全国高考数学“三角函数”试题分析小结

全国高考数学“三角函数”试题分析小结

一、客观题重基础，有关三角函数的小题其考查重点是三角函数的概念、图象与图象变换、定义域与值域、三角函数的性质和三角函数的化简与求值.

【例1】 （2007年四川）下面有五个命题：

①函数y =sin 4x -cos 4

x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =

Z k k ∈π

,2

|. ③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 36

)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =π

π+= ⑤函数.0)2

sin(〕上是减函数，在〔ππ

-

=x y 其中真命题的序号是①④（（写出所有真命题的编号））

解答：①4

4

2

2

sin cos sin cos 2y x x x x cos x =-=-=-，正确；②错误；③sin y x =，tan y x =和y x =在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．

【点评】 本题通过五个小题全面考查三角函数的有关概念、图象、性质的基础知识. 三角函数的概念，在今年的高考中，主要是以选择、填空的形式出现，每套试卷都有不同程度的考查.预计在2008年高考中，三角函数的定义与三角变换仍将是高考命题的热点之一.

【例2】（2007年安徽）函数π

()3sin(2)3

f x x =-的图象为C ：

① 图象C 关于直线π12

11

=

x 对称; ② ②函数)(x f 在区间)12

π

5,12π(-内是增函数;

③由x y 2sin 3=的图象向右平移3

π

个单位长度可以得到图象C .

以上三个论断中正确论断的个数为 （A ）0 （B ）1

（C ）2

（D ）3

解答 C ①图象C 关于直线232

x k ππ

π-

=+

对称，当k =1时，图象C 关于π1211=

x 对称；①正确；②x ∈)12π

5,12π(-时，

23x π-∈(－2π，2π

)，∴函数)(x f 在区间)12

π5,12π(-内是增函数；②正确；③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个

单位长度可以得到23sin(2)3

y x π

=-，得不到图象，③错误；∴正确的结论有2个，选C.

【点评】 本题主要考查了三角函数的图象和性质及三角函数图象的平移变换.

二、解答题重技能.三角函数解答题是高考命题的常考常新的基础性题型，其命题热点是章节内部的三角函数求值问题；命题的亮点是跨章节的学科综合命题. 【例3】 （2007年安徽）已知0αβπ<<

4，为()cos 2f x x π?

?=+ ?8?

?的最小正周期，

1tan 1(cos 2)4αβα????=+-= ? ?????

，，，a b ，且a ·b m =．

求22cos sin 2()

cos sin ααβαα

++-的值．

解答：因为β为π()cos 28f x x ?

?

=+

??

?

的最小正周期，故πβ=． 因m =·a b ，又1cos tan 24ααβ??=+- ???a

b ··．故1cos tan 24m ααβ?

?+=+ ??

?·． 由于π

04

α<<，所以

222cos sin 2()2cos sin(22π)

cos sin cos sin ααβαααααα++++=--

22cos sin 22cos (cos sin )cos sin cos sin ααααααααα

++==--

1tan π2cos 2cos tan 2(2)1tan 4m ααααα+?

?==+=+ ?-?

?·．

【点评】 本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．属于三角函数求值问题.

本类问题一般有三种形式：①给式求值，②给值求值，③给值求角.其一般解法是：将角化为特殊角或将三角函数化为同角、同名函数进行合并与化简，最后求出三角函数的值来.

【例4】 （2007年天津）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84??

????

，上的最小值和最大值．

解答：（Ⅰ）解：π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ?

?=-+=-=- ??

?．

因此，函数()f x 的最小正周期为π．

（Ⅱ）解法一：因为π()24f x x ??=

- ???在区间π3π88??????，上为增函数，在区间3π3π84??

????，上为减函数，又

π08f ??

= ???

，3π

8f ??

= ???3π3πππ14244f ????

=-==- ? ?????，

故函数()f x 在区间π3π84??

????

，，最小值为1-．

解法二：作函数π()24f x x ??=

- ???在长度为一个周期的区间π9π84??

????

，上的图象如下：

由图象得函数()f x 在区间π3π84??????，2，最小值为3π14f ??

=- ???

．

【点评】 本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()y A x ω?=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．

三、考应用融入三角形之中.解三角形题目既考查三角形的知识与方法，又考查运用三角公式进行恒等变换的技能. 【例5】 （2007年四川）如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的 三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1， l 2与l 3间的距离是2， 正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长 是 （ ）

（A ）32（B ）3

6

4 （C ）

4173 （D ）3

21

2 解答：D 因为l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线， l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离是2，所以过A 作 l 2的垂线，交l 2、l 3分别于点D 、E ，如图，则∠BAD = ∠BAC +∠CAE ，即∠BAD =60°+∠CAE ,记正三角形ABC 的边长为a ,两边取余弦得：

CAE CAE a

sin 60sin cos 60cos 1

?-?=， 即a

a a a 223233211-?-?= 整理得3

21

2,,1)9(32

=

=-a a 解之得，故选D. 【点评】 本题以平面几何为平台，主要考查运用三角函数的相关知识解决实际问题的能力.本题意图与新课标接轨，需引起高三备考学生的密切关注.

