7弧度制任意角同角三角函数前置作业
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.若角的终边经过点P，则的值是．【答案】．【解析】由角的终边经过点P，知，由三角函数的定义可知：，故答案为：．【考点】三角函数的定义.2.点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为________．【答案】【解析】由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos＝－，y＝sin＝.3.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α＝________.【答案】－＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标【解析】因为A点纵坐标yAx＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－.A4.设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．【答案】四【解析】由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋ (k∈Z)，kπ＋<<kπ＋ (k∈Z)，知是第二或第四象限角，再由＝－sin知sin<0，所以只能是第四象限角．5.满足cos α≤－的角α的集合为________．【答案】【解析】作直线x＝－交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为.6.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝() A．B．C．－D．－【答案】D【解析】∵α是第二象限角，∴cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，∴tanα＝＝－.7.是第二象限角，则是第象限角．【答案】一或三【解析】是第二象限角，则有，于是，因此是第一、三象限角．【考点】象限角的概念．8.如果弧度的圆心角所对的弦长为，那么这个圆心角所对的弧长为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角也为1故半径为，这个圆心角所对的弧长为，故选A．【考点】弧长公式．9.已知扇形的面积为2cm2,扇形圆心角θ的弧度数是4,则扇形的周长为()A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【答案】C【解析】设扇形的半径为R,则R2θ=2,∴R2=1R=1,∴扇形的周长为2R+θ·R=2+4=6(cm).10.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为() A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知,圆内接正三角形边长a与圆的半径之间关系为a=r,∴α===.11.已知角α的终边上一点的坐标为(sin,cos),则角α的最小正值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵sin>0,cos>0,∴角α的终边在第一象限,∴tanα====,∴角α的最小正值为.12.若角θ的终边在射线y=-2x(x<0)上,则cosθ=.【答案】-【解析】由已知得角的终边落在第二象限,故可设角终边上一点P(-1,2),则r2=(-1)2+22=5,∴r=,此时cosθ==-.13.已知，求下列各式的值：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）先由已知式，解出的值，再把欲求式的分子分母都除以（需说明），变形为，代入的值，即可求得的值；（Ⅱ）先利用诱导公式将欲求式化为：，将这个式子变形为，分子分母都除以，变形为，代入的值，即可求得的值．试题解析：由已知得tanα＝. 3分(1)原式＝＝＝－. 8分(2)原式=sin2α＋sinαcosα＋2＝sin2α＋sinαcosα＋2(cos2α＋sin2α)＝＝＝＝. 13分．【考点】三角函数給值求值．14.求值：= ．【答案】【解析】由题意得:【考点】三角求值15.已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边上一点的坐标为，在第四象限，所以角是第四象限角，又，所以角的最小正值为.【考点】特殊角的三角函数值16.已知角的终边经过点,且,则的值为（）A．B．C．D．【答案】Ａ【解析】因为,故为二三象限，故，且，解得．【考点】三角函数定义．17.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值18.运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：两点等分单位圆时，有相应正确关系为，三等分单位圆时，有相应正确关系为，由此推出：四等分单位圆时的相应正确关系为 .【答案】【解析】用两点等分单位圆时，关系为，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差为：，用三点等分单位圆时，关系为，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，均为有，依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角为，第三个角，第四个角为，即其关系为.【考点】三角函数的定义与三角恒等式.19.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.20.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，，角的终边与单位圆交点的横坐标是，角的终边与单位圆交点的纵坐标是，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知，，因为所以，，所以.【考点】三角函数的定义，和差角公式.21.若角的终边上有一点P(a，－2)，则实数a的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】三角函数的定义.22.如上页图，一条螺旋线是用以下方法画成：是边长为1的正三角形，曲线分别以为圆心，为半径画的弧，曲线称为螺旋线旋转一圈．然后又以为圆心为半径画弧…，这样画到第圈，则所得整条螺旋线的长度______．(用表示即可)【答案】n (3n+1)π【解析】设第n段弧的弧长为，由弧长公式，可得…数列是以为首项、为公差的等差数列.画到第n圈，有3n段弧，故所得整条螺旋线的长度【考点】本题主要考查倒靫收莲的概念，求和公式。
任意角和弧度制、任意角的三角函数专题及答案
