2021-2022年高一数学3月月考试题 文
2021-2022学年辽宁省六校协作体高一(下)第三次月考数学试卷(含答案解析)
2021-2022学年辽宁省六校协作体高一（下）第三次月考数学试卷1. 若复数z 满足iz =2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A. (2,4)B. (2,−4)C. (4,−2)D. (4,2)2. 下列命题正确的是( )A. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C. 四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面D. 棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形 3. sin77∘cos43∘+sin13∘cos47∘的值为( ) A. 12B. √32C. −12D. −√324. 将函数y =sin(2x +π4)图象上的所有点的横坐标变为原来的0.5倍(纵坐标不变)，然后再向右平移π6个单位长度，则所得图象的函数解析式是( )A. y =sin(4x −7π12) B. y =sin(4x −5π12) C. y =sin(x +5π12) D. y =sin(x +π12)5. 下列命题正确的有( )A. ∃α，β使得等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立B. ∀α，β都有tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβC. 已知α，β为第一象限角，若α>β，则sinα>sinβD. 若sinα+cosα=√32，则角α是第一象限角6. 玩具制造商设计并投产一种全新的益智玩具”智慧立方”它的形状为正四面体．通过大量的人体力学实验得知当“智慧立方系数“=12√2V−√3S+5aa∈[4,7]时尺寸最适合3−6岁的小朋友把玩，其中V 是正四面体的体积，S 是正四面体的表面积．则棱长a 尺寸最合适范围是( )A. [0.5,2]B. [0.5,1]C. [0.5,2.5]D. [1,2]7. 如图，四边形ABCD 四点共圆，其中BD 为直径，AB =4，BC =3，∠ABC =60∘，则△ACD的面积为( )A. √36 B. √32C. 5√36 D.7√368. 在△ABC 中，AB =5，AC =4，∠BAC =60∘，D 为BC 的中点，点E 满足AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，直线CE 与AD 交于点P ，则cos∠DPE =( )A. 45 B. √61122 C.√241482D. 24259. 已知复数z ，z 1，z 2，下列命题错误的有( ) A. 若z =z 1⋅z 2，则|z|=|z 1|⋅|z 2| B. 若z 1⋅z 2∈R ，那么z 1+z 2∈R C. 若z 1+z 2∈R ，那么z 1⋅z 2∈R D. 若|z 1⋅z 2|=1，那么z 1=1z 210. 函数f(x)=sin2x1+cos2x ，则( ) A. f(x)的值域为RB. f(x)在(π,2π)上单调递增C. f(x)有无数个零点D. f(x)在定义域内存在递减区间11. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别为棱AB ，CC 1，C 1D 1的中点，动点Q ∈平面MNP ，DQ =AB =2，则( )A. AC 1//MNB. 直线PQ//平面A 1BC 1C. 正方体被平面MNP 截得的截面为正六边形D. 点Q 的轨迹长度为2π12. 已知△ABC 中，AB =AC =√2,BC =2,D 是边BC 的中点，动点P 满足PD =1,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( )A. x+y的值可以等于2B. x−y的值可以等于2C. 2x+y的值可以等于−1D. x+2y的值可以等于313. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=sinB=3sinC，则a+b=______，ccosA=______.14. 已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为______ ；该圆锥的体积为______ .15. f(x)=sin(x+θ)⋅cosx为奇函数，那么θ的一个取值为______.16. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1；点E，F分别为AB、CD中点；那么长方体ABCD−A1B1C1D1外接球表面积为______；三棱锥的D1−BEF外接球的体积为______.17. 已知平面向量a⃗，b⃗ ，c⃗，满足a⃗=(1,−√3)，|b⃗ |=2，|c⃗|=1.(1)若a⃗与b⃗ 共线，求向量b⃗ 的坐标；(2)若(2a⃗+c⃗ )⊥(a⃗−3c⃗ )，求向量a⃗，c⃗的夹角．18. 正棱锥S−ABCD的底面边长为4，高为1.求：(1)棱锥的侧棱长和侧面的高；(2)棱锥的表面积与体积．19. 已知函数f(x)=asin(π2x +φ)(a >0,0<φ<π)的图象如图，其中A ，B 分别为最高点和最低点．C ，D 为零点，M(0,√3),S △ABD =4. (1)求f(x)的解析式；(2)求f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2022)的值．20. 如图所示，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D 是AB 的中点．(1)证明：BC 1//平面A 1CD ；(2)设AA 1=AC =CB =2，AB =2√2，求几何体BDC −A 1B 1C 1的体积．21. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且2S =−√3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，作AB ⊥AD ，使得如图所示的四边形ABCD 满足∠ACD =π3，AD =√3.(1)求B；(2)求BC的取值范围．22. 已知向量m⃗⃗⃗ =(sinx,1),n⃗=(√3cosx,−1).令函数f(x)=(m⃗⃗⃗ +n⃗ )⋅m⃗⃗⃗ .2(Ⅰ)求函数f(x)的最大值；(Ⅰ)△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于D.其中，函数f(C)恰好为函数f(x)的最大值，且此时CD=f(C)，求3a+b的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：复数z满足iz=2+4i，则有z=2+4ii =(2+4i)i−1=4−2i，故在复平面内，z对应的点的坐标是(4,−2)，故选C.由题意可得z=2+4ii，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为4−2i，从而求得z对应的点的坐标．本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：对于A，棱柱的侧棱都相等，但侧面不一定是全等的平行四边形，A错误；对于B，用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，B错误；对于C，四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，C正确；对于D，棱台的侧棱延长后交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，D错误．故选：C.棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形，A错误；用平行于底面的平面去截棱锥，才满足，B错误；棱台的侧面不一定是等腰梯形，D错误，C正确．本题考查棱柱、棱锥、棱台的结构特征，属于基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握两角差的余弦公式，诱导公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．结合诱导公式与两角差的余弦公式，即可得解．【解答】解：sin77∘cos43∘+sin13∘cos47∘=cos13∘cos43∘+sin13∘sin43∘=cos(13∘−43∘)=cos(−30∘)=√32.故本题选B.4.【答案】B【解析】解：将函数y =sin(2x +π4)图象上的所有点的横坐标变为原来的0.5倍(纵坐标不变)，可得y =sin(4x +π4)的图象；然后再向右平移π6个单位长度，则所得图象的函数解析式是y =sin(4x −4π6+π4)=sin(4x −5π12)， 故选：B.由题意，利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：选项A ，当α=β=0时，sin(α+β)=0，sinα+sinβ=0，即选项A 正确； 选项B ，当α=β=π4时，等式两边均没有意义，即选项B 错误；选项C ，取α=2π+π6，β=π3，满足α，β为第一象限角，且α>β，所以sinα=12，sinβ=√32，此时sinα<sinβ，即选项C 错误； 选项D ，若sinα+cosα=√32，即√2sin(α+π4)=√32，所以sin(α+π4)=√64，显然α不只是第一象限角，即选项D 错误． 故选：A.选项A ，取特殊值，α=β=0，代入运算，可判断； 选项B ，取特殊值，当α=β=π4时，等式两边均没有意义； 选项C ，取α=2π+π6，β=π3，代入运算，可判断；选项D ，由辅助角公式，可得sin(α+π4)=√64，显然α不只是第一象限角．本题考查三角函数中的综合问题，熟练掌握特殊角的三角函数值，辅助角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：如图正四面体ABCD 中，H 是△BCD 的中心，则AH 是高，AH ⊥DH ，正四面体棱长为a ，则S △BCD =√34a 2，DH =23×√32a =√33a,AH =a −(√33a)=√63a ， V =13×√34a 2×√63a =√212a 3,S =4S △BCD =√3a 2，所以12√2V−√3S+5a a=12√2×√212a 3−√3×√3a 2+5aa =2a 2−3a +5，由4≤2a 2−3a +5≤7，又a >12，因此解得1≤a ≤2. 故选：D.求出正四面体的体积和表面积，计算出12√2V−√3S+5aa，然后解相应不等式可得． 本题考查了正四面体的体积和表面积，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：在△ABC 中，∵AB =4，BC =3，∠ABC =60∘， ∴由余弦定理得AC =√42+32−2×4×3×12=√13， 由正弦定理，得BD =ACsin∠ABC=√13sin60∘=2√393， 在Rt △ABD 和Rt △BCD 中，AD =√BD 2−AB 2=√523−16=2√33， CD =√BD 2−BC 2=√523−9=5√33， ∵∠ADC =180∘−∠ABC =120∘，∴△ACD 的面积为S =12×2√33×5√33×√32=5√36. 故选：C.先在△ABC 中利用余弦定理求出边AC ，再利用正弦定理求出直径BD ，进而利用直角三角形求出AD ，CD ，再利用三角形的面积公式进行求解．本题考查三角形的面积的求法，考查余弦定理等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ， ∵D 为BC 的中点，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a ⃗ +b ⃗ )， ∵点E 满足AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =45a ⃗ ， ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −b ⃗ =45a ⃗ −b ⃗ ，∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=14(a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2)=14(25+2×5×4×12+16)=614，|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(45a ⃗ −b ⃗ )2=1625a ⃗ 2−2×45a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=16−16+16=16， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a ⃗ +b ⃗ )⋅(45a ⃗ −b ⃗ )=25a ⃗ 2−110a ⃗ ⋅b ⃗ −12b ⃗ 2=1， ∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√612，|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4， ∴cos∠DPE =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√612⋅4=√61122. 故选：B.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a ⃗ +b ⃗ )，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =45a ⃗ −b ⃗ ，利用向量法可求cos∠DPE. 本题考查向量法在解三角形的应用，属中档题．9.【答案】BCD【解析】解：对于A ，由复数模的运算性质可知，|z 1z 2|=|z 1|⋅|z 2|，即|z|=|z 1|⋅|z 2|，故选项A 正确；对于B ，由复数的定义可得当z 1⋅z 2∈R 时，z 1+z 2不一定属于R ，如z 1=i ，z 2=i ，z 1⋅z 2=−1∈R ，z 1+z 2=2i ∉R ，故选项B 错误；对于C ，若z 1+z 2∈R ，可举例z 1=i ，z 2=−i ，则z 1+z 2=0∈R ，但z 1⋅z 2∉R ，故选项C 错误； 对于D ，若|z 1⋅z 2|=|z 1|⋅|z 2|=1，可举例z 1=−i ，z 2=−i ，但z 1=z 2≠1z 2，故选项D 错误． 故选：BCD.利用复数模的运算性质判断选项A ，由复数的定义可判断B ，由特殊例子判断选项C ，D. 本题考查了复数的综合应用，涉及了复数模的运算性质、虚数的定义、复数的几何意义，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：f(x)=sin2x1+cos2x =2sinxcosx2cos 2x =tanx ，(x ≠kπ+π2,k ∈Z)，其值域为R ，故A 正确； 在(π,2π)上，f(3π2)不存在，B 错误；显然f(kπ)=0，k ∈Z ，零点为x =kπ，k ∈Z 有无数个，C 正确；在定义域内每一个区间(kπ−π2,kπ+π2)，k ∈Z 上，函数都是增函数，无减区间，D 错误． 故选：AC.利用二倍角公式，同角关系化简函数式，再根据正切函数性质即可判断得解．本题考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简中的应用，考查了正切函数性质，属于基础题．11.【答案】BCD【解析】解：连接AC1，BC1，取BC1中点H，连接MH，易得AC1//MH，则AC1MN不平行，A错误；如图，取棱D1A1，A1A，BC的中点E，F，G，易得MF//NP，M∈平面MNP，则MF⊂面MNP，同理可得EF，EP，GM，GN⊂平面MNP，即正六边形EFMGNP为正方体被平面MNP截得的截面，C正确；由C选项知：平面MNP即平面EFMGNP，易得FM//A1B，又FM⊄平面A1BC1，A1B⊂平面A1BC1，则FM//平面A1BC1，同理可得NG//平面A1BC1，又NG//PM，则PM//平面A1BC1，PM∩FM=M，则平面EFMGNP//平面A1BC1，又PQ⊂平面EFMGNP，则直线PQ//平面A1BC1，B正确；连接DB1，易得DB1与平面EFMGNP交于正方体的体心O，连接DB，易得DB⊥MG，又B1B⊥平面ABCD，MG⊂平面ABCD，则B1B⊥MG，又DB，BB1⊂平面DBB1，DB∩BB1=B，则MG⊥平面DBB1，DB1⊂平面DBB1，则MG⊥DB1，同理可得GN⊥DB1，又MG，GN⊂平面MNP，MG∩GN=G，则DB1⊥平面MNP，OQ⊂平面MNP，则DB1⊥OQ，又DO=12DB1=12×√4+4+4=√3，则OQ=√DQ2−DO2=1，即点Q的轨迹为以O为圆心1为半径的圆，故点Q 的轨迹长度为2π，D 正确． 故选：BCD.取BC 1中点H ，由AC 1//MH 即可判断A 选项；取棱D 1A 1，A 1A ，BC 的中点E ，F ，G ，由EF ，EP ，GM ，GN ⊂平面MNP 即可判断C 选项；先判断平面EFMGNP//平面A 1BC 1，由PQ ⊂平面EFMGNP 即可判断B 选项；连接DB 1，先判断DB 1⊥平面MNP ，进而求得点Q 的轨迹为以O 为圆心1为半径的圆即可判断D 选项．本题考查线面平行，考查学生的推理能力，属于中档题．12.【答案】AD【解析】解：连接AD ，∵AB =AC ，D 是边BC 的中点，∴AD ⊥BC ， 以D 为坐标原点，BC ，AD 所在直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系∵AB 2+AC 2=BC 2，∴AB ⊥AC ，∴AD =12BC =1，∴A(0,1)，B(−1,0)，C(1,0)， ∵PD =1，∴点P 的轨迹为以D 为圆心，1为半径的圆， ∴设点P 的坐标为(cosθ,sinθ)(θ∈R)， ∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(cosθ,sinθ−1)=x(−1,−1)+y(1,−1)， ∴{cosθ=−x +y sinθ−1=−x −y ， ∴{x =1−sinθ−cosθ2y =1−sinθ+cosθ2， A .x +y =1−sinθ−cosθ2+1−sinθ+cosθ2=1−sinθ∵−1≤sinθ≤1，∴0≤1−sinθ≤2，即0≤x +y ≤2，故A 正确； B .x −y =1−sinθ−cosθ2−1−sinθ+cosθ2=−cosθ，∵−1≤cosθ≤1，∴−1≤−cosθ≤1，即−1≤x −y ≤1，即−1≤x −y ≤1， ∴x −y 的值不可以为2， 故B 错误C .2x +y =1−sinθ−cosθ+1−sinθ+cosθ2=32−32sinθ−12cosθ=32−√102sin(θ+φ)，其中cosφ=3√1010，sinφ=√1010，且φ为锐角， ∵−1≤sin(θ+φ)≤1，32−√102≤32−√102sin(θ+φ)≤32+√102，即32−√102≤2x +y ≤32+√102， ∵32−√102+1=5−√102>0，3105−V10∴32−√102>−1，∴2x +y 的值不可以等于−1， 故C 错误， D .x +2y =1−sinθ−cosθ2+1−sinθ+cosθ=32−32sinθ+12cosθ=32−√102sin(θ−φ)，其中cosφ=3√1010，sinφ=√1010，且φ为锐角， ∵−1≤sin(θ−φ)≤1， ∴32−√102≤32−√102sin(θ−φ)≤32+√102，即32−√102≤x +2y ≤32+√102，∵32−√102<3<32+√102，∴x +2y 的值可以等于3，故D 正确， 故选：AD.以点D 为原点、边BC 为x 轴建立平面直角坐标系，写出相关点坐标，设出P(cosθ,sinθ)，利用平面向量的坐标运算得到{x =1−sinθ−cosθ2y =1−sinθ+cosθ2，再结合角的范围逐一验证各选项． 本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．13.【答案】616【解析】解：由正弦定理及sinA =sinB =3sinC ，得a =b =3c ，所以a+bc =6， 由余弦定理知，cosA =b 2+c 2−a 22bc=9c 2+c 2−9c 22⋅3c⋅c=16.故答案为：6；16.利用正弦定理化角为边，可得a=b=3c，从而知a+bc的值，再利用余弦定理，可得cosA的值．本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】2√33π【解析】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，由πl=2πr，解得l=2r，又S=πr2+πr⋅2r=3πr2=3π，所以r2=1，解得r=1；所以圆锥的母线长为l=2r=2，圆锥的高为ℎ=√l2−r2=√22−12=√3，所以圆锥的体积为V=13πr2ℎ=13π×12×√3=√33π.故答案为：2，√3π3.根据圆锥的结构特征，求出底面圆半径和母线长、高，即可计算圆锥的体积．本题考查了圆锥的结构特征与表面积、体积的计算问题，是基础题．15.【答案】0(答案不唯一)【解析】解：因为f(x)为奇函数，则f(0)=sinθ=0，θ=kπ，k∈Z，当θ=kπ，k∈Z时，k为偶数时，f(x)=sinxcosx=12sin2x，是奇函数k为奇数时，f(x)=−sinxcosx=−12sin2x，是奇函数，所以θ的一个值为0.故答案为：0(答案不唯一).由奇函数的性质f(0)=0，求出θ，代入检验后可得结论．本题主要考查函数奇偶性的性质，三角函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．16.【答案】6π11√11π6【解析】解：长方体对角线长为l=√22+12+12=√6，所以长方体外接球半径为R=l2=√62，表面积为S=4π×(√622)=6π；如图，G，H，I，J分别是A1D1，AD，BC，B1C1中点，则GHIJ是矩形，平面GHIJ//平面CDD1C1，E，F分别是AB，CD中点，则EF//AD，而AD⊥平面CDD1C1，所以EF⊥平面CDD1C1，所以EF⊥平面GHIJ，而EF⊂平面D1EF，EF⊂平面BEF，所以平面D1EF⊥平面GHIJ，平面BEF⊥平面GHIJ，由EF⊥平面CDD1C1，D1F⊂平面CDD1C1，得EF⊥D1F，而EF⊥EB，设平面GHIJ与D1E，BF，EF的交点分别为N，M，Q，则N，M，Q分别是D1E，BF，EF的中点，所以N，M分别是ΔD1EF和△EFB的外心，在平面GHIJ内过N作PN⊥NQ，过M作PM⊥QM交PN于点P，由EF⊥平面CDD1C1，得EF⊥PNEF⊥PM，而NQ∩EF=Q，NQ，EF⊂平面D1EF，所以PN⊥平面D1EF，同理PM⊥平面BEF，所以P是三棱锥D1−BEF的外接球球心，四边形PMQN是圆内接四边形，由长方体性质知∠NQH=∠D1FD=π4，所以∠NQM=3π4,NQ=12D1F=√22,MQ=12，MN=√1 2+14−2×√22×12×cos3π4=√52，由PM⊥平面BEF，BM⊂平面BEF，得PM⊥BM，PQ=MNsin∠NQM =√52sin3π4=√102,PM=√PQ2−QM2=32，BM=12BF=√22，所以PB=√PM2+BM2=√112，所以三棱锥的D1−BEF外接球的体积为V=4π3×(√1132)=11√116π.故答案为：6π;11√116π.求出长方体的对角线即为长方体外接球的直径，由此可得球表面积，设G，H，I，J分别是A1D1，AD，BC，B1C1中点，可证明EF⊥平面GHIJ，设平面GHIJ与D1E，BF，EF的交点分别为N，M，Q，在平面GHIJ内过N作PN⊥NQ，过M作PM⊥QM交PN于点P，证得P是三棱锥D1−BEF的外接球球心，在四边形PMQN中求得四边形外接圆直径，然后求出PN，再求出三棱锥的D1−BEF 外接球的半径后可计算体积．本题考查了长方体外接球的表面积和三棱锥外接球的体积计算，属于中档题．17.