2012年上海市宝山区一模数学

宝山区2011学年第一学期期末 高三年级数学学科质量监测试卷本试卷共有23题，满分150分，考试时间120分钟一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1、已知等差数列{}n a ，22a =-，64a =，则4a = ．2、方程2250x x -+=的复数根为 ． 3、不等式2032x xx +<-的解集是 ．4、已知集合{}4|1|2,lg(1)A x x B x y x ⎧⎫=-≤==-⎨⎬⎩⎭，则A B = ． 5、已知复数z 满足21z z i=++，则_________z =. 6、如右图，若执行程序框图，则输出的结果是 .7、方程组125112x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭的解是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.8、某科技小组有6名同学，现从中选出3人参观 展览，至少有1名女生入选的概率为45，则小组中 女生人数为 ．9、用数学归纳法证明“22111(1)1n n a a a a a a++-++++=≠- ”，在验证1n =成立时，等号左边的式子是_________.10、过抛物线22y x =的焦点F ，倾斜角为4π的直线l 交抛物线于,A B （A B x x >），则AF BF的值⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.11、若奇函数()y f x =的定义域为[4,4]-，其部分图像如图所示，则不等式()ln(21)0x f x -<的解集是 ． 12、已知ABC ∆三条边分别为,,a b c ，,,A B C 成等差数列，若2b =，则a c +的最大值为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽．13、两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1∶2，则它们的体积比是 ．14、设()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()3f x f x +=，()()2311,21m f f m ->=+，则实数m 的取值范围是⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15、已知,,l m n 是空间三条直线，则下列命题正确的是………………………（ ） (A)若//l m ，//l n ，则//m n ； (B)若l m ⊥，l n ⊥，则//m n ；(C)若点A 、B 不在直线l 上，且到l 的距离相等，则直线//AB l ； (D)若三条直线,,l m n 两两相交，则直线,,l m n 共面.16、已知12120121()20122n n n n a n -- , <⎧⎪=⎨- , ≥⎪⎩，n S 是数列{}n a 的前n 项和………………（ ）(A ）lim n n a →∞和lim n n S →∞都存在 (B) lim n n a →∞和lim n n S →∞都不存在(C) lim n n a →∞存在，lim n n S →∞不存在 (D) lim n n a →∞不存在，lim n n S →∞存在17、设()()2,3,4,7a b ==-,则a 在b 上的投影为………………………… （ ）（A（B（C（D18、一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成060角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为………………( ) （A ）6 （B ） 2 （C）（D ）三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．19、（本题满分12分）已知函数2()2sin cos 1f x x x x =--0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求函数()y f x =的值域和零点．20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，,E F 分别是1,BB CD 的中点． （1）求三棱锥1E AA F -的体积；（2）求异面直线EF 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数13()3x x af x b+-+=+．（1）当1a b ==时，求满足()3xf x ≥的x 的取值范围；（2）若()y f x =的定义域为R ，又是奇函数，求()y f x =的解析式，判断其在R 上的单调性并加以证明．22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．已知椭圆的焦点()()121,0,1,0F F -，过10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭作垂直于y 轴的直线被椭圆所截线段长1F 作直线l 与椭圆交于A 、B 两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若A 是椭圆与y 轴负半轴的交点，求PAB ∆的面积；（3）是否存在实数t 使1PA PB tPF +=，若存在，求t 的值和直线l 的方程；若不存在，说明理由．23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数x x f 2log )(=,若),(),(,221a f a f ),(,),(3n a f a f )(,42*N n n ∈+ 成等差数列.(1)求数列)}({*N n a n ∈的通项公式；(2)设)(k g 是不等式)(32)3(lo g lo g *22N k k x a x k ∈+≥-+整数解的个数，求)(k g ；(3)记数列12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，是否存在正数λ，对任意正整数,n k ，使2n S λ-<恒成立？