任意角和弧度制、任意角的三角函数专题一、基础小题1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( )A ．－43B ．－45C ．－35D ．－342．sin2cos3tan4的值( )A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在 3．已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18 cm ，则扇形圆心角的弧度数是( )A ．23B ．32C ．23πD ．32π4.如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ) 5．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A ． 3 B ．±3 C ．－2 D ．－ 36．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3 7．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 8．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32 B ．32 C ．－12 D ．129．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为________．11．已知角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，若α∈(－2π，2π)，则所有的α组成的集合为________．12．已知角α的终边上的点P 和点A (a ，b )关于x 轴对称(a ≠b )，角β的终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，则sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝________. 二、高考小题13．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )14．若tan α>0，则( )A ．sin α>0B ．cos α>0C ．sin2α>0D ．cos2α>0 15．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b 16．设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A ．12B ．32C ．0D ．－12三、模拟小题17．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( )18．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．3219．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 20．已知角x 的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x 的最小正值为( )A ．5π6 B ．5π3 C ．11π6 D ．2π321．已知A (x A ，y A )是单位圆上(圆心在坐标原点O )任意一点，且射线OA 绕O 点逆时针旋转30°到OB 交单位圆于B (x B ，y B )，则x A －y B 的最大值为( )A ． 2B ．32C ．1D ．1222．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( )A ．2B ．1C ．12D ．323．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )24．已知角θ的终边经过点P (－4cos α，3cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin θ＋cos θ＝________.模拟大题1．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α的值．2．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．3．设函数f (x )＝－x 2＋2x ＋a (0≤x ≤3)的最大值为m ，最小值为n ，其中a ≠0，a ∈R.(1)求m ，n 的值(用a 表示)；(2)已知角β的顶点与平面直角坐标系xOy 中的原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点A (m －1，n ＋3)，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6的值．4.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1，y 1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．(1)若x 1＝35，求x 2；(2)过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．任意角和弧度制、任意角的三角函数专题及答案一、基础小题1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( )A ．－43B ．－45C ．－35D ．－34答案 D解析 根据三角函数的定义，tan α＝y x ＝35－45＝－34，故选D. 2．sin2cos3tan4的值( )A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在 答案 A解析 ∵sin2>0，cos3<0，tan4>0，∴sin2cos3tan4<0.3．已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18 cm ，则扇形圆心角的弧度数是( )A ．23B ．32C ．23πD ．32π答案 B解析 由题意知l ＝|α|r ，∴|α|＝l r ＝1812＝32.4.如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是()A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ) 答案 A解析 由三角函数的定义知，选A.5．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A ． 3 B ．±3 C ．－2 D ．－ 3答案 D解析 依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x <0，由此解得x ＝－3，故选D. 6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3 答案 B解析 由α＝2k π－π5(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0，所以y ＝－1＋1－1＝－1.7．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 C解析 设扇形的半径为R ，则12R 2|α|＝2，∴R 2＝1，∴R ＝1，∴扇形的周长为2R ＋|α|·R ＝2＋4＝6，故选C.8．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32 B ．32 C ．－12 D ．12答案 D解析 因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z)，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z)，即得sin α＝12.9．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．10．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32解析 根据题意得Q (cos π3，sin π3)，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.11．