【答案】解：(1)设b⃗ =(x,y)， 由题意得−√3x −y =0，x 2+y 2=4， 解得x =12，y =−√32或x =−12，y =√32，所以b ⃗ =(12,−√32)或(−12,√32)；(2)若(2a ⃗ +c ⃗ )⊥(a ⃗ −3c ⃗ )，则(2a ⃗ +c ⃗ )⋅(a ⃗ −3c ⃗ )=2a ⃗ 2−5a ⃗ ⋅c ⃗ −3c ⃗ 2=0， 所以8−5a ⃗ ⋅c ⃗ −3=0， 所以a ⃗ ⋅c ⃗ =1， 设向量a ⃗ ，c ⃗ 的夹角θ， 所以cosθ=a⃗ ⋅c ⃗ |a⃗ ||c ⃗ |=12×1=12，由θ∈[0,π]，得θ=π3.【解析】(1)由已知结合向量共线定理的坐标表示可求； (2)由已知结合向量数量积的性质的坐标表示可求．本题主要考查了向量共线定理及向量数量积性质的坐标表示的应用，属于基础题．18.【答案】解：(1)设SO 为正四棱锥S −ABCD 的高，则SO =1，作OM ⊥BC ，则M 为BC 中点，连结OM ，OB ，则SO ⊥OB ，SO ⊥OM ，BC =4，BM =2，则OM =2,OB =2√2， 在Rt △SOD 中，SB =√SO 2+OB 2=√1+8=3， 在Rt △SOM 中，SM =√5， ∴棱锥的侧棱长为3，侧面的高为√5.(2)棱锥的表面积：S =S 正方形ABCD +4S △SBC =4×4+4×(12×4×√5)=16+8√5 几何体的体积为：13×4×4×1=163 【解析】(1)直接利用公式计算； (2)直接利用公式计算；本题考查了几何体的表面积、体积，属于中档题．19.【答案】解：(1)∵f(x)=asin(π2x +φ)，∴周期T =2ππ2=4，∴CD =T 2=2，∴S△ABD=12×CD×(y A−y B)=12×2×2a=4，∴a=2，∴f(x)=2sin(π2x+φ)，又M(0,√3)，∴f(0)=2sinφ=√3，∴sinφ=√32，又M为上升点，且0<φ<π，∴φ=π3，∴f(x)=2sin(π2x+π3)；(2)由(1)知f(x)的周期为4，又2023=4×505+3，∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2022)=[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]×505+f(0)+f(1)+f(2)=(√3+1−√3−1)×505+(√3+1−√3)=1.【解析】本题考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，三角函数的图形与性质，由三角函数的周期性求和，考查了方程思想与化归转化思想，属于中档题．(1)根据三角函数的周期，振幅，三角形面积，y轴交点建立方程即可求解；(2)通过函数的周期性即可求解．20.【答案】证明：(1)连接AC1交A1C于E，连接ED，如图，则E是AC1中点，又D是AB中点，所以ED//BC1，又ED⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1//平面A1CD；解：(2)因为AC =BC =2,AB =2√2，所以AC ⊥BC ， 所以S △ABC =12×2×2=2,S △ACD =12S △ABC =1， V BCD−A 1B 1C 1=V ABC−A 1B 1C 1−V A 1−ACD =2×2−13×1×2=103. 【解析】(1)连接AC 1交A 1C 于E ，连接ED ，证明ED//BC 1后得证线面平行； (2)由直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积减去三棱锥A 1−ACD 的体积可得． 本题考查了线面平行的证明和几何体的体积计算，属于中档题．21.【答案】解：(1)由2S =−√3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得2×12acsinB =−√3accosB ， 即sinB =−√3cosB ，可得tanB =−√3， 因为B ∈(0,π)，所以B =2π3.(2)设∠BAC =θ，则∠CAD =π2−θ，∠CDA =θ+π6， 在△ACD 中，由正弦定理得ACsin∠ADC =ADsin∠ACD ， 可得AC =ADsin∠ADCsin∠ACD=√3⋅sin(θ+π6)sin π3=2sin(θ+π6)，在△ABC 中，由正弦定理得ACsinB =BCsinθ，∴BC =√3+π6)sinθ=√3(√32sin 2θ+12sinθcosθ)=√3−√3cos2θ)+1 =2√33sin(2θ−π3)+1，因为0<θ<π3，可得−π3<2θ−π3<π3，当2θ−π3=π3时，即θ=π3，可得2√33sin π3+1=2， 当2θ−π3=−π3时，即θ=0，可得2√33sin(−π3)+1=0， 所以BC 的取值范围是(0,2).【解析】(1)利用三角形的面积公式，向量的数量积运算化简即可．(2)利用正弦定理，三角恒等变换得到BC =2√33sin(2θ−π3)+1，再利用正弦函数的图象与性质求解即可．本题考查了正弦定理的应用，三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)∵m →=(sinx,1),n →=(√3cosx,−12)，∴m ⃗⃗⃗ +n ⃗ =(sinx +√3cosx,12)，∴f(x)=sinx(sinx+√3cosx)+1 2=sin2x+√3sinxcosx+1 2=1−cos2x2+√32sin2x+12=sin(2x−π6)+1，∴f(x)的最大值为2；(Ⅰ)由f(C)恰好为函数f(x)的最大值可得f(C)=sin(2C−π6)+1=2，即sin(2C−π6)=1，∵0<C<π，解得C=π3，则CD=f(C)=2，在△ACD中，由CDsinA =ADsin12C，可得AD=1sinA，在△BCD中，由CDsinB =BDsin12C，可得BD=1sinB，∴c=1sinA +1sinB，在△ABC中，asinA =bsinB=csinC=1sinA+1sinB√32=2√33(1sinA+1sinB)，则可得a=2√33(1+sinAsinB),b=2√33(sinBsinA+1)，则3a+b=2√3(1+sinAsinB )+2√33(sinBsinA+1)=2√3⋅sinAsinB+2√33⋅sinBsinA+8√33，∵sinA>0，sinB>0，∴3a+b≥22√3⋅sinAsinB ⋅2√33⋅sinBsinA+8√33=4+8√33，当且仅当√3sinA=sinB等号成立，故3a+b的最小值为4+8√33.【解析】(Ⅰ)根据数量积运算结合降幂公式以及辅助角公式化简f(x)，根据正弦函数的值域可得结果；(Ⅰ)根据条件求得c，C，由正弦定理表示a，b，利用基本不等式求解．本题考查了正弦型函数的最值问题以及正弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．。
2021-2022学年安徽省滁州市定远县高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】
2021-2022学年安徽省滁州市定远县高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．设集合{}11A x x =-≤≤，{}220B x x x =-<，则A B =（ ）A ．{}10x x -≤<B ．{}01x x <≤C ．{}12x x ≤<D ．{}12x x -≤<【答案】B【分析】先解出集合B ，再直接计算交集.【详解】因为{}11A x x =-≤≤，{}{}22002B x x x x x =-<=<<，所以{}01A B x x ⋂=<≤．故选：B ．2．已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件【答案】B【详解】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B ．【解析】1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.3．已知()lg ,0,0x x x f x a b x ->⎧=⎨+≤⎩且(0)2,(1)4f f =-=，则((2))f f -=A ．-1B ．2C ．3D ．-3【答案】A【详解】∵(),0,0x lgx x f x a b x ->⎧=⎨+≤⎩且且()()02,14f f =-=，()0102(1)4f a b f a b -⎧+∴⎨-+⎩＝＝＝＝ ，解得113a b ，，== ∴(),011,03x lgx x f x x ->⎧⎪=⎨⎛⎫+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，2121102101013f f f f lg -∴-=+=-==-=-（）（），（（））（）．故选A ．4．设2334a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3423b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2323c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．b<c<a B ．a c b << C ．b a c << D ．c b a <<【答案】A【解析】由幂函数23y x =的单调性，求得a c >，又由指数函数2()3xy =的单调性，求得c b >，即可得到答案.【详解】由幂函数23y x =在(0,)+∞为单调递增函数，因为3243>，所以23233()2()34>，即a c >，又由指数函数2()3x y =为单调递减函数，因为3243>，所以23342()2()33>，即c b >，综上可知，实数,,a b c 的大小关系为b<c<a ，故选A.【点睛】本题主要考查了指数式的比较大小问题，其中解答中熟练应用指数函数和幂函数的单调性是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5．函数()11x x e f x e +=-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由()f x 的解析式判断其奇偶性，并确定图象的渐近线，即可确定函数的大致图象. 【详解】由()12111x x x e f x e e +==+--知：1y =为()f x 的一条渐近线，可排除A 、B ； 11)1)((1x x x x e e f x e f e x --++=--=---=且定义域为0x ≠，则()f x 为奇函数，可排除C.故选：D.6．已知π(0,)2α∈，π2cos()33α+=-，则cos α=（ ）A B C D 【答案】B【分析】由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得ππ5π,336α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，求得πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，由πcos cos 33παα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦求得结果．【详解】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π,336α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以πsin 3α⎛⎫+== ⎪⎝⎭所以ππππππcos cos cos cos sin sin 333333αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2132=-⨯=． 故选：B ．7．已知0ω>，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．35,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．35,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,周期23T ππω=≥,解得:6ω≤,令322,242k x k k Z ππππωπ+<+<+∈可得115(2)(2),44k x k k Z ππππωω+<<+∈，由于函数()f x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，可得15(2,4)2k πππω+≥1(234)k πππω+≤，分析即得解【详解】函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,0ω>∴ 周期22()233T ππππω=≥⨯-=,解得: 6ω≤又函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的减区间满足:322,242k x k k Z ππππωπ+<+<+∈ 解得：115(2)(2),44k x k k Z ππππωω+<<+∈ 由于函数()f x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减故15(2,4)2k πππω+≥1(234)k πππω+≤即356,442k k ωω≥+≤+又06ω<≤，故0k = ∴则ω的取值范围是:3425⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：B8．已知函数()10,0 lg ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，函数()()()()24g x f x f x t t R =-+∈，若函数()g x 有四个零点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[)3,4 B ．[)lg5,4C ．[){}3,4lg5⋃D ．(]3,4-【答案】A【分析】做出()f x 的图象，判断()f x m =的根的情况，根据()0g x =的根的个数判断240m m t -+=的根的分布，利用二次函数的性质列出不等式组解出t 的范围.【详解】解：作出函数()10,0lg ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩的图象如图，令()f x m =，则()0g x =化为240m m t -+=， 由图象可知当m 1≥时，()f x m =有两解，∵()g x 有四个零点，∴240m m t -+=在[1，＋∞）有两个不等实数根，∴2164021140t m t ∆=->⎧⎪>⎨⎪-+≥⎩，解得34t ≤<， ∴实数t 的取值范围是[)3,4. 故选：A.【点睛】本题考查了函数零点的个数判断，基本初等函数的性质，属于中档题. 9．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()1f x f x =-+，当102x ≤≤时，()f x x =结论错误的是（ ）A ．方程()f x x a -+=0最多有四个解B ．函数()f x 的值域为[C ．函数()f x 的图象关于直线12x =对称D ．f (2020)=0 【答案】A【解析】由已知可分析出函数的对称轴以及周期，值域，进而可以判断B ，C ，D 是否正确，而选项A ，需将方程根的问题转化为函数的零点问题进行求解即可． 【详解】由()(1)f x f x =-+可得：(1)(2)f x f x +=-+， 则()(2)f x f x =+，所以函数()f x 的周期为2， 所以(2020)(0)0f f ==，D 正确，排除D ； 再由()(1)f x f x =-+以及()()f x f x =--， 所以()(1)f x f x -=+，则函数()f x 的对称轴为12x =，C 正确，排除C ；当012x时，()[0f x ，又函数是奇函数，102x -时，()[f x =0]，即1122x -时()[f x ∈， 又因为函数()f x 的对称轴为12x =，所以1322x 时()[f x ∈，所以1322x -时()[f x ∈又因为函数()f x 的周期为2，所以函数()f x 的值域为[，B 正确，排除B ；故选：A ．【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的奇偶性、函数的奇偶性、函数的对称性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m ，筒车的轴心O 到水面的距离为1m ，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（即0P 时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M 从0P 运动到点P 时所用时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为h （单位：m ）.若以筒车的轴心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy （如图2），则h 与t 的函数关系式为（ ）A ．2sin 1156h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞B ．2sin 1156h t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞C ．2sin 16h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞D ．2sin 16h t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞【答案】A【解析】首先先求以OP 为终边的角为156t ππ-，再根据三角函数的定义求点P 的纵坐标，以及根据图形表示()h t . 【详解】06xOP π∠=，所以0OP 对应的角是6π-， 由OP 在()t s 内转过的角为226015t t ππ⨯=， 可知以Ox 为始边，以OP 为终边的角为156t ππ-，则点P 的纵坐标为2sin 156t ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以点P 距水面的高度()h m 表示为()t s 的函数是2sin 1156h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以OP 在()t s 内转过的角为226015t t ππ⨯=，再求以OP 为终边的角为156t ππ-.11．如图，设A ，B 两点在河的两岸，测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B 两点间的距离为（ ）A ．502mB ．503mC ．252mD ．2522m 【答案】A【分析】求出角B 后，根据正弦定理可解得结果. 【详解】1804510530B ∠=--=， 由正弦定理得sin sin AB ACACB B=∠∠，∴250sin 25021sin 2AC ACBAB B⨯⋅∠===∠，故A ，B 两点的距离为502m . 故选：A.【点睛】本题考查了正弦定理，考查了三角形的内角和定理，属于基础题.12．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB a =，AD b =，E 为BF 的中点，则AE =（ ）A ．4255a b +B ．2455a b +C ．4233a b +D ．2433a b +【答案】A【解析】把向量AE 分解到,AB AD 方向，求出分解向量的长度即可得答案 【详解】设BE m =，则22AE BF BE m ===， 在Rt ABE ∆中，可得5AB m =．如图，过点E 作EH AB ⊥于点H ，则222555m EH m m ==，且//EH AD ，则222545(2)55AH m m m ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．所以45AH AB =，25HE AD =．所以42425555AE AH HE AB AD a b =+=+=+．故选：A【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则以及勾股定理。
2021-2022学年吉林省四平市第一高一年级上册学期第三次月考数学试题【含答案】
2021-2022学年吉林省四平市第一高级中学高一上学期第三次月考数学试题一、单选题1．角度20230'︒化成弧度为（ ） A ．98π B ．5π4C ．11π8D ．19π16【答案】A【分析】根据题意，结合π180=，即可求解. 【详解】根据题意，π9π2023018022.50π88'︒=︒+︒=+=. 故选：A.2．已知集合(,2]A =-∞，集合{}2|230,B x x x x Z =--≤∈，则A B =（ ）A ．[1,2]-B ．{1,0,1,2,3}-C ．{1,0,1,2}-D ．[1,3]-【答案】C【分析】解一元二次不等式求集合B ，再由集合的交运算求A B ⋂. 【详解】由题设，{|13,}{1,0,1,2,3}B x x x Z =-≤≤∈=-， ∴{1,0,1,2}A B =-. 故选：C3．若角α的终边经过点()2,4-，则cos α=（ ）A ．BC ．D 【答案】A【分析】根据角α终边上的一点以及cos α=.【详解】由题可知：角α的终边经过点()2,4-则cos α= 故选：A【点睛】本题主要考查角的三角函数的定义，掌握公式cos α=α=，属基础题.4．已知2log 3a =，12b -=，4log 8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b<c<a C ．a c b << D ．c b a <<【答案】B【分析】利用对数函数的单调性证明1a c >>即得解.【详解】解：244log 3log 9log 81a c ==>=>，11212b -==<， 所以b<c<a . 故选：B5．已知集合{}51A x x x =><-或，{}8B x a x a =<<+，若A B =R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{}31a a -<<- B ．{}12a a << C ．{}31a a -≤≤- D ．{}12a a ≤≤【答案】A【分析】根据集合并集的定义，则185a a <-⎧⎨+>⎩即可求解．【详解】因为{}51A x x x =><-或，{}8B x a x a =<<+又A B =R ，则185a a <-⎧⎨+>⎩ 解得31a -<<- 故选：A6．已知θ为第四象限角，sin cos θθ+=，则sin cos θθ-=（ ）A ．B ．C ．43- D ．53-【答案】C【分析】根据θ为第四象限角且sin cos 0θθ+=>可得：cos sin θθ>，然后利用完全平方即可求解.【详解】因为θ为第四象限角且sin cos 0θθ+=>，所以cos sin θθ>，也即sin cos 0θθ-<，将sin cos θθ+=两边同时平方可得： 212sin cos 9θθ+=，所以72sin cos 9θθ=-，则4sin cos 3θθ-==-，故选：C .7．已知函数2,1()log ,1x aa x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．(1,2]D ．(1,e]【答案】C【分析】根据题意，结合分段函数的单调性，以及指数、对数的图像性质，即可求解.【详解】根据题意，易知1log 12a a a >⎧⎨≥-⎩，解得12a <≤.故选：C.8．已知函数()()2ln 1f x ax ax =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,4B ．[)4,+∞C ．(),0∞-D ．()4,+∞【答案】B【分析】根据对数函数的值域知，()0,∞+是函数21y ax ax =++值域的子集，从而得到关于a 的不等式组，解该不等式组可得答案．