2018届苏教版(文) 函数模型及其应用单元测试

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2018届苏教版函数与方程、函数模型及其应用单元测试

考点9 函数与方程、函数模型及其应用一、选择题1.（2016·湖北高考理科·Ｔ9）函数f （x ）=xcos x ²在区间[0,4]上的零点个数为（）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7【解题指南】本题考查函数零点的定义,转化成求方程根的个数问题. 本题考查基本不等式的应用,解答本题的关键把条件的左边通分利用基本不等式证明.【解析】选C.由方程xcos x ²=0在区间[0,4]上的解有10,x ，共6个零点. 2.（2016·湖北高考文科·Ｔ3）函数f(x)=xcos 2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【解题指南】解答本题可先求导数，转化成求方程根的个数问题，最后再利用方程与函数的思想求解.【解析】选D. f(x)=xcos 2x 是由y 1=x 与y 2=cos 2x,相乘构成的函数,当x=0时, y 1=0, y 2=1，此时f(x)=0,当0<x ≤2π时, y 1≠0, y 2=cos2x 有4个零点,此时f(x)=0有4个零点,综上所述f(x)=xcos 2x 有5个零点.选D.3.（2016·北京高考文科·Ｔ5）函数f （x ）＝x121x 2⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数为（）（A ）0 （B ）1（C ）2 （D ）3【解题指南】利用函数与方程思想，把函数的零点个数问题转化为方程解的个数问题，再转化为两个函数图象的交点个数问题.【解析】选B.函数f （x ）＝x121x 2⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数，是方程121()02x x -=的解的个数，是方程121()2xx =的解的个数，也就是函数12y x =与1()2x y =的图象的交点个数.在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.4.（2016·天津高考理科·Ｔ4）函数3()22x f x x =+-在区间（0,1）内的零点个数是（）(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【解题指南】先判断函数的单调性，再确定零点.【解析】选B.因为2()2ln 23x f x x '=+＞0，所以函数3()22x f x x =+-在（0,1）上递增，且(0)10210,(1)21210,f f =+-=-<=+-=>所以有1个x12y x=1()2x零点. 二、填空题5.（2016·福建高考理科·Ｔ15）对于实数a 和b ，定义运算“”：a b 22,,a a b a ba b b a b a b ⎧-≤*=⎨->⎩，设()(21)(fx x x=-*-1)(1)fx x x =-*-，且关于x 的方程为()()f x m mR =∈，恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ，则123x x x 的取值范围是_______．【解题指南】根据新定义，得到一个分段的二次函数式，通过图象找出三个实根的具体位置，同时运用根与系数的关系进行求解【解析】当x ≤0时, 2x-1≤x-1,则f(x)=(2x-1)(x-1)=(2x-1)2-(2x-1)(x-1)=2x 2-x, 当x>0时,2x-1>x-1,则f(x)=(2x-1)(x-1)=(x-1)2-(2x-1)(x-1)=-x 2+x. 可知当m ∈1(0,)4时,f(x)=m(m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1,x 2,x 3(x 1<x 2<x 3),其中,x 2,x 3是方程-x 2+x-m=0的根, x 1是方程2x 2-x-m=0的一个根,则23x x m =，1x所以123xxx 123xxx显然，该式随m 的增大而减小，因此，当m =0时，123m a x ()0x xx =；当12m =14时，123m i n()xx x ．【答案】0).三、解答题6.（2016·上海高考理科·T21）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7．（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向.（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？【解题指南】本题考查圆锥曲线中的抛物线知识，以及不等式中的均值不等式知识，更考查考生的识图能力.【解析】（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程24912xy =中，得P 的纵坐标y P =3.由|AP|=2949，得救援船速度的大小为949海里/时.由tan ∠OAP=730，得∠OAP=arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 730度.（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t .由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v .因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.7.（2016·湖南高考理科·Ｔ20）某企业接到生产3000台某产品的A ，B ，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1（单位：件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k （k 为正整数）.（1）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间.（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数Ｋ的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案. 【解析】（1）设完成A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为123(),(),(),Tx Tx Tx 由题设有 12323000100020001500(),(),(),6200(1)T x T x T x x x k x k x⨯====-+ 其中,,200(1)x k x k x -+均为1到200之间的正整数.（2）完成订单任务的时间为{}123()m a x (),(),(),f x T x T x T x =其定义域为 2000,.1x x x N k *⎧⎫<<∈⎨⎬+⎩⎭易知，12(),()T x T x 为减函数，3()T x 为增函数.注意到212()(),T x T x k=于是 ①当k=2时，12()(),T x T x = 此时 {}1310001500()m a x (),()m a x ,2003f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，由函数13(),()T x T x 的单调性知，当100015002003x x=-时()f x 取得最小值，解得4009x =.由于134002503004445,(44)(44),(45)(45),(44)(45)91113f T f T f f <<====<而. 故当44x =时完成订单任务的时间最短，且最短时间为250(44)11f =. ②当k >2时，12()(),T x T x >由于k 为正整数，故3k ≥，此时 150********=200-(1+k)x 200-(1+3)x 50-x ≥，记{}1375(),()m a x(),()50T x x T x T x xϕ==-易知()T x 为增函数，则{}13()m a x (),()fx T x T x ={}1m a x (),()T xT x ≥1000375()m a x ,50x x x ϕ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭. 由函数1(),()T x T x 的单调性知，当100037550x x=-时()x ϕ取得最小值，解得40011x =.由于14002502503752503637,(36)(36),(37)(37),119111311T T ϕϕ<<==>==>而此时完成订单任务的最短时间大于25011. ③当k<2时，12()(),T x T x <由于k 为正整数，故1k =，此时{}232000750()m a x(),()m a x ,.100f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭由函数23(),()T x Tx 的单调性知，当2000750100x x =-时()f x 取得最小值，解得80011x =.类似①的讨论.此时完成订单任务的最短时间为2509，大于25011.综上所述，当k=2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数分别为44,88,68.关闭Word 文档返回原板块。

