >，1x e ∴>，当1a …时，()0x g x e a '=-…，()g x 单调递增，()(0)0g x g ∴>=，不等式成立， 当1a >时，()0g lna '=．(0,)x lna ∴∈，()0g x '<，()g x 单调递减，()(0)0g x g ∴<=，这与题设矛盾．综上，a 的取值范围为(-∞，1]．..............5分(2) 记()()()2112=-=---x F x f x g x e x ax ，则()00=F ，()'=--x F x e x a ． 记()()'==--x h x F x e x a ，则()1'=-x h x e ，()'h x 单调递增，且由唯一零点0，于是()h x 在()0，∞-单调递减，()∞+，0单调递增，()h x 在0处取得最小值()01=-h a ．当()010=-≥h a ，即1≤a 时，()0≥h x ，故()F x 在R 上单调递增，()F x 在R 上有唯一零点0;当()010=-<h a ，即1>a 时，()()lim lim →+∞→+∞=--→+∞x x x h x e x a ，()()lim lim →-∞→-∞=--→-∞x x x h x e x a ，于是()h x 有两个零点，且210x x <<，于是()F x 在()1x ，∞-单调递增，()21x x ，单调递减，()∞+，2x 单调递增， 又()00=F ，则()10>F x ，()20<F x ，()21lim lim 12→+∞→+∞⎛⎫=---→+∞ ⎪⎝⎭x x x F x e x ax ，()21lim lim 12→-∞→-∞⎛⎫=---→-∞ ⎪⎝⎭x x x F x e x ax ，则由零点存在定理可得()F x 在()1x ，∞-存在唯一零点，()F x 在()∞+，2x 存在唯一零点，故此时有三个零点． 综上可得1≤a 时，有一个交点；1>a 时，有三个交点．..............12分。
河南省南阳市2014-2015学年高二上学期期中质量评估数学(文)试题 扫描版含答案
高二文科数学参考答案与评分标准1选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C B A B A B AD B D D C二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．2 14. 15. 16. 417.解：（Ⅰ）设等差数列的公差．因为，所以解得．所以． .........................................5分（Ⅱ）设等比数列的公比为．因为，所以，即．所以的前项和公式为．.................................10分18.（1），不等式的解集是，所以的解集是，所以是方程的两个根，由韦达定理知，. 厖..................................................5分（2）恒成立等价于恒成立,所以的最大值小于或等于.设，则由二次函数的图象可知在区间为减函数，所以，所以. ..........................................12分19. （本题满分12分）（Ⅰ）由正弦定理，得，因为，解得，． 4分（Ⅱ）由，得，整理，得．若，则，，，的面积． (8)分若，则，．由余弦定理，得，解得．的面积．综上，的面积为或． (12)分20.解：由题意得，，∵∴由题设中的限制条件得于是得约束条件目标函数………６分做出可行域（如图），当平行移动到过（10，4）点时纵截距最大，此时最小.所以当，即时，元……１２分（没有图扣２分）21．（本题满分12分）解（1）证明：∵A、B、C成等差数列，∴B=600， --------------------------2分又∆ABC的面积为，∴，∴ac=4 -----------------------5分∴a、2、c成等比数列 -----------------------------6分（2）在∆ABC中，根据余弦定理，得b2=a2+c2-2accos600=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac=4，∴b≥2, 当且仅当a=c时，等号成立 ------------------9分∴∆ABC的周长L=a+b+c≥=.当且仅当a=c时，等号成立∴, 当且仅当a=c时，等号成立∴∆ABC周长的最小值为6，因为a=c，B=600，此时∆ABC为等边三角形. -----------------12分22. （Ⅰ）所以数列为以3为首项，以1为公差的等差数列，........................................3分（Ⅱ） (7)分（Ⅲ）当时当时 (12)分。
2023-2024学年广东省实验中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的短轴长为4，焦距为2，则椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为（ ）A ．6B ．√5C ．2√5D ．43．已知e 1→，e 2→，e 3→为空间内三个不共线的向量，平面α和平面β的法向量分别为a →=e 1→+λe 2→+3e 3→和b→=−e 1→+2e 2→+μe 3→，若α∥β，则λ+μ＝（ ） A ．5B ．﹣5C ．3D ．﹣34．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：高三一班：36.1，36.2，m ，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃）， 高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，n ，37.1（单位：℃） 若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则n ﹣m 为（ ） A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.35．已知f(x)=sin2x −√3cos2x ，若方程f(x)=23在（0，π）的解为x 1，x 2，则sin （x 1+x 2）＝（ ） A ．12B ．−12C ．−√32D ．√326．若命题“关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1＝0在（﹣1，3）上至多有一个解”是假命题，则m 的取值范围是（ ） A ．(−3，−54)B ．(−3，1−√2)C ．(−54，1)D ．(−54，1−√2)7．已知cos α=35，α∈(0，π2)，角β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(7√210，√210)且β∈（0，π），则α﹣β＝（ ）A ．π4B ．−π4C ．π6D ．−π68．“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）的曼哈顿距离为：L PQ ＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|．若点P （1，2），点Q 为圆C ：x 2+y 2＝4上一动点，则L PQ 的最大值为（ ）A ．1+√2B ．1+2√2C ．3+√2D ．3+2√2二．多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．若复数z ＝m 2﹣2m ﹣3+（m 2﹣1）i （m ∈R ），则下列正确的是（ ） A ．当m ＝1或m ＝﹣1时，z 为实数 B ．若z 为纯虚数，则m ＝﹣1或m ＝3C ．若复数z 对应的点位于第二象限，则1＜m ＜3D ．若复数z 对应的点位于直线y ＝2x 上，则z ＝12+24i 10．下列对各事件发生的概率的判断正确的是（ ）A ．一个袋子中装有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为25C ．甲袋中有除颜色外其他均相同的8个白球，4个红球，乙袋中有除颜色外其他均相同的6个白球，6个红球，从甲、乙两袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是2311．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ），g （x ）在（﹣∞，0]单调递减，则（ ） A ．f （f （1））＜f （f （2）） B ．f （g （1））＜f （g （2）） C ．g （f （1））＜g （f （2））D ．g （g （1））＜g （g （2））12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 为正方体的中心，M 为DD 1的中点，F 为侧面正方形AA 1D 1D 内一动点，且满足B 1F ∥平面BC 1M ，则（ ）A ．若P 为面ABCD 上一点，则满足△OP A 的面积为√22的点的轨迹是椭圆的一部分 B ．动点F 的轨迹是一条线段C ．三棱锥F ﹣BC 1M 的体积是随点F 的运动而变化的D ．若过A ，M ，C 1三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段A 1Q 长度的取值范围为[2√63，2√2] 三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l 1：（a ﹣3）x +（4﹣a ）y +1＝0与l 2：2（a ﹣3）x ﹣2y +3＝0平行，则a ＝ ． 14．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2=14，则椭圆的离心率为 ． 15．已知a ＞0，b ＞0，1a +12b=1，则3a a−1+4b2b−1的最小值为 ．16．已知圆C 1：(x +1)2+(y −3m −3)2=4m 2(m ≠0)，直线l 的方程y ＝x +m +2，圆C 1关于直线l 对称的圆为C 2，则C 2所表示的一系列圆的公切线方程为 ．四．解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）为增强学生的数学应用能力，某中学举行了一次“数学应用能力竞赛”．为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据），如图所示．（1）试估测本次竞赛学生成绩的平均数；（2）在[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩，从这5名学生中随机抽取2人，求2人成绩都在[70，80）的概率．18．（12分）已知分别过定点A ，B 的直线l 1：ax +y ﹣3＝0，l 2：3x +（a ﹣2）y ﹣4a ﹣1＝0，l 2与x 轴交于C 点．（1）若l 1为△ABC 中，边BC 上的高所在直线，求边BC 上的中线所在直线方程；（2）若l 1为△ABC 中，边BC 上的中线所在直线，求边BC 上的高所在直线方程．19．（12分）如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面为菱形，且∠ABC ＝60°，AB ＝PC ＝2，PA =PB =√2． （1）证明：面P AB ⊥面ABCD ．（2）M 是棱PD 上的中点，若过点C ，M 的平面α与BD 平行，且交P A 于点Q ，求面CQM 与面PCB 夹角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2﹣4x ＝0及点A （﹣1，0），B （1，2）． （1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于D ，E 两点，且DE ＝AB ，求直线l 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得|P A |2+|PB |2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由． 21．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2csinAcosB +bsinB =52csinA ． （1）求sinA sinC．（2）若a ＞c ，角B 的平分线交AC 于D ， （Ⅰ）求证：BD 2＝BA •BC ﹣DA •DC ． （Ⅱ）若a ＝1，求DB •AC 的最大值．22．（12分）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e =√22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A ′两点，|AA ′|＝4． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P ′，过P 、P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP 'Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．2023-2024学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：∵直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)， ∴倾斜角α的正切值为tan α=√3−1=−√3；又α∈[0，π）， 则l 的倾斜角为α=2π3， 故选：C ． 2．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的短轴长为4，焦距为2，则椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为（ ） A ．6B ．√5C ．2√5D ．4解：根据题意可得2b ＝4，2c ＝2， ∴b ＝2，c ＝1，∴a =√5，∴椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为√b 2+c 2=a =√5． 故选：B ．3．已知e 1→，e 2→，e 3→为空间内三个不共线的向量，平面α和平面β的法向量分别为a →=e 1→+λe 2→+3e 3→和b→=−e 1→+2e 2→+μe 3→，若α∥β，则λ+μ＝（ ） A ．5B ．﹣5C ．3D ．﹣3解：因为e 1→，e 2→，e 3→为空间内三个不共面的向量，所以e 1→，e 2→，e 3→可以作为空间内的一组基底， 又平面α和平面β的法向量分别为a →=e 1→+λe 2→+3e 3→和b →=−e 1→+2e 2→+μe 3→，且α∥β， 所以a →∥b →，则a →=tb →，即e 1→+λe 2→+3e 3→=t （−e 1→+2e 2→+μe 3→）， 所以{−t =12t =λtμ=3，解得{t =−1λ=−2μ=−3，所以λ+μ＝﹣5．