【详解】设21y ax ax =++，根据题意(){}20,|1+∞⊆=++y y ax ax ，∴20Δ40a a a ⎧⎨=-≥⎩＞，解得4a ≥， ∴实数a 的取值范围为[)4,+∞． 故选：B ．9．已知函数()f x 为定义在[]1,4a -上的偶函数，在[]0,4上单调递减，并且()25a f m f ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]3,1- B ．()(),31,-∞-⋃+∞ C ．[)(]3,13,5-⋃ D ．[)(]5,31,3--⋃【答案】D【分析】利用函数的奇偶性得到5a =，再解不等式组41412m m -≤--≤⎧⎨-->⎩即得解.【详解】解：由题得14,5a a -=-∴=.因为在[]0,4上单调递减，并且()()12f m f --<，所以41412m m -≤--≤⎧⎨-->⎩，所以13m <≤或53m -≤<-.故选：D10．已知实数x 满足不等式2122log 4log 30x x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，则函数()248log log 8x f x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭取最小值时x 的值为（ ） A ．3 B ．12C ．18D ．116【答案】C【分析】解不等式得23log 1x -≤≤-，再化简函数的解析式换元得到二次函数，利用二次函数的图象和性质求解.【详解】解：由题得()222log 4log 30x x -++≤， 所以()222log 4log 30x x ++≤， 所以()22log +1(log 3)0x x +≤， 所以23log 1x -≤≤-.()2242228311log log (log 3)(log )(log 3)8222x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫==--=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,设2log [3,1]t x =∈--， 所以21()(3)2g t t =--，所以2min 1()(3)(33)182g t g =-=---=-. 此时321log 3,28x x -=-∴==.故选：C二、多选题11．已知角θ是第二象限角，则角2θ所在的象限可能为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】AC【分析】用不等式表出第二象限角θ的范围，再求得2θ的范围后判断．【详解】角θ是第二象限角，则22,Z 2k k k ππθππ+<<+∈，,Z 422k k k πθπππ+<<+∈，k 为奇数时，2θ是第三象限角，k 为偶数时，2θ是第一象限角，故选：AC ．12．下列命题为真命题的是（ ）A ．若函数()f x 在(),0∞-和()0,∞+上都单调递减，则()f x 在定义域内单调递减B ．“0x ∀>，21x >”的否定是“00x ∃>，21x ≤” C ．“0x =或0y =”是“0xy =”的充要条件 D ．“0a ∃>，12a a+<”的否定是“0a ∀>，12a a +>”【答案】BC【分析】根据函数的单调性，和含有量词的命题的否定，以及充要条件的定义，即可判断正误. 【详解】对于A ，函数1()f x x =在(,0)-∞和(0,)+∞上都单调递减，但是1()f x x=在定义域内不单调，所以A 不是真命题；对于B ，命题“20,1x x ∀>>”是一个全称量词命题，它的否定是“2000,1x x ∃>≤”，所 以B 是真命题；对于C ，因为0xy =等价于0x =或0y =，所以“0x =或0y =”是“0xy =”的充要条件，所以C 是真命题；对于D ，命题“10,2a a a∃>+<”是一个存在量词命题，它的否定是“0a ∀>，12a a +≥”，所以D 不是真命题； 故选：BC.13．已知函数()f x 是奇函数，且满足()()()2f x f x x -=∈R ，当01x <≤时，()12f x =，则函数()f x 在()2,2-上的零点为（ ） A ．0 B ．14C ．12D ．74±【答案】ABD【分析】由题意求出函数的周期和对称轴，根据函数的性质作图，即可分析出函数的零点. 【详解】解：函数()f x 是奇函数，∴()00f = 且满足()()()2f x f x x -=∈R ，则()()()()()222f x f x f x f x -+=-=-=+，()()()24f x f x f x ∴-+=+=，即函数()f x 的周期为4，对称轴为2012x +==， 当01x <≤时，()12f x x =-，0141214f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 由题意作出函数()f x 的图像，如图所示，可知函数()f x 在()2,2-上的零点为：74-，14-，0，14，74，故选：ABD.14．设{},min ,,a a b a b b b a ≤⎧=⎨<⎩，函数()24min log ,1f x x x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭（0x >），则（ ）A ．函数()f x 的最小值是0B ．函数()f x 的最大值是2C ．函数()f x 在()0,4上递增D ．函数()f x 在()4,+∞上递减【答案】BCD【分析】化简函数()f x 的表达式，再分析其性质，逐项判断作答.【详解】令函数2244()log (1)log 1g x x x x x =-+=--，0x >，显然，()g x 在(0,)+∞上单调递增，而24(4)log 4104g =--=，当04x <≤时，()()40g x g ≤=，即24log 1x x ≤+，则有()2log ,0441,4x x f x y x x <≤⎧⎪=⎨=+>⎪⎩， 当04x <≤时，2log y x =在(0,4]上单调递增，max 2y =，其值域为(,2]-∞， 当>4x 时，41y x=+在()4,+∞上单调递减，max 2y =，其值域为(1,2]，因此，函数()f x 的值域是(,2]-∞，A 不正确；B ，C ，D 都正确. 故选：BCD15．已知不等式20x ax b ++≥的解集为{2x x ≤或}3x ≥，则ab =______. 【答案】30-【分析】由题意可知，2,3是一元二次方程20x ax b ++=的两根，由韦达定理即可得出答案. 【详解】因为不等式20x ax b ++≥的解集为{2x x ≤或}3x ≥， 所以2,3是一元二次方程20x ax b ++=的两根， 所以2+3,23a b =-⨯=，则5,6a b =-=. 则30ab =-. 故答案为：30-.16．已知()()1,63,6x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，则()7f =______.【答案】5【分析】利用函数()f x 的解析式可求得()7f 的值.【详解】因为()()1,63,6x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，则()()74415f f ==+=.故答案为：5.17．若函数()()log 1a f x ax =-在1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为______.【答案】()1,4【分析】结合已知条件，由对数型复合函数单调性和定义域即可求解. 【详解】由题意可知，0a >且1a ≠，所以1y ax =-在1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，因为函数()()log 1a f x ax =-在1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，由复合函数单调性可知，1a >，又由对数型函数定义域可知，1104a ->，即4a <，综上可知，14a <<. 故答案为：()1,4.四、双空题18．已知扇形的周长为8，则扇形的面积的最大值为_________，此时扇形的圆心角的弧度数为【答案】 4 2【分析】根据扇形的面积公式，结合配方法和弧长公式进行求解即可. 【详解】设扇形所在圆周的半径为r ，弧长为l ，有28l r +=，211(82)422S lr r r r r ==-=-+=2(2)44r --+≤，此时2r =，4l ，422l r α===．故答案为：4；2五、解答题19．计算下列各式的值:(1)()()13369611log 18log 3log 2278-⎛⎫⎛⎫-++⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)已知角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2sin cos 5θθ=.求tan θ的值.【答案】(1)3- (2)1tan 2θ=【分析】（1）根据分数指数幂及对数的运算法则计算可得； （2）由题意可得22sin cos 2sin cos 5θθθθ=+，在根据同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得到tan θ的方程，并根据θ的范围求解.【详解】（1）()()13369611log 18log 3log 2278-⎛⎫⎛⎫-++⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2213666631127log 18log 3log 213log 18log 2122=-++⋅-=-++-()61log 18241432=⨯-=-=-. （2）由2sin cos 5θθ=，有22sin cos 2sin cos 5θθθθ=+， 则2tan 2tan 15θθ=+，整理为22tan 5tan 20θθ-+=. 所以()()2tan 1tan 20θθ--=，解得1tan 2θ=或tan 2θ=. 又由0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，有0tan 1θ<<，可得1tan 2θ=.20．已知集合{}42A x x =-≤≤，{}23B x x =+>，{}61,0C x m x m m =-<+． （1）求A B ⋃；()R C B A ；（2）若R x C B ∈是x C ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）{|5A B x x =<-或4}x ≥-，()[4,1]R C B A =-；（2）01m <<.【分析】（1）求出{|1B x x =>或5}x <-，即得解； （2）解不等式组06511m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+>⎩即得解.【详解】（1）由题得{|1B x x =>或5}x <-，所以{|5A B x x =<-或4}x ≥-，}5|1{RB x x =-≤≤，所以()[4,1]R C B A =-.（2）因为R x C B ∈是x C ∈的充分不必要条件， 所以06511m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+>⎩，解得01m <<.所以实数m 的取值范围是01m <<.21．某变异病毒感染的治疗过程中，需要用到某医药公司生产的A 类药品．该公司每年生产此类药品的年固定成本为160万元，每生产x 千件需另投入成本为21()2010C x x x =+（万元），每千件药品售价为60万元，此类药品年生产量不超过280千件，假设在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完. （1）求公司生产A 类药品当年所获利润y （万元）的最大值；（2）当年产量为多少千件时，每千件药品的平均利润最大？并求最大平均利润.【答案】（1）3840万元；（2）当年产量为40千件时，每千件药品的平均利润最大为32万元． 【解析】（1）先由题意，得到0280x <≤，利润等于销售收入减去成本，由此即可得出函数关系式，再由配方法，即可求出最值；（2）由（1）得出平均利润为240001161x xx -+-，化简整理，利用基本不等式，即可求出最值，以及此时的x .【详解】（1）由题可得0280x <≤，()22211120200360160840384010101040160x x x x y x x ⎛⎫=--=-+-=- ⎪⎝++≤⎭-，当且仅当200x =时，max 3840y =，所以当年产量为200千件时，在这一药品的生产中所获利润最大为3840万元； （2）可知平均利润为240001161x xx -+-16040403210x x ⎛⎫++≤--= ⎪⎝=⎭. 当且仅当16010x x=，即40x =时等号成立 所以当年产量为40千件时，每千件药品的平均利润最大为32万元． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 22．已知幂函数()()1221m f m x m x -=--在()0,∞+上为增函数.(1)求实数m 的值；(2)求函数()()2345g x f x x =--+的值域. 【答案】(1)2m =；(2)7(,]8-∞-.【分析】（1）解方程211m m --=再检验即得解；（22(0),()21t t h t t t =≥=-+-，再求函数()h t 的值域即得解.【详解】（1）解：由题得2211,20,(2)(1)0,2m m m m m m m --=∴--=∴-+=∴=或1m =-. 当2m =时，()12f x x =在()0,∞+上为增函数，符合题意；当1m =-时，()1f x x -=在()0,∞+上为减函数，不符合题意.综上所述2m =.（2）解：由题得()452(23)1g x x x =+--，2(0),()21t t h t t t ≥∴=-+-， 抛物线的对称轴为14t =，所以max 111287()2116488h t -+-=-⨯+-==-.所以函数()()2345g x f x x =--+的值域为7(,]8-∞-. 23．已知函数()32log f x a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (1)当1a =时，解关于x 的不等式()0f x <；(2)请判断函数()()()3log 1g x f x ax a =-+-是否可能有两个零点，并说明理由；(3)设a<0，若对任意的1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()1,2(2)不可能，理由见解析 (3)8,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】（1）结合对数函数的定义域，解对数不等式求得不等式()0f x <的解集.（2）由()0g x =，求得12x =-，21x a=，但推出矛盾，由此判断()g x 没有两个零点. （3）根据函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1列不等式，结合分离常数法来求得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，不等式()0f x <可化为32log 10⎛⎫-< ⎪⎝⎭x ， 有2011<-<x ，有20,10,x x x x-⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩ 解得12x <<，故不等式，()0f x <的解集为()1,2.（2）令()0g x =，有()332log log 1a ax a x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭， 有210a ax a x -=+->，()22122210,0ax a x a ax x x---+--+==， ()22120ax a x x+--=，()()210x ax x +-=， 则()()20210a x x ax x ⎧->⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，若函数()g x 有两个零点，记为()1212,x x x x ≠，必有12x =-，21x a=， 且有20 220a a a ⎧->⎪-⎨⎪->⎩，此不等式组无解， 故函数()g x 不可能有两个零点.（3）当a<0，1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1t x t ≤≤+时，20->a x，函数()f x 单调递减， 有()()3max 2log f x f t a t ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()()3min 21log 1f x f t a t ⎛⎫=+=- ⎪+⎝⎭ 有3322log log 11⎛⎫⎛⎫---≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭a a t t ， 有3322log log 31⎡⎤⎛⎫⎛⎫-≤- ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦a a t t 有2231⎛⎫-≤- ⎪+⎝⎭a a t t ，整理为311≤-+a t t ， 由311≤-+a t t 对任意的1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，必有31,231,11144a a ⎧≤-⎪⎪⎨≤-⎪+⎪⎩解得85≤-a ， 又由()()()254131801551t t t t t t +-⎛⎫---=≥ ⎪++⎝⎭，可得31815-≥-+t t ， 由上知实数a 的取值范围为8,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.。
2021-2022学年江苏省无锡市太湖高级中学高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】
2021-2022学年江苏省无锡市太湖高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．在矩形中，，，则（ ）ABCD 3AB =4=AD AB AC AD ++= A ．5B ．6C ．8D ．10D【分析】只需用几何法直接求对角线的长度即可.【详解】由题意 ， ；AC AB AD =+ 210AB AC AD AC ++=== 故选：D.2．如图，在中，设，，若点E 在上，且，则ABCD AB a = AD b = CD 2CE ED ==（ ）BEA ．B ．C ．D ．23a b - 23a b -+13a b -+ 13a b - B【分析】运用平面向量基本定理，结合平面向量加法的运算性质、平行四边形的性质进行求解即可.【详解】因为，所以，2CE ED = 23CE CD=在中，，ABCD ,CD BA BC AD == 所以，22223333BC CE AD CD AD BA BE AD AB b a=+=+=+=-=-故选：B3．设，向量，，，若，则,x y R ∈()1,2a =()3,4b =()5,6c =c xa yb =+ （ ）x y +=A ．B ．C ．1D ．33-1-C【分析】利用向量的坐标公式计算即可.【详解】向量，，，()1,2a =()3,4b =()5,6c =c xa yb =+ ，∴()()()5,61,23,4x y =+，解得.53624x yx y =+⎧∴⎨=+⎩12x y =-⎧⎨=⎩则.1x y +=故选：C4．设向量，，且，则向量与的夹角为(,1)a x =(1,b = a b ⊥a b A ．B ．C ．D ．6π3π23π56πD【详解】向量，，且，则(),1a x =(1,b =a b ⊥0,a bx x ⋅=== ,a =-(0,4)=()014(a b⋅=⨯+⨯=- ,设向量与的夹角为，则4,2a b =a b θ ，，选D.cos θ=50,6πθπθ≤≤∴= 5．在△ABC 中，△ABC 的最小角为（ ）7,a b c ===A．B ．C ．D ．3π6π4π12πB【分析】由小边对小角原理判断三边大小可知最小，求即可.C cos C 【详解】由三角形边角关系可知，角C 为△ABC 的最小角，则cos C =，所以C =.222π22a b c C ab +-=<<6π故选：B .本题考查由余弦定理求解最小角，属于基础题6．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则必为ABC cos cAb <ABC （ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形A【分析】由正弦定理得到，得出，进而sin cos sin C A B <sin cos 0A B <，即可求解.sin 0,0cos A B ><【详解】因为，由正弦定理可得，即，cos cAb <sin cos sin C A B <sin cos sin C A B <又因为，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+所以，即，sin cos cos s co si in s n A B A B A B +<sin cos 0A B <因为，所以，,(0,)A B π∈sin 0,0cos A B ><所以，所以为钝角三角形.(,)2B ππ∈ABC 故选：A.7．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，，且D ABC 4b c ==120A =︒是边上的动点(不含端点)，则的取值范围是（ ）BC ()()DA DB DA DC+⋅+A ．B ．C ．D ．[8,10)-[16,40)-[8,40)-[16,48)-C【分析】以BC 所在直线为轴，以BC 的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标x y 系，利用向量数量积的坐标运算求出即可求解.()()DA DB DA DC +⋅+【详解】解：以BC 所在直线为轴，以BC 的中垂线为轴建立如图所示的平面直角x y 坐标系，因为，，所以，，，设，4b c ==120A =︒()0,2A ()B -()C (),0D x，(x ∈-则，，，(),2DA x =-(),0DB x =--(),0DC x =-所以，()()()()22,22,248DA DB DA DC x x x +⋅+=--⋅=-因为，所以，(x ∈-()248[8,40)x-∈-所以的取值范围是，()()DA DB DA DC +⋅+[8,40)-8．已知O 为锐角三角形的外心，，则的值为ABC 2340OA OB OC ++=cos ACB ∠（ ）ABC ．D ．1434A【分析】根据平面向量数量积的定义和运算运算性质，结合余弦的二倍角公式、三角形外心的性质进行求解即可.【详解】设锐角三角形的外接圆的半径为，即，ABC R OA OB OC R ===，22223404(23)164912OA OB OC OC OA OB OC OA OB OA OB ++=⇒=-+⇒=++⋅ ，显然是锐角，2221164912cos cos 04R R R R R AOB AOB ⇒=++⋅⋅⋅∠⇒∠=>AOB ∠因为O 为锐角三角形的外心，所以O 在锐角三角形内部，ABC ABC 由圆的性质可知：，显然是锐角，12ACB AOB ∠=∠ACB ∠211cos 2cos 1cos 44AOB ACB ACB ∠=⇒∠-=⇒∠=故选：A 二、多选题9．下列说法中错误的为（ ）A ．若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是()1,2a =()1,1b =a ab l + λ5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底()12,3e =-213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．若，则在方向上的投影向量的模为//a b a b aD ．