【高三数学试题精选】2018高考数学一轮复习2.12函数模型及其应用讲练测(江苏版有答案)

2018高考数学一轮复习2.12函数模型及其应用讲练测(江
苏版有答案）
5 专题212 函数模型及其应用
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________
(满分100分，测试时间50分钟)
一、填空题请把答案直接填写在答题卡相应的位置上(共10题，每小题6分，共计60分)．
1 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________
【答案】30 000，此时最大值是当x=30时，Qax=1 800×30-30 000=24 000(元);
②当30＜x≤75时，=1 800-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】某科研小组研究发现一棵水蜜桃树的产量（单位百千克）与肥料费用（单位百元）满足如下关系，且投入的肥料费用不超过5百元此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位百元）（1）求利润函数的函数关系式，并写出定义域；
（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）见解析（2）当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元
5。

江苏专用2018版高考数学专题温习专题2函数概念与大体初等函数第14练函数模型及其应用练习文

（江苏专用）2018版高考数学专题温习专题2 函数概念与大体初等函数第14练函数模型及其应用练习文1．(2016·扬州模拟)为了爱惜环境，进展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采纳了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每一个月的处置量最少为400吨，最多为600吨，月处置本钱y (元)与月处置量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为：y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处置一吨二氧化碳取得可利用的化工产品价值为100元．该单位每一个月可否获利？若是获利，求出最大利润；若是不获利，则国家至少需要补助多少元才能使该单位不亏损？2．(2016·广东江门一般高中调研测试)某农户建造一间背面靠墙的小房，已知墙面与地面垂直，衡宇所占地面是面积为12 m 2的矩形，衡宇正面每平方米的造价为1 200元，衡宇侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5 200元．若是墙高为3 m ，且不计衡宇背面和地面的费用，问如何设计衡宇能使总造价最低？最低总造价是多少？3．(2016·镇江模拟)经市场调查，某商场的一种商品在过去的一个月内(以30天计)销售价钱f (t )(元)与时刻t (天)的函数关系近似知足f (t )＝100(1＋k t)(k 为正常数)，日销售量g (t )(件)与时刻t (天)的函数关系近似知足g (t )＝125－|t －25|，且第25天的销售金额为13 000元．(1)求实数k 的值；(2)试写出该商品的日销售金额w (t )关于时刻t (1≤t ≤30，t ∈N )的函数关系式；(3)该商品的日销售金额w (t )的最小值是多少？4．某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品别离在国内和国外上市销售，而且价钱依照销售情形不断进行调整，结果40天内全数销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)别离是国外和国内市场的日销售量与上市时刻的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时刻的关系．(1)别离写出国外市场的日销售量f (t )与上市时刻t 的关系及国内市场的日销售量g (t )与上市时刻t 的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有无可能恰好等于6 300万元？如有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．答案精析1．解设该单位每一个月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为400≤x ≤600，因此当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每一个月至少补助40 000元，才能不亏损．2．解设衡宇地面长为y m ，宽为x m ，总造价为z 元(x ，y ，z ＞0)，则xy ＝12，z ＝3y ×1 200＋2×3x ×800＋5 200.∵y ＝12x， ∴z ＝12×3 600x＋4 800x ＋5 200. ∵x ＞0，y ＞0，∴z ≥212×3 600x ×4 800x ＋5 200＝34 000. 当12×3 600x＝4 800x ，即x ＝3时，z 取最小值，最小值为34 000元．答当衡宇地面长为4 m ，宽为3 m 时，总造价最低，最低总造价为34 000元．3．解 (1)由题意得f (25)·g (25)＝13 000，即100(1＋k 25)·125＝13 000，解得k ＝1. (2)w (t )＝f (t )·g (t )＝100(1＋1t)(125－|t －25|) ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 100t ＋100t ＋101，1≤t ＜25，t ∈N ，100149＋150t －t ，25≤t ≤30，t ∈N .(3)①当1≤t ＜25时，因为t ＋100t≥20，因此当t ＝10时，w (t )有最小值12 100；②当25≤t ≤30时，因为150t－t 在[25,30]上单调递减，因此当t ＝30时，w (t )有最小值12 400.因为12 100＜12 400，因此当t ＝10时，该商品的日销售金额w (t )取得最小值为12 100元．4．解 (1)图①是两条线段，由一次函数及待定系数法，得f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ，0≤t ≤30，－6t ＋240，30＜t ≤40.图②是一个二次函数的部份图象，故g (t )＝－320t 2＋6t (0≤t ≤40)．(2)每件样品的销售利润h (t )与上市时刻t 的关系为h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3t ，0≤t ≤20，60，20＜t ≤40.故国外和国内的日销售利润之和F (t )与上市时刻t 的关系为F (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ，0≤t ≤20，60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ，20＜t ≤30，60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋240，30＜t ≤40.当0≤t ≤20时，F (t )＝3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ＝－920t 3＋24t 2， ∴F ′(t )＝－2720t 2＋48t ＝t ⎝⎛⎭⎪⎫48－2720t ≥0， ∴F (t )在[0,20]上是增函数，∴F (t )在此区间上的最大值为F (20)＝6 000＜6 300.当20＜t ≤30时，F (t )＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t . 由F (t )＝6 300，得3t 2－160t ＋2 100＝0，解得t ＝703(舍去)或t ＝30. 当30＜t ≤40时，F (t )＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋240. 由F (t )在(30,40]上是减函数，得F (t )＜F (30)＝6 300.故国外和国内的日销售利润之和能够恰好等于6 300万元，为上市后的第30天．。

