数理方程复习指导(2009)

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数理方程复习要点摘要

2 2u 2u 2 u a ( 2 2) 2 t x y
或或
utt a 2 uxx
utt a2 (uxx uyy )
2 2u 2u 2u 2 u a ( 2 2 2) 2 t x y z
或
utt a2 (uxx uyy uzz )
Ay ( B B 2 AC ) x C 1 Ay ( B B 2 AC ) x C2
Ay Bx C1

返回
AC B 2 x C 2
退出
a 0 双曲型(波动) 方程
2
一维二维三维
2u 2u a2 2 t2 x
抛物型 uxx (2u u )x 2(2u u ) (2u u ) 4 2u 4u u 2u
x2 2 y C
x 2 2 y, x
uxy (2u u )y 2(2u u ) 4u 2u uyy (2u )y 2(2u ) 4u
退出
二阶线性偏微方程的一般形式
2u 2u 2u u u A 2 2B C 2 2D 2E Fu f ( x, t ) x xy y x y
双曲型方程椭圆型方程抛物型方程
A B AC B 2 0 B C A B AC B 2 0 B C A B B 2 AC 0 B C
X ( x ) X ( x ) 0 X (0) X ( L) 0
n 0,1, 2, 3,
2
X ( x ) X ( x ) 0 X (0) X ( L) 0
n 1, 2, 3,

数理方程总结复习及练习要点-V1

数理方程总结复习及练习要点-V1数理方程是整个数学中最为基础、也最为重要的一个分支。

在学习数学时，数理方程是必修课程之一。

但由于涉及到复杂的计算和具有一定的抽象性质，因此很多学生可能会感到难以掌握。

下面我们一起来总结复习及练习中的要点。

一、基本概念数理方程，又称代数方程，是指含有一个或多个未知量的式子，其中未知量是我们需要求解的。

数理方程主要包括一元一次方程、一元二次方程、多元线性方程组等。

二、重要公式复习数理方程需要掌握一些重要的公式，如求根公式、配方法、消元法等。

这些公式在解题时经常会用到，掌握它们有助于我们快速准确地解题。

三、解题技巧在解数理方程时，我们需要注意一些技巧。

例如：1. 整式变形：将不易求解的方程转化为易求解的方程，如配方法。

2. 对称性：通过利用数学上的对称性，简化计算。

3. 系数对应逐项相消：将一个数学表达式与另一个表达式逐项对应相消，简化计算过程。

四、常见误区在学习数理方程时，我们需要注意一些常见误区。

例如：1. 不认真阅读题目，以及不分析题目中的数据和条件，导致解题错误。

2. 没有掌握好基本概念和公式，导致做题准确性不高。

3. 对题目中的关键词理解不透彻，导致无法准确解题。

五、练习要点练习数理方程需要注意以下要点：1. 反复练习基本公式和解题技巧，多进行心算和口算练习。

2. 练习时要重视细节，注意避免因粗心大意而犯错。

3. 建立练习记录，对带有难度的题目进行整理分类，加强对知识点的掌握。

总之，无论是在学习还是练习中，都要保持认真、耐心、细致的态度。

只有不断地努力和积累，才能准确解出所有的数理方程。

数理方程复习讲解42页文档

26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
数理方程复习讲解
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美池桑竹之属，阡陌交通，鸡犬相闻。
▪
谢谢！
42