非零向量和满足，则与的夹角为a b a b a b==- a a b + 60︒ACD【分析】对于A ，由与的夹角为锐角，可得且与不共线，a ab l + ()0a a b λ⋅+> a a b l +从而可求出的取值范围，对于B ，判断两个向量是否共线，对于C ，由可得与λ//a b a可能同向，也可能反向，然后利用数量积的几何意义求解即可，对于D ，由b，可得，从而可求出，，再利用向量的夹角公式可a a b=- 22b a b=⋅ ()a a b⋅+ a b+【详解】对于A ，，，与的夹角为锐角，(1,2)a = (1,1)b = a a b l + ，∴()(1,2)(1,2)142350a a b λλλλλλ⋅+=⋅++=+++=+>且（时与的夹角为），所以且，故A 错误；0λ≠=0λa a b l + 0︒53λ>-0λ≠对于B ，向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B12(2,3)4e e =-=正确；对于C ，若，当与反向时，则在方向上的投影为，故C 错误；//a b a b a b a- 对于D ，因为，两边平方得，则，a ab =- 22b a b=⋅()2232a a b a a b a ⋅+=+⋅=a + 故，cos ,a a b +[]0,π得与的夹角为，故D 项错误．a ab +6π故选：ACD10．等边三角形中，，，与交于F ，则下列结论正确ABC BD DC = 2EC AE =AD BE 的是（ ）A ．B ．()12AD AB AC=+2133BE BA BC=+C ．D ．1344AFAB AE=+ 1123BF BA BC=+ ABC【分析】根据向量线性运算，求得各选项的表达式，由此判断出正确选项.【详解】如下图所示：选项A ：，为中点，，A 正确；BD DC = D ∴BC ()12AD AB AC∴=+选项B ：，B 正确；()11213333BE BA AE BA AC BA AB BC BA BC=+=+=++=+选项C ：,,由于三点共线，，故2EC AE = 13AE AC∴=,,E F B BF BE λ= ，设()()1113AF AE AB AC ABλλλλ=+-=+- ，由此可得，()111222AF xAD x AB AC xAB xAC==+=+11332411122x x x λλλ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩，C 正确；()111111332224444AF AD AB AC AB AE AB AE∴==⨯+=+⨯=+ 选项D ：，D()111111++222224BF BA AF BA AD BA BD BA BA BC BA BA BC⎛⎫=+=+=-=-=+ ⎪⎝⎭错误.故选：ABC.11．已知的重心为G ，点E 是边上的动点，则下列说法正确的是（ ）ABC BC A ．A BG CGG +=B ．若，则的面积是面积的2133AE AB AC=+ EAC ABC 23C ．若，，则2AB AC ==3BC =76AB AG ⋅=D ．若，，则当2AB AC ==3BC =EA EB ⋅ BCD【分析】根据三角形重心的向量性质判断A ，由向量的线性运算求得与的关系，EC BC 判断B ，由数量积的定义计算判断C ，设，计算数量积后求最小值，从而可计BE x =算出判断D ．AE 【详解】因为的重心为G ，所以，所以，A 错；ABC 0GA GB GC ++=AG BG CG +=- 2133AE AB AC=+32AE AB AC ⇒=+ 2()2AE AB AC AE BE EC ⇒-=-⇒= ，B 正确；23EC BC ⇒=23EAC BACS S ⇒= ，， 是等腰三角形，，2AB AC ==3BC =ABC 332sin 24BAG ∠==是锐角，BAG ∠cos BAG ∠==AG =，C 正确；7cos 26AB AG AB AG BAG ⋅=∠==设，，(03)BE x x =≤≤3cos 4B =2223()cos()2(4EA EB AE BE AB BE BE AB BE BE AB BE B x x x π⋅=⋅=+⋅=⋅+=-+=⋅-+ ，22339(2416x x x =-=--所以时，取得最小值，34x =EA EB ⋅916-此时， D 正确．BE ==故选：BCD ．12．在的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是（ ）ABC A ．若，则B ．若，22ab c =04C π<<2a b c +=03C π<≤C ．若，则D ．若，则为锐角三角()2a b c ab +<2C π>444a b c +=ABC 形ABD【分析】根据题目所给的条件，运用余弦定理以及基本不等式可以得出结论.【详解】对于A ，，22ab c =由余弦定理（当且仅当 时等号成立），222322cos 224ab aba b ab C ab ab +--=≥=>a b = 故A 正确；对于B ， ， ，22224a b ab c ++=22224a b abc ++=由余弦定理，()22222223131144222cos 2222a b ab a b a b ab ab ab C ab ab ab +++-+--==≥=当且仅当 时等号成立，故B 正确；a b =对于C ，依条件有，，()a b c ab≤+<24abc c <由余弦定理 （当且仅当 时等222222744cos 02228ab aba b ab a b c C ab ab ab +--+-=>≥=>a b =号成立），故C 错误；对于D ，， ，()()222222220a b c a b +-=>222a b c +>并且 ，由三角形大边对大角得 ,,c a c b >>,C A C B ∠>∠∠>∠由余弦定理 ，222cos 02a b c C ab +-=>角C 是锐角，所以角A 和角B 也是锐角，故D 正确；故选：ABD.三、填空题13．已知，是两个不共线的向量，若与共线，则的a b()m a kb k R =-+∈ 32n a b =- k 值为_________．23【分析】根据题意得到，列出方程组，即可求解.λ= m n 【详解】由题意，向量与共线，m a kb =-+ 32n a b =-可得，即，可得，解得.λ= m n (32)a kb a b λ-+=- 312k λλ=-⎧⎨=-⎩23k =故答案为.2314．设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且，则角ABC cos a C b =的大小为_________．A 6π30【分析】由正弦定理得，化简得到2sin 2sin cos B C A C =，进而求得的值，即可求解.2cos sin 0A C C =cos A【详解】因为，可得的，cos a C b =2cos 2a C b =由正弦定理得，2sin 2sin cos B C A C =因为，2sin 2sin()2sin cos 2cos sin B A C A C A C =+=+化简得，2cos sin 0A C C =又因为，可得，所以(0,)C π∈sin 0C >cos A =又由，可得.(0,)A π∈6A π=故答案为.6π15．在中，，，，若对任意的实ABC (,2)AB m m =+ (cos ,sin )AC αα= (,)m α∈∈R R 数t ，恒成立，则面积的最小值是_________AB t AC AB AC-≥- ABC 0.512【分析】由对任意的实数t ，恒成立，可得，根据AB t AC AB AC CB-≥-= BC AC ⊥向量的模长公式以及勾股定理，求出、，从而根据即可求解.AC 12ABCBC S AC =【详解】解：因为对任意的实数t ，恒成立，AB t AC AB AC CB-≥-=所以由向量减法的几何意义可知，点B 到直线AC 的最短距离为BC ，所以，BC AC ⊥因为，，(,2)AB m m =+ (cos ,sin )AC αα=所以，1AC ==AB ==所以，即面积的最小1212ABC AC C S B ===≥ ABC 值是，12故答案为.12四、双空题16．已知的外接圆圆心为O ．且，，则ABC 2AO AB AC =+ 2OA AB == _________，向量在向量上的投影向量的模长为_________AB AC ⋅=CA CB ； .03【分析】根据平面向量的加法运算性质，结合平面向量数量积的运算性质、投影向量的定义进行求解即可.【详解】由，22AO AB AC AO OB OC OB A C AO O O ⇒=++==+⇒+所以点共线，因为的外接圆圆心为O ．B C O 、、ABC 所以是圆O 的直径，故，BC 900BAC AB AC AB AC ︒∠=⇒⊥⇒⋅= 因为，所以，，2OA = 4BC =21sin 3042ACB ACB ︒∠==⇒∠=向量在向量上的投影向量的模长为：CA CB，cos 3CA ACB ⋅∠== 故；03五、解答题17．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC a =，，求边c 和的面积．b =30B =︒ABCc =ABC c =ABC 【分析】利用余弦定理可得，再利用三角形面积计算公式即可得出．c【详解】∵，，a =b =30B =︒∴，2222cos b a c ac B =+﹣∴，化为，解得．226230c c cos =+-⨯ 240c -+=c =当∴S △ABC =c =1sin 2ac B当∴S △ABC =c =1sin 2ac B18．设向量()()()122121a b c ===-，，，，，（1）若向量 与向量 平行，求 的值； a b λ-c λ（2）若向量 与向量互相垂直，求 的值.b c μ+b c μ- μ（1）；（2）1或.54λ=1-【分析】(1)根据平面向量的坐标运算，结合平行向量的判定定理求解即可；(2)根据平面向量的坐标运算，结合向量垂直的判定定理求解即可.【详解】（1），()122a b λλλ-=--， 向量 与向量 平行， a b λ- c ()512225404λλλλ∴-+-=-=⇒=（2）因为 ，()()()212221b c μμμμμ+=+-=-+，，， ，()()()221221b c μμμμμ-=--=+-，，，因为 与 互相垂直，所以 ，b c μ+ b c μ- ()()b c b c μμ+⋅-= 即，()()()()411110μμμμ-+++-=，解得 或 .()()3110μμ∴-+=1μ=1-19．如图，在中，点D 是边上一点，ABC BC 14,6,10AB BD AD ===(1)求的大小；ADC ∠(2)若的面积为，求边的长．ABCAC (1)；3π(2)【分析】（1）运用余弦定理，结合诱导公式进行求解即可；（2）根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式进行求解即可.【详解】(1)，因为，14,6,10AB BD AD ===所以，222100361961cos 221062AD BD AB ADB AD BD ∠+-+-===-⋅⋅⨯⨯；1cos cos()cos 23ADC ADB ADB ADC π∠π∠∠∠=-=-=⇒=(2)由正弦定理可知：，10sin sin sin sin AD AB ABD ABD ADB ABD =⇒=∠=∠∠∠因为的面积为ABC 所以，于是，114142BC BC ⨯⋅=⇒=1468CD BC BD =-=-=由余弦定理可知：.AC ===20．如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x 轴、y 轴正Ox Oy 60︒12,e e 方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标12OP xe ye =+ (),x y OP 系中的坐标，记，已知在该坐标系下Oxy (),OP x y =(1,2),(2,3)a b ==-(1)计算的大小a b+ (2)求与的夹角大小a b + aθ(1)，a + (2) .60θ︒=【分析】题目给出的是非直角坐标系，与直角坐标系不同的是，当两向量垂直的时候，其数量积不为0；（1）将向量 用基底 表示，按照模的运算法则即可；a b +12,e e （2）求出向量 的模，用向量夹角公式计算即可.a【详解】(1)依题意，1212122233a b e e e e e e +=++-=- ，()()2222212121239231023cos 607a b a be e e e e e ︒+=+=-=+-⨯=-⨯⨯=；a + (2)，()22221212122447a e e e e ee =+=++= ，()2212123251cos 72a b a e e e e a b aθ+-+====+ ；60θ︒=综上，，.a + 60θ︒=21．如图，在中，已知，，，点D 是上一点，满ABC 1CA =2CB =60ACB ∠=︒AB 足，点E 是边上一点，满足AD AB λ= CB BE BC λ=(1)当时，求12λ=AE CD⋅(2)是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值：若不存在，请说明理λAE CD ⊥λ由(1)14(2)存在非零实数，使得23λ=AE CD⊥【分析】（1）当时，、分别是，的中点，则、12λ=D E BC AB 12AE AC CB=+ ，然后根据已知条件即可求解；1()2CD CA CB =+AE CD ⋅ （2）假设存在非零实数，使得，利用、为基底分别表示出和λAE CD ⊥ CB CA CD，AE由求出值即可．0AE CD ⋅=λ【详解】(1)解：当时，，，12λ=12AD AB = 12BE BC = 、分别是，的中点，D ∴E BC AB ，，∴12AE AC CE AC CB =+=+ 1()2CD CA CB =+∴11()()22AE CD AC CB CA CB ⋅=+⋅+ 211112244AC CA AC CB CB CA CB=⋅+⋅+⋅+；221111112cos12021cos6022244=-⨯+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯14=(2)解：假设存在非零实数，使得，λAE CD ⊥ 由，得，AD AB λ=()AD CB CA λ=- ；∴()(1)CD CA AD CA CB CA CB CA λλλ=+=+-=+-又，BE BC λ= ；∴()()(1)AE AB BE CB CA CB CB CA λλ=+=-+-=-- ∴222(1)(1)(1)AE CD CB CB CA CB CA CA λλλλλ⋅=--⋅+-⋅-- ，解得或（不合题意，舍去）24(1)(1)(1)λλλλλ=--+---2320λλ=-+=23λ=0λ=，所以存在非零实数，使得．23λ=AE CD ⊥22．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A ，B ，C 满足1233OC OA OB=+(1)求证：A ，B ，C 三点共线，并求和值．AC CB(2)已知，，，若函数(1,cos )A x (1cos ,cos )B x x +,03x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的最小值为，求实数m 的值()223f x OA OC m AB⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭3-(1)证明见解析，2AC CB→→=(2)52【分析】(1) 化简得，进而可得的值；2BC CA = AC CB（2）先求出，再换元利用二次函数的图像和性质求实数2()cos 2cos 1f x x m x =-+的值.m 【详解】(1)由题意知，，即，32OC OA OB =+2()OC OB OA OC -=- 所以，则，为公共点，所以A ，B ，C 三点共线，2BC CA = //BC CAC 则.2AC CB= (2)易知，，，(1,cos )OA x = (1cos ,cos )OB x x =+(cos ,0)AB x →=则，，2(1cos ,cos )3OC x x →=+cos AB x=所以，2()cos 2cos 1f x x m x =-+令，cos t x =则，，其对称轴方程是.()222()211g t t mt t m m =-+=-+-1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t m =当时，的最小值为，解得（舍）；12m <()g t 15324g m ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭174m =当时，的最小值为，解得（舍）；112m ≤≤()g t ()213g m m =-=-2m =±当时，的最小值为，解得.1m >()g t (1)1213g m =-+=-52m =综上可知，实数的值为.m 52。
2021-2022学年河北省张家口市宣化第一中学高一下学期3月月考数学试卷
2021-2022学年下学期宣化一中高一月考数学试卷（3月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 下列命题中不正确的是()A. 存在这样的α和β的值，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+B. 不存在无穷多个α和β的值，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+C. 对于任意的α和β，都有cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-D. 不存在这样的α和β值，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+≠-2. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为若则A. 22-B. 2-C. 2D. 223. 在ABC 中，点G 满足0GA GB GC ++=，若存在点O ，使得，且OA xOB yOC =+，则()x y +=A. 2-B. 2C. 1D. 1-4. 已知||1a =，||2b =，12a b ⋅=-，A.14B.34C.612D.645. 在正方体1111ABCD A B C D -中，有以下结论：①//BD 面11CB D ，②；③AC与1A D 是异面直线；④AC 与1A D 成60︒角，其中正确的结论共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，给出下列判断：(1)平面1PB D ⊥平面1ACD ；平面1ACD ；(3)异面直线1A P 与1AD 所成角的范围是(0,]3π；(4)三棱锥1D APC -的体积不变．其中正确的命题是()A. (1)(2)B. (1)(2)(3)C. (2)(4)D. (1)(2)(4)7. 如图在正三棱锥S ABC -中，M ，N 分别是棱SC 、BC 的中点，Q 为棱AC 上的一点，且，MN MQ ⊥，若22AB =，则此正三棱锥S ABC -的外接球的体积为()A. 12πB.433πC. 83πD. 43π8. 对函数有下列4个命题：①任取1x ，2[0,),x ∈+∞都有12|()()|2f x f x -恒成立； ②对于一切[0,)x ∈+∞恒成立；③对任意0x >不等式()k f x x 恒成立，则实数k 的取值范围是9[,)8+∞； ④函数有3个零点；则其中所有真命题的序号是()A. ①③B. ①④C. ①③④D. ②③④二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则下列结论正确的是()A. 3cos 5A =±B. 4B π=C. 522b =D. ABC 中的面积为7210. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中错误的是()A. AC AF ⊥B. //EF 平面ABCDC. 三棱锥A BEF -的体积为定值D. AEF 的面积与BEF 的面积相等11. 设α是给定的平面，A ，B 是不在α内的任意两点，则()A. 一定存在过直线AB 的平面β与平面α相交B. 在α内一定存在直线l 与直线AB 平行C. 在α内一定存在直线l 与直线AB 相交D. 在α内一定存在直线l 与直线AB 垂直12. 如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，(,)BM xBA yBD x y R =+∈，则2x y +可以取值为()A.16B.13C.23D. 1三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若函数()f x 是R 上的奇函数，且周期为3，当302x <<时，()3xf x =，则______.14. 设12,e e 是平面内两个不共线的向量，，，0a >，0.b >若A ，B ，C 三点共线，则12a b+的最小值是______.15. 已知函数()sin 2sin()3f x a x x b πωω=+++的图象的相邻两个对称轴之间的距离为2π，且x R ∀∈，恒有()()6f x f π，若存在1x ，2x ，3[0,]2x π∈，123()()()f x f x f x +成立，则b 的取值范围为______.16. 在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，8PA =，AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为______.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知(1)求tan α的值； (2)求2αβ-的值．18. 在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，向量，向量，且//.m n()Ⅰ求角B 的大小；()Ⅱ若3b =，求ABC 的面积的最大值．19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为2的正三角形，点E ，F 分别是棱1CC ，1BB 上的点，点M 是线段AC 上一点，2 2.EC FB ==(1)若M 为AC 的中点，证明：//BM 平面AEF ；(2)若，求.AM20. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，PB PD =，E ，F 分别为AB 和PD 的中点．(1)求证：//EF 平面.PBC (2)求证：BD ⊥平面.PAC21. 已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，，且.m n ⊥(1)求tan tan A B 的值；(2)若ABC 的面积为ABCS，求的最小值．22. 若函数()y f x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使成立，则称该函数为“依赖函数”．(1)判断函数()2sin g x x =是否为“依赖函数”，并说明理由；(2)若函数()2x f x =在定义域[,](0)m n m >上为“依赖函数”，求mn 的取值范围； (3)已知函数在定义域[3,4]上为“依赖函数”，若存在实数：[3,4]x ∈，使得对任意的t R ∈，不等式2()()4h x t s t x -+-+都成立，求实数s 的最大值．答案1-8 BAADD DDB 9.BC 10.AD 11.AD 12.CD 13.【答案】3-14.【答案】415.【答案】16.【答案】80π17.【答案】解：，得1tan 3α=； (2)因为，又，得，所以18.【答案】解：，，由正弦定理可得：，化为222a c b ac +-=，2221cos 22a c b B ac +-∴==，(0,)B π∈，.3B π∴=， ，当且仅当3a c ==时取等号．ABC ∴的面积的最大值为93.419.【答案】解：(1)证明：取AE 中点G ，连接GM ，FG ，则且，又因为//BF EC 且，所以//GM BF ，且，所以四边形GMBF 为平行四边形，从而又BM ⊂/平面AEF ，GF ⊂平面AEF ，所以//BM 平面.AEF(2)连接EB ，因为，所以， 又， 所以，所以20.【答案】证明：(1)取PC 中点为G ，在PCD 中，F 是PD 中点，G 是PC 中点，//FG CD ∴，且12FG CD =， 又底面ABCD 是菱形，//AB CD ∴，E 是AB 中点，//BE CD ∴，且，，且BE FG =，∴四边形BEFG 是平行四边形，//EF BG ∴，又EF ⊂/平面PBC ，BG ⊂/平面PBC ， //EF ∴平面.PBC (2)设ACBD O =，则O 是BD 中点，底面ABCD 是菱形，BD AC ∴⊥，又PB PD =，O 是BD 中点，BD PO ∴⊥，又ACPO O =，BD ∴⊥平面.PAC 21.【答案】解：(1)因为，所以，即，所以，即，所以22.【答案】解：(1)对于函数()2sin g x x =的定义域R 内存在16x π=，则无解，故()2sin g x x =不是“依赖函数“，(2)因为()2x f x =在[,]m n 上递增，故()()1f m f n =，即，2m n +=，由0n m >>，故20n m m =->>，得01m <<， 从而(2)mn m m =-在(0,1)m ∈上单调递增，故(0,1)mn ∈，(3)①若34a ，故2()()h x x a =-在[3,4]上最小值为0，此时不存在2x ，舍去，②若4a >，故2()()h x x a =-在[3,4]上单调递减， 从而，解得1(a =舍)或5a =，从而存在[3,4]x ∈，使得对任意的t R ∈，有不等式恒成立，即恒成立， 由，得，由[3,4]x ∈，可得，又在[3,4]x ∈单调递减，故当3x =时，， 从而，解得34s -， 综上，故实数s 的最大值为3.4-。