已知角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，若α∈(－2π，2π)，则所有的α组成的集合为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3解析 因为角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，所以角α为第四象限角，且tan α＝－3，即α＝－π3＋2k π，k ∈Z ，因此落在(－2π，2π)内的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3.12．已知角α的终边上的点P 和点A (a ，b )关于x 轴对称(a ≠b )，角β的终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，则sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝________. 答案 0解析 由题意得P (a ，－b )，Q (b ，a )，∴tan α＝－b a ，tan β＝a b (a ，b ≠0)，∴sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝－b a 2＋b 2b a 2＋b 2＋－ba ab ＋1a a 2＋b 2·a a 2＋b 2＝－1－b 2a 2＋a 2＋b2a 2＝0.二、高考小题13．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )答案 C解析 由题意|OM |＝|cos x |，f (x )＝|OM ||sin x |＝|sin x cos x |＝ 12|sin2x |，由此可知C 正确． 14．若tan α>0，则( )A ．sin α>0B ．cos α>0C ．sin2α>0D ．cos2α>0 答案 C解析 由tan α>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号， 故sin2α＝2sin αcos α>0，故选C.15．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b 答案 C解析 ∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°，c ＝tan35°＝sin35°cos35°，∴sin35°cos35°>sin35°>sin33°.∴c >b >a ，选C.16．设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A ．12B ．32C ．0D ．－12答案 A解析 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 5π6＋sin11π6＋sin 17π6＝0＋12－12＋12＝12.三、模拟小题17．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n 时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样．当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．18．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32答案 B解析 r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，∴m ＝±12，∴m ＝12.19．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 答案 A解析 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3. 20．已知角x 的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x 的最小正值为( )A ．5π6 B ．5π3 C ．11π6 D ．2π3答案 B解析 ∵sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32，∴角x 的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，tan x ＝－3，∴x ＝2k π＋53π，k ∈Z ，∴角x 的最小正值为5π3.(也可用同角基本关系式tan x ＝sin xcos x得出．) 21．已知A (x A ，y A )是单位圆上(圆心在坐标原点O )任意一点，且射线OA 绕O 点逆时针旋转30°到OB 交单位圆于B (x B ，y B )，则x A －y B 的最大值为( )A ． 2B ．32C ．1D ．12答案 C解析 如图，由三角函数的定义，设x A ＝cos α，则y B ＝sin(α＋30°)，∴x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝12cos α－32sin α＝cos(α＋60°)≤1.22．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( )A ．2B ．1C ．12 D ．3答案 A解析 设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4，面积S ＝12rl ＝12r (4－2r )＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，故当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2.从而α＝l r ＝21＝2.23．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )答案 C解析 如图，取AP 的中点为D ，设∠DOA ＝θ，则d ＝2r sin θ＝2sin θ，l ＝2θr ＝2θ， ∴d ＝2sin l2，故选C.24．已知角θ的终边经过点P (－4cos α，3cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin θ＋cos θ＝________.答案 15解析 因为π<α<3π2时，cos α<0，所以r ＝－5cos α，故sin θ＝－35，cos θ＝45，则sin θ＋cos θ＝15.模拟大题1．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α的值． 解 ∵P (x ，－2)(x ≠0)， ∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝36x . ∵x ≠0，∴x ＝±10，∴r ＝2 3.当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)，由三角函数的定义，有sin α＝－66，1tan α＝－5，∴sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66； 当x ＝－10时，同样可求得sin α＋1tan α＝65－66.2．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ， 则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π. 所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点已运动到终边在π3·4＝4π3的位置，则x C ＝－cos π3·4＝－2，y C ＝－sin π3·4＝－2 3.所以C 点的坐标为(－2，－23)． P 点走过的弧长为43π·4＝163π，Q 点走过的弧长为23π·4＝83π.3．