2019高考数学专题十一数列求通项公式精准培优专练文
精品高考数学专题十一数列求通项公式精准培优专练理
1.累加、累乘法
例1：数列满足：，且，求．
【答案】．
【解析】，，，，
累加可得：，
．
2．与的关系的应用
例2：在数列中，，，则的通项公式为_________．
【答案】．
【解析】∵当时，，
，
整理可得：，，
为公差为2的等差数列，，
，．
3．构造法
例3：数列中，，，求数列的通项公式．
，
由，即，
∴且，，，
其中最小项为，，
其中最大项为，因此．故选C．
11．已知数列满足，，是数列的前项和，则（）
A．B．
C．数列是等差数列D．数列是等比数列
【答案】B
【解析】数列数列满足，，
当时，两式作商可得：，
∴数列的奇数项，，，，成等比，偶数项，，，，成等比，
对于A来说，，错误；
对于B来说，
，正确；
，故答案为．故选B．
二、填空题
13．已知数列的前项和为，且，则___________．
【答案】
【解析】数列的前项和为，且，
，两式想减得到．
此时，检验当时，符合题意，故．故答案为．
14．数列中，若，，则______．
【答案】
【解析】∵，，则，
∴．故答案为．
15．设数列满足，，___________．
【答案】
【解析】∵，
，
∴，，累加可得，
∵，，
∴．故答案为．
16．已知数列满足，，则_______．
【答案】
【解析】令，则，
由题意可得，
即，整理可得，
令，则，由题意可得，
且，，故，
即，，，，
数列史上最全求通项公式10种方法并配大量习题及答案
数列史上最全求通项公式10种方法并配大量习题及答案求数列通项公式的方法有很多种。
这个问题通常是高考试卷的第一问，如果无法解决或没有思路，那么即使后面的问题可以解决，也是无济于事的。
下面我们逐个讲解这些重要的方法。
递推公式法是指利用an=Sn−Sn−1的形式，其中Sn表示数列的前n项和。
这种方法有两种类型。
第一种类型是题目中给出的是Sn=f(n)的形式，要将n改成n-1，包括角标，这样加上题中给出的式子就得到两个式子，两式子做差，即可整理出通项公式。
但是需要注意的是，求出的通项公式一定要检验是否需要写成分段的形式，即验证一下a1和S1是否相等，若不相等，则需要写成分段的形式。
第二种类型是a(n-1),an和a(n+1)与S(n-1),Sn和S(n+1)同时存在于一个等式中，我们的思路是将n改写成n-1，又得到另一个式子，这两个式子做差，在做差相减的过程中，要将等式的一端通过移项等措施处理为零，这样整理,容易得出我们想要的关系式。
累加法（迭、叠加法）是在教材上推导等差数列通项公式和前n项和公式的时候使用的一种方法。
其实这个方法不仅仅适用于等差数列，它的使用范围是非常广泛的。
只要适合an=an-1+f(n)的形式，都可以使用累加法。
基本的书写步骤是将an-an-1=f(n)展开，然后累加，得到an-a1=f(2)+f(3)+f(4)+。
+f(n)。
因此重点就是会求后边这部分累加式子的和，而这部分累加的式子，绝大部分都是三种情况之一，要么是一个等差数列的前n-1项的和，要么是一个等比数列的前n-1项的和，要么就是能够在累加过程能够中消掉，比如使用裂项相消法等。
累乘法的使用条件是，凡是适合an=an-1*f(n)形式的求通项公式问题，都可以使用累乘法。
它的基本书写步骤格式是：an=a1*f(2)*f(3)*。
*f(n)。
以上是数列通项公式的三种求法。
2.改写每段话：首先，我们来看等式左右两边的乘积。
左边相乘得到的总是1，右边相乘得到的是f(2)乘以f(3)乘以f(4)一直到f(n)。
2020届高三精准培优专练十一 数列求通项公式(理) 学生版
2020届高三好教育精准培优专练例1：根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式； （1）4，6，8，10，；（2）112-⨯，123⨯，134-⨯，145⨯，；（3）1-，7，13-，19；； （4）5，55，555，5555，．例2：（1）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2log (1)1n S n +=+，则n a = ． （2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若21n n S a =+，则n a = ．培优点十一 数列求通项公式一、由数列的前几项求数列的通项公式二、由 与 的关系求数列的通项公式例3：（1）设数列{}n a 满足11a =，且11()n n a a n n +=++∈*N ，则数列{}n a 的通项公式为 ． （2）在数列{}n a 中，11a =，11(2)n n n a a n n--=≥，则数列{}n a 的通项公式为 ． （3）已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为 ．一、选择题 1．数列0，23，45，67，的一个通项公式为（ ）A ．1()1n n a n n -=∈+*N B ．1()21n n a n n -=∈+*N C ．2(1)()21n n a n n -=∈-*ND ．2()21n na n n =∈+*N 2．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，则218a a +=（ ） A ．36B ．35C ．34D ．333．若数列{}n a 满足12a =，22112n n n n a a a a +++=⋅，则数列{}n a 的前32项和为（ ） A ．16B ．32C ．64D ．1284．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且3(1)()2n n S a n =-∈*N ，则n a =（ ） A ．3(32)n n -B ．32n +C ．3nD ．132n -⋅5．已知{}n a 满足12n n a a n +=+，且133a =，则na n 的最小值为（ ） A ．21 B ．10C ．172D ．212三、由递推关系式求数列的通项公式对点增分集训6．已知数列{}n a 满足：11a =，122nn n a a a +=+，则数列{}n a 的通项公式n a 为（ ） A ．11n + B ．21n + C ．1nD ．2n7．数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若135a =，则2019a =（ ） A ．15B ．25C ．35D ．458．已知数列{}n a 满足11a =，n a ∈Z ，且11132nn n a a +--<+，12132n n n a a ++->-，则2019a =（ ） A ．2021318-B ．2020318-C ．2019318-D ．2018318-二、填空题9．设数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=⋅，则通项公式n a = ．10．已知函数()22,,n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数，且()(1)n a f n f n =++，则1232020a a a a ++++= ．11．