2021-2022学年上海市七宝中学高一下学期3月月考数学试卷(含详解)
七宝中学2021学年第二学期高一年级3月练习数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分60分，每题5分）1.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=__________2.函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________．3.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==，则角C =__________.4.已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴,则ϕ=.5.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.6.若向量a 与b共线，且1==a b r r ，则+= a b ______．7.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为___________．8.若不等式()πsin π06x a b x ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，则a b +的值等于______．9.已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x ∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为________．10.已知函数()tan()(0,2f x A x πωϕωϕ=+><，()y f x =的部分图像如下图，则()24f π=____________.11.函数2π()4coscos()2sin ln(1)22x f x x x x =---+的零点个数为_________．12.给出下列四个命题：①在ABC 中，若π2C >，则sin cos A B <；②已知点()0,3A ，则函数sin y x x =-的图象上存在一点P ，使得1PA =；③函数2cos 2cos y x b x c =++是周期函数，且周期与b 有关，与c 无关；其中真命题的序号是______．（把你认为是真命题的序号都填上）二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A.f (x )=│cos 2x │B.f (x )=│sin 2x │C.f (x )=cos│x │D.f (x )=sin│x │14.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A.3144AB AC -B.1344AB AC -C .3144+AB ACD.1344+AB AC15.某人驾驶一艘小游艇位于湖面A 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21 方向，且塔顶的仰角为81 ，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B 处，此时测得塔底位于北偏西39 方向，则该塔的高度约为（）A.265米B.279米C.292米D.306米16.已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（）A.1()()4y f x g x =+- B.1()()4y f x g x =--C.()()y f x g x = D.()()g x y f x =三、解答题（本大题共有4题，满分70分）17.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ35π6sin()A x ωϕ+055-0（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．18.在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝2A ．（1）求cos A 的值；（2）求c 的值．19.为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD ，30AB m =，15AD m =．为保护D 处的一棵古树，有关部门划定了以D 为圆心、DA 为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB 边上的点E ，出线口为CD 边上的点F ，施工要求EF 与封闭区边界相切，EF 右侧的四边形地块BCFE 将作为绿地保护生态区（计算长度精确到0.1m ，计算面积精确到20.01m ）（1）若20ADE ∠=︒，求EF 的长；（2）当入线口E 在AB 上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？20.已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．（1）求函数()f x 的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x 的方程()()f x g x m +=在[)0,2π内有两个不同的解α，β．求实数m 的取值范围；（3）在第（2）的条件下，证明：()22cos 15m αβ-=-．七宝中学2021学年第二学期高一年级3月练习数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分60分，每题5分）1.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=__________【答案】35-##0.6-【解析】【分析】根据已知直线得到tan θ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出2cos θ的值，然后根据二倍角余弦公式即可求解．【详解】根据题意可知：tan 2θ=，所以22222cos 11cos sin cos tan 15θθθθθ===++，所以213cos 22cos 12155θθ=-=⨯-=-.故答案为：35-.2.函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________．【答案】 2π.【解析】【分析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.【详解】函数()2sin 2f x x ==142cos x -,周期为2π【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.3.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==，则角C =__________.【答案】23π【解析】【分析】根据正弦定理到35a b =，75c a =，再利用余弦定理得到1cos 2C =-，得到答案.【详解】3sin 5sin A B =，则35a b =，2b c a +=，故75c a =.根据余弦定理：22222294912525cos 32225a a a abc C ab a a +-+-===-⋅，故23C π=.故答案为：23π.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.4.已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴,则ϕ=.【答案】4π【解析】【详解】因为直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴，所以5244T πππ=-=，所以22T ππω==，1ω=，所以()sin()f x x φ=+，又因为4x π=是()f x 的一条对称轴，所以,42k k Z ππϕπ+=+∈，而0φπ<<，所以4πφ=．5.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.【答案】1【解析】【详解】由题意知：()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+=()()sin[]2sin cos x x ϕϕϕϕ++-+=()sin cos x ϕϕ++()cos sin x ϕϕ+-()2sin cos x ϕϕ+=()cos sin x ϕϕ+-()sin cos x ϕϕ+=()sin[]x ϕϕ+-=sin x ，即()sin f x x =，因为x R ∈，所以()f x 的最大值为1.考点：本小题主要考查两角和与差的三角函数、三角函数的最值的求解，熟练公式是解答好本类题目的关键.6.若向量a 与b共线，且1==a b r r ，则+= a b ______．【答案】0或2【解析】【分析】由题可知a 与b相等或互为相反向量，据此即可求a b + 【详解】 向量a 与b 共线，且a b = ，∴a 与b相等或互为相反向量，当a 与b相等时，22a a b ==+ ，当a 与b互为相反向量时，0=0a b =+ ．故答案为：0或2．7.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为___________．【答案】8【解析】【详解】试题分析：因,故,由题设可得,即,所以,所以,应填.考点：余弦定理及三角形面积公式的运用．【易错点晴】本题的设置将面积与余弦定理有机地结合起来,有效地检测了综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.求解时先借助题设条件和三角形的面积公式及余弦定理探究出三边的关系及,先求出,在运用余弦定理得到.8.若不等式()πsin π06x a b x ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，则a b +的值等于______．【答案】56【解析】【分析】作出y ＝πsin π6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在[－1，1]上的图像，作出符合题意的y ＝x a b --的图像即可求出a 、b ，从而得到答案．【详解】设函数y=πsin π6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(),,x a b x a f x x a b x a b x a -+-<⎧=--=⎨--⎩，下面分析它们的性质，以作出它们的图像.①对函数y=πsin π6x ⎛⎫+⎪⎝⎭，[]1,1x ∈-时，π5π7ππ[,666x +∈-，∴当5πππ066x -+ 或π7πππ66x + ，即116x -- 或516x时，πsin π06x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；当π0ππ6x <+<，即1566x -<<时，πsin π06x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭．②对(),,x a b x a f x x a b x a b x a -+-<⎧=--=⎨--⎩，则()f x 在(),a -∞上单调递减，在(),a +∞上单调递增，且()f x 的图像关于直线x a =对称.若不等式()πsin π06x a b x ⎛⎫--+⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，则当116x --或516x时，0x a b -- ；当1566x -<<时，0x a b -- ．为使f (x )满足上述条件，其图像仅能如图所示：15066f f ⎛⎫⎛⎫∴-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1516623a -+∴==，又5510663f b ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则12b =，115326a b ∴+=+=﹒故答案为：56﹒9.已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x ∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为________．【答案】π2【解析】【详解】由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭,所以2ππ422ωω+=⇒=考点:本题主要考查三角函数的性质.10.已知函数()tan()(0,2f x A x πωϕωϕ=+><，()y f x =的部分图像如下图，则()24f π=____________.【解析】【分析】先求出周期，从而可得ω，代入38x π=函数值为0，结合已知ϕ的范围，可求得ϕ，最后由(0)1f =可得A ．【详解】由题意3()2882T πππ=-⨯=，∴22T ππωπ===，又3tan(2)08πϕ⨯+=，3()4k k Z πϕπ+=∈，而2πϕ<，∴4πϕ=，(0)tan(20)14f A π=⨯+=，1A =，∴()tan(2)4f x x π=+，∴(tan(2)tan 242443f ππππ=⨯+==．【点睛】本题考查正切函数的图象与性质，解题时必须掌握正切型函数的周期、零点等知识．本题属于基础题型．11.函数2π()4coscos()2sin ln(1)22x f x x x x =---+的零点个数为_________．【答案】2【解析】【详解】因为2π()4coscos()2sin ln(1)22x f x x x x =---+所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数，函数与图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数有2个零点．考点：二倍角的正弦、余弦公式，诱导公式，函数的零点．12.给出下列四个命题：①在ABC 中，若π2C >，则sin cos A B <；②已知点()0,3A ，则函数3sin y x x =-的图象上存在一点P ，使得1PA =；③函数2cos 2cos y x b x c =++是周期函数，且周期与b 有关，与c 无关；其中真命题的序号是______．（把你认为是真命题的序号都填上）【答案】①③【解析】【分析】根据三角形为锐角三角形，结合三角函数的单调性，可判断①；化简3sin y x x =-，结合其图象，可判断②；谈论b 是否为0，分析函数的周期情况，判断③.【详解】对于①，在ABC 中，若π2C >，则π2A B +<,故π022A B π<<-<，故sin sin()cos 2A B B π<-=,故①正确；对于②，3sin 2cos()6y x x x π=-=+，作出其靠近y 轴部分图象如图示：由图象可知，函数3sin y x x =-的图象上不存在点P ，使得1PA =，故②错；对于③，当0b =时，211cos cos 222y x c x c =+=++，该函数的周期为π，与c 无关，当0b ≠时，211cos 2cos cos 22cos 22y x b x c x b x c =++=+++，该函数的周期为2π，与c 无关，故函数2cos 2cos y x b x c =++是周期函数，且周期与b 有关，与c 无关，③正确，故答案为：①③二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A.f (x )=│cos 2x │B.f (x )=│sin 2x │C.f (x )=cos│x │D.f (x )=sin│x │【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．【详解】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos 2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,)42ππ单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,)42ππ单调递减，排除B ，故选A ．【点睛】利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数；14.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A.3144AB AC -B.1344AB AC -C.3144+AB ACD.1344+AB AC【答案】A 【解析】【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+ ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC=+=+=++1113124444BA BA AC BA AC=++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.15.某人驾驶一艘小游艇位于湖面A 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21 方向，且塔顶的仰角为81 ，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B 处，此时测得塔底位于北偏西39 方向，则该塔的高度约为（）A.265米B.279米C.292米D.306米【答案】C 【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出该塔的高度．【详解】如图所示，△ABC 中，AB ＝1000，∠ACB ＝21°+39°＝60°，∠ABC ＝90°﹣39°＝51°；由正弦定理得，10005160AC sin sin =︒︒，所以AC 10005160sin sin ⋅︒=︒；Rt △ACD 中，∠CAD ＝18°，所以CD ＝AC •tan 18°10005160sin sin ⋅︒=⨯︒tan 18°10000.77710.8660⨯=⨯0.3249≈292（米）；所以该塔的高度约为292米．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的边角关系的应用问题，也考查了计算能力，是基础题．16.已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（）A.1()()4y f x g x =+- B.1()()4y f x g x =--C.()()y f x g x = D.()()g x y f x =【答案】D【解析】【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解.【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，210221642y ππ⎛⎫'=⨯++⨯> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C.故选：D.三、解答题（本大题共有4题，满分70分）17.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ35π6sin()A x ωϕ+055-0（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．【答案】（Ⅰ）π()5sin(26f x x =-；（Ⅱ）π6．【解析】【详解】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-．数据补全如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ12π37π125π613π12sin()A x ωϕ+0505-0且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(26f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-．因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k Z ∈．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k Z ∈．由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k Z ∈．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6．考点：“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．18.在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝2A ．（1）求cos A 的值；（2）求c 的值．【答案】（1）3；（2）．【解析】【详解】(1)因为a ＝3，b ＝，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得sin a A ＝sin 2A.所以2sin cos sin A A A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝33.又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝9.所以c ＝sin sin a CA＝5.19.为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD ，30AB m =，15AD m =．为保护D 处的一棵古树，有关部门划定了以D 为圆心、DA 为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB 边上的点E ，出线口为CD 边上的点F ，施工要求EF 与封闭区边界相切，EF 右侧的四边形地块BCFE 将作为绿地保护生态区（计算长度精确到0.1m ，计算面积精确到20.01m ）（1）若20ADE ∠=︒，求EF 的长；（2）当入线口E 在AB 上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）23.3m（2）AE =2255.14m .