数理方程复习概要

数理方程复习概要许志奋1 绪论：重点掌握两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类和化简。

练习：化下列方程为标准型：（提示：1，双曲型不要写成双曲线；2，12a 的系数；3，双曲，椭圆，抛物型各如何作自变量变换）（1）037422222=∂∂+∂∂∂-∂∂y u y x u x u （2） 02222222=∂∂+∂∂∂+∂∂y u y x u a xu a （a 为常数）（3） 022222=∂∂+∂∂∂+∂∂yuy x u x u2 波动方程的初值问题与行波法：重点掌握以下几个方面的问题（1）能够推导并熟记一维波动方程的初值问题∞<<∞-==>∞<<∞-=x x x u x x u t x u a u t xx tt )()0,(),()0,(0,{2ψϕ 解的D ’Alembert 公式：u(x,t)=[]⎰+-+-++atx atx d a at x at x ξξψϕϕ)(21)()(21，练习：55P 1.(1)（2）能够运用齐次化原理求解如下初值问题∞<<∞-==>∞<<∞-+=x x x u x x u t x t x f u a u t xx tt )()0,(),()0,(0,),({2ψϕ 其解的表达式为： u(x,t)=[]⎰⎰⎰-+--+-++-++t t a x t a x at x at x d d f ad a at x at x 0)()(),(21)(21)()(21τττξτξξξψϕϕ 练习：55P . 4其次，对于半无界弦的振动问题，要能够根据所给的定解条件，对自由项f(x,t) 以及初始数据φ(x), ψ(x)作适当的奇延拓( u (0,t)=0 )或偶延拓(0),0(=t u x )，从而推出其解的表达式。

具体见教材4342P P -页。

练习：（i ） ⎪⎩⎪⎨⎧=∞<<==>∞<<+=0),0(0cos )0,(,sin )0,(0,02t u x x x u x x u t x xt u a u t xx tt（ii ）⎪⎩⎪⎨⎧=∞<<==>∞<<+=0),0(0cos )0,(,sin )0,(0,02t u x x x u x x u t x xt u a u xt xx tt（3）还要注意只由端点所引起的振动，其解为右行波的情形，即注3.1.2及3.1.3的情形。

数理方程总复习

达朗贝尔行波解
行波解的物理意义：
由任意初始扰动引起的自由振动弦总是以行波的形式向正、反两个方向传播出去，传播的速度恰好等于泛定方程中的常数 a ，这就是达朗贝尔公式的物理意义。达朗贝尔解表示正行波和反行波的叠加给出波动特性。
特点：基于波动特点；引入坐标变换简化方程求解，解的形式简单。缺点：适用范围窄，无界域的波动或相近问题。

utt a 2u xx f ( x, t ) u x, 0 x ut x, 0 x
I I utt a2uxx f ( x, t ) utt a2uxx 0 u |t 0 ( x) ＋ u |t 0 0 u t |t 0 0 u | ( x)
v(r, t ) ru(r, t )
vtt a vrr
2
从而：
v(r, t ) f1 (r at ) f 2 (r at )
v(r , t ) f1 (r at ) f 2 (r at ) u (r , t ) r r
代入边界条件得：
1 u ( M 0 , t0 ) 4 a t0
n 边
1 s 2 s 1 2 1 s 2 s
定解问题包括：初值问题：泛定方程＋初始条件边值问题：泛定方程＋边界条件混合问题：泛定方程＋初始条件＋边界条件例：设有一单位球，其边界球面上温度分布为 u |r 1 cos2 ，试写出球内的稳定温度分布的定解问题。解：
u 0 2 u |r 1 cos , u |r 0 有限

(M )
M0
Sat0
at0
ds
(M )
at0
Sat0 M 0

数理方程特殊方程复习课

00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
X X 0
(1),
X
(0)
0,
X
(L)
0
n
n2 2
L2
X
n
(
x)
Bn
sin
n x
L
,
(n
1,
2,
)
X X 0
(2),
X
(0)
0,
X
(L)
0
n
n2 2
L2
(n 1, 2,3 ) (n 0,1, 2,3 )
n x
Xn (x) Bn cos L , (n 0,1, 2, )
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(3)、将一般解代入泛定方程并把自由项按固有函数系展开后通过比较系数得到Tn(t)的微分方程；
(4)、由原定解问题初值条件把把初始函数按固有函数系展开后通过比较系数得出T n(t)的定解条件；
(5)、求出T n(t) 。
30
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
5、边界条件齐次化方法
(1)、一般方法
采用未知函数代换法：
u(x, t) V (x, t) W (x, t)
选择适当的W(x,t)，使关于V(x,t)定解问题边界条件是齐次的。(采用多项式函数待定法求W(x,t))。
a
1 1
所以
a11
a21
a12
a22
Q
a11