设函数f (x )＝－x 2＋2x ＋a (0≤x ≤3)的最大值为m ，最小值为n ，其中a ≠0，a ∈R.(1)求m ，n 的值(用a 表示)；(2)已知角β的顶点与平面直角坐标系xOy 中的原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点A (m －1，n ＋3)，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6的值．解 (1)由题意可得f (x )＝－(x －1)2＋1＋a ，而0≤x ≤3，所以m ＝f (1)＝1＋a ，n ＝f (3)＝a －3.(2)由题意知，角β终边经过点A (a ，a )， 当a >0时，r ＝a 2＋a 2＝2a ， 则sin β＝a 2a ＝22，cos β＝a 2a ＝22. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝sin β·cos π6＋cos β·sin π6＝2＋64.当a <0时，r ＝a 2＋a 2＝－2a ， 则sin β＝a －2a＝－22，cos β＝a －2a＝－22. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝sin β·cos π6＋cos β·sin π6＝－2＋64.综上所述，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝－2＋64或2＋64.4.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1，y 1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．(1)若x 1＝35，求x 2；(2)过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．解 (1)因为x 1＝35，y 1>0，所以y 1＝1－x 21＝45，所以sin α＝45，cos α＝35，所以x 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210.(2)S 1＝12sin αcos α＝14sin2α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以S 2＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－14cos2α.因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43，所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以tan α＝2.。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知点（）在第三象限，则角在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】由于点是第三象限角，，在第二象限.【考点】三角函数在各个象限的符号.2.若点P位于第三象限，则角是第象限的角.【答案】二【解析】点P位于第三象限，则即,所以角是第二象限的角,答案为二.【考点】三角函数的符号3.若角的终边经过点，则的值为．【答案】【解析】由三角函数定义知，==.考点:三角函数定义4.已知，则的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由知，在第一或第三象限，因为，所以．【考点】简单三角方程5.已知是第二象限的角，，则．【答案】【解析】设的终边有上一点P(x,y)(x<0,y>0),则，不妨令,由三角函数的定义得：.【考点】三角函数的定义.6.已知角的终边上有一点（1，2），则的值为（ ).A．B．C．D．–2【解析】角的终边过，，.【考点】任意角三角函数的定义.7.若角的终边为第二象限的角平分线，则的集合为______________．【答案】【解析】在上第一个出现终边在第二象限角平分线的角为，之后每隔个单位出现一个终边落在第二象限角平分线上角，因此所求集合为.【考点】终边相同的角的集合.8.有下列说法：①函数y＝－cos 2x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是；③把函数的图像向右平移个单位长度得到函数y＝3sin 2x的图像；④函数在[0，π]上是减函数．其中，正确的说法是________．【答案】①③【解析】①：的最小正周期为，正确；②：在上第一个出现终边在y轴的角为，之后每隔个单位出现一个终边落在y轴上的角，因此所求集合为，∴②错误；③：函数的图像向右平移个单位长度以后的函数解析式为：，∴③正确；④：当时，，∴函数在[0，π]上是增函数，∴④错误.【考点】1、三角函数的性质；2、终边相同的角的集合.9.=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】.考点:诱导公式,特殊角的三角函数值.10.与60°角终边相同的角的集合可以表示为( )A．{|=k·360°+，k Z}B．{|=2k+60°，k Z}C．{|=k·180°+60°，k Z}D．{|=2k+，k Z}【解析】A,B把弧度制与角度制混在了一起，不规范，而C，应为=k·360°+60°，D正确．【考点】终边相同的角的集合．11.已知扇形的周长为30，当它的半径R和圆心角各取何值时，扇形的面积S最大？并求出扇形面积的最大值．【答案】当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．【解析】根据条件扇形的周长为30可以得到l+2R=30,从而扇形的面积S=lR=（30－2R）R=，即把S表示为R的二次函数，根据二次函数求最值的方法，可以进一步变形为S=－（R－）2+，从而得到当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．∵扇形的周长为30，∴l+2R=30，l=30-2R，∴S=lR=（30－2R）R==－（R－）2+．．．．．5分∴当R=时，扇形有最大面积，此时l=30－2R=15，==2．．．．．．．．8分答：当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．．．．．10分．【考点】1、弧度制下扇形相关公式；2、二次函数求最值．12.已知，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，，故【考点】特殊角的三角函数13.圆的半径为r，该圆上长为r的弧所对的圆心角是()A．rad B．rad C．πD．π【答案】B【解析】由弧长公式可得：，解得.【考点】弧度制.14.若，且，则角的终边所在的象限是()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，又因为，所以，所以角的终边所在象限是第四象限，故选D．【考点】1、三角函数值的符号；2、二倍角的正弦．15.已知：P(-2，y)是角θ终边上一点，且sinθ= -,求cosθ的值.【答案】【解析】因为,横坐标为负数，所以余弦值是负数，根据同角基本关系式：，所以.试题解析：∵sinθ= -，∴角θ终边与单位圆的交点（cosθ，sinθ）=（,-）又∵P(-2, y)是角θ终边上一点, ∴cosθ<0,∴cosθ= -.【考点】1.三角函数的定义；2.同角基本关系式.16.与角终边相同的最小正角是．（用弧度制表示）【答案】【解析】因为与角终边相同的角为,所以与角终边相同的角是,其中最小正角是,化为弧度为.【考点】弧度制,终边相同的角.17.的值等于A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】三角函数中正弦两角差公式及特殊角的三角函数值。