已知数列{}n a 的通项公式为(1)21nn a n =-⋅+，该数列的项排成一个数阵（如图），则该数阵中的 第10行第3个数为 ．123456a a a a a a ⋅⋅⋅三、解答题12．根据数列{}n a 的前几项，分别写出下列数列的一个通项公式． （1）7，77，777，；（2）4，52-，2，74-，85，；（3）3，5，3，5，；（4）1，2，2，4，3，8，4，16，．13．已知数列{}n a 的通项公式是24n a n kn =++．（1）若5k =-，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，n a 有最小值？并求出最小值； （2）对于n ∈*N ，都有1n n a a +>，求实数k 的取值范围．14．n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，2243n n n a a S +=+． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和．15．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11232(2)n n n a a n ---=⋅≥，且1232a a =．（1）证明：数列12n na ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （2）记n T 为数列1n n a S ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，若n ∀∈*N ，n T m <，求m 的最小值．例1：【答案】（1）2(1)n a n =+，n ∈*N ；（2）1(1)(1)nn a n n =-⨯+，n ∈*N ；（3）(1)(65)nn a n =--，n ∈*N ；（4）5(101)9nn a =-． 【解析】（1）各数都是偶数，且最小为4，所以它的一个通项公式2(1)n a n =+，n ∈*N ． （2）这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正， 所以它的一个通项公式1(1)(1)nn a n n =-⨯+，n ∈*N ．（3）这个数列，去掉负号，可发现是一个等差数列，其首项为1，公差为6， 所以它的一个通项公式为(1)(65)nn a n =--，n ∈*N ．（4）将原数列改写为599⨯，5999⨯，59999⨯，易知数列9，99，999，的通项为101n-，故数列的一个通项公式为5(101)9nn a =-． 例2：【答案】（1）3,12,2n n n =⎧⎨≥⎩；（2）12n --．【解析】（1）由2log (1)1n S n +=+，得112n n S ++=，当1n =时，113a S ==； 当2n ≥时，12nn n n a S S -=-=，所以数列{}n a 的通项公式为3,12,2n nn a n =⎧=⎨≥⎩．（2）∵21n n S a =+，当2n ≥时，1121n n S a --=+， ∴1122n n n n n a S S a a --=-=-，即12n n a a -=． 当1n =时，11121a S a ==+，得11a =-．∴数列{}n a 是首项1a 为1-，公比q 为2的等比数列，培优点十一 数列求通项公式 答案∴11122n n n a --=-⨯=-．例3：【答案】（1）2()2n n n a n +=∈*N ；（2）1()n a n n=∈*N ；（3）1231()n n a n -=⋅-∈*N ． 【解析】（1）累加法由题意得212a a =+，323a a =+，，1(2)n n a a n n -=+≥，以上各式相加，得123n a a n =++++．又∵11a =，∴2123(2)2n n na n n +=++++=≥．∵当1n =时也满足上式，∴2()2n n na n +=∈*N ． （2）累乘法 ∵11(2)n n n a a n n--=≥， ∴1221n n n a a n ---=-，2332n n n a a n ---=-，，2112a a =． 以上(1)n -个式子相乘得11121123n n a a a n n n-=⋅⋅==． 当1n =时，11a =，上式也成立． ∴1()n a n n=∈*N ． （3）构造法∵132n n a a +=+，∴113(1)n n a a ++=+，∴1131n n a a ++=+，∴数列{1}n a +为等比数列，公比3q =， 又112a +=，∴1123n n a -+=⋅，∴1231()n n a n -=⋅-∈*N ．一、选择题 1．【答案】C【解析】解法一：特例淘汰法．令1n =，淘汰D 选项，令2n =，淘汰A ，B 选项． 解法二：数列变形为01，23，45，67，分子、分母都是等差数列，分子2(1)n -，分母21n -．故选C ． 2．【答案】C【解析】当2n ≥时，123n n n a S S n -=-=-；当1n =时，111a S ==-，所以23()n a n n =-∈*N ，所以21834a a +=，故选C ．3．【答案】C【解析】根据题意，由22112()n n n n a a a a n +++=⋅∈*N ，得21()0n n a a +-=，即1n n a a +=．由12a =，得2n a =，则数列{}n a 前32项和3223264S =⨯=，故选C ． 4．【答案】C【解析】当1n =时，13a =； 当2n ≥时，1133(1)(1)22n n n n n a S S a a --=-=---， 得到13n n a a -=，所以3nn a =．故选C ． 5．【答案】D【解析】由已知条件可知，当2n ≥时，2121321()()()33242(1)33n n n a a a a a a a a n n n -=+-+-++-=++++-=-+．又1n =时，133a =满足此式． 所以331n a n n n=+-． 令33()1n a f n n n n==+-，则()f n 在[1,5]上为减函数，在[6,)+∞上为增函数，又53(5)5f =，21(6)2f =，则(5)(6)f f >， 故()na f n n =的最小值为212，故选D ． 6．【答案】B 【解析】由122nn n a a a +=+，可得1121122n n n n a a a a ++==+．所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，公差为12的等差数列，所以112n n a +=，即21n a n =+． 7．【答案】B 【解析】由131,152a ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，得2111210,52a a ⎡⎫=-=∈⎪⎢⎣⎭， 所以322120,52a a ⎡⎫==∈⎪⎢⎣⎭，所以43412,152a a ⎡⎫==∈⎪⎢⎣⎭，所以5413215a a a =-==．由此可知，该数列是一个周期为4的周期数列， 所以201950443325a a a ⨯+===． 8．