高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数 3.4.2 函数模型及其应用学业分层测评苏教版必修1

2018版高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.4.2 函数模型及其应用学业分层测评苏教版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.4.2 函数模型及其应用学业分层测评苏教版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.4.2 函数模型及其应用(建议用时：45分钟）［学业达标］一、填空题1．一等腰三角形的周长为40,底边y是关于腰x的函数,它的解析式为________．【解析】由题意得2x＋y＝40，所以y＝40－2x。

∵y>0，∴40－2x〉0，∴x〈20。

又∵三角形两边之和大于第三边，∴错误!解得x〉10，∴10〈x〈20.【答案】y＝40－2x(10〈x<20)2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元）分别为L1＝5。

06x－0.15x2和L＝2x,其中x为销售量(单位:辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为2________万元．【解析】依题意可设甲地销售x辆,则乙地销售（15－x)辆，所以总利润S＝5。

06x－0.15x2＋2（15－x）＝－0.15x2＋3.06x＋30（x≥0)，所以当x＝10时,S＝45.6（万元）．max【答案】45。

63．图3。

4。

6中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(min)之间的函数关系图象，根据图象填空:通话2 min,需付电话费________元;通话5 min，需付电话费________元；如果t≥3 min，电话费y（元）与通话时间t(min）之间的函数关系式是________．图3.4.6【解析】由图知,通话2 min,需付电话费3。