海文名师指导 2009考研数学复习策略

海文名师指导：2009考研数学复习策略
参加2009考研的同学如果从现在开始进入备考状态，那幺这前一两个月就应以2008的考研大纲为中心复习教材上的基础内容。

对教材上的每一个大纲规定的考试知识点均需深入理解，融会贯通，此时在看或学这些知识点的时候可以做一做书后相应的练习题以加深理解。

这一步是为以后进一步复习打基础的阶段，务必要认真进行。

一个数学题目常常会有意想不到的方法可以解决问题，但对于一个考试题来说，出题者考查的是某几个知识点，但你可能会绕过那几个知识点而用其他方法解决问题，而你所用的方法并不在出题者给出的几种标准答案之后，那幺的方法即使可行并且也能得到正确答案，也有可能会被阅卷老师忽略掉，也就是你失去得分的几率很大。

所以解决问题的很多方法中只有一部分能保证为你赢得你该得的分数，其他方法可能会让你付出不该有代价。

以真题为纲。

往的真题一定要反复做，当然时间需掌握好，一般应放在复习完全部的教材知识之后与强化训练之后各进行若干次。

真题体现了大纲所规定的考试宗旨，但某一的真题并不能完全覆盖大纲规定的所有考点，所以往的真题做得越多越好。

复习的时候一定要选几本辅导书，不必太多，但拿到一本一定要让它发挥。

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数学物理方法复习指导第九章定解问题的物理意义 1、理解波动方程、热传导方程、Poison方程和Laplace方程的物理意义, 根据物理问题写出其相应的方程(不需要推导方程)。 2、第一、第二类边界条件的物理意义。根据具体物理问题，掌握确定这两类边界条件的方法。 3、初始条件的意义及确定。 4、重点掌握由具体的物理问题写出其相应的定解问题方法，即泛定方程和定解条件。

第十章利用积分变换解无界问题 1、熟练掌握利用d'Alembert公式计算一维无界的齐次波动方程，理解其解的物理意义。 2、了解一维无界非齐次波动方程的通解形式及计算。

第十一章一维有界问题的分离变量 1、理解分离变量法的基本概念：方法、条件、不同定解问题的通解形式。 2、熟练准确写出第一、第二类齐次边界条件的本征值和本征函数。 3、熟练掌握用分离变量法求解一维有界问题的解：1）分离变量得到的两个方程；2）由本征值问题确定相应的本征值和本征函数；3）确定关于)(tT方程的解（或者与其对应变量方程的解）；4）定解问题的通解；5）由定解条件确定待定系数（通过系数比较方法确定系数是一种重要的方法）。 4、熟练掌握利用本征函数展开解一维有界非齐次方程：1)对应齐次方程和齐次边界条件的本征函数的确定； 2)非齐次项和初始条件按本征函数的展开, 方程的解按本征函数的展开； 3)求解关于)(tT方程的解； 4)定解问题的解。 5、掌握非齐次边界条件的齐次化。

第十二章球坐标的分离变量 Legendre多项式 1、了解波动方程、热传导方程的分离变量，Helmholtz 方程的导出和含时间变量满足的方程。 2、了解Helmholtz 方程在球坐标中分离变量得到的三个方程，Legendre方程。 3、Legendre方程的解，Legendre方程的本征值问题： )()(3210)1()10)1('2'')1112xPxylllyyxyllxyyxlxx本征函数：，，，，本征值：有限有限（（ 4、Legendre多项式的性质： 1) 重要的公式：)()1()(,1)1(xPxPPlll