【答案】B【解析】∵11132nn n a a +--<+，∴12132n n n a a ++-<+，又∵12132n n n a a ++->-，∴112113322n n n n a a +++-<-<+， ∵n a ∈Z ，∴2n n a a +-∈Z ，则123n n n a a ++-=，于是得到24201831532019201710093,3,,3a a a a a a -=-=⋅⋅⋅-=个，上述所有等式全部相加得210092020242018201913(19)39333198a a ---=+++==-，因此202020202020201913939311888a a ---=+=+=，故选B ．二、填空题 9．【答案】(1)22n n n a -=【解析】由12nn n a a +=⋅，得112(2)n nn a n a --=≥， 所以(1)12123(1)1221121222122n n n n n n n n n n a a a a a a a a ---++++----=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅==，又11a =适合上式，故(1)22n n n a -=．10．【答案】2020【解析】当n 为奇数时，22221(1)(1)(2)2n n a a n n n n ++=-+-+++=，为定值，所以12320202020220202a a a a ++++=⨯=． 故填2020． 11．【答案】97【解析】由题意可得该数阵中的第10行， 第3个数为数列{}n a 的第910123933482⨯+++++=+=项， 而4848(1)96197a =-⨯+=，故该数阵第10行、第3个数为97．三、解答题12．【答案】（1）7(101)9n n a =-；（2）13(1)n n n a n -+=-⋅；（3）3,(21,)5,(2,)n n k k a n k k ⎧=-∈⎪=⎨=∈⎪⎩**N N 或4(1)nn a =+-；（4）21,(21,)22,(2,)n nn n k k a n k k +⎧=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩**N N ．【解析】（1）将各项改写如下，7(101)9-，27(101)9-，37(101)9-，47(101)9-，，易知7(101)9nn a =-． （2）将各项绝对值改写如下，41，52，63，74，85，．综合考查分子、分母，以及各项符号可知13(1)n n n a n-+=-⋅． （3）3,(21,)5,(2,)n n k k a n k k ⎧=-∈⎪=⎨=∈⎪⎩**N N 或1(35)(1)(35)4(1)2n nn a -++--==+-．（4）观察数列{}n a 可知，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，所以21,(21,)22,(2,)n nn n k k a n k k +⎧=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩**N N ．13．【答案】（1）数列中有两项是负数，23n =或时，n a 有最小值，最小值为232a a ==-；（2）(3,)-+∞． 【解析】（1）由2540n n -+<，解得14n <<．因为n ∈*N ，所以2,3n =，所以数列中有两项是负数，即为2a ，3a ．因为22595424n a n n n ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，由二次函数性质，得当2n =或3n =时，n a 有最小值，其最小值为232a a ==-． （2）由于对于n ∈*N ，都有1n n a a +>知该数列是一个递增数列，又因为通项公式24n a n kn =++，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈*N ，所以322k -<，即得3k >-． 所以实数k 的取值范围为(3,)-+∞． 14．【答案】（1）21n a n =+；（2）3(23)nn +．【解析】（1）由2243n n n a a S +=+，可知2111243n n n a a S ++++=+． 可得221112()4n n n n n a a a a a +++-+-=，即2211112()()()n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-．由于0n a >，可得12n n a a +-=．又2111243a a a +=+，解得11a =-（舍去）或13a =．所以{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为21n a n =+． （2）由21n a n =+可知，111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭． 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则12n n T b b b =+++1111111[()()()]235572123n n =-+-++-++3(23)nn =+． 15．【答案】（1）证明见解析；（2）13．【解析】（1）证明：由11232(2)n n n a a n ---=⋅≥，得11132424n n n n a a --=⋅+， 所以1124n na -=11(1)(2)2n n a n ---≥． 由11232(2)n n n a a n ---=⋅≥，可得2126a a -=，又1232a a =，所以126a =，得13a =．所以数列{1}2n n a -是以12为首项，14为公比的等比数列． （2）由（1）知1211111()()2242n n n n a ---=⋅=，所以1212(21)22n n n n n a --=+=+． 所以23111(1)(2222)22n n n S -=++++++++111()2(12)222211212n n n n ---=+=⋅---， 111112222232n n n n nn n a S --==+++⋅-⋅， 所以1111111()(1)3242323n n n T =+++=-<， 因为对n ∀∈*N ，n T m <，所以m 的最小值为13．。
高考数学精准培优专练十一 求数列通项公式(文) 学生版
A．1024
B．1023
C．2048
D．2047
2．已知数列{an} 的前 n 项和 Sn n2 6n ，第 k 项满足 5 ak 8 ，则 k （ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
3．设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 Sn
1 2
1 2
an
，则 an
（
）
A． 1 (1)n1 32
B． 1 ( 2)n1 23
．
10．记 Sn 为数列 an 的前 n 项和，若 S2 3 ， an1 Sn 1(n N*) ，则通项公式 an
．
11．在数列 an 中， a1 1， a2 2 ， an1 3an 2an1 n 2 ，则 an ________．
12．在数列{an}中，已知 a1
a2
ln
3 2
,
,
an
an1
ln
n， n 1