(新)江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2_9函数模型及其应用教师用书理苏教

第二章函数概念与基本初等函数I 2.9 函数模型及其应用教师用书理苏教版1.几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数且a ≠0) 反比例函数模型f (x )＝kx＋b (k ，b 为常数且k ≠0)二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a ≠0)指数函数模型f (x )＝ba x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)幂函数模型f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)2.三种函数模型的性质函数性质y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的单调递增单调递增单调递增【知识拓展】 1.解函数应用题的步骤2.“对勾”函数形如f (x )＝x ＋a x(a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型： (1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减. (2)当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ，当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a . 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( √ )(2)幂函数增长比直线增长更快.( × ) (3)不存在x 0，使0x a <0nx <log a x 0.( × )(4)在(0，＋∞)上，随着x 的增大，y ＝a x(a >1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x a(a >0)的增长速度.( √ )(5)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( × )1.(教材改编)某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚270元，那么每台彩电原价是________元. 答案 2 250解析设每台原价是a 元，则a (1＋40%)·80% ＝a ＋270，解得a ＝2 250.2.(教材改编)某汽车油箱中存油22千克，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩油量y (千克)与流出时间x (分钟)之间的函数关系式为________. 答案 y ＝22－11100x (0≤x ≤200)解析流速为22200＝11100，x 分钟可流11100x ，则y ＝22－11100x (0≤x ≤200).3.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________________. 答案p ＋1q ＋1－1解析设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， ∴x ＝1＋p1＋q －1.4.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________. 答案 3解析设隔墙的长度为x (0<x <6)，矩形面积为y ，则y ＝x ×24－4x 2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，y 最大.5.(教材改编)有两个相同的桶，由甲桶向乙桶输水，开始时，甲桶有a L 水，t min 后，剩余水y L 满足函数关系y ＝a e－nt，那么乙桶的水就是y ＝a －a e－nt，假设经过5 min ，甲桶和乙桶的水相等，则再过________ min ，甲桶中的水只有a8 L.答案 10解析由题意可得，5 min 时，a e －5n＝12a ，n ＝15ln 2，那么ln 25et a ＝18a ，∴t ＝15，即再过10 min ，甲桶中的水只有a8L.题型一用函数图象刻画变化过程例1 某民营企业生产A 、B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图①所示；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②所示(单位：万元).分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式.解设投资为x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元. 由题意设f (x )＝k 1x (x ≥0)，g (x )＝k 2x (x ≥0). 由图①知f (1)＝14，∴k 1＝14.由图②知g (4)＝52，∴k 2＝54.∴f (x )＝14x (x ≥0)，g (x )＝54x (x ≥0).思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象. (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式.其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x (min)与通话费y (元)的关系如图所示.(1)分别求出通话费y 1、y 2与通话时间x 之间的函数关系式； (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.解 (1)设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B (300,35)，C (300，15)分别代入得k 1＝150，k 2＝120.∴y 1＝150x ＋29，y 2＝120x .(2)令y 1＝y 2，即150x ＋29＝120x ，得x ＝96623.当x ＝96623时，两种卡收费一致；当x ＜96623时，y 1＞y 2，即“如意卡”便宜；当x ＞96623时，y 1＜y 2，即“便民卡”便宜.题型二已知函数模型的实际问题例2 我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米2(W/m 2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L 1表示，它们满足以下公式：L 1＝10 lg II 0(单位为分贝，L 1≥0，其中I 0＝1×10－12，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答下列问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m 2，耳语的强度是1×10－10W/m 2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8W/m 2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I 的范围为多少？解 (1)由题意知树叶沙沙声的强度水平为L 2＝10 lg I 2I 0＝10 lg 1＝0(分贝)；耳语的强度水平为L 3＝10 lg I 3I 0＝10 lg102＝20(分贝)；恬静的无线电广播的强度水平为L 4＝10 lg I 4I 0＝10lg 104＝40(分贝).(2)由题意知0≤L 1<50，即0≤10lg I I 0<50，所以1≤I I 0<105，即1×10－12≤I <1×10－7.所以新建的安静小区的声音强度I 大于等于1×10－12W/m 2，同时小于1×10－7 W/m 2.思维升华求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题.(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg.(2)我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税.已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x 元(叫做税率x%)，则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为________.答案(1)19 (2)2解析(1)由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.(2)由分析可知，每年此项经营中所收取的附加税额为104·(100－10x)·70·x100，令104·(100－10x)·70·x100≥112×104，解得2≤x≤8.故x的最小值为2. 题型三构造函数模型的实际问题命题点1 构造二次函数模型例3 将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定________元. 答案 95解析设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)·[400－(x －90)·20]＝－20[(x －95)2－225].∴当x ＝95时，y 最大.命题点2 构造指数函数、对数函数模型例4 光线通过一块玻璃，强度要损失10%.设光线原来的强度为k ，通过x 块这样的玻璃以后强度为y .(1)写出y 关于x 的函数解析式；(2)至少通过多少块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的14以下？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)解 (1)光线通过1块玻璃后，强度y ＝(1－10%)k ＝0.9k ；光线通过2块玻璃后，强度y ＝(1－10%)·0.9k ＝0.92k ；光线通过3块玻璃后，强度y ＝(1－10%)·0.92k ＝0.93k ； ……光线通过x 块玻璃后，强度y ＝0.9xk . 故y 关于x 的函数解析式为y ＝0.9x k (x ∈N *). (2)由题意，得0.9xk <k4，即0.9x <14，两边取对数，得x lg 0.9<lg 14.因为lg 0.9<0，所以x >lg 14lg 0.9.又lg 14lg 0.9＝－2lg 22lg 3－1＝－0.602 00.954 2－1＝－0.602 0－0.045 8≈13.14，且x ∈N *，所以x min ＝14.故至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的14以下.命题点3 构造分段函数模型例 5 (2017·盐城质检)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/小时)解 (1)由题意可知当0≤x <20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，显然v (x )＝ax ＋b 在[20,200]上是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003，故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0≤x <20，13200－x ， 20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ， 0≤x <20，13x 200－x ， 20≤x ≤200，当0≤x <20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13[x ＋200－x 2]2＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立，所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时.思维升华构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.(1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，此人至少经过________小时才能开车.(精确到1小时)(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R 与门面经营天数x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则总利润最大时，该门面经营的天数是________. 答案 (1)5 (2)300解析 (1)设经过x 小时才能开车. 由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x ≥log 0.750.3≈4.19.∴x 最小为5. (2)由题意，总利润y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2－100x －20 0000≤x ≤400，60 000－100x x >400，当0≤x ≤400时，y ＝－12(x －300)2＋25 000，所以x ＝300时，y max ＝25 000，当x >400时，y ＝60 000－100x <20 000，综上，当该门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元.2.