)35(21)(),13(21)(,)(,1)(232210xxxPxxPxxPxP（要求记忆）

2) Legendre多项式的母函数 

02)(211ll

lrxP

rxr 1011rx

3) Legendre多项式的递推关系（不要求记忆） 0)()()12()()1(11xlPxxPlxPllll

)()()()12('1'1xPxPxPllll

4) 掌握Legendre多项式的正交关系和广义 Fourier展开正交关系 lkklldxxPxP122)()(11

0)()(lllxPCxf dxxPxflCll11)()(212

亦可以利用系数比较法计算系数lC。 5、熟练掌握稳态轴对称问题 1）首先根据具体物理问题写出相应的定解问题； 2）稳态轴对称问题的通解

定解问题 )(),(0),(2fruruar

)(cos)(),(01llllllPrBrAru 3）稳态轴对称问题的特解： a)根据定解问题的物理意义选择特解，球内问题和球外问题通解的系数lA和

lB的取值。

00llAB球外问题：球内问题：

b）由边界条件)(),(fruar，利用系数比较法确定特解的系数lA或者lB。第十三章柱坐标的分离变量 Bessel函数 1、掌握波动方程、热传导方程的分离变量中含时间变量满足的方程，Helmholtz 方程在柱坐标中分离变量得到的三个方程以及各个参数的意义，Bessel方程。 2、周期性边界条件的本征值问题： 1）本征值问题 )()2(0)()(2"n 2）通解 ,,,,,1)(2iniiinneeee 或者 nnncossin)( n=0,1,2,3,… 3）本征函数ine的正交关系及按本征函数ine的Fourier展开 3、熟练掌握圆域Dirichlet问题的通解与特解

定解问题)(),(0),(2fuua

通解 innnnnnneBAu0,00)(ln),( 或 )cossin()(ln),(100nDnCBAunnnnnnn 特解：根据定解问题的物理意义选择通解的各项 0,00,000nnAB圆外问题：圆内问题：由边界条件，利用本征函数ine的正交关系，确定特解的系数，亦可以利用系数比较法。 4、Bessel方程的解，)(R满足的方程的本征值问题







0)()(0)(][)()("2222aaRRaRnkRR有限

本征值： axknmnm （nmx是n阶Bessel函数的第m个零点）本征函数： )()()(axJkJRnmnnmn 5、Bessel函数的性质（整数阶） 1）重要的公式：)()1()(xJxJnnn

2）Bessel函数的母函数：nnnttxtxJe)()1(2 利用t的一些特殊值，证明一些等式。 3）n阶Bessel函数的递推公式（不要求记忆）

)()]([)()]([11xJxxJxdxdxJxxJxdxdnnnnnnnn

应用 a)递推公式展开时的一些特例； b)掌握公式在计算dxxJxnm)(型积分时的应用。 4）Bessel函数的正交关系（了解）本征值axknmnm和本征函数),2,1()(mkJnmn的意义，本征函数),,,2,1()(nmkJnmn正交性 almnmnnlnnmnxJadkJkJ021)(2)()(

5）本征函数),2,1()(mkJnmn的广义 Fourier展开（了解） 

1)()(mn

mnmkJCf

anmnmnmdfkJxJaC021)()(

)(2

1

6、熟练掌握柱坐标系中的定解问题的求解解题步骤和方法：（1）根据物理问题写出定解问题；（2）分离变量得到相应的方程；（3）本征值问题：确定本征值和本征函数；（4）确定关于其余变量方程的解；（5）定解问题的通解；（6）由定解条件确定待定系数（了解）。 1）稳态问题：具有圆柱形边界，侧面具有第一类齐次边界条件，上、下底面具有轴对称边界条件的稳态问题的定解问题。

（1）定解问题 )()(00),(2102fufuuazuhzza （2）分离变量 )()(),(zZRzu 







0)()()(0)()(222222022Rkd

dRdRd

zZkdz

zZd

（3）本征值： axkmm00 本征函数：),2,1()(00mkJm （4）关于)(zZ方程的解 )()()(0000zkshBzkchAeDeCzZmmmmzkmzkmmmm

（5）方程的通解： )()]()([),(00100mmmmmmkJzkshBzkchAzu 2）波动问题或热传导问题：具有圆柱（圆）形边界，侧面具有第一类齐次边界条件，具有轴对称初始条件的波动问题的定解问题。 a) 波动问题 )()(00),(),(002222tttRuuuRtuatut 





0)()()(0)()(222222222Rkd

dRdRd

tTkadt

tTd

本征值： Rxkmm00 本征函数：),2,1()(00mkJm

)sin()cos()(00takBtakAtTmmmmm )()]sin()cos([),(00100mmmmmmkJtakBtakAtu

b) 热传导问题 )(00),(),(02tRuuRtuDttu 





0)()()(0)()(2222220Rkd

dRdRd

tTkDdt

tdT

本征值： Rxkmm00 本征函数：),2,1()(00mkJm

tkDmmmeAtT20)()(

)(),(001)(20mmtkDmkJeAtum

数理方程复习指导(2009)

最新2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练(一元一次不等式组及其应用)文档5

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