将以上 n 1 个等式两边相加可得 an
a1
ln
n n 1
n 1 n2
2 1
2
ln n ，应选
A．
5．【答案】A
【解析】由条件可得 an1 1 2(an 1) ，即 an 1 是以 a1 1 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，
所以 an 1 2 2n1 2n ， an 2n 1， a6 26 1 63 ，故选 A．
6．【答案】B
【解析】∵ an1 3Sn 2 ，∴当 n 2 时， an 3Sn1 2 ， an1 an 3(Sn Sn1 ) ，
即 an1 4an ，
1,
n 1
又 a2
3a1
2
5
4a1 ，∴ an
(完整版)数列求通项专题(总复习专题-方法全面-有答案)全
求数列通项专题题型一：定义法（也叫公式法）直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目例：等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为n S ，且931a ,a ,a 成等比数列，255a S =．求数列}a {n 的通项。
解：设数列}a {n 公差为)0d (d > ∵931a ,a ,a 成等比数列，∴9123a a a =，即)d 8a (a )d 2a (1121+=+，得d a d 12= ∵0d ≠，∴d a 1=………①∵255S a = ∴211)d 4a (d 245a 5+=⋅⨯+…………②由①②得：53a 1=，53d = ∴n 5353)1n (53a n =⨯-+=题型二：已知的关系求通项公式(或)n n S a 与()n n S f a =这种类型一般利用与消去⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n )()(11---=-=n n n n n a f a f S S a n S )2(≥n 或与消去进行求解。
)(1--=n n n S S f S )2(≥n n a 例：（1）已知数列的前项和，求数列的通项公式}{n a n 22+=n S n }{n a 解：当时，；1=n 311==S a 当时，； 2≥n 122)1(2221-=---+=-=-n n n S S a n n n ⎩⎨⎧≥-==∴)2(12)1(3n n n a n （2）已知数列的前项和满足，求数列的通项公式}{n a n n S 1)1(log 2+=+n S n }{n a 解：由，得，1)1(log 2+=+n S n 121-=+n n S ⎩⎨⎧≥==∴)2(2)1(3n n a nn 练习：1、已知数列{}的前n 项和为, 求.n a 32nn S =-n a 2、数列的前n 项和为，，，求的通项公式{}n a n S 11=a )(1121≥+=+n S a n n {}n a题型三：形如用累加法（也叫逐差求和法）：)(1n f a a n n +=+（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.d a a n n =-+1n a d n a )1(1-+（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法. 方法如下： 由 得：)(1n f a a n n =-+时，，2≥n )1(1-=--n f a a n n ，)2(21-=---n f a a n n )2(23f a a =-以上各式相加得)1(12f a a =- 即：.)1()2()2()1(1f f n f n f a a n +++-+-=- ∑-=+=111)(n k n k f a a 为了书写方便，也可用横式来写：时，，2≥n )1(1-=--n f a a n n ∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- =.1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+- 例1：已知数列{a n }中，a 1=1，对任意自然数n 都有11(1)n n a a n n -=++，求n a ．解：由已知得11(1)n n a a n n --=+，121(1)n n a a n n ---=-，……，32134a a -=⨯，21123a a -=⨯，以上式子累加，利用111(1)1n n n n =-++得 n a -1a =1111...23(2)(1)(1)(1)n n n n n n ++++⨯---+=1121n -+， 3121n a n ∴=-+例2：已知数列满足，求数列的通项公式。
高中数学《数列求通项公式》完美编辑解析版
数列求通项公式【教学目标】1.了解数列求通项的常见方法：待定系数法、已知n S 求n a 、构造法、累加法、累乘法。
【知识梳理】1. 已知S n 求a n 的三个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1(n ≥2)替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式． (3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写． 2. 由数列递推式求通项公式的常用方法(1)构造法：形如a n ＝pa n －1＋m (p 、m 为常数，p ≠1，m ≠0)时，构造等比数列. (2)累加法：形如a n ＝a n －1＋f (n )({f (n )}可求和)时，用累加法求解． (3)累积法：形如a n a n ＋1＝f (n )({f (n )}可求积)时，用累积法求解．【典型例题】考点一 待定系数法【典型例题1】1.已知等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36，求d 及S n . 解析：由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5. 因为d >0，所以d ＝2，S n ＝n 2(n ∈N *)． 【对点演练1】1.已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．解析：设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.考点二 由a n 与S n 的关系求通项a n命题点1 已知a n 与S n 【典型例题2】1. (2018·全国Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝ . 答案 －63解析：∵S n ＝2a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1.∴数列{a n }是首项a 1＝－1，公比q ＝2的等比数列， ∴S n ＝a 11－q n 1－q ＝－1×1－2n1－2＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63. 【对点演练2】1.