高考数学专题《任意角和弧度制及任意角的三角函数》习题含答案解析
专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．（2021·宁夏高三三模（文））已知角α终边经过点()1,2,P-则cosα=（）A．12B．12-C D．【答案】D【解析】直接利用三角函数的定义即可.【详解】由三角函数定义，cos5α==-.故选：D.2.（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）已知角α的终边经过点()3,1P-，则cosα=（）A B．C．D【答案】C【解析】由三角函数的定义即可求得cosα的值．【详解】角α的终边经过点(3,1)P-，cosα∴==故选：C．3．（2020·全国高一课时练习）若α＝－2，则α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】练基础根据角的弧度制与角度制之间的转化关系可得选项.【详解】因为1 rad≈57.30°，所以－2 rad≈－114.60°，故α的终边在第三象限．故选：C.4．（2021·江苏高一期中）下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于90︒的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为60︒；⑥若5α=，则α是第四象限角．其中正确的题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】结合象限角和任意角的概念逐个判断即可.【详解】对于①：钝角是大于90小于180的角，显然钝角是第二象限角. 故①正确；对于②：锐角是大于0小于90的角，小于90的角也可能是负角. 故②错误；对于③：359-显然是第一象限角. 故③错误；对于④：135是第二象限角，361是第一象限角，但是135361<. 故④错误；对于⑤：时针转过的角是负角. 故⑤错误；对于⑥：因为157.3rad≈，所以5557.3=286.5rad≈⨯，是第四象限角. 故⑥正确.综上，①⑥正确.故选：B.5．（2021·辽宁高三其他模拟）装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为23π，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩光的小灯泡且在背面用导线将小灯泡串连（弧的两端各一个灯泡，导线接头忽略不计），已知扇形的半径为30厘米，则连接导线大致需要的长度约为（）A．55厘米B．63厘米C．69厘米D．76厘米【答案】B【解析】由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.【详解】因为在弧长比较短的情况下分成6等份，每部分的弦长和弧长相差很小， 所以可以用弧长近似代替弦长， 所以导线的长度为23020633ππ⨯=≈(厘米）． 故选：B6．（2021·上海格致中学高三三模）半径为2，中心角为3π的扇形的面积等于（ ） A ．43π B ．πC ．23π D ．3π 【答案】C 【解析】根据扇形的面积公式即可求解. 【详解】解：因为扇形的半径2r ，中心角3πα=，所以扇形的面积2211222233S r ππα==⨯⨯=， 故选：C.7．（2021·辽宁高三其他模拟）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA ＝20cm ，∠AOB ＝120°，M 为OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（ ）A ．50πcm 2B ．100πcm 2C ．150πcm 2D ．200πcm 2【答案】B 【解析】根据扇形面积公式计算可得； 【详解】解：扇环的面积为22211332400100222883r S r r παααπ⎛⎫=-==⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选：B8．（2021·重庆八中高三其他模拟）如图所示，扇环ABCD 的两条弧长分别是4和10，两条直边AD 与BC 的长都是3，则此扇环的面积为（ ）A ．84B ．63C ．42D ．21【答案】D 【解析】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，依题意可得4αr =且()310αr +=，解得α、r ，进而可得结果. 【详解】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，由题可得4αr =且()310αr +=，解得2α=，2r ，从而扇环面积()221252212S =⨯⨯-=. 故选：D ．9．（2021·浙江高二期末）已知角α的终边过点(1,)P y ，若sin 3α=，则y =___________．【答案】【解析】利用三角函数的定义可求y . 【详解】由三角函数的定义可得sin α==y =故答案为：10．（2021·山东日照市·高三月考）已知函数()3sin,06log ,0xx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则13f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______． 【答案】12- 【解析】利用分段函数直接进行求值即可． 【详解】∵函数()3,06log ,0xsinx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩， ∴311log 133f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝， ∴611(1)sin 32f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故答案为：12-.1．（2021·河南洛阳市·高一期中（文））点P 为圆221x y +=与x 轴正半轴的交点，将点P 沿圆周逆时针旋转至点P '，当转过的弧长为2π3时，点P '的坐标为（ ）A ．1,2⎛ ⎝⎭B ．12⎛- ⎝⎭C ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】先求出旋转角，就可以计算点的坐标了. 【详解】设旋转角为θ，则22123θπππ⨯⨯=，得23πθ=，从而可得1(,22P '-. 故选：B.2．（2021·上海高二课时练习）若A 是三角形的最小内角，则A 的取值范围是（ ）练提升A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】由给定条件结合三角形三内角和定理即可作答. 【详解】设B ，C 是三角形的另外两个内角，则必有,A B A C ≤≤，又A B C π++=, 则3A A A A A B C π=++≤++=，即3A π≤，当且仅当3C B A π===，即A 是正三角形内角时取“=”，又0A >，于是有03A π<≤，所以A 的取值范围是(0,]3π.故选：D3．（2021·北京清华附中高三其他模拟）已知,R αβ∈．则“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】求解出sin 2sin 2αβ=成立的充要条件，再与,k k Z αβπ=+∈分析比对即可得解. 