故选：B ．4．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：高三一班：36.1，36.2，m ，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃）， 高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，n ，37.1（单位：℃） 若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则n ﹣m 为（ ） A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3解：高三一班的第25百分位数是m ，第90百分位数是12×（36.8+37.0）＝36.9； 高三二班的第25百分位数是36.3，第90百分位数是12（n +37.1）；所以m ＝36.3，12（n +37.1）＝36.9，解得n ＝36.7，所以n ﹣m ＝0.4． 故选：C ．5．已知f(x)=sin2x −√3cos2x ，若方程f(x)=23在（0，π）的解为x 1，x 2，则sin （x 1+x 2）＝（ ） A ．12B ．−12C ．−√32D ．√32解：f(x)=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)，x ∈（0，π） 所以−π3＜2x −π3＜5π3， 故sin(2x −π3)=13，根据函数的对称性2x 1−π3+2x 2−π3=2×π2， 故x 1+x 2=5π6， 所以sin （x 1+x 2）=12． 故选：A ．6．若命题“关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1＝0在（﹣1，3）上至多有一个解”是假命题，则m 的取值范围是（ ） A ．(−3，−54)B ．(−3，1−√2)C ．(−54，1)D ．(−54，1−√2)解：由题意可得命题“关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1＝0在（﹣1，3）上有两个不同的解”是真命题， 令f （x ）＝x 2+2mx +2m +1在（﹣1，3）上有两个不同的零点，即{ f(−1)＞0f(3)＞0−1＜−m ＜3f(−m)＜0，即{ 2＞010+8m ＞0−3＜m ＜1−m 2+2m +1＜0，解得：−54＜m ＜1−√2． 故m 的范围为（−54，1−√2）． 故选：D ．7．已知cos α=35，α∈(0，π2)，角β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(7√210，√210)且β∈（0，π），则α﹣β＝（ ）A ．π4B ．−π4C ．π6D ．−π6解：cos α=35，α∈(0，π2)， 所以sinα=45，角β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(7√210，√210)且β∈（0，π）， 所以sinβ=√210，cosβ=7√210；且β∈(0，π2)， 由于cos β＞cos α，所以α＞β， 故cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=35×7√210+45×√210=25√250=√22； 故α−β=π4． 故选：A ．8．“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）的曼哈顿距离为：L PQ ＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|．若点P （1，2），点Q 为圆C ：x 2+y 2＝4上一动点，则L PQ 的最大值为（ ） A ．1+√2B ．1+2√2C ．3+√2D ．3+2√2解：由题意设Q （2cos θ，2sin θ）（0≤θ＜2π）， 则L PQ ＝|1﹣2cos θ|+|2﹣2sin θ|， 当cos θ≥12时，即当θ∈[0，π3]∪[5π3，2π）时，L PQ ＝2cos θ﹣1+2﹣2sin θ＝1+2√2cos （θ+π4）， ∵θ∈[0，π3]∪[5π3，2π），∴θ+π4∈[π4，7π12]∪[23π12，94π），则当θ+π4=2π时，L PQ 的最大值为1+2√2；当cos θ＜12时，即当θ∈（π3，5π3）时，L PQ ＝1﹣2cos θ+2﹣2sin θ＝3−2√2sin （θ+π4）， ∵θ∈（π3，5π3）∴θ+π4∈（7π12，23π12），则当θ+π4=32π时，L PQ 的最大值为3+2√2． 综上所述，L PQ 的最大值为3+2√2． 故选：D ．二．多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．若复数z ＝m 2﹣2m ﹣3+（m 2﹣1）i （m ∈R ），则下列正确的是（ ） A ．当m ＝1或m ＝﹣1时，z 为实数 B ．若z 为纯虚数，则m ＝﹣1或m ＝3C ．若复数z 对应的点位于第二象限，则1＜m ＜3D ．若复数z 对应的点位于直线y ＝2x 上，则z ＝12+24i解：对于A ，当m ＝1或m ＝﹣1时，m 2﹣1＝0，故z 为实数，故A 正确， 对于B ，若z 为纯虚数，则{m 2−2m −3=0m 2−1≠0，解得m ＝3，故B 错误， 对于C ，∵复数z 对应的点位于第二象限， ∴{m 2−2m −3＜0m 2−1＞0，解得1＜m ＜3，故C 正确， 对于D ，∵复数z 对应的点位于直线y ＝2x 上， ∴m 2﹣1＝2（m 2﹣2m ﹣3），解得m ＝5或m ﹣1， ∴z ＝12+24i 或z ＝0，故D 错误． 故选：AC ．10．下列对各事件发生的概率的判断正确的是（ ）A ．一个袋子中装有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为25C ．甲袋中有除颜色外其他均相同的8个白球，4个红球，乙袋中有除颜色外其他均相同的6个白球，6个红球，从甲、乙两袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是23解：对于A ，袋中有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件，故A 正确；对于B ，密码被破译的概率为P ＝1﹣（1−15）（1−13）（1−14）=35，故B 错误； 对于C ，设从甲袋中取到白球为事件A ，则P （A ）=812=23， 从乙袋中取到白球为事件B ，则P （A ）=612=12， ∴取到同色球的概率为P =23×12+13×12=12，故C 正确；对于D ，∵P （A ∩B ）＝P （B ∩A ），∴P （A ）P （B ）＝P （B ）P （A ）， ∴P （A ）[1﹣P （B ）]＝P （B ）[1﹣P （A ）]，∴P （A ）＝P （B ）， ∵两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，∴P （A ）＝P （B ）=13，∴P （A ）=23，故D 正确． 故选：ACD ．11．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ），g （x ）在（﹣∞，0]单调递减，则（ ） A ．f （f （1））＜f （f （2）） B ．f （g （1））＜f （g （2）） C ．g （f （1））＜g （f （2））D ．g （g （1））＜g （g （2））解：f （x ）是定义在R 上的偶函数，f （x ）在（﹣∞，0]单调递减，所以f （x ）在（0，+∞）上是增函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，g （x ）在（﹣∞，0]单调递减，所以g （x ）在（0，+∞）上是减函数， 所以g （x ）在R 上是减函数，所以f （1）＜f （2），g （0）＝0，f （1）＜f （2），但是不能判定两个的正负，所以A 不正确； 0＞g （1）＞g （2），可得f （g （1））＜f （g （2）），所以B 正确； g （f （1））＞g （f （2）），所以C 不正确； g （g （1））＜g （g （2）），所以D 正确； 故选：BD ．12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 为正方体的中心，M 为DD 1的中点，F 为侧面正方形AA 1D 1D 内一动点，且满足B 1F ∥平面BC 1M ，则（ ）A ．若P 为面ABCD 上一点，则满足△OP A 的面积为√22的点的轨迹是椭圆的一部分 B ．动点F 的轨迹是一条线段C ．三棱锥F ﹣BC 1M 的体积是随点F 的运动而变化的D ．若过A ，M ，C 1三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段A 1Q 长度的取值范围为[2√63，2√2]解：对于A ，设O 为底面正方形ABCD 的中心，连接AO ，AO ′，OO ′， 则AO ′=12AC =√2，OO ′=12AA 1=1，所以△OO ′A 的面积为12AO′⋅OO′=12×√2×1=√22， 所以在底面ABCD 上点P 与点O 必重合，同理正方形ABB 1A 1的中心，正方形ADD 1A 1的中心都满足题意，又当点P 为正方体各条棱的中点时也满足△OP A 的面积为√22，故A 不正确； 对于B ，如图，分别取AA 1，A 1D 1的中点H ，G 连接B 1G ，GH ，HB 1，AD 1， 因为B 1H ∥C 1M ，B 1H ⊂平面BGH ，C 1M ⊄平面BGH ， 所以C 1M ∥平面BGH ，因为GH ∥BC 1，GH ⊂平面BGH ，BC 1⊄平面BGH ， 所以BC 1∥平面BGH ，C 1M ⊂平面BC 1M ，BC 1⊂平面BC 1M ，BC 1∩C 1M ＝C 1， 所以平面B 1GH ∥平面BC 1M ，而B 1F ∥平面BC 1M ，所以B 1F ⊂平面B 1GH ，所以点F 轨迹为线段GH ，故B 正确；由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面BC 1M ，则点F 到平面BC 1M 的距离为定值， 又△BC 1M 的面积为定值，从而可得三棱锥F ﹣BC 1M 的体积是定值，故C 不正确； 如图，设截面Ω与平面BAA 1B 1交于AN ，N 在BB 1上， 因为截面Ω∩平面DAA 1D 1＝AM ，平面DAA 1D 1∥平面CBB 1C 1，所以AM ∥NC 1，同理可证AN ∥MC 1，所以截面AMC 1N 为平行四边形，所以点N 为BB 1中点， 在四棱锥A 1﹣AMC 1N 中，侧棱A 1C 1最长，且A 1C 1＝2√2，设四棱锥A 1﹣AMC 1N 的高为h ， 因为AM ＝MC 1=√5，所以四边形AMC 1N 为菱形，所以△AMC 1的边AC 1上的高为面对角线的一半，即为√2，又AC 1＝2√3， 则S △AMC 1=12×2√3×√2=√6，V C 1−AA 1M =13S △AA 1M •D 1C 1=13×12×2×2×2=43， 所以V A 1−AMC 1=13S △AMC 1וh =√63h =V C 1−AA 1M =43，解得h =2√63， 综上，可知线段A 1Q 长度的取值范围为[2√63，2√2]，故D 正确．故选：BD ．三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l 1：（a ﹣3）x +（4﹣a ）y +1＝0与l 2：2（a ﹣3）x ﹣2y +3＝0平行，则a ＝ 3或5 ． 解：当a ＝3时两条直线平行， 当a ≠3时有2=−24−ka ≠3所以a =5 故答案为：3或5．14．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2=14，则椭圆的离心率为 23 ．解：如图；因为|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，可得|PF 1|＝2a ﹣2c ，cos ∠PF 1F 2=14，可得|PF 2|2＝|F 1F 2|2+|PF 1|2﹣2|PF 1|•|PF 2|•cos ∠PF 1F 2， 即：（2c ）2＝（2a ﹣2c ）2+（2c ）2﹣2×2c ×（2a ﹣2c ）×14， 解得a =32c ，（a ＝c 舍）． 故离心率e =c a =23． 故答案为：23． 15．已知a ＞0，b ＞0，1a +12b=1，则3a a−1+4b2b−1的最小值为 5+2√6 ．解：因为a ＞0，b ＞0，1a+12b=1，所以0＜a ＜1，且2b =a a−1， 所以3a a−1+4b 2b−1=3(a−1)+3a−1+2(2b−1)+22b−1=3+3a−1+2+22b−1＝5+3a−1+2aa−1−1=5+3a−1+2（a ﹣1）≥5+2√3a−1×2(a −1)=5+2√6，当且仅当3a−1=2（a ﹣1），即a ＝1+√62时等号成立．故答案为：5+2√6．16．已知圆C 1：(x +1)2+(y −3m −3)2=4m 2(m ≠0)，直线l 的方程y ＝x +m +2，圆C 1关于直线l 对称的圆为C 2，则C 2所表示的一系列圆的公切线方程为 y =−34x +74或x ＝1 ． 解：圆C 1的圆心为C 1（﹣2，3m +3）设C 1关于直线l 对称点为C 2（a ，b ），则{b−3m−3a+1=−13m+3+b 2=a−12+m +2，解得：{a =2m +1b =m +1，∴圆C 2的方程为（x ﹣2m ﹣1）2+（y ﹣m ﹣1）2＝4m 2． 设直线y ＝kx +b 与圆系中的所有圆都相切，则√1+k 2=2|m|．即（﹣4k ﹣3）m 2+2（2k ﹣1）（k +b ﹣1）m +（k +b ﹣1）2＝0，∵直线y ＝kx +b 与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m 值都成立， 所以有：{−4k −3=02(2k −1)(k +b −1)=0(k +b)2=0，解得：{k =−34b =74，所以C 2所表示的一系列圆的公切线方程为：y =−34x +74． 当切线的斜率不存在时，圆C 2的方程为（x ﹣2m ﹣1）2+（y ﹣m ﹣1）2＝4m 2． 圆心（2m +1，m +1），半径为2m ，此时切线方程为：x ＝1． 综上，圆的公切线方程为：y =−34x +74或x ＝1． 故答案为：y =−34x +74或x ＝1．四．解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）为增强学生的数学应用能力，某中学举行了一次“数学应用能力竞赛”．为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据），如图所示．（1）试估测本次竞赛学生成绩的平均数；（2）在[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩，从这5名学生中随机抽取2人，求2人成绩都在[70，80）的概率． 