【解析】【分析】（1）作DH EF ⊥，结合三角函数的顶柜表示出EF ，即可求出结果；（2）设ADE θ∠=，结合三角函数的顶柜表示出,AE FH ，然后表示出面积，结合诱导公式以及正切的二倍角公式进行化简，进而结合不等式即可求出结果.【小问1详解】作DH EF ⊥，垂足为H ，连接DE ，则EF EH HF =+15tan 2015tan 50=+ 23.3m ≈，【小问2详解】设ADE θ∠=，则()15tan ,15tan 902AE FH ==-θθ，2ADEF ADE DFHS S S =+ ()1121515tan 1515tan 90222=⨯⨯⨯+⨯⨯- θθ15130tan 152tan 2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭θθ2151tan 30tan 1522tan ⎛⎫-=+⨯ ⎝⎭θθθ22513tan 4tan ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭θθ，因为tan 0θ>，所以13tan tan +≥θθ，当且仅当13tan tan θθ=，即3tan 3θ=时，等号成立，此时2ADEF S =，且15tan AE ==θ，所以最大面积为222531530255.14m 2⨯-≈.20.已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．（1）求函数()f x 的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x 的方程()()f x g x m +=在[)0,2π内有两个不同的解α，β．求实数m 的取值范围；（3）在第（2）的条件下，证明：()22cos 15mαβ-=-．【答案】（1）()2sin f x x =；对称轴方程为(Z)2x k k ππ=+∈（2）(（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律可得：()2sin f x x =，从而可求对称轴方程．（2）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得()())f x g x x ϕ+=+（其中sin ϕ=cos ϕ=，从而可求|1<，即可得解．（3）由题意可得sin()αϕ+=sin()βϕ+=．当0m ≤<可得2()αβπβϕ-=-+，当0m <<时，可得32()αβπβϕ-=-+，利用三角函数诱导公式以及倍角公式即可证明结论.【小问1详解】将()cos g x x =的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到2cos y x =的图象，再将2cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到2cos()2y x π=-的图象，故()2sin f x x =，从而函数()2sin f x x =图象的对称轴方程为(Z)2x k k ππ=+∈．【小问2详解】()()2sin cos ))f xg x x x x x x ϕ+=+=+=+（其中sin ϕ=cos ϕ=依题意，sin()x ϕ+=[0，2)π内有两个不同的解α，β，当且仅当|1<，故m 的取值范围是(．【小问3详解】因为α，β)x m ϕ+=在区间[0，2)π内的两个不同的解，所以sin()αϕ+=，sin()βϕ+=．当0m ≤<2()2παβϕ+=-，即2()αβπβϕ-=-+；当0m <<时，32()2παβϕ+=-，即32()αβπβϕ-=-+；所以2222cos()cos 2()2sin ()1115m αββϕβϕ-=-+=+-=-=-．。
精品解析：福建师范大学第二附属中学2022-2023学年高一3月月考数学试题(解析版)
福建师大二附中2021-2022学年第二学期高一年段月考数学试题一､选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分1. 已知全集{1,2,3,4,5}U =,集合{1,3,5}M =,{3,4}U N =ð,则M N = （ ）A. {1} B. {1,2}C. {1,5}D. {1,2,5}【结果】C 【思路】【思路】依据集合地交集和补集地概念即可求出结果.【详解】由题意可得{1,2,5}N =,则{1,5}M N ⋂=.故选：C.2. 已知向量()7,6AB = ,()3,BC m =- ,()1,2AD m =-,若A ,C ,D 三点共线,则m =（ ）A.32B.23C. 32-D. 23-【结果】D 【思路】【思路】依据三点共线地向量表示即可求解.【详解】(4,6)AC AB BC m =+=+,因为A ,C ,D 三点共线,所以AC 与AD共线,所以42(6)m m ⨯=-+,解得m =23-．故选：D.3. 下面表达正确地个数为（ ）①面积，压强，速度，位移这些物理量都是向量②零向量没有方向③向量地模一定是正数 ④非零向量地单位向量是唯一地A. 0B. 1C. 2D. 3【结果】A 【思路】【思路】依据向量地定义和性质,逐项判断正误即可.【详解】①错误,只有速度,位移是向量．②错误,零向量有方向,它地方向是任意地．③错误,|0|0.=④错误,非零向量a 地单位向量有两个,一个与a 同向,一个与a反向．故选：A.4. 已知弧长为3π地弧所对地圆心角为6π,则该弧所在地扇形面积为（ ）A.B.1π3C.2π3D.4π3【结果】B 【思路】【思路】先求得扇形地半径,由此求得扇形面积.【详解】依题意,扇形地半径为π32π6=,所以扇形面积为1ππ2233⋅⋅=.故选：B5. 在ABC 中,内角,,A B C 地对边分别为,,a b c ,已知5c =,23B π=,ABC,则b =（ ）A. B. 7C. D. 6【结果】B 【思路】【思路】依据5c =,23B π=,ABC,求得a ,再利用余弦定理求解.【详解】因为5c =,23B π=,ABC,所以112sin 5sin 223ABC πS ac B a ==⨯⨯=,解得3a =,由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-,2925253cos493π=+-⨯⨯⨯=,所以7b =,故选：B6. 已知函数()f x 是定义在R 上地奇函数,()(4)f x f x =+,且(1)1f -=-,则(2020)(2021)f f +=（ ）A. 1- B. 0C. 1D. 2【结果】C 【思路】【思路】由()(4)f x f x =+得函数地周期性,由周期性变形自变量地值,最后由奇函数性质求得值．【详解】∵()f x 是奇函数,∴(0)0,(1)(1)1f f f ==--=,又()(4)f x f x =+,∴()f x 是周期函数,周期为4．∴(2020)(2021)(0)(1)011f f f f +=+=+=．故选：C ．7. 如图,圭表是中国古代通过测量日影长度来确定节令地仪器,也是作为指导汉族劳动人民农事活动地重要依据,它由“圭”和“表”两个部件组成,圭是南北方向水平放置测定表影长度地刻板,表是与圭垂直地杆,正午时太阳照在表上,通过测量此时表在圭上地影长来确定节令.已知冬至和夏至正午时,太阳光线与圭所在平面所成角分别为α,β,测得表影长之差为l ,那么表高为（）A.tan tan tan tan l αβαβ- B.()tan tan tan tan l βαβα- C.tan tan tan tan l βαβα- D.()tan tan tan tan l αβαβ-【结果】C【思路】【思路】由题意画出图形,找出线面角,设AB x =,然后求解三角形得结果.【详解】如图,设表高AB x =,在ACD △中,CAD βα∠=-,由正弦定理有sin sin sin()AC CD lCAD αβα==∠-,所以sin sin()l AC αβα⋅=-,在直角三角形ABC 中,sin ABACβ=,即sin sin sin sin sin sin()sin cos cos sin l x AC l αβαβββαβαβα⋅=⋅==⋅--tan 1tan tan 1tan tan tan l l ββαααβ-==-.故选：C8. 已知△ABC 地内角A ,B ,C 地对边分别为a ,b ,c ,若2c sin C =（a +b ）（sin B -sin A ）,则当角C 得到最大值时,B =（ ）A.3πB.56πC.2πD.23π【结果】D 【思路】【思路】利用正弦定理, 把2sin ()(sin sin )c C a b B A =+-转化成只含有边地等式, 然后利用余弦定理及基本不等式求得cos C 地最小值, 即可求解.【详解】2c sin C =（a +b ）（sin B -sin A ）中利用正弦定理, 得22()()c a b b a =+- ,即2222b a c -=,则由余弦定理得222223cos 24a b c a b C ab ab+-+==,由均值不等式得2234a b ab +=…当且仅当b =时等号成立, 则易知角C 地最大值为6π.当b =时, 22232a a c -=,则a c =,所以2,6663A CB πππππ===--=, 故选：D.二､多选题：本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出地选项中,有多项符合题目要求全部选对地得5分,部分选对地得2分,有选错地得0分9. 下面结论正确地是（ ）A. 在ABC 中,若A B >,则sin sin A B>B. 在锐角三角形ABC 中,不等式2220b c a +->恒成立C. 在ABC 中,若cos cos a B b A c -=,则ABC 是直角三角形D. 在ABC 中,若360b A ==︒，,三角形面积S =,【结果】ABC 【思路】【思路】利用三角形“大角对长边”和正弦定理即可判断A 。
2023-2024学年高一数学第三次月考考试试题
2023-2024学年高一数学第三次月考考试试题1.已知数据的平均数为10，方差为10，则的平均数和方差分别为（）A．30，91B．31，91C．30，90D．31，902.已知复数为纯虚数，则实数（）A．1B．2C．3D．43.如图所示，是的中线.是上的一点，且，若，其中，则的值为（）A．B．C．D．4.已知，则（）A．B．C．D．5.已知向量，在方向上的投影向量为，则（）A．1B．2C．3D．46.已知是不同的直线，是不同的平面，则（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则7.已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设球的体积与圆台分别为，则（）A．B．C．D．8.在锐角中，角的对边分别为，若，则（）A．B．C．D．9.在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（）A．若，则B．若，则为等腰直角三角形C．，则此三角形有一解D．若，则为钝角三角形10.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）A．乙发生的概率为B．丙发生的概率为C．甲与丁相互独立D．丙与丁互为对立事件11.如图，在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列选项正确的有（）A．B．C．直线与平面所成角的最大值是D．的最小值为12.已知i为虚数单位，复数z满足，则z的模为__________．13.已知向量满足，则与的夹角为______．14.已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是______．15.如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，(1)若为侧棱的中点．求证：平面；(2)若过的平面与交于点，求证：；16.某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．17.2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为72和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和60，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．18.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，且为的中点．(1)求证：；(2)求二面角的余弦值；(3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由．19.已知的内角的对边为，且．(1)求；(2)若的面积为；①已知为的中点，求边上中线长的最小值；②求内角的角平分线长的最大值．。
安徽省芜湖市第一中学2021-2022学年高一下学期3月月末诊断测试数学试题(含答案解析)
安徽省芜湖市第一中学2021-2022学年高一下学期3月月末诊断测试数学试题1. 若2+(a −2)i(a ∈R)为实数，(b −1)+√5i(b ∈R)是纯虚数，则复数a +bi 为( ) A. 2−iB. 1−2iC. 2+iD. 1+2i2. 在梯形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A. −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 3. 已知四边形ABCD 的三个顶点A(0,2)，B(−1,−2)，C(3,1)，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则顶点D 的坐标为( )A. (2,72) B. (2,−12) C. (3,2) D. (1,3)4. 在△ABC 中，BC =1，CD ⊥BC ，且点D 为AB 的中点，AD =2，则AC =.( )A. √13B. √15C. 3√3D. 3√55. 向量a ⃗ 、b ⃗ 满足|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，且b ⃗ ⊥(a ⃗ +b ⃗ )，e ⃗ 是和a ⃗ +2b ⃗ 同向的单位向量，则向量b ⃗ 在向量a ⃗ +2b⃗ 方向上的投影向量为( ) A. −e ⃗B. −12e ⃗ C. 12e ⃗ D. e ⃗6. 在△ABC 中，三边长分为5，7，8，则最大角和最小角之和是( ) A. 34πB. 23πC. 56πD. 712π7. 已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( ) A. −23 B. −43C. −15275D. −73368. 过ΔABC 内一点M 任作一条直线，再分别过顶点A,B,C 作l 的垂线，垂足分别为D,E,F ，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 恒成立，则点M 是ΔABC 的( ) A. 垂心 B. 重心 C. 外心 D. 内心 9. 已知正方形ABCD 的边长为2，向量a ⃗ ，b ⃗ 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +b⃗ ，则( ) A. |b ⃗ |=2√2B. a ⃗ ⊥b ⃗C. a ⃗ ⋅b ⃗ =2D. (4a ⃗ +b ⃗ )⊥b ⃗10. 已知e 1⃗⃗⃗ 、e 2⃗⃗⃗ 是两个单位向量，λ∈R 时，|e 1⃗⃗⃗ +λe 2⃗⃗⃗ |的最小值为√32，则下列结论正确的是( )A. e 1⃗⃗⃗ 、e 2⃗⃗⃗ 的夹角可能为π3 B. e 1⃗⃗⃗ 、e 2⃗⃗⃗ 的夹角可能为2π3 C. |e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ |=√32D. |e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ |=1或√311. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中正确的是( )A. 若a 2+b 2−c 2>0，则△ABC 一定是锐角三角形B. 若acosA =bcosB =ccosC ，则△ABC 一定是等边三角形 C. 若acosA =bcosB ，则△ABC 一定是等腰三角形 D. 若acosB +bcosA =a ，则△ABC 一定是等腰三角形12. 已知点O 为△ABC 所在平面内一点，且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ,则下列选项正确的是( ) A. AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗⃗ B. 直线AO 必过BC 边的中点 C. S △AOB :S △AOC =3:2D. |OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,且OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1313. 若复数z =(m +2)+(m 2−9)i(m ∈R)是正实数，则实数m 的值为__________.14. 已知平面单位向量i 、j 互相垂直，且平面向量a ⃗ =−2i +j ，b ⃗ =m i −3j ，c ⃗ =4i +m j ，若(2a ⃗ +b ⃗ )//c ⃗ ，则实数m =__________.15. 如图所示，等边△ABC 中，已知AB =1，点M 在线段BC 上，且满足BM =2CM ，N 为线段AB 的中点，CN 与AM 相交于点P ，则cos∠MPN =__________.16. 在平面上，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |<12，则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是__________.17. 已知非零向量a ⃗ 、b ⃗ ，满足|a ⃗ |=1，(a ⇀−b ⇀)⋅(a ⇀+b ⇀)=12，且a ⃗ ⋅b ⃗ =12.(1)求向量a ⃗ 、b ⃗ 的夹角； (2)求|a ⃗ −b ⃗ |.18. 已知向量a ⃗ =(cosx,sinx ),b ⃗ =(3,√3),x ∈[0,π2]. (1)若a ⃗ //b ⃗ ，求x 的值；(2)记f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ，求f(x)的取值范围.19. 已知ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足√3sinA +cosA =0.有三个条件：①a =1；②b =√3；③S ΔABC =√34.其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题： (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求ΔABD 的面积.20. 在△ABC 中，AB =2，AC =1，∠BAC =120o ，点E ，F 在BC 边上且BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ .(1)若λ=13，求AE 的长; (2)若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ =4，求1λ+1μ的值.21. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S =√34(a 2+c 2−b 2).(1)求角B 的大小； (2)求sinAsinC 取值范围；(3)如图所示，当sinAsinC 取得最大值时，在△ABC 所在平面内取一点D ，使得线段DC =2，DA =1，求△BCD 面积的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了复数的概念，属于基础题. 根据复数的分类求出实数a ，b 后可得结论. 【解答】解：由题意a −2=0，a =2， b −1=0，b =1， 所以a +bi =2+i. 故选C.2.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了平面向量的运算，几何图形的运用分解平面向量，属于基础题．根据几何图形得出BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，注意向量的化简运用算． 【解答】解：∵在梯形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 故选A.3.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题.先设出点的坐标，根据所给的点的坐标，写出向量的坐标，由BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得到向量坐标之间的关系，得到结果． 【解答】解：设顶点D 的坐标为(x,y)， ∵A(0,2)，B(−1,−2)，C(3,1)， ∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,3)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y −2). 又∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{2x =4,2y −4=3,⇒{x =2,y =72,∴点D 的坐标为(2,72). 故选A.4.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了余弦定理在解三角形中的运用，考查了运算能力，属于基础题. 根据已知条件可得∠ABC =π3，然后结合余弦定理求解即可. 【解答】解：因为点D 为AB 的中点，且AD =2，所以BD =2， 在△DBC 中，BC =1，CD ⊥BC ，所以∠DBC =π3， 在△ABC 中，BC =1，AB =4，∠ABC =π3，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cos∠ABC =42+12−2×4×1×12=13， 所以AC =√13. 故选A.5.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了向量的数量积与向量垂直的关系，向量的模，投影向量等知识点，属于中档题. 由b ⃗ ⊥(a ⃗ +b ⃗ )，得b ⃗ ⋅a ⃗ =−1，根据向量模的计算求出|a ⃗ +2b ⃗ |=2，再由(a ⃗ +2b ⃗ )⋅b ⃗ =1，结合投影向量的定义进行求解即可. 【解答】解：因为b ⃗ ⊥(a ⃗ +b ⃗ )，所以b ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )=0， 即b ⃗ ⋅a ⃗ +b ⃗ 2=0⇒b ⃗ ⋅a ⃗ =−1，|a ⃗ +2b ⃗ |=√(a ⃗ +2b ⃗ )2=√a ⃗ 2+4a ⃗ ⋅b ⃗ +4b ⃗ 2=√4−4+4=2，因为(a ⃗ +2b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ +2b ⃗ 2=−1+2=1，所以向量b ⃗ 在向量a ⃗ +2b ⃗ 方向上的投影向量为：(a ⃗ +2b ⃗ )⋅b ⃗|a⃗ +2b ⃗|⋅e ⃗ =12e ⃗ . 故选C.6.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．利用余弦定理解出第二大的角，结合三角形的内角和得出答案． 【解答】解：设a =5，b =7，c =8，则A <B <C. ∴cosB =a 2+c 2−b22ac=12，因为B ∈(0,π)，所以B =π3，所以A +C =2π3，即最大角和最小角之和是23π. 故选B.7.【答案】D【解析】 【分析】本题考查向量数量积的运算问题，涉及到利用定义的运算和数量积的坐标运算，通过函数关系求解得到最值，属于中档题．