【例6】 （2007年全国Ⅰ）设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．

y x

O

（Ⅰ）求B 的大小；

（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．

解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1

sin 2

B =， 由AB

C △为锐角三角形得π6

B =

． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π??+=+π-

- ?6?

?

cos sin 6A A π??

=++ ???

13

cos cos 2A A A =++

33A π?

?=+ ??

?．

由ABC △为锐角三角形知，

22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=．2336

A πππ

<+<， 所以

13sin 232A π??+< ???．由此有3333232A π?

?<+< ???

，

所以，cos sin A C +的取值范围为332?

????

，． 【点评】 (1)问考查正弦定理的简单应用，当属容易题，（2）问主要考查了三角函数两角和与差的正余弦公式应用，

但题干中△ABC 为锐角三角形是不可忽略的条件，必须在分析题目时引起足够的重视.

四、综合体现三角函数的工具性作用.虽然工具性作用有所减弱，但是对它的考查还会存在.这是由于近年高考出题突出以能力立意，加强了对知识的应用性地考查经常在知识的交汇点处出题. 【例7】 如图，甲船以每小时302 乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于 甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船 航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向 的2B 处，此时两船相距2 解法一：如图，连结11A B ，由已知22102A B =，

1220

60

A A == 1221A A A

B ∴=，

又12218012060A A B =-=∠，

122A A B ∴△是等边三角形，

1212A B A A ∴==

由已知，1120A B =，

1121056045B A B =-=∠，

在121A B B △中，由余弦定理，

22212111212122cos 45B B A B A B A B A B =+-

22202202

=+-?? 200=．

12B B ∴=

因此，乙船的速度的大小为

6020

=/小时）．

答：乙船每小时航行

解法二：如图，连结21A B ，由已知1220A B =

，1220

60

A A ==112105

B A A =∠， cos105cos(4560)=+

cos 45cos60sin 45sin 60=-

=

sin105sin(4560)=+

sin 45cos60cos 45sin 60=+

=

乙

在211A A B △中，由余弦定理，

222

21221211122cos105A B A B A A A B A A =+-

2220220=+-?

100(4=+．

1110(1A B ∴=．

由正弦定理

11121112222(13)2

sin sin 2

10(13)

A B A A B B A A A B +=

==

+∠∠， 12145A A B ∴=∠，即121604515B A B =-=∠，

2(1cos15sin105+==

．

在112B A B △中，由已知12A B =

2221211222

1222cos15

B B A B

A B A B A

B =++

22210(1

210(1=+-?+?

200=．

12B B ∴=

60=/小时． 答：乙船每小时航行

【点评】 本题是解斜三角形的应用题，考查了正、余弦定理的应用，等边三角形的判定.求解本类问题时应按照由易到难的顺序来求解，最重要的是首先要对图形进行有效分割，便于运用正、余弦定理.

由于近年高考题突出以能力立意，加强对知识和应用性的考查，故常常在知识的交汇点处出题.用三角函数作工具解答应用性问题虽然是高考命题的一个冷点，但在备考时也需要我们去关注.

【例8】 已知函数22

2

2

()2()21t

f x x t x x x t =-++++，1

()()2

g x f x =

（I ）证明：当时，在上是增函数；

（II ）对于给定的闭区间，试说明存在实数，当时，在闭区间上是减函数； （III ）证明：

解答：(Ⅰ)证明：由题设得

又由≥,且t＜得t＜，即

＞0

由此可知，为R上的增函数

(Ⅱ)证法一：因为＜0是为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得

＜0，即t＞

在闭区间[a,b]上成立即可

因此y=在闭区间[a,b]上连续，故在闭区[a,b]上有最大值，设其为k，t＞k时,＜0在闭区间[a,b]上恒成立，即在闭区间[a,b]上为减函数

证法二：因为＜0是为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t＞k时

＜0，

在闭区间[a,b]上成立即可

令则＜0()当且仅当

＜0()

而上式成立只需

即

成立取与中较大者记为k，易知当t＞k时，＜0在闭区[a,b]成立，即在闭区间[a,b]上为减函数

(Ⅲ)证法一：设

易得

≥

令则易知当x＞0时, ＞0;当x＜0, ＜0

故当x=0时，取最小值，所以

≥，

于是对任意x、t，有≥，即≥

证法二：设=

≥，当且仅当

≥0

只需证明

≤0，即

≥1

以下同证法一

证法三：设=，则

易得当t＞时, ＞0; t＜时, ＜0，故当t=取最小值即

≥

以下同证法一

证法四:

设点A、B的坐标分别为，易知点B在直线y=x上，令点A到直线y=离为d，则

≥

以下同证法一

【点评】本题是辽宁卷的压轴题，在三角函数，导数，最值，不等式恒成立的有关问题的交汇处命题，真正体现了从整体的高度和思维价值的高度上设计试题的宗旨，注重了学科的内在联系和知识的综合性.