【详解】,R αβ∈，sin 2sin 2sin[()()]sin[()()]αβαβαβαβαβ=⇔++-=+--⇔2cos()sin()0αβαβ+-=，则sin()0αβ-=或cos()0αβ+=，由sin()0αβ-=得,k k k Z αβπαβπ-=⇔=+∈， 由cos()0αβ+=得,22k k k Z ππαβπαβπ+=+⇔=-+∈，显然s ,in 2sin 2k k Z απαββ=+∈=⇒，sin 2s ,in 2k k Z αβαβπ=+=∈，所以“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的充分不必要条件. 故选：A4．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））已知一个半径为3的扇形的圆心角为()02θθπ<<，面积为98π，若()tan 3θϕ+=，则tan ϕ=（ ） A ．12-B ．34C ．12D ．43【答案】C 【解析】由扇形的面积公式得4πθ=,进而根据正切的和角公式解方程得1tan 2ϕ=. 【详解】解:由扇形的面积公式212S r θ=得9928πθ=,解得4πθ=, 所以()tan tan 1tan tan 31tan tan 1tan θϕϕθϕθϕϕ+++===--,解得1tan 2ϕ=故选:C5．（2021·新蔡县第一高级中学高一月考）一个圆心角为60的扇形，它的弧长是4π，则扇形的内切圆（与扇形的弧和半径的相切）的半径等于（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【答案】B 【解析】设扇形内切圆的半径为x ，扇形所在圆的半径为r ，求得3r x =，结合弧长公式，列出方程，即可求解. 【详解】如图所示，设扇形内切圆的半径为x ，扇形所在圆的半径为r ， 过点O 作OD CD ⊥， 在直角CDO 中，可得2sin 30ODCO x ==，所以扇形的半径为23r x x x =+=， 又由扇形的弧长公式，可得343x ππ⨯=，解得4x =，即扇形的内切圆的半径等于4. 故选：B.6．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））已知顶点在原点的锐角α，始边在x 轴的非负半轴，始终绕原点逆时针转过3π后交单位圆于1(,)3P y -，则sin α的值为（ ）A ．6B C ．16D ．16【答案】B 【解析】根据任意角的三角函数的定义求出1cos()33πα+=-，然后凑角结合两角差的正弦公式求出sin α. 【详解】由题意得1cos()33πα+=-(α为锐角) ∵α为锐角，∴5336πππα，∴sin()03πα+>sin()sin sin ()3333πππααα⎡⎤⇒+=⇒=+-⎢⎥⎣⎦1132326⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭ 故选：B7．（2020·安徽高三其他模拟（文））已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边经过点A (1，-3)，则tan()4πα+=（ ）A ．12B ．12-C ．1D ．-1【解析】根据终边上的点求出tan 3α=-，再结合正切和公式求解即可． 【详解】由题知tan 3α=-，则tan tan3114tan()41321tan tan 4παπαπα+-++===-+-. 故选：B8．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（理））已知顶点在原点，始边在x 轴非负半轴的锐角α绕原点逆时针转π3后，终边交单位圆于P x ⎛ ⎝⎭，则sin α的值为（ ） ABCD． 【答案】C 【解析】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β，由2113x +=，则x =，分x 的值结合三角函数的定义，求解即可，根据条件进行取舍. 【详解】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β，则3πβα=+，由α为锐角， 根据题意角β终边交单位圆于,3P x ⎛ ⎝⎭，则2113x +=，则3x =±若3x =，则sin ,cos 33ββ==所以sin sin sin cos cos sin 03336πππαβββ⎛⎫=-=-=< ⎪⎝⎭，与α为锐角不符合.若x =，则sin ββ==所以sin sin sin cos cos sin 0333πππαβββ⎛⎫=-=-=> ⎪⎝⎭,满足条件.9．（2021·安徽宣城市·高三二模（文））刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当n 很大时，用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 3.1416π≈．在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想．运用此思想，当π取3.1416时，可得sin 2︒的近似值为（ ）A ．0.00873B ．0.01745C ．0.02618D ．0.03491【答案】D 【解析】由圆的垂径定理，求得2sin 2AB =︒，根据扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，列出方程，即可求解. 【详解】将一个单位圆分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为4︒由圆的垂径定理，可得每个圆心角所对的弦长221sin 22sin 2AB AC ==⨯⨯︒=︒， 因为这90个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长， 所以9021sin 2180sin 22π⨯⨯⨯︒=︒≈， 所以22 3.1416sin 20.03491180180π⨯︒≈=≈． 故选：D ．10．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）某设计师为天文馆设计科普宣传图片，其中有一款设计图如图所示.QRT 是一个以点O 为圆心､QT 长为直径的半圆，QT =.QST 的圆心为P ，2dm PQ PT ==.QRT与QST 所围的灰色区域QRTSQ 即为某天所见的月亮形状，则该月亮形状的面积为___________2dm .6π 【解析】连接PO ，可得PO QT ⊥，求出23QPT π∠=，利用割补法即可求出月牙的面积. 【详解】解：连接PO ，可得PO QT ⊥，因为sin 2QO QPO PQ ∠==， 所以3QPO π∠=，23QPT π∠=，所以月牙的面积为2221121(21)dm 22326S πππ=⨯⨯-⨯⨯-⨯=.6π.1．（全国高考真题）已知角α的终边经过点(−4,3)，则cosα=（ ）A ．45B ．35C ．−35D ．−45 练真题【答案】D【解析】由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以cosα=x r =−45.故选D. 2．（2020·全国高考真题（理））若α为第四象限角，则（ ）A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<0 【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈， 所以34244,k k k Z ππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α<故选：D. 方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误； 当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误； 由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D.3.