函数应用问题典例 (14分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 思维点拨根据题意，要利用分段函数求最大利润.列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论. 规范解答解 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－6x 2＋384x －40，[3分]当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－40 000x－16x ＋7 360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40. [5分](2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W (32)＝6 104；[8分]②当x >40时，W ＝－40 000x－16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600，当且仅当40 000x＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W 取最大值为5 760. [12分] 综合①②知，当x ＝32时，W 取得最大值6 104万美元.[14分]解函数应用题的一般程序第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.1.某商品定价为每件60元，不加收附加税时年销售量约80万件，若征收附加税，税率为p ，且年销售量将减少203p 万件.则每年征收的税金y 关于税率p 的函数关系为________.答案 y ＝60(80－203p )p解析征收附加税后年销售为(80－203p )万件，故每年征收的税金y ＝60(80－203p )p .2.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是________.答案①解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有①，③图象符合要求，而后3年年产量保持不变.3.(教材改编)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.答案9解析出租车行驶不超过3 km，付费9元；出租车行驶8 km，付费9＋2.15×(8－3)＝19.75元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，故出租车行驶里程超过8 km，且22.6－19.75＝2.85，所以此次出租车行驶了8＋1＝9 km.4.(2017·盐城月考)某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为________ m 3. 答案 13解析设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx 0<x ≤10，10m ＋x －10·2mx >10，则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13.5.(2016·北京朝阳区统一考试)设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数).公司决定从原有员工中分流x (0<x <100，x ∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产.分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是________. 答案 16解析由题意，分流前每年创造的产值为100t (万元)，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t ，则由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <100，x ∈N *，100－x1＋1.2x %t ≥100t ，解得0<x ≤503.因为x ∈N *，所以x 的最大值为16.6.(2016·南通模拟)某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元. 答案 43解析设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1(x －212)2＋0.1×2124＋32.因为x ∈[0,16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元.7.(2016·四川改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是________年.(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) 答案 2019解析设x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(1＋12%)x＝200，解得x ＝log 1.12200130＝lg 2－lg 1.3lg 1.12≈3.80，因资金需超过200万，则x 取4，即2019年.8.(2016·苏州模拟)某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt(其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝__________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个. 答案 2ln 2 1 024解析当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝12e k ，∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2，当t ＝5时，y ＝e10ln 2＝210＝1 024.9.(2016·淮安模拟)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m. 答案 20解析设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0<x <40)，当x ＝20时，S max ＝400.*10.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a ).这里，x 被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项.据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________. 答案5－12解析依题意得x ＝c －a b －a，(c －a )2＝(b －c )(b －a )， ∵b －c ＝(b －a )－(c －a )，∴(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )，两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0，解得x ＝－1±52.∵0<x <1，∴x ＝5－12.11.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q10(其中a 、b 是实数).据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a 、b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位. 12.经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t (天)的函数，且销售量近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N ).前30天价格为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格为g (t )＝45(31≤t ≤50，t ∈N ).(1)写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； (2)求日销售额S 的最大值. 解 (1)依题意得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2t ＋200⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋301≤t ≤30，t ∈N ，45－2t ＋20031≤t ≤50，t ∈N ，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋40t ＋6 0001≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 00031≤t ≤50，t ∈N .(2)①当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6 400， ∴当t ＝20时，S 取得最大值为6 400. ②当31≤t ≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9 000为递减函数，∴当t ＝31时，S 取得最大值为6 210.综上知，当t ＝20时，日销售额S 有最大值6 400.*13. (2016·常州模拟)某旅游景点2016年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似地满足p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12).已知第x 个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧35－2x x ∈N *，且1≤x ≤6，160xx ∈N *，且7≤x ≤12.(1)写出2016年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：人)与x 的函数关系式； (2)试问2016年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少万元？解 (1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x (41－2x ) ＝－3x 2＋40x ，验证x ＝1也满足此式，所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12). (2)第x 个月旅游消费总额为g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＋40x 35－2x x ∈N *，且1≤x ≤6，－3x 2＋40x ·160x x ∈N *，且7≤x ≤12，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6x 3－185x 2＋1 400x x ∈N *，且1≤x ≤6，－480x ＋6 400x ∈N *，且7≤x ≤12.①当1≤x ≤6，且x ∈N *时，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5或x ＝1409(舍去).当1≤x <5时，g ′(x )>0，当5<x ≤6时，g ′(x )<0，∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3 125(万元).②当7≤x ≤12，且x ∈N *时，g (x )＝－480x ＋6 400是减函数， ∴当x ＝7时，g (x )max ＝g (7)＝3 040(万元).综上，2016年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元.14.(2016·江苏扬州中学质检)某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30 km(忽略内、外环线长度差异).(1)当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10 min ，求内环线列车的最小平均速度；(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25 km/h ，外环线列车平均速度为30 km/h.现内、外环线共有18列列车投入运行，问：要使内、外环线乘客的最长候车时间之差最短，则内、外环线应各投入几列列车运行？解 (1)设内环线列车运行的平均速度为v km/h ，由题意可知309v ×60≤10⇒v ≥20.所以，要使内环线乘客最长候车时间为10 min ，列车的最小平均速度是20 km/h.(2)设内环线投入x 列列车运行，则外环线投入(18－x )列列车运行，设内、外环线乘客最长候车时间分别为t 1 min 、t 2 min ，则t 1＝3025x ×60＝72x ，t 2＝303018－x ×60＝6018－x.设内、外环线乘客的候车时间之差为t min ，于是有t ＝|t 1－t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪72x －6018－x＝⎩⎪⎨⎪⎧72x ＋60x －18，1≤x ≤9，x ∈N *，－72x ＋60x －18，10≤x ≤17，x ∈N *，该函数在(1,9)上递减，在(10,17)上递增.又t (9)>t (10)，所以当内环线投入10列列车运行，外环线投入8列列车运行时，内、外环线乘客最长候车时间之差最短.。