已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，① 当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0， 所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n . 命题点2 已知n 与S n 【典型例题3】1. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则a n ＝ . 答案 4n －5解析：a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. 【对点演练3】1.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝ .答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N * 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1， a 1＝2不满足上式． 故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，a 1＝2不满足上式.2n －1，n ≥2，n ∈N *.命题点3 S n 链式运算 【典型例题4】1.已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，则a n ＝ . 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n ，n ≥2解析：当n ＝1时，由已知，可得a 1＝21＝2， ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，①故a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n －1(n ≥2)，②由①－②得na n ＝2n －2n －1＝2n －1， ∴a n ＝2n －1n.显然当n ＝1时不满足上式， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n ，n ≥2.【对点演练4】1. 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，则a n ＝ .答案13n解析：因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，①则当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，② ①－②得3n －1a n ＝13，所以a n ＝13n (n ≥2)．由题意知a 1＝13符合上式，所以a n ＝13n .考点三 由递推关系求数列的通项公式命题点1 构造法【典型例题5】1.数列{}n a 中，11a =，132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式思路：观察到n a 与1n a -有近似3倍的关系，所以考虑向等比数列方向构造，通过对n a 与1n a -分别加上同一个常数λ，使之具备等比关系，考虑利用待定系数法求出λ 解析：设()13n n a a λλ-+=+即132n n a a λ-=+ 对比132n n a a -=+，可得1λ=()1131n n a a -∴+=+{}1n a ∴+是公比为3的等比数列()11113n n a a -∴+=+⋅ 1231n n a -∴=⋅-【对点演练5】1.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1，则{a n }的通项公式为________． 解析：由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3a n ＋32＝3⎝⎛⎭⎫a n ＋12. 又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3n2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.命题点2 累加法【典型例题6】1.数列{}n a 满足：11a =，且121nn n a a +-=+，求n a 解析：121nn n a a +-=+1121n n n a a ---=+12121a a -=+累加可得：()2112221n n a a n --=++++-()122112321n n n n --=+-=+--22n n a n ∴=+-【对点演练6】1.a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)；解析：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝0＋1＋3＋…＋(2n －5)＋(2n －3)＝(n －1)2， 所以数列的通项公式为a n ＝(n －1)2.命题点3 累乘法【典型例题7】1.已知数列{}n a 满足：11a =，且()11n n na n a +=+，求n a 解析：()1111n n n n a n na n a a n+++=+⇒= 1212112121n n n n a a a n n a a a n n ----∴⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-- 1na n a ⇒= 1n a na n ∴== 【对点演练7】 1.a 1＝1，a n ＝nn －1a n －1(n ≥2，n ∈N *)．解析：当n ≥2，n ∈N *时， a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1＝1×21×32×…×n －2n －3×n －1n －2×n n －1＝n ，当n ＝1时，也符合上式。
数列的通项公式的求法以及典型习题练习
数列的通项公式的求法以及典型习题练习数列解题方法与研究顺序一、累加法累加法是最基本的两个数列解题方法之一，适用于广义的等差数列，即an+1=an+f(n)。
1.若an+1-an=f(n)（n≥2），且a2-a1=f(1)，则可得an+1-a1=∑f(n)（k=1至n）。
例1：已知数列{an}满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列{an}的通项公式。
解：由题可知，f(n)=2n+1，故an+1-an=f(n)=2n+1，且a2-a1=f(1)=3.根据累加法得an+1-a1=∑f(n)=∑(2n+1)=n(n+1)+n= n^2+2n，即an=n^2+2n。
所数列{an}的通项公式为an=n^2+2n。
2.若an+1-an=f(n)，则可得an+1/an=f(n)。
例2：已知数列{an}满足an+1=an+2×3+1，a1=3，求数列{an}的通项公式。
解：由题可知，f(n)=2×3+1=7，故an+1-an=f(n)=7.根据累乘法得an+1/an=f(n)=7，即an=3×7^(n-1)。
所以数列{an}的通项公式为an=3×7^(n-1)。
二、累乘法累乘法是最基本的两个数列解题方法之二，适用于广义的等比数列，即an+1=f(n)×an。