（2015·上海高考真题（文））已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）. A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】由题意，设OA 与x 轴所成的角为，显然，，故，故纵坐标为4．（2018·全国高考真题（文））已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1 ， a)，B(2 ， b)，且cos2α=23，则|a −b |= A ．15 B ．√55 C ．2√55D ．1 【答案】B【解析】由O,A,B 三点共线，从而得到b =2a ，因为cos2α=2cos 2α−1=2⋅(√a 2+1)2−1=23， 解得a 2=15，即|a |=√55， 所以|a −b |=|a −2a |=√55，故选B.5.（2017·北京高考真题（理））在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则()cos αβ-=___________. 【答案】79- 【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么1sin sin 3βα==，cos cos 3αβ=-=（或cos cos 3βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 6．（2021·北京高考真题）若点(cos ,sin )P θθ与点(cos(),sin())66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___． 【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可） 【解析】根据,P Q 在单位圆上，可得,6πθθ+关于y 轴对称，得出2,6k k Z πθθππ++=+∈求解. 【详解】(cos ,sin )P θθ与cos ,sin66Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称， 即,6πθθ+关于y 轴对称，2,6k k Z πθθππ++=+∈， 则5,12k k Z πθπ=+∈， 当0k =时，可取θ的一个值为512π. 故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）.。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.若为第三象限，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为为第三象限，所以．因此，故选择B．【考点】同角三角函数基本关系及三角函数符号．2.下列各式中，值为的是A．B．C．D．【答案】D【解析】;;;.【考点】二倍角的正弦、余弦、正切公式.3.已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为弧度, 扇形面积是【答案】.【解析】圆心角；由扇形的面积公式得.【考点】扇形的面积公式及圆心角的计算.4.是第( )象限角.A．一B．二C．三D．四【答案】C【解析】本题主要考查三角函数终边相同的角.由得出终边在第三象限，故选C.【考点】终边相同的角的表示.5.已知角的终边上有一点（1，2），则的值为（ ).A．B．C．D．–2【答案】A【解析】角的终边过，，.【考点】任意角三角函数的定义.6.已知点P（）在第三象限，则角在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】由已知得，即，则角在第二象限。
【考点】（1）三角函数值符号的判断；（2）象限角的判断。
7. 2400化成弧度制是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题考查度与弧度的互化，利用公式弧度，可得.【考点】度与弧度的互化.8.的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.任意角的三角函数值可利用诱导公将角化为锐角的三角函数值求得.【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.9.若，且，则角的终边所在的象限是()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，又因为，所以，所以角的终边所在象限是第四象限，故选D．【考点】1、三角函数值的符号；2、二倍角的正弦．10.设为第四象限角，其终边上的一个点是，且，求和．【答案】；．【解析】利用余弦函数的定义求得，再利用正弦函数的定义即可求得的值与的值．∵为第四象限角，∴，∴，∴，∴，∴＝，∴，．【考点】任意角的三角函数的定义．11.将120o化为弧度为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故.【考点】弧度制与角度的相互转化.12.下列角中终边与330°相同的角是（）A．30°B．-30°C．630°D．-630°【答案】B【解析】与330°终边相同的角可写为，当时，可得-30°.【考点】终边相同的角之间的关系.13.的值（）A．小于B．大于C．等于D．不存在【答案】A【解析】因为，所以，从而，选A.【考点】任意角的三角函数.14.圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为 .【答案】【解析】扇形面积公式，即（必须为弧度制）.【考点】扇形面积公式.15.比较大小：(用“”,“”或“”连接).【答案】＞.【解析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0.【考点】三角函数线．16.已知【答案】【解析】由已知得，又因为，所以，而，故答案为．【考点】1．诱导函数；2．特殊角的三角函数值．17.一钟表的分针长5 cm，经过40分钟后，分针外端点转过的弧长是________cm【答案】【解析】分针每60分钟转一周，故每分钟转过的弧度数是，分针经40分钟，分针的端点所转过的角的弧度数为2π×=，代入弧长公式l=αr，得出分针的端点所转过的长为×5=（cm）．故答案为：。
专题一：任意角和弧度制及任意角的三角函数
暑期培训专题一任意角和弧度制及任意角的三角函数[基础知识梳理] 1.正角、负角、零角：一条射线绕着它的端点旋转有两个相反方向：方向和 方向，习惯上规定：按照方向旋转而成的角为正角；按照 方向旋转而成的角为负角，当射线没有 时为零角。
2.终边相同的角：设α表示任意角，所有与α终边相同的角以及α本身组成一个集合，这个集合可记为S ＝ 。
终边相同的角有 个，相等的角终边一定 ，但终边相同的角不一定 。
3.象限角：在直角坐标系中讨论角，是使角的顶点与 重合，角的始边与 重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做 ，如果终边在坐标轴上，就认为这个角 属于任何象限。
4.1弧度的角：长度等于 的圆弧所对的圆心角。
这种用来度量角的制度叫弧度制。
弧度记作 。
5.圆心角或弧长公式：在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角为αrad ，则α= ；l = 。
6.角度与弧度的换算：360°= rad ；1800 = rad ； 1°＝ rad≈ rad ； n °＝ rad 1 rad ＝≈＝；αrad ＝7.完成下面的填空：度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 度210°225°240°270°300°315°330° 360° 弧度 8.角的集合与实数集R 之间是 对应关系。