解：（1）由题意知样本容量n =80.016×10=50，y =250×10=0.004，x ＝0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04＝0.030． ∴估测本次竞赛学生成绩的平均数为：x =55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04＝70.6．（2）在[70，80），[80，90）内的学生人数分别为0.040×10×50＝20人和0.010×10×50＝5人，在[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩， 则在[70，80），[80，90）内各抽取4人和1人，设成绩在[70，80）内的学生为A ，B ，C ，D ，成绩在[80，90）的学生为E ， 则从这5人中抽取2人有10种情况，分别为：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ），（C ，D ），（C ，E ），（D ，E ）， 2人成绩都在[70，80）的情况有6种，分别为：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（B ，C ），（B ，D ），（C ，D ），∴从这5名学生中随机抽取2人，2 人成绩都在[70，80）的概率为P =35．18．（12分）已知分别过定点A ，B 的直线l 1：ax +y ﹣3＝0，l 2：3x +（a ﹣2）y ﹣4a ﹣1＝0，l 2与x 轴交于C 点．（1）若l 1为△ABC 中，边BC 上的高所在直线，求边BC 上的中线所在直线方程； （2）若l 1为△ABC 中，边BC 上的中线所在直线，求边BC 上的高所在直线方程． 解：（1）直线l 1：ax +y ﹣3＝0可知直线恒过A （0，3），l 2：3x +（a ﹣2）y ﹣4a ﹣1＝0整理可得：a （y ﹣4）+3x ﹣2y ﹣1＝0，恒过B （3，4）， 直线l 2与x 轴的交点C （4a+13，0），k BC =43−4a+13=32−a ，由题意可得：﹣a •32−a=−1，可得a =12，即C （1，0），所以BC 的中点D （2，2），k AD =3−20−2=−12， 所以BC 边的中线为y =−12x +3，即x +2y ﹣6＝0； （2）由（1）可得BC 的中点D （4a+13+32，42），即D （2a+53，2），由题意可得D 在BC 的中线l 1上，即a •2a+53+2﹣3＝0，即2a 2+5a ﹣3＝0，可得a =12或a ＝﹣3， 当a =12时，C （1，0），所以k BC =43−1=2， 所以BC 边上的高的斜率为−12，所以BC 边上的高的所在的直线方程为：y =−12x +3，即x +2y ﹣6＝0； 当a ＝﹣3时，C （−113，0），此时k BC =43−−113=35，BC边上的高的斜率为−53，所以BC边上的高所在的直线方程为：y=−53x+3，即5x+3y﹣9＝0．所以BC边上的高所在的直线方程为：x+2y﹣6＝0或5x+3y﹣9＝0．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝PC＝2，PA=PB=√2．（1）证明：面P AB⊥面ABCD．（2）M是棱PD上的中点，若过点C，M的平面α与BD平行，且交P A于点Q，求面CQM与面PCB 夹角的余弦值．证明：（1）取AB中点O，连接OP和OC，如图所示，由于AB＝BC＝2，∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以OC⊥AB，且OC=√3，又因为PA=PB=√2，AB＝2，所以P A2+PB2＝AB2，则P A⊥PB，OP⊥AB，所以OP=12AB=1，所以PO2+OC2＝PC2，所以OP⊥OC，因为OP⊥AB，OP⊥OC，AB∩OC＝O，AB、OC⊂面ABCD，所以OP⊥面ABCD，又因为OP⊂面P AB，所以面P AB⊥面ABCD；解：（2）由（1）知，OC，OB，OP两两互相垂直，以O为坐标原点，OC，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的建立空间直角坐标系，则P （0，0，1），A （0，﹣1，0），B （0，1，0），C （√3，0，0）， D(√3，−2，0)，M(√32，−1，12)所以BD →=(√3，−3，0)，BC →=(√3，−1，0)，CP →=(−√3，0，1)，CM →=(−√32，−1，12)，AP →=(0，1，1)，CA →=(−√3，−1，0)，取PB 的中点N ，因为M 为PD 的中点，则MN ∥BD ， 因为BD ⊄平面CMN ，MN ⊂平面CMN ，所以BD ∥平面CMN ， 所以平面CMN 和平面CQM 是同一平面， 则N （0，12，12），所以MN →=(−√32，32，0)， 设平面CMN 的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，则{m →⋅CM →=−√32x 1−y 1+12z 1=0m →⋅MN →=−√32x 1+32y 1=0， 解得{y 1=√33x 1z 1=5√33x 1，令x 1＝3，则y 1=√3，z 1=5√3，所以m →=(3，√3，5√3)，即平面CQM 的一个法向量为m →=(3，√3，5√3)，解得{y 2=√3x 2z 2=√3x 2，令x 2＝1，则y 2=√3，z 2=√3，所以n →=(1，√3，√3)，设平面CQM 与平面PCB 的夹角为θ，cos θ=|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=√3×√3+5√3×√3|9+3+75×7=√60929，所以平面CQM 与平面PCB 的夹角的余弦值√60929． 20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2﹣4x ＝0及点A （﹣1，0），B （1，2）． （1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于D ，E 两点，且DE ＝AB ，求直线l 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得|P A |2+|PB |2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由． 解：（1）圆C 的标准方程为（x ﹣2）2+y 2＝4，所以圆心C （2，0），半径为2． 因为l ∥AB ，A （﹣1，0），B （1，2），所以直线l 的斜率为2−01−(−1)=1，设直线l 的方程为x ﹣y +m ＝0， 则圆心C 到直线l 的距离为d =|2+m|√2． 因为DE ＝AB =√22+22=2√2，而CD 2＝d 2+（MN2）2，所以4=(2+m)22+2， 解得m ＝0或m ＝﹣4，故直线l 的方程为x ﹣y ＝0或x ﹣y ﹣4＝0．（2）假设圆C 上存在点P ，设P （x ，y ），则（x ﹣2）2+y 2＝4， P A 2+PB 2＝（x +1）2+（y ﹣0）2+（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝12， 即x 2+y 2﹣2y ﹣3＝0，即x 2+（y ﹣1）2＝4， 因为|2﹣2|＜√(2−0)2+(0−1)2＜2+2，所以圆（x ﹣2）2+y 2＝4与圆x 2+（y ﹣1）2＝4相交， 所以点P 的个数为2．21．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2csinAcosB +bsinB =52csinA ． （1）求sinA sinC．（2）若a ＞c ，角B 的平分线交AC 于D ， （Ⅰ）求证：BD 2＝BA •BC ﹣DA •DC ． （Ⅱ）若a ＝1，求DB •AC 的最大值． 解：（1）因为2csinAcosB +bsinB =52csinA ，结合正弦定理和余弦定理可得2ac ⋅a 2+c 2−b 22ac +b 2=52ac ， 即2a 2+2c 2﹣5ac ＝0，方程两边同时除以c 2（c ≠0）， 得2(ac )2+2−5ac =0，令a c =t(t ＞0)，所以2t 2+2﹣5t ＝0，解得t ＝2或12，即a c=2或12，所以sinA sinC=a c=2或12；（2）（Ⅰ）证明：在△ABD 中，由正弦定理得AD sin∠ABD=AB sin∠ADB①，由余弦定理得AB 2＝AD 2+BD 2﹣2AD •BD cos ∠ADB ②， 同理在△BCD 中，则CD sin∠CBD=BC sin∠CDB③，BC 2＝CD 2+BD 2﹣2CD •BD cos ∠CDB ④，因为BD 是∠ABC 的角平分线，则∠ABD ＝∠CBD ， 所以sin ∠ABD ＝sin ∠CBD ，又∠ADB +∠CDB ＝π， 则sin ∠ADB ＝sin ∠CDB ，cos ∠ADB +cos ∠CDB ＝0， ①÷③得AD CD=AB BC⑤，所以AD AC=AB AB+BC，CD AC=BC AB+BC，CD ×②+AD ×④得CD •AB 2+AD •BC 2＝CD •AD （AD +CD ）+（CD +AD ）•BD 2 ＝CD •AD •AC +AC •BD 2，所以BD 2=CD⋅AB 2+AD⋅BC 2AC −CD ⋅AD =BC⋅AB 2+AB⋅BC 2AB+BC−CD ⋅AD =BA ⋅BC −DA ⋅DC ，得证．（Ⅱ）因为a ＞c ，所以sinA sinC =2，即a ＝2c ＝1，由⑤式可知AD CD=AB BC=12，所以AD =13AC ，DC =23AC ， 由（1）得BD 2=12−29AC 2， 所以BD 2+29AC 2=12，BD 2+29AC 2≥2√23BD ⋅AC ，当且仅当BD =12，AC =3√24时等号成立， 所以BD ⋅AC ≤3√28，故DB •AC 的最大值为3√28． 22．（12分）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e =√22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A ′两点，|AA ′|＝4． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P ′，过P 、P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP 'Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．解：（Ⅰ）设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，左焦点F 1（﹣c ，0），将横坐标﹣c 代入椭圆方程，得y =±b 2a ，所以b 2a=2①，ca =√22②，a 2＝b 2+c 2③，联立①②③解得a ＝4，b =2√2， 所以椭圆方程为：x 216+y 28=1；（Ⅱ）设Q （t ，0）（t ＞0），圆的半径为r ，直线PP ′方程为：x ＝m （m ＞t ）， 则圆Q 的方程为：（x ﹣t ）2+y 2＝r 2， 由{(x −t)2+y 2=r 2x 216+y 28=1得x 2﹣4tx +2t 2+16﹣2r 2＝0，由Δ＝0，即16t 2﹣4（2t 2+16﹣2r 2）＝0，得t 2+r 2＝8，①把x ＝m 代入x 216+y 28=1，得y 2=8(1−m 216)=8−m 22，所以点P 坐标为（m ，√8−m 22），代入（x ﹣t ）2+y 2＝r 2，得(m −t)2+8−m22=r 2，②由①②消掉r 2得4t 2﹣4mt +m 2＝0，即m ＝2t ， S △PP′Q=12|PP′|(m −t)=√8−m 22×（m ﹣t ）=√8−2t 2×t =√2(4−t 2)t 2≤√2×(4−t 2)+t 22= 2√2， 当且仅当4﹣t 2＝t 2即t =√2时取等号，此时t +r =√2+√6＜4，椭圆上除P 、P ′外的点在圆Q 外，所以△PP 'Q 的面积S 的最大值为2√2，圆Q 的标准方程为：(x −√2)2+y 2=6．当圆心Q、直线PP′在y轴左侧时，由对称性可得圆Q的方程为(x+√2)2+y2=6，△PP'Q的面积S的最大值仍为2√2．。
2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题(文科班)
2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题（文科班）一、选择题（每小题4分，共40分）1．已知集合{}1,0,1-=A ，{}11<≤-=x x B 则B A ⋂等于（ ）A. {}0B. {}1-C. {}0,1-D. {}1,0,1-2．若,54cos ,53sin -==αα则在角α终边上的点是（ ） A. )3,4(- B. )4,3(- C. )3,4(- D. )4,3(-3．已知函数的定义域为[]2,0，值域为[]4,1，则函数的对应法则可以为（ ）A. x y 2=B. 12+=x yC. xy 2= D. x y 2log =4．已知)(x f 是偶函数，且0>x 时，ax x x f +=2)(，若2)1(=-f ，则)2(f 的值是（ ）A. -1 B ． 1 C ． 3 D ． 65．函数),0,0(),sin()(R x A x A x f ∈>>+=ωϕω的部分图象如右图所示，则函数的表达式为（ ） A. )834sin(4)(ππ+=x x f B. )834sin(4)(ππ-=x x f C. )438sin(4)(ππ-=x x f D. )88sin(4)(ππ+=x x f 6．若0cos 2sin =-αα，则αα2sin cos 12+的值为（ ） A ． -2 B ． -1 C ． 1 D ． 27．若函数)1(log )(++=x a x f a x 在[]1,0上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值是（ ）A. 4B.41 C. 2 D. 21 8．已知0>ω， πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数B x A x f ++=)sin()(ϕω图像的两条相邻的对称轴，则ϕ为（ ） A. 2π B. 3π C. 4π D. 43π 9．已知函数x x m x f sin 3sin log )(2+-=在R 上的值域为[]1,1-，则实数m 的值为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4二、填空题(每小题4分，共20分)11．对于函数m x y =，若21)41(=f ，则m =________. 12．已知31)4cos(-=-απ，则)43cos(απ+的值为____ ____. 13．函数)4sin()(x x f -=π的单调增区间为________.14．已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=2,2,sin )(ππx x x f ，若0)21(cos )(sin =-+ααf f ，则=⋅ααcos sin ____________.15.已知函数⎩⎨⎧≤++>=m x x x m x x f ,24,2)(2，若函数x x f x F -=)()(恰有三个不同的零点， 则实数m 的取值范围是____________.三、解答题（本大题共4题，共40分）17．已知函数)0,0(,11)(>>-=x a ax x f . （1）若)(x f 在[]2,1上的最小值为41，求实数a 的值； （2）若存在),0(,+∞∈n m ，使函数)(x f 在[]n m ,上的值域为[]m n --,，求实数a 的取值范围；19. 设是R 上的奇函数，且当时，，. （1）若1)1(=f ，求的解析式；（2）若，不等式0)14()2(>++⋅x x f k f 恒成立，求实数的取值范围； （3）若的值域为，求的取值范围.。