1.若an+1/an=f(n)，则可得an+1/an=∏f(k)（k=1至n）。
例3：已知数列an=an-1/n，a1=2，求数列的通项公式。
解：由题可知，f(n)=1/n，故an+1/an=f(n)=1/n。
根据累乘法得an+1/an=∏f(k)=∏(1/k)=1/n。
即an=n!/n。
所以数列的通项公式为an=n!/n。
2.若an+1/an=f(n)，则可得an+1×an=f(n)。
例4：已知数列{an}满足an+1=2(n+1)5×an，a1=3，求数列{an}的通项公式。
解：由题可知，f(n)=2(n+1)5，故an+1/an=f(n)=2(n+1)5.根据累乘法得an+1×an=∏f(k)=∏2(k+1)5=2^(n+1)×3^(n(n+1)/2)，即an=3^n×2^(n-1)。
高考数学专题十一数列求通项公式精准培优专练文(1)
高考数学专题十一数列求通项公式精准培优专练文(1)1.累加、累乘法例1：数列满足：，且，求．{}n a 11a =121n n n a a +-=+n a 【答案】．22n n a n =+-【解析】，，，，121n n n a a +-=+1121n n n a a ---=+L 12121a a -=+累加可得：，()()1211221222112321n n n n a a n n n ----=++++-=+-=+--L22n n a n ∴=+-．2．与的关系的应用nS n a例2：在数列中，，，则的通项公式为_________．{}n a 11a =2221nn n S a S =-{}n a【答案】．11,221231,1nn a n n n ⎧-≥⎪=--⎨⎪=⎩ 【解析】∵当时，，2,n n *≥∈N 1n n n a S S -=-222111222221nn n n n n n n n n S S S S S S S S S S ---∴-=⇒--+=-，整理可得：，，112n n n n S S S S ---=1112n n S S -∴-= 1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭为公差为2的等差数列，，()1111221n n n S S ∴=+-⋅=- 121n S n ∴=-，．11,221231,1nn a n n n ⎧-≥⎪=--⎨⎪=⎩ 3．构造法例3：数列中，，，求数列的通项公式．{}n a 11a =132n n a a -=+{}n a【答案】．1231n n a -=⋅-【解析】设即，对比，可得，()13n n a a λλ-+=+132n n a a λ-=+132n n a a -=+1λ=()1131n n a a -∴+=+，是公比为3的等比数列，{}1n a ∴+()11113n n a a -∴+=+⋅，．1231n n a -∴=⋅-一、单选题1．由，给出的数列的第34项是（ ）11a =131nn n a a a +=+{}na A ． B ．100C ．D ．11003410314【答案】A【解析】由，，11a =131nn n a a a +=+ 则，，，211314a ==+311417314a ==⨯+4117110317a ==⨯+ 511101133110a ==⨯+，，，611131163113a ==⨯+L 由此可知各项分子为1，分母构成等差数列，首项，公差为，{}n b 11b =3d = ∴，∴，故选A ．()3413411333100b b d =+-=+⨯=51100a =2．数列满足，，则等于（ ）{}n a 112a =111n n a a +=-2018a A ． B ． C ．2D ．3121-【答案】B【解析】时，，，，，1n =2121a =-=-()3112a =--=411122a =-=5121a =-=- ∴数列的周期是3，∴．故选B ．()20182337221a a a ⨯+===-3．在数列中，若，且对任意正整数、，总有，则的前项和为（ ）{}n a 12a =mk m k m k a a a +=+{}n a n n S =。
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培优点十一 数列求通项公式1.累加、累乘法例1：数列{}n a 满足：11a =，且121n n n a a +-=+，求n a ． 【答案】22n n a n =+-．【解析】121n n n a a +-=+，1121n n n a a ---=+，L ，12121a a -=+， 累加可得：()()1211221222112321n n n n a a n n n ----=++++-=+-=+--L ，22n n a n ∴=+-．2．n S 与n a 的关系的应用例2：在数列{}n a 中，11a =，2221nn n S a S =-，则{}n a 的通项公式为_________．【答案】11,221231,1n n a n n n ⎧-≥⎪=--⎨⎪=⎩．【解析】∵当2,n n *≥∈N 时，1n n n a S S -=-，222111222221nn n n n n n n n n S S S S S S S S S S ---∴-=⇒--+=-，整理可得：112n n n n S S S S ---=，1112n n S S -∴-=， 1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭为公差为2的等差数列，()1111221n n n S S ∴=+-⋅=-，121n S n ∴=-，11,221231,1n n a n n n ⎧-≥⎪=--⎨⎪=⎩．3．构造法例3：数列{}n a 中，11a =，132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式． 【答案】1231n n a -=⋅-．【解析】设()13n n a a λλ-+=+即132n n a a λ-=+，对比132n n a a -=+，可得1λ=， ()1131n n a a -∴+=+，{}1n a ∴+是公比为3的等比数列，()11113n n a a -∴+=+⋅，1231n n a -∴=⋅-．一、单选题 1．由11a =，131nn n a a a +=+给出的数列{}n a 的第34项是（ ） A ．1100B ．100C ．34103D ．14【答案】A【解析】由11a =，131nn n a a a +=+， 则211314a ==+，311417314a ==⨯+，4117110317a ==⨯+， 511101133110a ==⨯+，611131163113a ==⨯+，L ，由此可知各项分子为1，分母构成等差数列{}n b ，首项11b =，公差为3d =， ∴()3413411333100b b d =+-=+⨯=，∴51100a =，故选A ． 2．数列{}n a 满足112a =，111n n a a +=-，则2018a 等于（ ）A ．12B ．1-C ．2D ．3【答案】B【解析】1n =时，2121a =-=-，()3112a =--=，411122a =-=，5121a =-=-， ∴数列的周期是3，∴()20182337221a a a ⨯+===-．故选B ．对点增分集训3．