24.5正多边形的性质

1. 点O是正△AOB的中心，OB叫正△ABC
的__半___径___ ，它是正△ABC的__外__接____圆的半
径.
2.OD⊥BC, OD叫作正△ABC__边__心___距_ ， 它是正△ABC的__内__切____ 圆的半径。 A
3.∠BOC叫做正△ABC的_中__心__角____,
o
B
D
C
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形一共 有n条对称轴，每一条对称轴都通过对称中心。 如果一个正多边形有偶数条边，那么它又是中 心对称图形，它的中心就是对称中心。
∵ OB=OC, ∴ ∠1=∠2. 又∵∠ABC=∠BCD, ∴ ∠3=∠4. ∵ AB=CD,
E
4C
·O 2
H
1
3
∴ △OAB≌ODC. ∴ OA=OD,
A
B
即 点D在⊙O上.
同理，点E也在⊙O上.
∴正五边形ABCDE有一个以O为圆心的外接圆.
由于正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦， 等弦的弦心距相等，所以以点O为圆心、弦心
巩固练习
1．正八边形的每个内角是_1_3__5_°_度.
2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则
∠CFD的度数是（ C ）
A. 60° B. 45° C. 30° D. 22.5°
巩固练习
3．如果一个正多边形绕它的中心旋转90°就与
原来的图形重合，那么这个正多边形是（ B ）
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
正多边形的性质
正五边形
正八边形
轴对称图形：
一个正n边形共有n条对称轴，
每条对称轴都通过n边形的中心.
正三边形 什么叫中心？
旋转对称图形：每旋转------就与原图重合，旋转中心是--------------
正多边形的性质
正八边形
正六边形
➢ 边数是偶数的正多边形 是中心对称图形， 它的中心就是对称中心.
面积S 1 L • 边心距（r） 1 na • 边心距（r）
2
2
例题讲解
例. 有一个亭子,它的地基半径为4 m的正六边形, 求地基的周长和面积(精确到0.1 m2).
解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心 角等于 360o 60o，△OBC是等边三角形，从而正
6
六边形的边长等于它的半径.
以O为圆心的
内切圆
• 定理： 任何正多边形都 有一个外接圆和一个内 切圆，这两个圆是同心 圆．
同步练习
1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做
正方形ABCD的
中心
2、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做
正方形ABCD的 边心距
A
D
.O
B EC
同步练习
5、图中正六边形ABCDEF的中心角是 ∠AOB 它的度数是 60度
F
E
O
A
·
D
B
C
以半径长在圆 周上截取六段相 等的弧，依次连 结各等分点，则 作出正六边形.
先作出正六边
形，则可作正三 角形，正十二边 形，正二十四边
形………
说说作正多边形的方法有哪些?
归纳
（1）用量角器等分圆周作正n边形； （2）用尺规作正方形及由此扩展作正八 边形, 用尺规作正六边形及由此扩展作正 12边形、正三角形．
• 例 求边长为a的正六边形的周长和面积
由于正多边形在生产、生活实际中有广泛 的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能 力之一。
已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角
形.
A
①用量角器度量，使
∠AOB=∠BOC=∠COA=1
20°．
②用量角器或30°角的
120 ° O
三角板度量，使 ∠BAO=∠CAO=30°．
因此,亭子地基的周长
F
E
l =4×6=24(m).
A
O
D
r
R
B PC
例题讲解
在Rt△OPC中,OC=4, PC= BC 4 2，
22
利用勾股定理,可得边心距
F
E
r 42 22 2 3.
A
O
D
亭子地基的面积
r
R
B PC
S 1 lr 1 24 2 3 41.6(m2 ). 22
2
AMB R
OM R ，tan 30 AM , OM
F
O
C
AM OM tan 30 1 3R 3
E
D
P6 6 AB 12AM 4 3R
S6

1 2
6 AB OM

14 2
3R R 2
3R2
2
26 6
O
O
O
半径R 60 边心距r
半径R 45 边心距r
半径R 30 边心距r
AC
M AC
M
AC
M
中心角
360
n
E
中心角
D
边心距OG把△AOB分成
2个全等的直角三角形
F
..O
C
AOG BOG 180 n
R
a
A GB
设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
边心距 R2（ a）2 ， 2
4．已知正六边形的边心距为 3 ，则它的
周长是__1_2__.
6. 正六边形ABCDEF外切于⊙O，⊙O的半 径为R，则该正六边形的周长和面积各是多少？
解 : 如图, 设AB切⊙O于M， 连结OA、 OB
OM ,则OM AB于M , AM BM.
在RtAOM中, AOM 1 AOB 30,
圆的半径、即OM）
④正多边形每一边所对的圆心角叫 A
F
做正多边形的中心角（即∠AOB ）
正n边形的每个中心角
都等于
360 n
· B 中心角 半径R
O
E
边心距r
CM D
同步练习
（n 2）180 正n边形的每一个内角的度数都是______n______;
360
中心角是_____n______; 正多边形的中心角与外角的大小关系 是__相__等____.
6、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有
什么数量关系？为什么？
E
D
F
.O
C
A
B
探索新知
连接OC，由垂径定理（运用圆的有关知识）得
AM 1 AB 2
E
D
AOM 1 中心角 1 360 180
2
2 n nF
.O
C
在RtΔAOM中，有
OA2 OM 2 AM 2.
C
B
你能尺规作出正四边形、正八边形吗？
A
D
O ·
B
C
只要作出已知⊙O的互相垂 直的直径即得圆内接正方
形，再过圆心作各边的垂 线与⊙O相交，或作各中心 角的角平分线与⊙O相交， 即得圆接正八边形，照此
方法依次可作正十六边形、
正三十二边形、正六十四 边形……
你能尺规作出正六边形、正三角形、正十 二边形吗？
24.6 正多边形与圆（二）
正多边形的性质
·O
• 通过上节课的学习，我们知道，将一个圆n等 分，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形。 反过来，是不是每个正多边形都有一个外接 圆和一个内切圆呢？
我们仍然以正五边形 为例来进行探究
如图，过正五边形ABCDE的顶点A,B,C作⊙O，
D
连接OA,OB,OC,OD,OE.
A
半径R
MB
O
中心角一半
边心距r
C 边长一半 M
探索新知
当n 3时，AOM 1 中心角 1 360 180 60
2
23 3
当n 4时，AOM 1 中心角 1 360 180 45
2
24 4
当n 6时，AOM 1 中心角 1 360 180 30
过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作 ⊙O连结OA、OB、OC、OD
同理，点E在⊙O上． 所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O．
因为正五边形ABCDE的各边是 ⊙O中相等的弦，所以弦心距相 等．因此，以点O为圆心，以弦 心距(OH)为半径的圆与正五边形 的各边都相切．可见正五边形 ABCDE还有一个
距OH为半径的圆与正五边形的各边都相切.
所以，正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆.
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆， 并且这两个圆是同心圆.
概念学习
①我们把一个正多边形的外接圆（内切圆）的公 共圆心叫做这个正多边形的中心（即点O）
②外接圆的半径叫做正多边形的半径（即OA）
③内切圆的半径叫做正多边形的边心距（内切