高中高二数学上学期第二次月考试卷 文(含解析)-人教版高二全册数学试题
2014-2015学年某某省某某市安吉县上墅私立高中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）1．在△ABC中，“A=”是“cosA=”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞0，命题q：∀x∈R，＞x，则下列说法中正确的是（） A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题 D．命题p∧（￢q）是真命题3．直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．4．若直线（m+2）x+3y+3=0与直线x+（2m﹣1）y+m=0平行，则实数m=（） A．﹣或1 B． 1 C． 1或2 D．﹣5．直线2x+3y+1=0与直线4x+my+7=0平行，则它们之间的距离为（） A． 4 B． C． D．6．设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面（）A．若l⊥α，l⊥m，则m∥α B．若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l∥mC．若l∥α，m⊥α，则l⊥m D．若α∩β=l，l⊥γ，m⊥β，则m∥γ7．过P（2，0）的直线被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9截得的线段长为2时，直线l的斜率为（）A． B． C．±1 D．8．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A． y=±2x B． C． D．9．直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交过圆心 B．相交不过圆心 C．相切 D．相离10．下列结论正确的是（）A．命题“若a＞b＞0，则a2＞b2”的逆命题是假命题B．若函数f（x）=sinx，则函数f（x）为周期函数的逆命题是真命题C．向量，的夹角为钝角的充要条件是•＜0D．“x2＞2”是“x2﹣3x+2≥0”的充分不必要条件二、填空题：（本大题共7小题，每小题3分，共21分.）11．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值X围为．12．已知命题p：m＜0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0成立，若“p∧q”为真命题，则实数m 的取值X围是．13．两直线l1：ax+2y﹣1=0，l2：（a﹣1）x+ay+1=0垂直，则a=．14．两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的连心线方程为．15．已知动圆M与圆C1：（x+3）2+y2=9外切且与圆C2：（x﹣3）2+y2=1内切，则动圆圆心M的轨迹方程是．16．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．17．下列四个命题：①“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定；②“若x2+x﹣6≥0，则x＞2”的否命题；③在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的充分不必要条件④“函数f（x）=tan（x+φ）为奇函数”的充要条件是“φ=kπ．（k∈Z）”，其中真命题的序号是．三、解答题：（本大题共5小题，共49分.）18．设p：实数x满足x2+2ax﹣3a2＜0（a＞0），q：实数x满足x2+2x﹣8＜0，且q是p的必要不充分条件，求a的取值X围．19．求满足下列条件的椭圆方程：（1）长轴在x轴上，长轴长等于12，离心率等于；（2）椭圆经过点（﹣6，0）和（0，8）；（3）椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4．20．如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．（1）求证：AM⊥平面EBC；（2）求直线AB与平面EBC所成角的大小．21．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点D（2，0）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．22．已知圆C：x2+y2=4和直线l：3x+4y+12=0，点P是圆C上的一动点，直线与坐标轴的交点分别为点A、B，（1）求与圆C相切且平行直线l的直线方程；（2）求△PAB面积的最大值．2014-2015学年某某省某某市安吉县上墅私立高中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）1．在△ABC中，“A=”是“cosA=”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义结合三角形的性质，分别证明充分性和必要性，从而得到答案．解答：解：在△ABC中，若A=，则cosA=，是充分条件，在△ABC中，若cosA=，则A=或A=，不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查了三角形中的三角函数值问题，是一道基础题．2．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞0，命题q：∀x∈R，＞x，则下列说法中正确的是（） A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题 D．命题p∧（￢q）是真命题考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：容易判断命题p是真命题，q是假命题，所以根据p∨q，p∧q，￢q的真假和p，q的关系即可找出正确选项．解答：解：∃x∈R，x﹣2＞0，即不等式x﹣2＞0有解，∴命题p是真命题；x＜0时，无解，∴命题q是假命题；∴p∨q为真命题，p∧q是假命题，￢q是真命题，p∨（￢q）是真命题，p∧（￢q）是真命题；∴D正确．故选D．点评：考查真命题，假命题的概念，以及p∨q，p∧q，￢q的真假和p，q真假的关系．3．直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：直线x﹣2y+2=0与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，1），依题意得．解答：直线x﹣2y+2=0与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，1），直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点；故．故选A．点评：本题考查了椭圆的基本性质，只需根据已知条件求出a，b，c即可，属于基础题型．4．若直线（m+2）x+3y+3=0与直线x+（2m﹣1）y+m=0平行，则实数m=（） A．﹣或1 B． 1 C． 1或2 D．﹣考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由直线的平行可得m的方程，解得m代回验证可得．解答：解：∵直线（m+2）x+3y+3=0与直线x+（2m﹣1）y+m=0平行，∴（m+2）（2m﹣1）﹣3×1=0，解得m=﹣或1经验证当m=1时，两直线重合，应舍去，故选：D点评：本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．5．直线2x+3y+1=0与直线4x+my+7=0平行，则它们之间的距离为（） A． 4 B． C． D．考点：两条平行直线间的距离．专题：直线与圆．分析：通过直线的平行求出m，然后利用平行线之间的距离求解即可．解答：解：直线2x+3y+1=0与直线4x+my+7=0平行，所以m=6，直线4x+my+7=0化为直线4x+6y+7=0即2x+3y+3.5=0，它们之间的距离为：d==．故选：C．点评：本题考查两条平行线之间是距离的求法，基本知识的考查．6．设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面（）A．若l⊥α，l⊥m，则m∥α B．若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l∥mC．若l∥α，m⊥α，则l⊥m D．若α∩β=l，l⊥γ，m⊥β，则m∥γ考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：若l⊥α，l⊥m，则m∥α或m⊂α，故A错误；若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l与m平行或异面，故B错误；若l∥α，m⊥α，则由直线与平面平行的性质得l⊥m，故C正确；若α∩β=l，l⊥γ，m⊥β，则m∥γ或m⊂γ，故D错误．故选：C．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．7．过P（2，0）的直线被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9截得的线段长为2时，直线l的斜率为（） A． B． C．±1 D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：设直线l的方程为：y=kx﹣2k，由已知条件结合圆的性质和点到直线的距离公式推导出=2，由此能求出直线的斜率．解答：解：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx﹣2k，（x﹣2）2+（y﹣3）2=9的圆心C（2，3），半径r=3，∵过P（2，0）的直线被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9截得的线段长为2，∴圆心C（2，3）到直线AB的距离d==2，∵点C（2，3）到直线y=kx﹣2k的距离d==2，∴•2=3，解得k=±．故选：A．点评：本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．8．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A． y=±2x B． C． D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过双曲线的离心率，推出a、b关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程．解答：解：由双曲线的离心率，可知c=a，又a2+b2=c2，所以b=a，所以双曲线的渐近线方程为：y==±x．故选B．点评：本题考查双曲线的基本性质，渐近线方程的求法，考查计算能力．9．直线l：x+y﹣4=0与圆C：x2+y2=4的位置关系是（）A．相交过圆心 B．相交不过圆心 C．相切 D．相离考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出圆心（0，0）到直线l：x+y﹣4=0的距离d正好等于半径，可得直线和圆相切．解答：解：由于圆心（0，0）到直线l：x+y﹣4=0的距离为d==2=r（半径），故直线和圆相切，故选：C．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．10．下列结论正确的是（）A．命题“若a＞b＞0，则a2＞b2”的逆命题是假命题B．若函数f（x）=sinx，则函数f（x）为周期函数的逆命题是真命题C．向量，的夹角为钝角的充要条件是•＜0D．“x2＞2”是“x2﹣3x+2≥0”的充分不必要条件考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析： A．“若a＞b＞0，则a2＞b2”的逆命题为“若a2＞b2，则a＞b＞0”是假命题；B．函数f（x）=sinx，则函数f（x）为周期函数的逆命题为“函数f（x）为周期函数，则f （x）=sinx”，显然不正确；C．向量，的夹角为钝角⇒•＜0，反之不成立，由于非零向量反向共线时，满足＜0；D．“x2＞2”⇒或x，而x2﹣3x+2=﹣≥﹣，反之也不成立．解答：解：A．“若a＞b＞0，则a2＞b2”的逆命题为“若a2＞b2，则a＞b＞0”是假命题，正确；B．函数f（x）=sinx，则函数f（x）为周期函数的逆命题为“函数f（x）为周期函数，则f （x）=sinx”是假命题，不正确；C．向量，的夹角为钝角⇒•＜0，反之不成立，由于向量反向共线时，其＜0，因此不正确；D．“x2＞2”⇒或x，此时x2﹣3x+2=﹣≥﹣，反之也不成立，因此“x2＞2”是“x2﹣3x+2≥0”的既不充分也不必要条件，不正确．综上可得：只有A．故选：A．点评：本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定、向量的数量积及其夹角公式，考查了推理能力，属于基础题．二、填空题：（本大题共7小题，每小题3分，共21分.）11．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值X围为（1，+∞）．考点：特称命题．专题：计算题．分析：原命题为假命题，则其否命题为真命题，得出∀x∈R，都有x2+2x+m＞0，再由△＜0，求得m．解答：解：∵“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”，∴其否命题为真命题，即是说“∀x∈R，都有x2+2x+m＞0”，∴△=4﹣4m＜0，解得m＞1．