(江苏专用)2018年高考数学一轮复习第二章函数 2.6 函数模型及其应用课件

|x-01|+
2
|1-y|
= 1 -1 (y-x),又y-x1> ,∴|f(x)-f(y1)|<1 -1 1× = .
22
2
22 2 4
综上所述,对所有x,y∈[0,1],都有|f(x)-f(y)|< 1 .因此,k≥1 ,即k的最小值为1 .
4
4
4
3.(2013课标全国Ⅰ理,21,12分)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2. (1)求a,b,c,d的值; (2)若x≥-2时, f(x)≤kg(x),求k的取值范围.
t3
,B
3t 2
,.0
0,
3
000 t2
故f(t)=
32=t 2
3
,t0t20∈0 [52 ,2032].
t2
4 106 t4
②设g(t)=t2+ 41,则06 g'(t)=2t- .1令6g1'(0t6)=0,解得t=10 .
t4
t5
2
当t∈(5,10 2)时,g'(t)<0,g(t)是减函数;
解得n> 24 ,
5
又∵n∈N*, ∴n≥5, ∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.
5.(2015四川,13,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e
=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜

2017-2018学年高中数学(苏教版)一课时达标训练(二十二) 函数模型及其应用含解析

课时达标训练（二十二）函数模型及其应用一、填空题1．已知：则x，y a，b为待定系数）________．(1）y＝a＋bx（2）y＝a＋bx(3)y＝a＋log b x（4）y＝a·b x2．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的物质约是原来的错误!.经过________年，剩留的物质是原来的错误!.3．某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%）,仍可获利10％（相对进货价)，则该家具的进货价是________．4．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位:分钟)为f（x)＝错误!（A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________．5．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润（单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x,其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭（除燃料外）的质量m千克的函数关系式是v＝2 000·ln(1＋错误!）．当燃料质量是火箭质量的________倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒．二、解答题7．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0。

125万元和0。

5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；(2）该家庭有20万元资金,全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元?8．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是100错误!元．（1)求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a错误!元；(2）要使生产900千克该产品获得的利润最大,问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．9．医学上为研究某种传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测,病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表．已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将可杀死其体内病毒细胞的98％。

创新设计江苏专用2018版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.9函数模型及其应用课时作业理