在数列{}n a 中，若12a =，且对任意正整数m 、k ，总有m k m k a a a +=+，则{}n a 的前n 项和为n S =（ ） A ．()31n n - B ．()32n n +C ．()1n n +D ．()312n n +【答案】C【解析】递推关系m k m k a a a +=+中，令1k =可得：112m m m a a a a +=+=+， 即12m m a a +-=恒成立，据此可知，该数列是一个首项12a =，公差2d =的等差数列， 其前n 项和为：()()()11122122n n n n n S na d n n n --=+=+⨯=+．故选C ．4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()21n S n n *=-∈N ，则2017a 的值为（ ）A ．2B ．3C ．2017D ．3033【答案】A【解析】2017201720162a S S =-=，故选A ．5．已知数列{}n a 是递增数列，且对n *∈N ，都有2n a n n λ=+，则实数λ的取值范围是（ ） A ．72⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭,B ．()1-+∞,C ．()2-+∞,D ．()3-+∞,【答案】D【解析】∵{}n a 是递增数列，∴1n n a a +>，∵2n a n n λ=+恒成立，即()()2211n n n n λλ+++>+，∴21n λ>--对于n *∈N 恒成立，而21n --在1n =时取得最大值3-， ∴3λ>-，故选D ．6．在数列{}n a 中，已知12a =，1122n n n a a a --=+，()2n ≥，则n a 等于（ ）A ．21n + B ．2nC ．3nD ．31n + 【答案】B 【解析】将等式1122n n n a a a --=+两边取倒数得到11112n n a a -=+，11112n n a a --=， 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列，1112a =，根据等差数列的通项公式的求法得到()1111222n n n a =+-⨯=，故2n a n=．故选B ． 7．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，若11a =，113n n S a +=，则7a =（ ）A ．74B ．534⨯C ．634⨯D ．641+【答案】B【解析】由113n n S a +=，可得113n n S a -=，2n ≥．两式相减可得：11133n n n a a a +=-，2n ≥．即14n n a a +=，2n ≥．数列{}n a 是从第二项起的等比数列，公比为4，又113n n S a +=，11a =．∴23a =，13S =．∴72572434a a -==⨯．故选B ．8．已知()122F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，()()1101n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，n *∈N 则数列{}n a 的通项公式为（ ）A ．n a n =B ．()21n a n =+C ．1n a n =+D ．223n a n n =-+【答案】B【解析】由题已知()122F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，故()()F x F x -=-，代入得：11422f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()x ∈R ，∴函数()f x 关于点1,22⎛⎫⎪⎝⎭对称，令12t x =-，则112x t +=-，得到()()14f t f t +-=， ∵()()1101n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，()()1110n n a f ff f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，倒序相加可得()241n a n =+，即()21n a n =+，故选B ． 9．在数列{}n a 中，若10a =，12n n a a n +-=，则23111na a a +++L 的值（ ） A ．1n n- B ．1n n+ C ．11n n -+ D ．1n n + 【答案】A【解析】由题意，数列{}n a 中，若10a =，12n n a a n +-=，则()()()()()11221121211n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-++-+=+++-=-⎡⎤⎣⎦L L ，∴()111111n a n n n n==---， ∴231111111111112231n n a a a n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ，故选A ． 10．已知数列{}n a 的首项11a =，且满足()112nn n a a n ++⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭N ，如果存在正整数n ，使得()()10n n a a λλ+--<成立，则实数λ的取值范围是（ ） A ．122⎛⎫⎪⎝⎭, B ．213⎛⎫ ⎪⎝⎭, C ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭, D ．2536⎛⎫ ⎪⎝⎭,【答案】C【解析】由题意2n ≥时，()()()21121321111211122232n nn n n a a a a a a a a --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=+-+-++-=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L L ，由()()10n n a a λλ+--<，即()()10n n a a λλ+--<， ∴221k k a a λ-<<且221k k a a λ+<<，k *∈N ，2222121113232kkk a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 其中最小项为22311342a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，2121212121113232k k k a ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，其中最大项为11a =，因此112λ<<．故选C ． 11．已知数列{}n a 满足11a =，()*12n n n a a n +⋅=∈N ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）A ．201820182a =B ．10092018323S =⋅-C ．数列{}21n a -是等差数列D ．