∴m的取值X围为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）点评：本题考查了存在命题的否定，不等式恒成立问题．考查转化、计算能力．12．已知命题p：m＜0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0成立，若“p∧q”为真命题，则实数m 的取值X围是﹣2＜m＜0 ．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据复合命题的真假性判断出命题p、q都是真命题，再逐一求出m的X围，最后求它们的交集．解答：解：因为“p∧q”为真命题，所以命题p、q都是真命题，若命题q是真命题，则∀x∈R，x2+mx+1＞0横成立，所以△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，又命题p：m＜0，也是真命题，所以实数m的取值X围是：﹣2＜m＜0，故答案为：﹣2＜m＜0．点评：本题考查了复合命题的真假性，以及二次函数的性质，属于基础题．13．两直线l1：ax+2y﹣1=0，l2：（a﹣1）x+ay+1=0垂直，则a= 0或﹣1 ．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由已知得a（a﹣1）+2a=0，由此能求出a．解答：解：∵两直线l1：ax+2y﹣1=0，l2：（a﹣1）x+ay+1=0垂直，∴a（a﹣1）+2a=0，解得a=0或a=﹣1．故答案为：0或﹣1．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线垂直的性质的合理运用．14．两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的连心线方程为3x﹣y﹣9=0 ．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心坐标，利用点斜式，可得方程．解答：解：两圆x2+y2﹣4x+6y=0和x2+y2﹣6x=0的圆心坐标分别为（2，﹣3），（3，0），∴连心线方程为y﹣0=（x﹣3），即3x﹣y﹣9=0．故答案为：3x﹣y﹣9=0．点评：本题考查圆与圆的位置关系及其判定，考查直线方程，比较基础．15．已知动圆M与圆C1：（x+3）2+y2=9外切且与圆C2：（x﹣3）2+y2=1内切，则动圆圆心M的轨迹方程是﹣=1（x≥2）．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：找出两圆圆心坐标与半径，设设动圆圆心M（x，y），半径为r，根据动圆M与圆C1外切且与圆C2内切，即可确定出M轨迹方程．解答：解：由圆C1：（x+3）2+y2=9，圆心C1（﹣3，0），半径r1=3，圆C2：（x﹣3）2+y2=1，圆心C2（3，0），r2=1，设动圆圆心M（x，y），半径为r，根据题意得：，整理得：|MC1|﹣|MC2|=4，则动点M轨迹为双曲线，a=2，b=，c=3，其方程为﹣=1（x≥2）．故答案为：﹣=1（x≥2）点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及动点轨迹方程，熟练掌握双曲线定义是解本题的关键．16．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π．故答案为：．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．17．下列四个命题：①“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定；②“若x2+x﹣6≥0，则x＞2”的否命题；③在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的充分不必要条件④“函数f（x）=tan（x+φ）为奇函数”的充要条件是“φ=kπ．（k∈Z）”，其中真命题的序号是①②．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①按照特称命题的否定要求改写，然后判断真假；②先写出原命题，然后再按照否条件、否结论进行改写；③双向推理，然后进行判断，此例可以举反例；④结合奇函数的性质进行推导，从左推右，然后反推化简．解答：解：①原命题的否定是：∀x∈R，x2﹣x+1＞0；因为，故①为真命题；②原命题的否命题是：若x2+x﹣6＜0，则x≤2．由x2+x﹣6＜0，得（x+3）（x﹣2）＜0，所以﹣3＜x＜2，故②为真命题；③当A=150°时，．所以故在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的不充分条件．故③是假命题；④若函数f（x）为奇函数，则f（0）=tanφ=0，或y轴为图象的渐近线，所以φ=kπ（k∈Z）；或tanφ不存在，则φ=，（k∈Z）所以前者是后者的不充分条件．故④为假命题．故答案为：①，②点评：本题以简易逻辑为载体，考查了命题的否定及否命题的写法以及真假判断，充分必要性的判断方法，属于基础题，难度不大．三、解答题：（本大题共5小题，共49分.）18．设p：实数x满足x2+2ax﹣3a2＜0（a＞0），q：实数x满足x2+2x﹣8＜0，且q是p的必要不充分条件，求a的取值X围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：先分别化简两个不等式，再利用q是p的必要不充分条件，转化为，然后某某数a的取值X围．解答：解：由x2+2ax﹣3a2＜0得（x+3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，所以﹣3a＜x＜a，（2分）x2+2x﹣8＜0，∴﹣4＜x＜2，p为真时，实数x的取值X围是：﹣3a＜x＜a；q为真时，实数x的取值X围是：﹣4＜x＜2（6分）因为q是p的必要不充分条件，所以有（10分）所以实数a的取值X围是≤a≤2．（14分）点评：本题考查一元二次不等式的解法，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查计算能力，转化思想，是中档题．19．求满足下列条件的椭圆方程：（1）长轴在x轴上，长轴长等于12，离心率等于；（2）椭圆经过点（﹣6，0）和（0，8）；（3）椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1，（m，n＞0），由题意代入点（﹣6，0）和（0，8），解方程即可得到椭圆方程；（3）讨论椭圆的焦点的位置，由题意可得a﹣c=4，a+c=10，解方程可得a，c，再由a，b，c 的关系解得b，即可得到椭圆方程．解答：解：（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得，2a=12，e=，即有a=6，=，即有c=4，b===2，即有椭圆方程为+=1；（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1，（m，n＞0），由题意代入点（﹣6，0）和（0，8），可得36m+0=1，且0+64n=1，解得m=，n=，即有椭圆方程为+=1；（3）当焦点在x轴上时，可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得a﹣c=4，a+c=10，解得a=7，c=3，b==2，即有椭圆方程为+=1；同理，当焦点在y轴上时，可得椭圆方程为+=1．即有椭圆方程为+=1或+=1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的方程的正确设法，以及椭圆性质的运用，属于基础题．20．如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．（1）求证：AM⊥平面EBC；（2）求直线AB与平面EBC所成角的大小．考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（1）建立空间直角坐标，利用向量法证明线面垂直．（2）利用向量法求线面角的大小．解答：解：∵四边形ACDE是正方形，所以EA⊥AC，AM⊥EC，∵平面ACDE⊥平ABC，∴EA⊥平面ABC，∴可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．设EA=AC=BC=2，则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），∵M是正方形ACDE的对角线的交点，∴M（0，1，1） (3)=（0，1，1），=（0，2，0）﹣（0，0，2）=（0，2，﹣2），=（2，2，0）﹣（0，2，0）=（2，0，0），∴，，∴AM⊥EC，AM⊥CB，∴AM⊥平面EBC．…（5分）（2）∵AM⊥平面EBC，∴为平面EBC的一个法向量，∵=（0，1，1），=（2，2，0），∴cos．∴=60°．∴直线AB与平面EBC所成的角为30°．…（12分）点评：本题主要考查向量法证明线面垂直以及利用向量法求线面角的大小，运算量较大．21．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点D（2，0）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．考点：轨迹方程；椭圆的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设椭圆方程为，根据题意可得a=2且c=，从而b==1，得到椭圆的标准方程；（2）设点P（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），根据中点坐标公式将x0、y0表示成关于x、y的式子，将P（x0，y0）关于x、y的坐标形式代入已知椭圆的方程，化简整理即可得到线段PA的中点M的轨迹方程．解答：解：（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程是∵椭圆经过点D（2，0），左焦点为，∴a=2，，可得b==1因此，椭圆的标准方程为．（2）设点P的坐标是（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），由根据中点坐标公式，可得，整理得，∵点P（x0，y0）在椭圆上，∴可得，化简整理得，由此可得线段PA中点M的轨迹方程是．点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆方程并求与之有关的一个轨迹方程，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和轨迹方程的求法等知识点，属于中档题．22．已知圆C：x2+y2=4和直线l：3x+4y+12=0，点P是圆C上的一动点，直线与坐标轴的交点分别为点A、B，（1）求与圆C相切且平行直线l的直线方程；（2）求△PAB面积的最大值．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）根据题意设所求方程为3x+4y+a=0，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离d=r求出a的值，即可确定出所求直线方程；（2）当直线与AB平行，且与圆相切时，△PAB面积的最大值，如图所示，求出|AB|与|MN|的长，即可确定出△PAB面积的最大值．解答：解：（1）设所求直线方程为3x+4y+a=0，由题意得：圆心（0，0）到直线的距离d=r，即=2，解得：a=±10，则所求直线方程为3x+4y±10=0；（2）当直线与AB平行，且与圆相切时，△PAB面积的最大值，此时直线方程为3x+4y﹣10=0，∵点C到直线AB的距离||=，CM=2，∴|MN|=+2=，∵A（﹣4，0），B（0，3），即OA=4，OB=3，∴|AB|=5，则△PAB面积最大值为×5×=11．点评：此题考查了直线与圆的方程的应用，涉及的知识有：点到直线的距离公式，两直线平行时斜率的关系，以及直线与圆相切的性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．。
2014-2015学年第一学期期中试卷高二物理(文科)
2014-2015学年第一学期期中试卷高二物理（文科）卷Ⅰ一、选择题（每小题3分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，共42分）1、根据电场线的模拟实验，描绘出了一个正电荷的电场线分布图，如图1所示。
设该电场中a 、b 两点的电场强度的大小分别为a E 、b E ，则a E 和b E 的关系为A ．a E =b EB ．a E <b EC ．a E >b ED ．无法确定2．已知两个点电荷相距为r 时，它们之间的静电力的大小为F ；当这两个点电荷间的距离变为2r 时，静电力的大小变为A ．2FB ．2FC ．4FD ．8F3、在国际单位制中，电容的单位是A ．法拉B ．焦耳C ．安培D ．伏特4、下列说法正确的是：A 、物体所带电荷量的最小值是1.6×10－19CB 、只有体积很小的带电体才能可以看作点电荷，体积很大的的带电体一定不是点电荷C、任何带电体都可以看作是点电荷D、电场线在电场中可能相交5．“电流通过导体产生的热量，跟电流的二次方、导体的电阻、通电时间成正比。
”这个规律用公式表示为Q=I2Rt这个物理学家是 A．麦克斯韦 B．奥斯特 C．法拉第 D．焦耳6．化纤衣服很容易沾上灰尘，这是因为它A. 容易积累静电荷B. 具有一定的粘性C. 具有大量的微孔D. 质地柔软7．下列用电器正常工作时，电流最接近200mA的是A. 学生用计算器B. 手电筒C. 家用空调器D. 电饭锅8．能源在“两型”社会的建设中有着重要的意义，节约用电应成为现代公民的行为准则。
下列用电方式中属于不科学、不合理地节约用电的是A. 家电尽量不要长时间待机B. 用节能灯替换白炽灯C. 楼道、走廊照明灯采用声、光控制D. 长期不清除冰箱内的冰、霜9．小亮家的卫生间按图2所示的电路安装了照明灯和换气扇，它们A．只能各自独立工作，而不能同时工作B．只能同时工作，而不能各自独立工作C ．工作时，两端的电压一定相等D ．工作时，通过的电流一定相等10．如图3所示，将一对磁性材料制成的弹性舌簧密封于玻璃管中，舌簧端面互叠，但留有间隙，就制成了一种磁控元件——干簧管，以实现自动控制。
河南省实验中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试卷(含解析)
河南省实验中学2022--2023学年上期月考试卷（时间：120分钟，满分：150分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目高二数学要求的。