第9讲　函数模型及其应用基础巩固题组(建议用时：40分钟) 一、填空题1．给出下列函数模型：①一次函数模型；②幂函数模型；③指数函数模型；④对数函数模型．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是________(填序号).x45678910y15171921232527解析　根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．答案　①2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是________(填序号)．解析　前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有①，③图象符合要求，而后3年年产量保持不变，总产量增加，故①正确，③错误．答案　①3．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．解析　设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20，B种方式对应的函数解析式为s＝k2t，当t＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝，t＝150时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10.答案　104．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.解析　设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得＝，解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，当x＝20时，S max＝400.答案　205．(2017·长春模拟)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y＝a e－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析　当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝a e－8b＝a，∴e－8b＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝a e－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min.答案　166．A，B两只船分别从在东西方向上相距145 km的甲乙两地开出．A从甲地自东向西行驶．B从乙地自北向南行驶，A的速度是40 km h，B 的速度是16 km h，经过________h，AB间的距离最短．解析　设经过x h，A，B相距为y km，则y＝＝(0≤x≤)，求得函数的最小值时x的值为.答案　7．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为________．解析　设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，则x年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均费用为y＝＝x＋＋1.5，由基本不等式得y＝x＋＋1.5≥2 ＋1.5＝21.5，当且仅当x＝，即x＝10时取等号．答案　108．(2016·四川卷改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2015年全年投入研发奖金130万元．在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是________(参考数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2＝0.30)．解析　设第x年的研发奖金为200万元，则由题意可得130×(1＋12%)x＝200，∴1.12x＝，∴x＝log1.12＝log1.1220－log1.1213＝－＝＝＝3.8.即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2019年超过200万元．答案　2019二、解答题9．(2016·江苏卷)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO1的4倍．(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解　(1)V＝×62×2＋62×2×4＝312(m3)．(2)设PO1＝x，则O1B1＝，B1C1＝·，∴SA1B1C1D1＝2(62－x2)，又由题意可得下面正四棱柱的高为4x.则仓库容积V＝x·2(62－x2)＋2(62－x2)·4x＝x(36－x2)．由V′＝0得x＝2或x＝－2(舍去)．由实际意义知V在x＝2(m)时取到最大值，故当PO1＝2 m时，仓库容积最大．10．(2017·南通模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解　(1)每吨平均成本为(万元)．则＝＋－48≥2 －48＝32，当且仅当＝，即x＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．(2)设年获得总利润为R(x)万元．则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000＝－＋88x－8 000＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)．∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴x＝210时，R(x)有最大值为－(210－220)2＋1 680＝1 660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．能力提升题组(建议用时：30分钟)11．(2017·南京调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n＝ax＋5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍．(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数的20%，且k≥3.问：P能否大于，说明理由．解　(1)依题意得y＝mkn＝mk(ax＋5)，x∈N*.(2)法一　依题意x＝0.2a，所以P＝＝＝＝≤＝≤＝<.P不可能大于.法二　依题意x＝0.2a，所以P＝＝＝＝.假设P>，则ka2－20a＋25k<0.因为k≥3，所以Δ＝100(4－k2)<0，不等式ka2－20a＋25k<0无解，假设不成立．P不可能大于.12．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x(单位：元，x>0)时，销售量q(x)(单位：百台)与x的关系满足：若x不超过20，则q(x)＝；若x大于或等于180，则销售量为零；当20≤x≤180时，q(x)＝a－b(a，b为实常数)．(1)求函数q(x)的表达式；(2)当x为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值．解　(1)当20≤x≤180时，由得故q(x)＝(2)设总利润f(x)＝x·q(x)，由(1)得f(x)＝当0<x≤20时，f(x)＝＝126 000－，又f(x)在(0,20]上单调递增，所以当x＝20时，f(x)有最大值120 000.当20<x<180时，f(x)＝9 000x－300·x，f′(x)＝9 000－450·，令f′(x)＝0，得x＝80.当20<x<80时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当80<x<180时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以当x＝80时，f(x)有最大值240 000.当x≥180时，f(x)＝0.综上，当x＝80元时，总利润取得最大值240 000元．13．(2017·苏北四市调研)如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝5 千米，BC＝8 千米，CD＝3 千米．现甲、乙两管理员同时从A地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/时．(1)若甲、乙两管理员到达D的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；(2)已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到D，且乙从A到D的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围．解　(1)由题意得AD＝12 千米，≤，解得≤v≤，故乙的速度v的取值范围是.(2)设经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t)．由于乙先到达D地，故<2，即v>8.①当0<vt≤5，即0<t≤时，f(t)＝(6t)2＋(vt)2－2×6t×vt×cos∠DAB＝t2.因为v2－v＋36>0，所以当t＝时，f(t)取最大值，所以×2≤25，解得v≥.②当5<vt≤13，即<t≤时，f(t)＝(vt－1－6t)2＋9＝(v－6)22＋9.因为v>8，所以<，(v－6)2>0，所以当t＝时，f(t)取最大值，所以(v－6)22＋9≤25，解得≤v≤.③当13≤vt≤16，即≤t≤时，f(t)＝(12－6t)2＋(16－vt)2因为12－6t>0,16－vt>0，所以f(t)在上单调递减，所以当t＝时，f(t)取最大值，2＋2≤25，解得≤v≤.因为v>8，所以8<v≤.综上所述，v的取值范围是.。