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.2011学年第一学期期末测试高三数学参考答案2012.1.6一．填空题1. 12. 12i ±3. ()1,6-4. (0,3]5.i6. 117. 31x y =⎧⎨=⎩ 8. 2 9. 21a a ++ 10. 223+ 11. (1,2)12. 4 13. 21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭二．选择题（本大题满分20分） 15. A 16.A 17.C 18. D三．解答题（本大题满分74分）19.解：化简22sin cos 1y x x x =--1cos 2212sin 26x x x π=--⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭……………………（4分）因为72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦……………………（6分）即2y ⎡∈-+⎣……………………（8分）由2sin 206x π⎛⎫-++= ⎪⎝⎭得……………………（9分） 零点为12x π=或4x π=……………………（12分）20. 解：（1）1113E AA F A AE V S BC -∆=⋅……………………………………（3分） 1E AA F V -142233=⋅⋅=……………………………………………（6分）（2）连结EC可知EFC ∠为异面直线EF 与AB 所成角，…………………（9分）在Rt FEC ∆中，EC =，1FC =，……………………（10分）所以tan EFC ∠=13分）即EFC ∠=14分）21. 解：（1）由题意，131331x x x +-+≥+，化简得()2332310x x ⋅+⋅-≤……………（2分） 解得1133x-≤≤…………………………………………………………（4分） 所以1x ≤-……………………………………（6分，如果是其它答案得5分） （2）已知定义域为R ，所以()10=013af a b-+=⇒=+，…………………（7分） 又()()1103f f b +-=⇒=，……………………………………………………（8分）所以()11333xx f x +-=+；…………………………………………………………（9分）()11311312133331331x x x x x f x +⎛⎫--⎛⎫===-+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭对任意1212,,x x R x x ∈<可知()()()()211212121222333313133131x x x x x x f x f x ⎛⎫-⎛⎫ ⎪-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭…………（12分） 因为12x x <，所以21330xx->，所以()()12f x f x <因此()f x 在R 上递减．……………………………………………………………（14分）22.解：(1) 设椭圆方程为22221x y a b+=，由题意点122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上，221a b =+………………………………………（2分） 所以226114(1)b b+=+，解得2212x y +=…………………………………………（4分） （2）由题意1y x =-，………………………………………………………………（5分） 所以，()410,0,,33A B ⎛⎫⎪⎝⎭， …………………………………………………………（7分）121=⋅=∆B ABP x AP S …………………………………………………………………（9分） （3）当直线斜率不存在时，易求1,,1,22A B ⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以)21,1(),212,1(),212,1(1-=+-=-=PF 由1PA PB tPF +=得2t =，直线l 的方程为1x =．……………………（11分） 当直线斜率存在时，所以112211,,,22PA x y PB x y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，111,2PF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由1PA PB tPF +=得121211222x x t t y y +=⎧⎪⎨-+-=-⎪⎩即121212x x t t y y +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩…………………………………（13分）因为1212(2)y y k x x +=+-，所以12k =- 此时，直线l 的方程为()112y x =--………………………………………（16分） 注：由1PA PB tPF += 得1F是AB 的中点或P 、A 、B 、1F 共线，不扣分． 23.解：（1）由题可知()222log 22n n f a n a n =+⇒=+………………（2分） 得222n n a +=．………………………………………………………………（4分）（2）原式化简：()()221221221221212log log )23log log (32)23log (32)23322202202,2k k k k k k k k x x k x x k x x k x x x x x +++++++++≥+⇒+⋅-≥+⎡⎤⇒⋅-≥+⎣⎦⇒-⋅+⋅≤⇒--≤⎡⎤⇒∈⎣⎦……………………………………（8分）其中整数个数()121k g k +=+．…………………………………………（10分）（3）由题意，1111164121414n n n S ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=⨯=--12k +=…………………（12分）又2n S λ-恒成立，0n S >，0λ>，所以当n S取最小值时，n S -14分） 又1n S <4≥，所以214λλ-≤……………………………………（16分）解得2λ≥-18分）。