1．已知空间向量=a 1,2,3)(，=-b m n ,1,)(，若∥a b ，则+=m n ( ) A ．-2B ．-1C ．1D ．22．若异面直线l l ,12的方向向量分别是=--=a b (0,2,1),(2,0,4)，则异面直线l 1与l 2的夹角的余弦值等于( ) A ．52 B ．-52 C． D3．设向量a b c ,,不共面，则下列可作为空间的一个基底的是( )A ．+++a b b c c a ,,}{B ．---a b b c c a ,,}{C ．+++a b c a b c ,,}{D ．-++--+a b c a b c a b c ,,3}{4．已知直线l的方程为-=∈ααx R sin 10,，则直线l 的倾斜角范围是( )A ．⎝⎦⎣⎭⎥⎢ ⎪⎛⎤⎡⎫πππ330,,2 B ．⎣⎦⎣⎭⎢⎥⎢⎪⎡⎤⎡⎫πππ660,,5 C ．⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫πππ660,,5 D ．⎣⎦⎣⎭⎢⎥⎢⎪⎡⎤⎡⎫πππ330,,25．在空间四边形OABC 中，===OA a OB b OC c ,,，点M 在OB 上，且=OM MB 3，N 为AC 的中点，则=NM ( )A ．-+-a b c 242131 B ．-++a b c 232121 C ．++a b c 242131 D ．-+a b c 2321216．已知A 3,1)(，B 1,2)(，若直线+-=x ay 20与线段AB 没有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．⎝⎭ ⎪-∞-+∞⎛⎫2(,1),1 B ．⎝⎭ ⎪-⎛⎫21,1 C ．-∞-+∞(,2)(1,) D ．-(2,1)7．直线--=ax y 210和直线-+=y x b 230平行，则直线=+y ax b 和直线y x 31的位置关系是( )A ．重合B ．平行C ．平行或重合D ．相交8．如图，在三棱柱-ABC A B C 111中，⊥AA 1底面ABC ，=AA 31，===AB AC BC 2，则AA 1与平面AB C 11所成角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．在棱长为2的正方体-ABCD A B C D 1111中，E F ,分别为棱AA BB ,11的中点，G 为棱A B 11上的一点，且=<<λλAG (02)1，则点G 到平面D EF 1的距离为( )A ．BC D10．已知直线+--=l kx y k :2401恒过点M ，点N 的坐标为(4,6)，直线=-l y x :12上有一动点P ，当+PM PN 取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．--55(,)27B ．55(,)1712C ．55(,)127D ．-55(,)2311．在棱长为1的正方体-ABCD A B C D 1111中，M N H ,,分别在棱BB BC BA ,,1上，且满足=BM BB 431，==BN BC BH BA 2211,，O 是平面B HN 1，平面ACM 与平面B BDD 11的一个公共点，设=++BO xBH yBN zBM ，则++=x y z 3( )A ．510 B ．512 C ．514 D ．51612．已知正方体-ABCD EFGH 棱长为2，M 为棱CG 的中点，P 为底面EFGH 上的动点，则下列说法正确的有( )个 ①存在点P ，使得+=AP PM 4； ②存在唯一点P ，使得⊥AP PM ；③当⊥AM BP ，此时点P④当P 为底面EFGH 的中心时，三棱锥-P ABM 的外接球体积为π29.A ．1B ．2C ．3D ．4 二.填空题:本大题共5小题，每小题5分，共20分.13．设12,e e 是空间两个不共线的向量，已知=+AB e ke 12，=+BC e e 5412，=--DC e e 212，且A B D ,,三点共线，实数=k _________．14．求经过点-A (5,2)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程为_________． 15．已知向量a ，b 满足=a 1,1,2)(，=b 2，且+=-a b a b 3．则+a b 在a 上的投影向量的坐标为_________.16．两条异面直线a b ,所成的角为60°，在直线a b ,上分别取点A E ,1和点A F ,使⊥AA a 1，且⊥AA b 1（称AA 1为异面直线a b ,的公垂线）．已知===A E AF EF 2,3,51，则线段AA 1的长为_________．三.解答题:本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本题满分10分）如图，在正方体-ABCD A B C D 1111中， E 为BB 1的中点．（1）求证：BC //1平面AD E 1；（2）求直线AA 1与平面AD E 1所成角的正弦值18．（本题满分12分）已知△ABC 的顶点A 1,2)(，AB 边上的中线所在直线的方程为+=x y 30，AC边上的高BH 所在直线的方程为--=x y 2340． （1）求点B C ,的坐标； （2）求△ABC 的面积．19．（本题满分12分）已知在△ABC 中，角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，满足-+=-ππA A 664sin()sin()51．（1）求角A 的大小；（2）若△ABC 为锐角三角形，=a 1，求△ABC 周长的取值范围．20．（本题满分12分）已知直线l 过两直线-=l x y :201，+-=l x y 25:02的交点P ，且分别交x 轴、y 轴的正半轴于A B ,两点．（1）若直线l 与++=x y 3450垂直，求直线l 的方程； （2）当⋅PA PB 取最小值时，求出最小值及直线l 的方程．21．（本题满分12分）如图所示，在直三棱柱-ABC A B C 111中，底面是等腰直 角三角形，∠=︒ACB 90，侧棱==AA CA D 2,2,1是CC 1的中点，试问在A B 1上是否存在一点E （不与端点重合），使得点A 1到平面AED ？22．（本题满分12分）已知四棱锥-P ABCD ，底面ABCD 为菱形，=PD PB ，H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M N ,，且BD //平面AMHN .（1）证明：⊥MN PC ；（2）当H 为PC 的中点，==PA PC ，PA 与平面ABCD 所成的 角为60，求平面PAM 与平面AMN 所成的锐二面角的余弦值.河南省实验中学2022--2023学年上期月考答案高二数学 参考答案12. 【详解】以D 为原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D -xyz ． A （2，0，0），M （0，2，1），设P 点坐标为（x ，y ，2）（,x y R ∈），()2,,2AP x y =-，(),2,1PM x y =---为求AP PM +的最小值，找出点A 关于平面EFGH 的对称点， 设该点为1A ，则1A 点坐标为()2,0,4∴14AP PM A M +≥=>，故A 选项错误．由AP PM ⊥可得()()2222022201101AP PM x x y y x y x y ⋅=⇒-+-+=⇒-+-=⇒==，故B 选项正确．AM BP ⊥，即0AM BP ⋅=，此时由点P 坐标为(),,2x y 得到()()222220x y --+-+=1y x ⇒=-点P 轨迹是连接棱EF 中点与棱EH 中点的线段，其长度为线段HF C 选项正确．当P 为底面EFGH 的中心时，由B 选项知AP PM ⊥．易得AB BM ⊥．∴外接球球心为棱AM 的中点，从而求得球半径为1322AM =．92V π=，故D 选项正确．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13. 1 14．2x +5y ＝0或x +2y +1＝0 15．33,22⎛ ⎝⎭16三.解答题:本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为1BB 的中点．（1）求证：1//BC 平面1AD E ；（2）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值解：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B 且11AB A B =，1111//A B C D 且1111A B C D =，11//AB C D ∴且11AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，1BC ⊄平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ；4分（2）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()12,0,2D 、()0,2,1E ，()12,0,2AD =，()0,2,1AE =， 6分设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z =，由100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，8分令2z =-，则2x =，1y =，则()2,1,2n =-. 设直线1AA 与平面1AD E 所成的线面角为θ11142sin =cos ,323n AA n AA n AA θ⋅<>==-=-⨯⋅. 9分 因此，直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23. 10分18．（本题满分12分）已知ABC △的顶点()1,2A ，AB 边上的中线所在直线的方程为30x y +=，AC 边上的高BH 所在直线的方程为2340x y --=． （1）求点,B C 的坐标；（2）求ABC △的面积．解：（1）设点(),B a b ，因为B 在直线BH 上，所以2340a b --=， ①又A ，B 的中点为12,22a b D ++⎛⎫⎪⎝⎭，且点D 在AB 的中线上，所以123022a b +++⨯=， ②2分 联立①②，得12a b =-⎧⎨=-⎩，即点()1,2B --．由题意，得1AC BH k k ⋅=-，所以32AC k =-，所以AC 所在直线的方程为32(1)2y x -=--，即3270x y +-=， ③ 4分因为点C 在AB 边上的中线上，所以点C 的坐标满足直线方程30x y +=， ④ 联立③④，得31x y =⎧⎨=-⎩，即()3,1C -． 6分（2）由（1）得AC == 8分B 到直线AC 的距离为d ==， 10分所以172ABC S ==△，故ABC 的面积为7． 12分19．（本题满分12分）已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足51sin()sin()664A A ππ-+=-．（1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆为锐角三角形，1a =，求ABC ∆周长的取值范围．解：（1）因为51sin()sin()664A A ππ-+=-，所以111cos )(cos )224A A A A -+=-， 2分22311cos sin cos 444A A A A --=-，所以3112(1cos 2)(1cos 2)4884A A A ---+=-，整理可得112cos 2444A A +=，4分 所以可得1sin(2)62A π+=，因为(0,)A π∈，可得2(66A ππ+∈，13)6π，所以5266A ππ+=，可得3A π=． 6分（2）由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，且1a =，3A π=，所以b B =，c C =；所以21sin)1sin()]12sin()36a b c B C B B Bππ++=+=++-=++．因为ABC∆为锐角三角形，所以得2232BBπππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62Bππ<<．10分所以(12sin()16Bπ⎤++∈+⎦，即ABC∆周长的取值范围是(1⎤+⎦．12分20．（本题满分12分）已知直线l过两直线1:20l x y-=，2:25l x y+-=的交点P，且分别交x轴、y轴的正半轴于,A B两点．（1）若直线l与3x+4y+5＝0垂直，求l的直线方程；（2）当PA PB⋅取最小值时，求出最小值及直线l的方程．解：（1）(2,1)P，2分由题意设l方程为430x y m-+=，4分将(2,1)P代入，得l方程为4350x y--=6分（2）可知211a b+=,02aba∴=>-,则2a>, 8分||||PA PB∴⋅分4≥=10分(当且仅当221(2)=(2)aa--,即3a=时取等号). 11分||||PA PB∴⋅的最小值为4，此时直线l的截距式方程为133x y+=. 12分21．（本题满分12分）．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C-中，底面是等腰直角三角形，90ACB∠=︒，侧棱12,2,AA CA D==是1CC的中点，试问在1A B上是否存在一点E（不与端点重合），使得点1A到平面AED的距离为解：如图以点C 为坐标原点，1,,CA CB CC 所在直线为x 轴，y 轴和z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则1(2,0,0),(2,0,2),(0,0,1),(0,2,0)A A D B ， 2分 设()1(0,1)BA BE λλ=∈，则(2,2(1),2)E λλλ-． 4分又(2,0,1),(2(1),2(1),2)AD AE λλλ=-=--，设(,,)n x y z =为平面AED 的法向量，则·0·0n AD n AE ⎧=⇒⎨=⎩()()20212120x z x y z λλλ-+=⎧⎨-+-+=⎩6分 取1x =，则13,21y z λλ-==-， 即13121n λλ-⎛⎫=⎪-⎝⎭，，， 8分 由于1·263AA n d n==，9=，又()01λ∈，，解得12λ=，11分所以，存在点E 且当点E 为1A B 的中点时，1A 到平面AED . 12分22．（本题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =，H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN .（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，PA PC ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60，求平面PAM 与平面AMN 的所成的锐二面角的余弦值. （1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点， 因为PD PB =，所以PO BD ⊥， 因为ACPO O =且AC PO ⊂、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，2分因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥．因为//BD 平面AMHN ， BD ⊂平面PBD ，且平面AMHN平面PBD MN =，所以//BD MN ，所以MN PC ⊥．4分（2）解：由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥，因为PA PC =，且O 为AC 的中点，所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠， 5分所以1,22AO PA PO PA ==，因为PA =，所以6BO PA =． 6分 分别以OA ， OB ， OP 为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设2PA =，则()()()(10,0,0,1,0,0,,1,0,0,0,,,2O A B C D P H ⎛⎫⎛⎫⎛-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以(233330,,0,,0,,1,,0,1,0,33223D B A H A B A P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．7分 记平面AMHN 的法向量为()1111,,n x y z =，则1111123033022n DB y n AH x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，令10x =，则110,y z ==(1n =，8分 记平面PAB 的法向量为()2222,,n xy z =，则2222220n AB x y n AP x ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩， 令21x =，则223y z ==，所以2n ⎛= ⎝⎭， 10分 记平面PAM 与平面AMN 所成的锐二面角为θ，则12121239cos cos ,13n n n n n n θ⋅===⋅． 所以平面PAM 与平面AMN 12分。
河南省实验中学2015届高三上学期期中考试 数学(文)
河南省实验中学2014——2015学年上期期中试卷高三 文科数学（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合}{12A x x =<<，}{B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围是 ( ) A ．}{2a a ≤ B ．}{1a a ≤ C ．}{1a a ≥ D ．}{2a a ≥ 2．函数2(44)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值是 （ ）A ． 4B ．13或C ．3D ．13．若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥ B ．若m αγ=，m n ∥，则αβ∥C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥ 4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若59355,9a Sa S ==则 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．已知变量x 、y 满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则y x 的取值范围是 ( )A ．9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[)9,6,5⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．(][),36,-∞+∞D ．[]3,66．1e →、2e →是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke →→→=-，122CB e e →→→=+，123CD e e →→→=-，若D B A ,,三点共线，则k 的值是 （ ）A ．1B ．2C ． 1-D ．2-7．已知函数)0(cos sin 3)(>+=ωωωx x x f ，)(x f y =的图像与直线2=y 的两个相邻交点的距离等于π，则)(x f 的一条对称轴是 （ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．6x π=-D ．6x π=B ．如果命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题.C ．若命题p ：2,10x R x x ∃∈-+<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≥；D ．“1sin 2θ=”是“30θ=︒”的充分不必要条件； 10．已知函数()sin(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象 ( )A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度11．函数()f x 在定义域R 上的导函数是()f x '，若()()2f x f x =-，且当(),1x ∈-∞时，()()10x f x '-<，设()0a f =、b f =、()2log 8c f =，则 ( )A ．a b c <<B ．a b c >>C ．c a b <<D ．a c b <<12．若定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，()f x x =，则函数3()log y f x x =-的零点个数是 ( )A ．0B ．2C ．4D ．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．如果函数()f x 的图象与函数1()()2xg x =的图象关于直线y x =对称，则2(3)f x x -的单调递减区间是14．已知tan()3,tan()2,tan 4παβαβ+=+==那么15．,0cos 420,()log ,0x a a x a f x x x ⎧<==⎨≥⎩函数，则211()(log 46f f +的值等于16. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时写出证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知向量)3,cos 2(2x a =→-，)2sin ,1(x b =→-，函数→-→-⋅=b a x f )(． （Ⅰ）求函数()f x 的对称中心；（Ⅱ）在∆ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3)(=C f ，1=c ，32=ab ，且b a >，求b a ,的值．18．（本小题满分12分）为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C 万元与隔热层厚度x cm 满足关系：()35kC x x =+(010x ≤≤，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（I ）求k 的值及()f x 的表达式；（II ）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小？并求最小值．19．（本小题满分12分）直三棱柱11154ABC A BC AB AC -==中，，， 134BC AA ==，，D 是AB 的中点． （Ⅰ）求证：1AC BC ⊥； （Ⅱ）求证：11AC B CD 平面． 20．（本小题满分12分）数列}{n b 满足：.221+=+n n b b ，,1n n n a a b -=+且122,4a a ==（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列}{n a 的前n 项和n S . 21．（本小题满分12分）已知函数)(ln )(R a xxa x f ∈+=（Ⅰ）若4=a ，求曲线)(x f 在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数)(x f 的图象与函数1)(=x g 的图象在区间],0(2e 上有公共点，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.（本题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲如图,已知四边形ABCD 内接于O ,且AB 是O 的直径, 过点D 的O 的切线与BA 的延长线交于点M .（I ）若MD 6=，MB 12=，求AB 的长； （II ）若AM AD =，求DCB ∠的大小.23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 已知椭圆C 的极坐标方程为θθρ222sin 4cos 312+=，点12F F 、为其左，右焦点，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22222( t t R ∈为参数，)． （I ）求直线l 和曲线C 的普通方程；（II ）求点12F F 、到直线l 的距离之和.24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数a x a x x f -+-=2)(,a ∈R ,0a ≠．（I ）当1=a 时,解不等式: ()2f x >；（II ）若b ∈R 且0≠b ,证明：()()f b f a ≥，并说明等号成立时满足的条件。
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河南省实验中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为（）A．a n=2n﹣1 B．a n=（﹣1）n（1﹣2n）C．a n=（﹣1）n（2n﹣1）D．a n=（﹣1）n（2n+1）2．（5分）不等式的解集是（）A．{x|x＞1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞1或x＜0} D．{x|0＜x＜1}3．（5分）等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于（）A．66 B．99 C．144 D．2974．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=18，b=24，A=45°，则这样的三角形有（）A．0个B．两个C．一个D．至多一个5．（5分）原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜0或a＞2 B．a=0或a=2 C．0＜a＜2 D．0≤a≤26．（5分）如果数列{a n}的前n项和S n=2n﹣1，那么这个数列（）A．是等差数列但不是等比数列B．是等比数列但不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列又不是等比数列7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=4x+3y的最大值是（）A．7B．8C．9D．108．（5分）已知数列{a n}，满足a n+1=，若a1=，则a2014=（）A．B．2C．﹣1 D．19．（5分）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b，则＞D．若a＞b＞0，则＞10．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项的和，a1=﹣2014，，则S2014的值为（）A．﹣2013 B．﹣2014 C．2013 D．201411．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin（A﹣B）=3sin2B．若，则=（）A．B．3C．或3 D．3或12．（5分）命题p：函数y=lg（x+﹣3）在区间则前9项的和S9=9×19+×（﹣2）=99．故选B．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=18，b=24，A=45°，则这样的三角形有（）A．0个B．两个C．一个D．至多一个考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由a，b，sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，利用三角形边角关系及正弦函数的性质判断即可得到结果．解答：解：∵在△ABC中，a=18，b=24，A=45°，∴由正弦定理=得：sinB===＞，∵a＜b，∴A＜B，∴B的度数有两解，则这样的三角形有两个．故选：B．点评：此题考查了正弦定理，正弦函数的性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．5．（5分）原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜0或a＞2 B．a=0或a=2 C．0＜a＜2 D．0≤a≤2考点：二元一次不等式的几何意义；二元一次不等式（组）与平面区域．专题：计算题．分析：因为原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，所以（﹣a）•（1+1﹣a）＜0，由此能求出a的取值范围．解答：解：因为原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，所以（﹣a）•（1+1﹣a）＜0，解得0＜a＜2，故选C．点评：本题考查二元一次不等式的几何意义，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．6．（5分）如果数列{a n}的前n项和S n=2n﹣1，那么这个数列（）A．是等差数列但不是等比数列B．是等比数列但不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列又不是等比数列考点：等比关系的确定；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：根据条件，利用a n=S n﹣S n﹣1，n≥2，求出数列的通项公式，然后根据通项公式进行判断即可．