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第14课函数模型及其应用
A 应知应会
1.某种商品的进价为100元/件,按进价增加25%出售,后因库存积压降价,按九折出售,那么每件还获利元.
2.(2015·辽宁实验中学模拟)拟定从甲地到乙地通话m min的话费(单位:元)由f(m)=1.06(0.5[m]+1)给出,其中m>0,[m]是不超过m的最大整数(如[3]=3,[
3.7]=3,[3.1]=3),则从甲地到乙地通话6.5 min的话费为元.
3.已知产品生产件数x与成本y(单位:万元)之间的函数关系为y=3 000+20x-0.1x2.若每件产品的成本不超过25元,且每件产品用料6 t.现有库存原料30 t,旺季可进原料900 t,则旺季最高产量是.
4.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为可食用率.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:min)之间满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图,这是兴趣小组记录的三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为min.
(第4题)
5.已知某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200 kg,配料的价格为1.8元/kg,每次购买配料需支付运费236元.每次买回的配料还需支付保管费用,其标准如下:7天以内(含7天),无论重量多少,均按10元/天支付;超出7天以外的天数,根据实际剩余配料的重量,按每天0.03元/kg支付.
(1)当9天购买一次配料时,求该厂用于配料的保管费用P;
(2)若该厂x天购买一次配料,求该厂在这x天中用于配料的总费用y(单位:元)关于x的函数关系式.
6.某种海洋生物的身长f(t)(单位:m)与生长年限t(单位:年)满足如下的函数关系:f(t)=(设该生物出生时的时刻t=0).
(1)需经过多长时间,该生物的身长超过8 m?
(2)该生物出生后第3年和第4年各长了多少米?并据此判断,这两年中哪一年长得更快.
B 巩固提升
1.某公司在甲、乙两地销售同一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=5.06x-0.15x2,L2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在甲、乙两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为.
2.(2015·兖州模拟)某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增加10.4%,若经过x年可增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致是.(填序号)
①②③④
(第2题)
3.在养分充足的情况下,细菌的数量会以指数函数的方式增加.假设细菌A的数量每2 h可以增加为原来的2倍;细菌B的数量每5 h可以增加为原来的4倍.若现在养分充足,且一开始两种细菌的数量相等,要使细菌A的数量是B的数量的2倍,则需要的时间为.
4.如图,一位设计师在边长为3的正方形ABCD中设计图案,他分别以A,B,C,D为圆心,b为半径
画圆,由正方形内的圆弧与正方形边上的线段(圆弧端点在正方形边上的连线)构成了丰富多彩的图形,则这些图形中实线部分总长度的最小值为.
(第4题)
5.据环保部门测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源距离的平方成反比,比例常数为k(k>0).现已知相距18 km的A,B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a,b,它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和.设AC=x km.
(1)试将y表示为x的函数;
(2)若a=1,且当x=6时,y取得最小值,试求b的值.
6.近几年我国多地区遭遇了雾霾天气,引起口罩热销.某品牌口罩原来每只的成本为6元,售价为8元,月销售5万只.
(1)据市场调查,若每只的售价每提高0.5元,月销售量将相应减少0.2万只,要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润=月销售总收入-月总成本),则该口罩每只的售价最多为多少元?
(2)为提高月总利润,厂家决定下月进行营销策略改革,计划每只的售价为x(x≥9)元,并投入(x-9)万元作为营销策略改革费用.据市场调查,每只的售价每提高0.5元,月销售量将相应减少万只,则当每只的售价为多少元时,下月的月总利润最大?并求出下月最大总利润.
第14课函数模型及其应用
A 应知应会
1.1
2.5【解析】九折出售时每件价格为100×(1+25%)×90%=112.5(元),此时每件还获利112.5-100=12.5(元).
2. 4.24【解析】因为m=6.5,所以[m]=6,则f(m)=1.06×(0.5×6+1)=4.24.
3. 155件【解析】由题意得
⇒150≤x≤155.
4. 3.75【解析】由题意得
解得
所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2×(t-3.75)2+0.812 5,即当t=3.75时,p有最大值.故最佳加工时间为3.75 min.
5.【解答】(1)当9天购买一次配料时,该厂用于配料的保管费用P=70+0.03×200×(1+2)=88(元).
(2)①当1≤x≤7,x∈N时,y=360x+10x+236=370x+236.
②当x>7,x∈N时,y=360x+236+70+6[(x-7)+(x-8)+…+2+1]=3x2+321x+432.
所以y=
6.【解答】(1)令f(t)=≥8,
即2-t+4≤,解得t≥6,即该生物6年后身长可超过8 m.
(2)因为f(3)-f(2)=-=,f(4)-f(3)=-=,所以第3年长了m,第4年长了m.因为>,所以第4年长得快.
B 巩固提升
1.45.6万元【解析】设在甲地销售x辆,则在乙地销售(15-x)辆,则总利润L=L1+L2=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30=-0.15(x-10.2)2+45.606.因为x∈N*,所以当x=10时,获得最大利润L=-0.15×102+3.06×10+30=45.6(万元).
2.④【解析】设某林区的森林蓄积量原有1个单位,则经过1年森林的蓄积量为1+10.4%;经过2年森林的蓄积量为(1+10.4%)2;…;经过x年森林的蓄积量为(1+10.4%)x(x≥0),即y=1.104x(x≥0).底数1.104大于1,根据指数函数的图象,应填④.
3.10 h【解析】假设一开始两种细菌数量均为m,则由题意知经过x h后,细菌A的数量是f(x)=m·,细菌B的数量是g(x)=m·.令m·=2·m·,解得x=10.
4.3π【解析】由题意知实线部分的总长度l(b)=4(3-2b)+2πb=(2π-8)b+12,l是关于b的一次函数且一次项系数2π-8<0,故l(b)为减函数,因此,当b取最大值时,l(b)取得最小值.结合图形知b的最大值为,代入上式得l(b)min=(2π-8)×+12=3π.
5.【解答】(1)设点C受A污染源污染指数为,则点C受B污染源污染指数为,其中k为比例系数,且k>0.
从而点C处受污染指数y=+.
(2)因为a=1,所以y=+,
则y'=k,
令y'=0,得x=.
又此时x=6,解得b=8,经验证符合题意.
所以污染源B的污染强度b的值为8.
6.【解答】(1)设每只的售价为x元,则月销售量为万只.
由已知得(x-6)≥(8-6)×5,
所以x2-x+≤0,即2x2-53x+296≤0,解得8≤x≤,即每只的售价最多为18.5元.
(2)下月的月总利润为
y=(x-6)-
(x-9)
=-x+
=-x+
=-+.
因为x≥9,所以+≥2=,当且仅当=,即x=10时等号成立,所以y max=14.故当x=10时,下月的月总利润最大,且最大利润为14万元.。