根据AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23，根据线性运算进行变换可求得∠DAB =π3，以菱形对角线交点为原点，对角线所在直线为坐标值建立平面直角坐标系，利用坐标表示出AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得到关于t 的二次函数，求得二次函数最小值即为所求． 【解答】解：由题意知：BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设∠DAB =θ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4cosθ−4+83−83cosθ=−23，所以cosθ=12， 又θ∈(0,π)， 所以θ=π3，以AC 与BD 交点O 为原点，AC 为x 轴，BD 为y 轴建立如图所示的直角坐标系，所以A(−√3,0)，C(√3,0)，D(0,1)，B(0,−1)，E(2√33,−13)， 设F(0,t)，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,t)，EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√33,t +13)， 所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2+t(t +13)=t 2+13t −2=(t +16)2−7336， 当t =−16时，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值−7336， 故选D.8.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查了向量在三角形中的应用，采用了特殊位置法，属于中档题. 本题采用特殊位置法，将直线特殊为过三角形顶点，从而可得解. 【解答】因为过ΔABC 内一点M 任作一条直线，可将此直线特殊为过点A ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，有BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . 如图：则有直线AM 经过BC 的中点，同理可得直线BM 经过AC 的中点，直线CM 经过AB 的中点， 所以点M 是ΔABC 的重心， 故选B.9.【答案】AD【解析】 【分析】本题主要考查了向量的运算及几何意义、向量垂直的判定与性质、向量的数量积，属于基础题. 先求得b ⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可判断A ，根据AB ，BD 不垂直判定B ，计算数量积判定C ，结合正方形的性质判定D. 【解答】解：由条件可b ⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以|b ⃗ |=|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2， A 正确； a ⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，与BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不垂直， B 错误； a ⃗ ⋅b ⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2， C 错误； 4a ⃗ +b ⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据正方形的性质有AC ⊥BD ， 所以(4a ⃗ +b ⃗ )⊥b ⃗ ， D 正确． 故选AD.10.【答案】ABD【解析】 【分析】本题目主要考查了向量的数量积，具体涉及向量的求模运算，同时还考查了二次函数的最值问题，属于中档题.(e 1⃗⃗⃗ +λe 2⃗⃗⃗ )2的最小值为34，结合二次函数与方程的特点可求出e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 的夹角为π3或2π3，从而求出|e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ |的值． 【解答】解：∵e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是两个单位向量，且|e 1⃗⃗⃗ +λe 2⃗⃗⃗ |的最小值为√32，∴(e 1⃗⃗⃗ +λe 2⃗⃗⃗ )2的最小值为34，(e 1⃗⃗⃗ +λe 2⃗⃗⃗ )2=λ2+2λe 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +1的最小值为34，即λ2+2λe 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +14=0在λ∈R 上有唯一一个解，所以Δ=(2e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ )2−1=0，所以e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =±12∴e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 的夹角为π3或2π3，所以A,B 正确，∴|e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ |2=1或3，∴|e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ |=1或√3，所以D 正确， 故选ABD.11.【答案】BD【解析】 【分析】本题考查正余弦定理，三角函数恒等变换的应用，属于中档题． 根据正余弦定理，三角函数恒等变换的应用逐一判断各个选项即可． 【解答】解：对于A ，△ABC 中，∵a 2+b 2−c 2>0，∴由余弦定理可得角C 为锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形，故A 错误；对于B ，若acos A =bcos B =ccos C ，即sinAcos A =sinBcos B =sinCcos C ，即tanA =tanB =tanC ， 即A =B =C ，即△ABC 是等边三角形，故B 正确；对于C ，若acosA =bcosB ，则由正弦定理得sinAcosA =sinBcosB ， 即sin2A =sin2B ，则2A =2B 或2A +2B =180∘，即A =B 或A +B =90∘， 则△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故C 错误；对于D ，若acosB +bcosA =a ，由正弦定理sinAcosB +sinBcosA =sinA ， 所以sin (A +B )=sinA ，即sinC =sinA ，又因为A ，C 是三角形的内角， 所以A =C ，则△ABC 是等腰三角形.故D 正确. 故选BD.12.【答案】ACD【解析】 【分析】本题主要考查的是向量的运算及向量的模的求法，属于中档题. 结合向量的加法运算及向量的数量积的运算性质分别判断即可. 【解答】解：选项A ，由AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+3(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0⃗ ， 得4AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以A 正确；选项B ，由AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 设BC 中点为D ，E 为AB 中点，则DE//AC ， 则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设AO 与BC 交点为F ，如图：则△DFO ∽△CFA ，所以DF CF =OD AC =14，则DF =15DC =15BD,BF =65BD,CF =45CD =45BD ， 所以BF:FC =3:2，故B 错误； 选项C ，因为BF:FC =3:2， 所以S△ABF S △ACF =32,S△OBF S △OCF=32， 则S△AOBS △AOC=S △ABF +S △OBF S △ACF +S △OCF=32(S △ACF+S △OCF )S △ACF +S △OCF=32，所以C 正确；选项D ，因为AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，且OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则OA⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+9OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4+9=13， 所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√13，所以D 正确. 故选ACD.13.【答案】3【解析】 【分析】本题考查复数的概念，属于基础题，根据题意可知实部大于零，虚部为零，据此解出m 即可. 【解答】解：因为复数z =(m +2)+(m 2−9)i(m ∈R)是正实数， 由m 2−9=0，解得m =3或m =−3， 当m =3时，m +2=5∈R ∗，符合题意； 当m =−3时，m +2=−1，不符合题意， 所以实数m 的值为3.故答案为3.14.【答案】2【解析】 【分析】本题主要考查了由向量共线求参数，属于基础题.由向量平行，进而由向量共线定理列出等式，求解即可得出答案. 【解答】解：2a ⃗ +b ⃗ =(m −4)i −j ，∵(2a ⃗ +b ⃗ )//c ⃗ ， ∴2a ⃗ +b ⃗ =λc ⃗ ，即(m −4)i −j =4λi +mλj ， 即{m −4=4λ−1=mλ，解得m =2. 故答案为2.15.【答案】−√217【解析】 【分析】本题主要考查平面向量基本定理和余弦定理的应用，属于中档题.在△ABM 中，利用余弦定理求得出AM ，NC 的长度，设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由P 、C 、N 三点共线，可求出λ=34，设CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =μCN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，同理可得，利用A 、P 、M 三点共线，可知μ=12，进而在△APC 中，由余弦定理可求出cos∠APC ，因为∠MPN =∠APC ，由此可得答案. 【解答】解：由题意得，AN =BN =12，BM =23，CM =13， 在△ABM 中，由余弦定理可知，cos∠ABM =AB 2+BM 2−AM 22⋅AB⋅BM，即12=1+49−AM 22×1×23，解得AM =√73，同理求出NC =√32，设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ[AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )]=2λ3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2λ3AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵P 、C 、N 三点共线，∴2λ3+2λ3=1，解得λ=34， ∴AP =34AM =√74，若设CP⃗⃗⃗⃗⃗ =μCN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，同理可得，利用A 、P 、M 三点共线，可知μ=12， ∴CP =12CN =√34，在△APC 中，由余弦定理可知，cos∠APC =AP 2+PC 2−AC 22⋅AP ⋅PC =(√74)2+(√34)2−12×√74×√34=−√217=cos∠MPN.故答案为−√217.16.【答案】(√72,√2]【解析】 【分析】本题考查了向量的平行四边形法则、矩形的定义、向量的坐标运算、模的计算公式、不等式的性质，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．根据AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可知：四边形AB 1PB 2是一个矩形．以AB 1，AB 2所在直线为坐标轴建立直角坐标系．设|AB 1|=a ，|AB 2|=b.点O 的坐标为(x,y)，点P(a,b).根据向量的坐标运算、模的计算公式、不等式的性质即可得出． 【解答】解：根据AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可知：四边形AB 1PB 2是一个矩形．以AB 1，AB 2所在直线为坐标轴建立直角坐标系．设|AB 1|=a ，|AB 2|=b. 点O 的坐标为(x,y)，点P(a,b). ∵|OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， ∴{(x −a)2+y 2=1x 2+(y −b)2=1， 变形为{(x −a)2=1−y 2(y −b)2=1−x 2.∵|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |<12，∴(x −a)2+(y −b)2<14， ∴1−x 2+1−y 2<14， ∴x 2+y 2>74.①∵(x −a)2+y 2=1，∴y 2≤1. 同理，x 2≤1. ∴x 2+y 2≤2.②由①②可知：74<x 2+y 2≤2. ∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√x 2+y 2，∴√72<|OA|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤√2. 故答案为(√72,√2].17.【答案】(1)∵(a ⇀−b ⇀)⋅(a ⇀+b ⇀)=12，∴a ⃗ 2−b ⃗ 2=12，即|a ⃗ |2−|b ⃗ |2=12，又|a ⃗ |=1，∴|b ⃗ |=√22，设向量a ⃗ 、b ⃗ 的夹角为θ，∵a ⃗ ⋅b⃗ =12， ∴|a ⃗ ||b ⃗ |cosθ=12，∴cosθ=√22， ∵θ∈[0,π]，∴θ=π4，即向量a ⃗ 、b ⃗ 的夹角为π4;(2)∵|a ⃗ −b ⃗ |2=a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=1−2×12+12=12，∴|a ⃗ −b ⃗ |=√22.【解析】本题主要考查了向量的数量积，向量的模，向量的夹角，属于中档题.(1)对(a ⇀−b ⇀)⋅(a ⇀+b ⇀)=12化简结合|a ⃗ |=1可得|b ⃗ |=√22，然后利用a ⃗ ⋅b ⃗ =12结合数量积的定义可求得答案.(2)先求出|a ⃗ −b ⃗ |2，然后开平方可得结果.18.【答案】解：(1)∵向量a ⃗ =(cosx,sinx ),b ⃗ =(3,√3),x ∈[0,π2]，由a ⇀//b ⇀可得：√3cosx =3sinx ，即tanx =√33. ∵x ∈[0,π2] ， ∴x =π6.(2)由f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ =3cosx +√3sinx =2√3sin (x +π3).∵x ∈[0,π2]，∴x +π3∈[π3,5π6]， ∴sin(x +π3)∈[12,1]，∴f(x)的取值范围为[√3,2√3].【解析】本题考查平面向量的运用，考查向量的数量积的坐标公式和性质，考查辅助角公式以及余弦函数的值域，属于中档题．(1)由向量平行坐标公式，结合角的范围，即可得到x ；(2)运用向量的数量积的坐标公式和辅助角公式，再由正弦函数的值域即可得到所求的最值．19.【答案】解：(1)因为√3sin A +cos A =0，所以2sin (A +π6)=0,因为A ∈(0,π)，所以A =5π6， A =5π6>π2与a =1<b =√3矛盾， 所以①②中仅有一个正确，③正确， 此时S ΔABC =12bcsinA =12bcsin 56π=√34，所以bc =√3，当①③正确时，由a 2=b 2+c 2−2bccosA ，得b 2+c 2=−2<0此时无解， 当②③正确时，由bc =√3，b =√3得c =1经检验满足. (2)因为A =5π6， D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，所以∠BAD=π3， 所以S△ABDS △ADC=12AB⋅ADsin π312AD⋅ACsin π2=12 ，所以S ΔABD =13S ΔABC =13×√34=√312.【解析】本题考查辅助角公式、余弦定理以及三角形面积公式的应用，属于中档题. (1)先运用辅助角公式求得2sin(A +π6)=0.进而求出A =5π6，从而①②中仅有一个正确，③正确，再分类讨论，结合余弦定理求得c =1;(2)根据三角形的面积公式得到S△ABDS △ADC=12AB⋅ADsin π312AD⋅ACsin π2=12，进而得到△ABD 的面积.20.【答案】解：(1)设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ， 则|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b⃗ |cos120∘=−1，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +13(b ⃗ −a ⃗ )=23a ⃗ +13b ⃗ ，|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(23a ⃗ +13b ⃗ )2=√19(16+1−4)=√133， (2)AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +λ(b ⃗ −a ⃗ )=(1−λ)a ⃗ +λb ⃗同理可得，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +μ(b ⃗ −a ⃗ )=(1−μ)a ⃗ +μb ⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =[(1−λ)a ⃗ +λb ⃗ ]⋅[(1−μ)a ⃗ +μb ⃗ ]=4(1−λ)(1−μ)+λμ−[(1−λ)μ+(1−μ)λ] =4+7λμ−5(λ+μ)，∴4+7λμ−5(λ+μ)=4，7λμ−5(λ+μ)=0， 同除以λμ可得，1λ+1μ=75.【解析】本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力，属于中档题． (1)设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，利用向量的数量积以及向量的模求解即可． (2)求出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ =4中的向量表示，利用向量的数量积转化求解即可．21.【答案】(1)△ABC 中，面积为S =√34(a 2+c 2−b 2)，又S =12acsinB ，cosB =a 2+c 2−b 22ac，所以√34⋅2accosB =12acsinB ，所以tanB =√3， 又B ∈(0∘,180∘)，所以B =60∘；(2)由(1)得，A +C =120∘，又是锐角三角形，得30∘<A <90∘，所以sinAsinC =sinAsin (120∘−A )=sinA (sin120∘cosA −cos120∘sinA )=√34sin2A +14(1−cos2A)=12sin (2A −30∘)+14，由30∘<2A −30∘<150∘，所以12<sin (2A −30∘)≤1，所以14<12sin (2A −30∘)≤12，所以sinAsinC 的取值范围是(12,34]； (3)当sinAsinC 取得最大值时，2A −30∘=90∘，解得A =60∘；令∠ACD =θ，∠ADC =α，AB =AC =BC =a ， 则asinα=1sinθ，∴sinα=asinθ； 又a 2=22+12−2×2×1×cosα，∴a 2cos 2θ=a 2−a 2sin 2θ=5−4cosα−sin 2α=cos 2α−4cosα+4，∴acosθ=2−cosα.∴S△BCD=12×a×2sin(π3+θ)=√32acosθ+12asinθ=√32(2−cosα)+1 2sinα=√3+sin(α−π3)≤√3+1，当α=5π6时等号成立；∴△BCD面积的最大值为√3+1.【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用问题，也考查了计算和转化能力，属于较难题．(1)由余弦定理和三角形的面积公式化简已知等式，结合角的取值范围可求B的值；(2)由B的度数，利用三角形的内角和表示A+C的度数，用A表示出C代入所求的式子中，求出sinAsinC的取值范围；(3)令∠ACD=θ，∠ADC=α，AB=AC=BC=a，由正弦定理可得sinα=asinθ，由余弦定理可求acosθ=2−cosα，根据三角形的面积公式，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质可求△BCD面积的最大值．。
2021-2022学年北京市清华大学附属中学朝阳学校高一3月质量检测数学试题【含答案】