数列{}n a 是等比数列【答案】B【解析】数列数列{}n a 满足11a =，()*12n n n a a n +⋅=∈N ，当2n ≥时，112n n n a a --⋅=两式作商可得：112n n a a +-=， ∴数列{}n a 的奇数项1a ，3a ，5a ，L ，成等比，偶数项2a ，4a ，6a ，L ，成等比，对于A 来说，20181100810092201822222aa -=⨯=⨯=，错误；对于B 来说，()()2018132017242018S a a a a a a =+++++++L L ()()1009100910091122123231212⨯-⨯-=+=⋅---，正确；对于C 来说，数列{}21n a -是等比数列，错误； 对于D 来说，数列{}n a 不是等比数列，错误，故选B ． 12．已知数列{}n a 满足：11a =，()12n n n a a n a *+=∈+N ．设()()1121n n b n n a λ*+⎛⎫=-⋅+∈ ⎪⎝⎭N ，215b λλ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ） A ．()2-∞,B ．312⎛⎫- ⎪⎝⎭,C ．()11-,D ．()12-,【答案】B【解析】∵数{}n a 满足：11a =，()12nn n a a n a *+=∈+N ． 1121n n a a +∴=+，化为11212n na a ++=+， ∴数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项为1112a +=，公比为2，∴112n na +=，()()112122n n nb n n a λλ+⎛⎫∴=-+=-⋅ ⎪⎝⎭， ∵215b λλ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，∴21b b >，∴()21225λλλ-⋅>-，解得12λ-<<，由21n n b b ++>，可得12nλ<+，对于任意的n *∈N 恒成立， 32λ∴<，故答案为312λ-<<．故选B ．二、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+，则n a =___________． 【答案】21n +【解析】数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+， ()()21121n S n n -=-+-，两式想减得到21n a n =+．此时1n >，检验当1n =时，13a =符合题意，故21n a n =+．故答案为21n a n =+． 14．数列{}n a 中，若11a =，11n n na a n +=+，则n a =______． 【答案】1n【解析】∵11a =，11n n na a n +=+，则()1111n n n a na a ++===， ∴1n a n=．故答案为1n ．15．设数列{}n a 满足()()112n n n na n a n n *+-+=∈+N ，112a =，n a =___________． 【答案】21n n +【解析】∵()()112n n nna n a n n *+-+=∈+N ， ()()111112112n n a a n n n n n n +∴-==-+++++， ∴11111n n a a n n n n --=--+，21112123a a -=-，累加可得11121n a a n n -=-+， ∵112a =，1111n a nn n n =+=++，∴21n n a n =+．故答案为21n n a n =+．16．已知数列{}n a 满足12a =，()()145413n n a a +--=-，则12311111111na a a a +++⋅⋅⋅+=----_______． 【答案】133222n n +-- 【解析】令()41n n b a =-，则()1141n n b a ++=-，由题意可得()()1133n n b b +-+=-， 即1130n n n n b b b b +++-=，整理可得1311n n b b +-=-，令1n n c b =，则131n n c c +=+，由题意可得111322n n c c +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 且()111111414c b a ===-，11324c +=，故113324n n c -+=⨯，即11342n n c =⨯-，1432n n n b c ==-，11432n n n b a -==-，1321n n a =--， 据此可知123123111133333322111122n nn n n a a a a +++++=++++-=------L L ．三、解答题17．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且224nn n a a S +=． （1）求n S ； （2）设n b =1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（1）2n S n n =+；（2）1n T =．【解析】（1）由题意得221112424n n nn n n a a S a a S +++⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式作差得()()1120n n n n a a a a +++--=，又数列{}n a 各项均为正数，∴120n n a a +--=，即12n n a a +-=， 当1n =时，有21111244a a S a +==，得()1120a a -=，则12a =， 故数列{}n a 为首项为2公差为2的等差数列，∴()2112n n n S na d n n -=+=+．（2）1nb ==-∴1111nnn i i i T b ====-=∑∑．18．在数列{}n a 中，14a =，()21122n n na n a n n +-+=+．（1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【答案】（1）见解析；（2）()21n nS n =+．【解析】（1）()21122n n na n a n n +-+=+的两边同时除以()1n n +，得()121n na a n n n*+-=∈+N ， ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公差为2的等差数列（2）由（1），得22n an n=+，∴222n a n n =+，故()()21111111222121n n n a n n n n n n +-⎛⎫==⋅=⋅- ⎪+++⎝⎭， ∴111111122231n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()111111111112232312121n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+-++⋯+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．。