解答：解：当n≥2时，，当n=1时，a1=S1=2﹣1=1，满足a n，∴数列{a n}的通项公式为为公比为2的等比数列，不是等差数列．故选：B．点评：本题主要考查数列通项公式的计算，利用a n=S n﹣S n﹣1，n≥2是解决本题的关键．7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=4x+3y的最大值是（）A．7B．8C．9D．10考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义利用数形结合即可得到结论．解答：解：由约束条件作出其所确定的平面区域（阴影部分），平移直线z=4x+3y，由图象可知当直线z=4x+3y经过点A时，目标函数z=4x+3y取得最大值，由，解得，即A（），即z=4××3=9，故z的最大值为9．故选：C．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．要求熟练掌握常见目标函数的几何意义．8．（5分）已知数列{a n}，满足a n+1=，若a1=，则a2014=（）A．B．2C．﹣1 D．1考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件，分别令n=1，2，3，4，利用递推思想依次求出数列的前5项，由此得到数列{a n}是周期为3的周期数列，由此能求出a2014．解答：解：∵数列{a n}，满足a n+1=，a1=，∴a2==2，a3==﹣1，a4==，，∴数列{a n}是周期为3的周期数列，∵2014÷3=671…1，∴a2014=a1=．故选：A．点评：本题考查数列的第2014项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用．9．（5分）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b，则＞D．若a＞b＞0，则＞考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：A．c=0时不成立；B．利用不等式的基本性质由a＜b＜0，可得a2＞ab＞b2；C．取a=﹣1，b=﹣2时，即可判断出；D．由a＞b＞0，可得＜．解答：解：A．c=0时不成立；B．∵a＜b＜0，∴a2＞ab＞b2，正确；C．取a=﹣1，b=﹣2时，=﹣1，=﹣，则＞不成立；D．若a＞b＞0，则＜，因此不正确．故选：B．点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．10．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项的和，a1=﹣2014，，则S2014的值为（）A．﹣2013 B．﹣2014 C．2013 D．2014考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：写出等差数列的前n项和，代入求得公差，然后再代入等差数列的前n项和得答案．解答：解：∵数列{a n}为等差数列，且a1=﹣2014，则，∴=﹣2014+1003d+2014﹣1002d=2，即d=2．∴=﹣2014．故选：B．点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinC+sin（A﹣B）=3sin2B．若，则=（）A．B．3C．或3 D．3或考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：计算题；解三角形．分析：根据三角形内角和定理与诱导公式，可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入题中等式并利用三角恒等变换化简，整理得cosB（sinA﹣3sinB）=0，可得cosB=0或sinA=3sinB．再由正弦定理与直角三角形中三角函数的定义加以计算，可得的值．解答：解：∵A+B=π﹣C，∴sinC=sin（π﹣C）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，又∵sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB，∴sinC+sin（A﹣B）=3sin2B，即（sinAcosB+cosAsinB）+（sinAcosB﹣cosAsinB）=6sinBcosB，化简得2sinAcosB=6sinBcosB，即cosB（sinA﹣3sinB）=0解之得cosB=0或sinA=3sinB．①若cosB=0，结合B为三角形的内角，可得B=，∵，∴A==，因此sinA=sin=，由三角函数的定义得sinA==；②若sinA=3sinB，由正弦定理得a=3b，所以=3．综上所述，的值为或3．故选：C点评：本题给出三角形角的三角函数关系式，求边之间的比值．着重考查了三角形内角和定理与诱导公式、三角恒等变换、三角函数的定义和正余弦定理等知识，属于中档题．12．（5分）命题p：函数y=lg（x+﹣3）在区间即8=ab+4，∴ab=4，∴a+b≥2=4，在a=b=2时是等号成立，∴a+b的最小值为4．故答案为：4点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．16．（5分）下列4个命题：①“如果x+y=0，则x、y互为相反数”的逆命题②“如果x2+x﹣6≥0，则x＞2”的否命题③在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的充分不必要条件④“函数f（x）=tan（x+φ）为奇函数”的充要条件是“φ=kπ（k∈Z）”其中真命题的序号是①②．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：对于①：先求得逆命题，再判断真假，由相反数的定义易知①正确；对于②：先求得否命题，再判断真假，结合二次不等式的解法易知其否命题为真；对于③：A＞30°，可以举一个反例否定即可；对于④：若为奇函数，则应有f（0）=0，能否得到φ=kπ；反之当φ=kπ时，判断是否有f（﹣x）=f（x）即可．解答：解：对于①：其逆命题是：如果x、y互为相反数，则x+y=0，显然正确；对于②：否命题是“如果x2+x﹣6＜0，则x≤2”，由x2+x﹣6＜0得﹣3＜x＜2，此时x≤2显然成立，故②为真；对于③：当A=150°时，sinA=，不满足结论，故③为假；对于④：当函数f（x）=tan（x+φ）为奇函数时，结合图象可知，当x=0时，f（0）=0或不存在，则应有φ=kπ或kπ+，k∈Z，故不满足充分性，故④错误．故答案为：①②．点评：本题综合考查了命题真假的判断方法，主要侧重于基础知识考查，难度并不大．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且acosC+c=b．（1）求角A的大小；（2）若bc=2，求边长a的最小值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（1）根据正弦定理与三角恒等变换公式化简题中的等式，可得sinC=cosAsinC，结合△ABC中sinC＞0算出cosA=，从而可得角A的大小；（2）根据基本不等式可得b2+c2≥2bc=4，由余弦定理算出a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣2，从而得出a2≥2，由此可得当且仅当b=c时，边a的最小值为．解答：解：（1）∵acosC+c=b，∴由正弦定理，得sinAcosC+sinC=sinB．∵在△ABC中，A+C=π﹣B，∴sinB=sin（π﹣B）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC+sinC=sinAcosC+cosAsinC，可得sinC=cosAsinC，又∵在△ABC中，sinC＞0，∴等式两边约去sinC，可得cosA=，结合A∈（0，π）可得A=；（2）∵在△ABC中，A=，bc=2，∴由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣2×2×cos=b2+c2﹣2，又∵b2+c2≥2bc，即b2+c2≥4，∴a2=b2+c2﹣2≥4﹣2=2，当且仅当b=c时等号成立．因此，当b=c=时，a2的最小值为2，可得边a的最小值为．点评：本题已知△ABC的边角关系，求角A的大小并在bc=2的情况下求边a的最小值．着重考查了三角恒等变换、正余弦定理和基本不等式等知识，属于中档题．18．（12分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．（1）求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式：＞0（c为常数）．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（1）由题意知1，b为关于x的方程ax2﹣3x+2=0的两根，由韦达定理可得方程组，解出即可；（2）不等式等价于（x﹣c）（x﹣2）＞0，按照对应方程的根2、c的大小关系分三种情况讨论可得；解答：解：（1）由题意知1，b为关于x的方程ax2﹣3x+2=0的两根，则，∴a=1，b=2．（2）不等式等价于（x﹣c）（x﹣2）＞0，所以：当c＞2时解集为{x|x＞c或x＜2}；当c=2时解集为{x|x≠2，x∈R}；当c＜2时解集为{x|x＞2或x＜c}．点评：该题考查一元二次不等式的解法，属基础题，深刻理解“三个二次”间的关系是解题关键．19．（12分）已知命题p：实数x满足﹣2≤1﹣≤2，命题q：实数x满足x2﹣2x+（1﹣m2）≤0（m＞0），若¬q是¬p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：先化简命题P，Q，再利用充分必要条件即可得出．解答：解：由，得﹣2≤x≤10，∴记A={x|p}={x|﹣2≤x≤10}．由x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）得1﹣m≤x≤1+m，记B={x|q}={x|1﹣m≤x≤1+m（m＞0）}．∵¬q是¬p的充分不必要条件，∴P是q的充分不必要条件，即P⇒q且q推不出P，∴A⊊B，要使A⊊B，又m＞0，则只需，∴m≥9．故所求实数m的取值范围是m≥9．点评：本题考查了命题之间的关系、充分必要条件，考查了推理能力，属于基础题．20．（12分）已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列的前n项和，求T n．考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式；数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）设公差为d，利用S4=14，且a1，a3，a7成等比数列，建立方程，即可求得首项与公差，从而可得数列{a n}的通项公式；（2）利用裂项法，可求数列的前n项和．解答：解：（1）设公差为d，则∵S4=14，且a1，a3，a7成等比数列∴4a1+6d=14，（a1+2d）2=a1（a1+6d）∵d≠0，∴d=1，a1=2，∴a n=n+1（2）=∴T n=﹣+﹣+…+==．点评：本题考查等差数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，且a=2csinA．（1）确定∠C的大小；（2）若c=，求△ABC周长的取值范围．考点：正弦定理；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：（1）把已知的等式变形为：=，并利用正弦定理化简，根据sinA不为0，可得出sinC的值，由三角形为锐角三角形，得出C为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；（2）由c及sinC的值，利用正弦定理列出关系式，得到a=2sinA，b=2sinB，表示出三角形的周长，将表示出a，b及c的值代入，由C的度数，求出A+B的度数，用A表示出B，把B 也代入表示出的周长，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值整理后，提取2再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据A 为锐角，得到A的范围，进而确定出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质求出此时正弦函数的值域，即可确定出周长的范围．解答：解：（1）由a=2csinA变形得：=，又正弦定理得：=，∴=，∵sinA≠0，∴sinC=，∵△ABC是锐角三角形，∴∠C=；（2）∵c=，sinC=，∴由正弦定理得：====2，即a=2sinA，b=2sinB，又A+B=π﹣C=，即B=﹣A，∴a+b+c=2（sinA+sinB）+=2+=2（sinA+sin cosA﹣cos sinA）+=3sinA+cosA+=2（sinAcos+cosAsin）+=2sin（A+）+，∵△ABC是锐角三角形，∴＜∠A＜，∴＜sin（A+）≤1，则△ABC周长的取值范围是（3+，3]．点评：此题考查了正弦定理，正弦函数的定义域与值域，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．22．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*）（1）求证：{}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（2）数列{b n}满足b n=（3n﹣1）•，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．考点：数列与不等式的综合；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*），可得=1+．变形为，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）可知：b n，利用“错位相减法”即可得出T n，利用不等式（﹣1），通过对n分为偶数与奇数讨论即可．解答：解：（1）由数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*），可得=1+．∴，∴{}是首项为，公比为3的等比数列，∴，化为．（2）由（1）可知：=，T n=+…+．…++，两式相减得﹣==．∴．∴（﹣1）n•λ＜+=4﹣．若n为偶数，则，∴λ＜3．若n为奇数，则，∴﹣λ＜2，解得λ＞﹣2．综上可得﹣2＜λ＜3．点评：熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式、“错位相减法”、分类讨论的思想方法等是解题的关键．。