2021-2022学年北京市朝阳学校高一3月质量检测数学试题一、单选题1．在复平面内,复数所对应的点位于i1i z =+A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A【详解】,在复平面内对应的点为,在第一象限,故选.i i(1i)1i 1i (1i)(1i)2z -+===++-11(,22A 2．在菱形ABCD 中，与相等的向量可以是（ ）ABA ．B ．C ．D ．CDAC CB + AD AD DB- B【分析】根据菱形的性质及平面向量线性运算法则计算可得；【详解】解：因为为菱形，所以，，故A 、C 错误；ABCD =AB DC AD BC =对于B ：，故B 正确；AC CB AB += 对于D ：，故D 错误；()2AD DB AD AB AD AD AB-=--=- 故选：B3．在中，若，，，则c=（ ）ABC 2b =3a =1cos 4C =-A ．B ．1C ．2D ．41-D【分析】利用余弦定理即得.【详解】∵，，，2b =3a =1cos 4C =-∴，2222212cos 32232164c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭∴.4c =故选：D.4．已知向量，，那么与共线的一个向量是（ ）(1,2)a = (1,2)b =- 2a b - A ．（6，4）B ．（4，6）C ．（0，4）D ．（1，6）A【分析】首先利用向量线性运算的坐标表示求出对应坐标，再由各选项坐标对2a b -应的向量，结合平面向量共线定理判断是否与共线即可.2a b - 【详解】由题设，，显然，A 正2(2,4)(1,2)(3,2)a b -=--= (6,4)2(3,2)2(2)a b ==-确，对于B 、C 、D ，不存在使坐标所对应的向量等于.R λ∈(2)a b λ-故选：A 5．若向量，则下列结论正确的是()()2,0,1,1a b ==A ．B ．．C ．D ．1a b ⋅= a b = ()a b b -⊥ a bC【详解】本题考查向量的坐标运算．解答：选项A 、．()()2,01,12a b ⋅=⋅=选项B 、2,a b ==选项C 、，正确．()()()1,11,10a b b -⋅=-=选项D 、因为所以两向量不平行．1210⨯≠⨯6．一个正方体的六个面上分别有字母A ，B ，C ，D ，E ，F ，如下图所示是此正方体的两种不同放置，则与D 对的面上的字母是（ ）A ．B B ．EC ．B 或FD ．E 或FA【分析】根据两个图形的字母，可推断出来，A 对面是E ，B 对面是D ，C 对面是F .【详解】根据两个不同放置的图形，明显可知C 的对面不是A ，B ，D ，E ，故C 的对面是F ，则与D 相对的面为E 或B ，若E 面与D 对，则A 面与B 对，这时与第二种放置矛盾，故与D 对的是B 面.故选：A.7．“”是“是纯虚数”的（ ）1x =22(1)(32)i x x x -+++A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件A【分析】根据纯虚数的概念，可知，由此即可求出的值，再根据充分、2210320x x x ⎧-=⎪⎨++≠⎪⎩x 必要条件的概念，即可求出结果.【详解】因为是纯虚数，所以，解得，22(1)(32)i x x x -+++2210320x x x ⎧-=⎪⎨++≠⎪⎩1x =所以“”是“是纯虚数”的充要条件.1x =22(1)(32)i x x x -+++故选：A.8．如图，在菱形ABCD 中，若，则（ ）4AC =CA AB ⋅=A ．8B ．C ．4D ．8-4-B【分析】根据向量的数量积运算，可得，根据菱形特点cos ⋅=-⋅∠CA AB AC AB CAB求解相应值即可.【详解】解：，因为四边形ABCD 为菱形，cos ⋅=-⋅=-⋅∠CA AB AC AB AC AB CAB所以，且，所以，24==AO AC AC BO ⊥cos 2∠== AB CAB AO 所以.()428⋅=-⨯=-CA AB 故选：B9．已知△ABC 满足2＝·＋·＋·，则△ABC 是（ ）AB AB AC BABC CA CB A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形C【分析】由数量积的运算律化简后得出正确选项【详解】由题意得，故2()AB AB AC CB CA CB =⋅++⋅ 0CA CB ⋅= ∴，△ABC 是直角三角形90C =︒故选：C10．如图，AB 为半圆的直径，点C 为的中点，点M 为线段AB 上的一点（含端点AB A ，B ），若，则的取值范围是（ ）2AB =AC MB+A ．B ．[]1,3⎤⎦C ．D ．⎡⎣D【分析】根据题意可得出，然后根据向量的运算得出02MB ≤≤，从而可求出答案.()22AC MB AC MB +=+= ()211MB ++【详解】因为点C 为的中点，， AB 2AB =4CAB π∠=所以()22222AC MB AC MB AC MB AC MB +=+=++⋅ ，()22222cos 22114AC MB AC MB MB MB MB π=++⋅=++=++ 因为点M 为线段AB 上的一点，所以，所以，02MB ≤≤()221110MB ≤++≤所以的取值范围是,AC MB + 故选：D.11．为加快推进“5G+光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G 基站A ，B ，C ，D ．已知C ，D 两个基站建在松花江的南岸，距离为；基站A ，B 在江的北岸，测得，，，，则A ，B 75ACB ∠=︒120ACD ∠=︒30ADC ∠=︒45ADB ∠=︒两个基站的距离为（ ）A ．B ．1)kmC ．D ．1)km D【分析】根据题意可得，，利用正弦定理求出BC ，进而AC CD ==60CBD ︒∠=结合余弦定理即可求出AB .【详解】在中，，ACD △307545120ADC ACD ︒︒︒︒∠=∠=+=，所以，有，所以，30︒∠=CAD ADC ∠CAD =∠AC CD ==在中，，BDC 180(7545)60CBD ︒︒︒︒∠=-+=由正弦定理，得BC ==在中，由余弦定理，得ABC 2222cos AB AC BC AC BC BCA=+-⋅∠，22275500︒=+-⨯=所以A 、B 之间的距离为.AB =故选：D12．若三棱锥的一条棱长为，其余棱长均为1，体积是，则函数在其定义域上为A ．增函数且有最大值B ．增函数且没有最大值C ．不是增函数且有最大值D ．不是增函数且没有最大值C【详解】试题分析：由题意画出三棱锥如图，，，取的中点分别为，可知平面面，，所以．故C 正确．1棱锥的体积;2基本不等式．二、填空题13．已知向量，，则两向量夹角为___________.(1,2)a = (1,3)b =- 4π45︒【分析】利用向量夹角的坐标表示求向量夹角即可.【详解】由题设，，cos ,||||a b a b a b ⋅<>==,[0,]a b π<>∈ 所以.,4a b π<>=故4π14．两个不是共轭复数的两个虚数､满足，则，分别可以是1z 2z 12z z=1z 2z ___________（答案不唯一）1112z z ==【分析】根据复数的基本概念即得.【详解】∵两个不是共轭复数的两个虚数､满足，1z 2z 12z z =不妨取，则，分别可以是.121zz ==1z2z 1112z z==+故（答案不唯一）.1112z z ==15．已知向量与向量的夹角为，，则______．a b 60︒||1a b == a b -= 1【分析】.a - 【详解】解：由向量数量积得：，故cos 60a b a b ⋅=︒.1a -== 故1.本题主要考查平面向量的数量积，考查运算求解能力，属于基础题型.16．已知，则______．1z =1z -3【分析】由复数模的几何意义求解．【详解】，则对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，1z =z Z 1z -+值就是求圆上的点到点的距离的最大值，Z (1,P，所以最大值为．2=213+=故3．17．若，其中θ∈[0,π]，则的最大值为__．()()cos ,1,2cos ,2sin AB AC θθθ=-=3利用平面向量的减法的几何意义，结合平面向量数量积的坐标表示公式，求出平方的表达式，最后根据同角的三角函数关系式化为关于正弦函数的二次函数，最后求出的最大值.【详解】所以()cos ,2sin 1,BC AC AB θθ=-=+因为，令()2222cos 2sin 13sin 4sin 2,BC θθθθ=++=++ []0,θπ∈，所以所以当t =1时，取最大值 9，所以的最大值[]sin 0,1t θ=∈22342,BC t t =++ 为 3．本题考查了平面向量的减法几何意义，考查了求向量模的最值问题，考查了同角的三角函数关系式，考查了二次函数的单调性的应用.18．已知的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为则下列条件能推导出ABC ,,,a b c 一定为锐角三角形的是___________.ABC①222a b c+>②sin sin sin 567A B C==③222cos cos cos 1A B C +-=④tan tan tan 0A B C ++>②④【分析】利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理，余弦定理逐个分析判断即可【详解】对于①，若，则余弦定理可得，得角为222a b c +>222cos 02a b c C ab +-=>C 锐角，而不能得到其它两个角为锐角，所以不一定是锐角三角形，所以①错误，ABC 对于②，由，得，所以由正弦定理得sin sin sin 567A B C==sin :sin :sin 5:6:7A B C =，设，则可知是最大的角，由余弦定理::5:6:7a b c =5,6,7(0)a m b m c m m ===>C 得，所以角为锐角，所以一定2222222536491cos 022565a b c m m m C ab m m +-+-===>⨯⨯C ABC 是锐角三角形，所以②正确，对于③，因为，所以，所222cos cos cos 1A B C +-=2221sin 1sin 1sin 1A B C -+--+=以，由正弦定理得，所以为直角，所以为直222sin sin sin A B C +=222+=a b c C ABC 角三角形，所以③错误，对于④，因为，所以tan tan tan()tan 1tan tan A BA B CA B ++==--，所以，tan tan tan tan tan tan A B C A B C +=-+tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=因为，所以，所以均为锐角，所以tan tan tan 0A B C ++>tan tan tan 0A B C >,,A B C 一定是锐角三角形，所以④正确，ABC 故②④三、双空题19．若一个圆柱的侧面展开图是一个边长为正方形，则这个圆柱的表面积2π=___________，体积=___________224ππ+22π【分析】由题设求出圆柱体的高及底面半径，应用圆柱体表面积公式、体积公式求表面积和体积.【详解】由题设，圆柱体的底面周长、高均为，若底面半径为，则，可2πr 22ππ=r 得，1r =所以圆柱体表面积，体积.22221424S ππππ=⨯+=+22122V πππ=⨯⨯=故，.224ππ+22π四、解答题20．在中，已知，边长ABC sin A =3cos 5B =4b =(1)求边长a 和的值；sin C (2)求边长c 和的面积.ABC (1)a =s n i C=(2)；.c =225ABC S = 【分析】（1）利用正弦定理及和角公式即得；（2）利用正弦定理及三角形面积公式即得.【详解】(1)∵，()3cos ,0,5B B π=∈∴，又，4sin 5B =sin A =4b =∴由正弦定理可得，，sin sin b AaB===由，可知4sin sin 5B A =>=,cos B A A >=∴()sin sin sin cos cos 3455sin C A B A BA B =+=+==(2)由正弦定理可得，，sinsin b Cc B===的面积为.ABC 1122sin 4225ABC S bc A ==⨯=21．已知函数.2()sin(22cos 16f x x x π=-+-(1)求的最小正周期；()f x (2)求的单调增区间；()f x(3)函数在区间上的值域为，求实数m 的取值范围；()y f x =[0,]m 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦(1)；π(2)；[,](Z)36k k k ππππ-+∈(3).63m ππ≤≤【分析】（1）由题可得，再利用正弦型函数周期公式即得；()sin(2)6f x x π=+（2）利用正弦函数的性质即可求出增区间；（3）利用正弦函数的性质，可得，即得．52266m πππ≤+≤【详解】(1)∵，21()sin(2)2cos 12cos 2cos 2sin(2)626f x x x x x x x ππ=-+-=-+=+∴的最小正周期为；()f x 22T ππ==(2)∵， ()sin(26f x x π=+由，得，222,Z262k x k k πππππ-≤+≤+∈,Z36k x k k ππππ-≤≤+∈所以的单调增区间是；()f x [,](Z)36k k k ππππ-+∈(3)∵，，[0,],2[,2]666x m x m πππ∈+∈+()1,12f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴，52266m πππ≤+≤∴，63m ππ≤≤故实数m 的取值范围为.63m ππ≤≤22．已知在中，，ABC 2cos c b B =23C π=(1)求B 的大小；(2)在三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求BC 边上的中线ABC 的长度.①；②；③c =4a b +=ABC (1)6π(2)选②时③时BC BC 【分析】（1）根据已知条件运用正弦定理，二倍角公式即可求解．（2）选①，不满足正弦定理，不存在；ABC 选②，，结合已知条件，运用正弦定理可求三角形各边长度，在中，4ab +=ACD △运用余弦定理，即可求解；选③，面积为的值，再结合余弦定理，ABC S =△a 即可求解．【详解】(1)解： ，2cos c b B = 由正弦定理可得，即，sin 2sin cos C B B =sin sin 2C B =，23C π=当 时，，即，不符合题意，舍去，∴2C B =3B π=C B π+=，2C B π∴+=，所以．23B π∴=6B π=(2)（2）若选①，，c=由正弦定理可得，与已知条件矛盾，故不存在，sinsin c C b B===c =ABC 若选②，，4a b +=，，23C π=6B π=，所以，6A π∴=2a b ==由正弦定理可得，即，sin sin a c A C=212=c =存在且唯一确定，ABC ∴ 设的中点为，BC D ，1CD ∴=在中，运用余弦定理，，即ACD △2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅⋅∠，2141221()72AD =+-⨯⨯⨯-=可得AD =．BC ∴若选③，面积为ABC S =△，6A B π==，a b ∴=211sin 22ABC S ab C a ∴=== a =设的中点为，BC D由余弦定理可得，可得∴22223212cos3344AD AC CD AC CD π=+-⨯⨯⨯=+=AD =BC ∴23．在中，，，，D 是线段BC 上一点，且ABC 2AB =1AC =2ACB π∠=，F 为线段AB 上一点.12BD DC=(1)设，，.求；AB a =AC b = AD xa yb =+ x y -(2)若F 为线段AB 的中点，（i ）求的值；CF FA ⋅（ii ）直线CF 与AD 相交于点M ，求CM AB⋅(1)；13(2)（i ）；（ii ）.12-45【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，根据平面向量基本定2133AD AB AC=+ 理即可求出得值，即可得出结果；,x y （2）（i ）由题可得，，进而利用数量积运算即得；1122CF CA CB =+ 1122FA CA CB=-（ii ）由向量共线可设，，根据向量的线性()01CM CF λλ=<< ()01AM AD μμ=<<运算以及平面向量基本定理求出的值，即可用和表示，再进行数量积运λCA CB CM算即可求解.【详解】(1)，()22213333AD AC CD AC CB AC AB AC AB AC=+=+=+-=+因为，，所以AB a = AC b = 21213333AD AB AC a b xa yb =+=+=+由平面向量基本定理可得且，23x =13y =所以.211333x y -=-=(2)（i ）因为为线段的中点，F AB 所以，1122CF CA CB=+ 又，()111222FA CA CF CA CA CB CA CB=-=-+=- 因为在中，，，，ABC 2AB =1AC =π2ACB ∠=可得CB =∴；2211111112222442CF FA CA CB CA CB CA CB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （ii ）因为直线与相交于点，不妨设，CF AD M ()01CM CF λλ=<<，()01AM AD μμ=<<所以，22CM CA CBλλ=+ 因此，122AM CM CA CA CBλλ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭ 又 ，23AD CD CB CA CA=-=-所以，23CB C AM A μ⎛⎫= ⎪⎝⎭-因此，21223CA CB CB CA λλμ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以，解得：，12223λμλμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩45λ=所以，2255CM CA CB=+ 所以.()222222224315555555CM AB CA CB CB CA CB CA ⎛⎫⋅=+⋅-=-=⨯-⨯=⎪⎝⎭24．对于任意的，记集合，，若*n N ∈{1,2,3,,}n E n = ,n n n P x x a E b E ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭集合A 满足下列条件：①；②，且，不存在，使n A P ⊆12,x x A∀∈12x x ≠*N k ∈，则称A 具有性质Ω.如当时，，，212x x k +=2n =2{1,2}E =21,P ⎧=⎨⎩，且，不存在，使，所以具有性质Ω.112,x x P ∀∈12x x ≠*N k ∈212x x k +=2P (1)写出集合，中的元素个数，并判断是否具有性质Ω.3P 4P 3P (2)证明：不存在A ､B 具有性质Ω，且，使.A B =∅ 15E A B =⋃(3)若存在A ､B 具有性质Ω，且，使，求n 的最大值.A B =∅ n P A B =⋃(1)，中的元素个数分别为9，14，不具有性质．3P 4P 3P Ω(2)证明见解析(3)14【分析】（1）由已知条件能求出集合，中的元素个数，并判断出不具有性3P 4P 3P 质．Ω（2）假设存在，具有性质，且，使．其中，2，3，A B ΩA B =∅15E A B= 15{1E =，，从而，由此推导出与具有性质矛盾．从而假设不成立，即不存⋯15}1A B ∈ A Ω在，具有性质，且，使．A B ΩA B =∅15E A B= （3）当时，不存在，具有性质，且，使．，根据15n A B ΩA B =∅n P A B= 14n =、、分类讨论，能求出的最大值为14．1b =4b =9b =n 【详解】(1)解： 对于任意的，记集合，2，3，，，*n N ∈{1n E =⋯}n．当时，,n n n P x x a E b E ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭3n ={}31,2,3E =；31,P ⎧=⎨⎩当时，，集4n ={}41,2,3,4E =4131,2,3,,22P ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∴合，中的元素个数分别为9，，3P 4P 14集合满足下列条件：①；②，，且，不存在，使A n A P ⊆1x ∀2x A ∈12x x ≠*k N ∈，则称具有性质，212x x k +=A Ω因为，，，，不符合题意，31P ∈33P ∈2132+=*2∈N 不具有性质．3P ∴Ω(2)证明：假设存在，具有性质，且，使．其中，A B ΩA B =∅15E A B= 15{1E =2，3，，．⋯15}因为，所以，151E ∈1A B∈ 不妨设．因为，所以，．1A ∈2132+=3A ∉3B ∈同理，，．因为，这与具有性质矛盾．6A ∈10B ∈15A ∈21154+=A Ω所以假设不成立，即不存在，具有性质，且，使．A B ΩA B =∅15E A B= (3)解：因为当时，，由（2）知，不存在，具有性质，且，15n 15n E P ⊆A B ΩA B =∅使．n P A B=若，当时，，14n =1b =1414x x a E E ⎧⎫=∈=⎨⎬⎩⎭取，2，4，6，9，11，，，5，7，8，10，12，，1{1A =13}1{3B =14}则，具有性质，且，使．1A 1B Ω11A B =∅ 1411E A B =当时，集合中除整数外，其余的数组成集合为4b =14x x a E ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭，13513{,,,,}2222⋯令，，215911{,,,}2222A =23713{,,}222B =则，具有性质，且，使．2A 2B Ω22A B =∅ 2213513{,,,,}2222A B ⋯=当时，集中除整数外，其余的数组成集合9b =14x x a E ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，12457810111314{,,,,,,,,,}3333333333令，．31451013{,,,,}33333A =32781114{,,,,}33333B =则，具有性质，且，使．3A 3B Ω33A B =∅ 3312457810111314{,,,,,,,,,}3333333333A B =集合中的数均为无理数，1414,,1,4,9C x x a E b E b ⎧⎫==∈∈≠⎨⎬⎩⎭它与中的任何其他数之和都不是整数，14P因此，令，，则，且．123A A A A C= 123B B B B = A B =∅14P A B= 综上，所求的最大值为14．n。
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2021-2022年高一数学3月月考试题文
一、选择题（每小题5分，共60分）
( )1. 圆x2+y2-4x-2y-5=0的圆心坐标是：
A.(-2,-1);
B.(2,1);
C.(2,-1);
D.(1,-2).
( )2、点M（-1,2,0）所在的位置是
A.在yOz平面上
B.在xOy平面上
C.在xOz平面上
D.在z平面上( ) 3. 点P（m,5）与圆的位置关系是
A.在圆上
B.在圆内
C.在圆外
D.不确定
( ) 4．直线x－y＋4＝0被圆x2＋y2＋4x－4y＋6＝0截得的弦长等于A．8 B．4 C．2 2 D．42
( )5．两圆和的位置关系是
A.外离
B.相交
C.内切
D.外切
( )6．圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为A． B．
C．D．
（）7、直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是．
A .
B . C. D.
( ) 8、直线3x+4y=b与圆相切，则b=
A.-2或12
B.2或-12
C.-2或-12
D.2或12
( ) 9、直线3x+4y-13=0与圆的位置关系是：
A. 相离;
B. 相交;
C. 相切;
D. 无法判定.
( ) 10．已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值为
A. B. C. D.
( ) 11，经过圆的圆心C，且与直线垂直的直线方程是
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
（）12. 在空间直角坐标系中，点P（-1,8,4）关于X轴对称点坐标为
A.(-1，-8，-4)
B.(1，8，4)
C.(-1，-8，-4)
D. (1，-8，-4)
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、以原点O为圆心且截直线3x＋4y＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是__________．
14、已知点A（1，-1,1），B(-3，3，-3)，则线段AB的距离为_________．
15、以点（2，）为圆心且与直线相切的圆的标准方程是 .
16、直线的倾斜角的大小是．
三、解答题（共70分）
17．(14分)求平行于直线3x＋3y＋5＝0且被圆x2＋y2＝20截得长为62的弦所在的直
线方程．
18.(14分)已知圆C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l的方程为y＝x＋m，求当m
为何值时， (1)直线平分圆； (2)直线与圆相切．
19.（14分）过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，求圆C的方程，并确定圆心坐标和半径。
20、(14分)已知圆的圆心为（1,2）和圆上的一点为（-2,6），求圆的标准方程。
.
21.（14分）若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，求该圆的标准方程
答案
一选择题1B/2B/3C/4C/5B/6A/7A/8D/9C/10B/11C/12C
填空：13、
14、
15、
16、
三解答题
17． x+y+2=0或x+y-2=0
18 . (1)m=0 (2)m=
19. 圆心（3.0）半径标准方程
20.
21. 20904 51A8 冨*34299 85FB 藻16k 26708 6854 桔30558 775E 睞31897 7C99 粙23052 5A0C 娌38148 9504 锄^"7。