9.设扇形的圆心角是αrad ，弧长为l ，半径为r ，则扇形面积公式S ＝＝10.三角函数的定义：设P (x ,y )是角α终边上不同于原点的任意一点，∣OP ∣＝r ，(r =22y x +，r ＞0) 则：sin α= ;cos α= ;tan α= . 11.三角函数的定义域：12.三角函数符号： 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦” 13. 三角函数线 三角函数正弦余弦正切三角函 数线有向线段 为正弦线有向线段 为余弦线 有向线段 为正切线14.终边相同的角的三角函数值(k ∈Z)相等 (公式一)[基础练习] 1．在0°～360°之间与－35°终边相同的角是( )A ．325°B ．－125°C ．35°D ．235° 2．把－300°化为弧度是( )A ．－4π3B ．－5π3C ．－7π4D ．－7π63. sin2cos3tan4的值为( )A ．负数B ．正数C ．0D ．不存在 4. 若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( )A ．第一象限B ．第一、二象限C ．第三象限D ．第一、三象限 5．将－885°化为α＋k ·360°(k ∈Z,0°≤α<360°)的形式是________． 6.圆的半径是6 cm ，则圆心角为π12的扇形面积是________ cm 2.7.若点P (2m ，－3m )(m <0)在角α的终边上，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________， 8.不等式cos α≤12的解集为________．[典型例题]例1.(1)写出终边落在直线y ＝3x 上的角的集合；(2)若角θ与168°角的终边相同，求在[0°，360°)内终边 与θ3角的终边相同的角．练1.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角： (1)－120°；(2)660°；(3)－950°08′.例2. (1)已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形的弧长；(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm ，求扇形的面积．练2.(1)一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？(2)一扇形的周长为20，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？例3.已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈(π2，π)，求α的三角函数值．练3.已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．任意角和弧度制及任意角的三角函数课后作业一、选择题1．若α＝45°＋k ·180°(k ∈Z )，则α的终边所在的象限为( )A ．第一或第三象限B ．第二或第三象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限 2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( )A.143 π B ．－143 π C.718 π D ．－718 π 3．将－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是( )A ．－π4－8π B.74π－8π C.π4－10π D.74π－10π4．若角α与β的终边互相垂直，则α与β的关系是( )A ．β＝α＋90°B ．β＝α±90°C ．β＝α＋k ·360°＋90°(k ∈Z )D ．β＝k ·360°＋α±90°(k ∈Z ) 5.若角α的终边在直线y ＝2x 上，则sin α的值为( )A ．±15B ．±55C ．±255D ．±126．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则a 的取值范围是( )A ．(－2,3)B ．[－2,3)C ．(－2,3]D ．[－2,3] 7．如果cos α＝cos β，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称 8．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c 二、填空题9．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________. 10．已知扇形的半径为r ，若它的周长等于弧所在圆的半圆周的长，则扇形的圆心角为________弧度，扇形的面积为________．11．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于________．12．若θ∈(3π4，π)，则下列各式错误的是________．①sin θ＋cos θ<0；②sin θ－cos θ>0；③|sin θ|<|cos θ|；④sin θ＋cos θ>0. 三、解答题13. 如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OM 上；(2)终边落在直线OM 上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．14．扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .[基础练习] 1．在0°～360°之间与－35°终边相同的角是( )A ．325°B ．－125°C ．35°D ．235°解析：选A.∵－35°＝(－1)×360°＋325°∴0°～360°之间与－35°终边相同的角是325°. 2．把－300°化为弧度是( )A ．－4π3B ．－5π3C ．－7π4D ．－7π6解析：选B.－300°＝－300×π180＝－53π.3. sin2cos3tan4的值为( )A ．负数B ．正数C ．0D ．不存在解析：选 A.因为2,3,4弧度分别是第二、二、三象限的角，所以sin2>0，cos3<0，tan4>0，所以sin2cos3tan4<0.4. 若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( )A ．第一象限B ．第一、二象限C ．第三象限D ．第一、三象限 解析：选D.由正切线的定义知，当角α是第一、三象限的角时，正切线都在第一象限． 5．将－885°化为α＋k ·360°(k ∈Z,0°≤α<360°)的形式是________． 解析：－885°＝(－3)×360°＋195°答案：195°＋(－3)×360°6.圆的半径是6 cm ，则圆心角为π12的扇形面积是________ cm 2.解析：S ＝12|α|r 2＝12×π12×62＝32π.答案：32π7.若点P (2m ，－3m )(m <0)在角α的终边上，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________，解析：∵m <0，∴r ＝(2m )2＋(－3m )2＝－13m ，∴sin α＝y r ＝－3m －13m ＝31313；cos α＝x r ＝2m －13m ＝－21313；tan α＝y x ＝－3m 2m ＝－32；答案：31313 －21313 －328.不等式cos α≤12的解集为________．解析：画出单位圆，然后画出直线x ＝12，从图形中可以看出．答案：{α|2k π＋π3≤α≤2k π＋5π3，k ∈Z }[典型例题]例1.(1)写出终边落在直线y ＝3x 上的角的集合；(2)若角θ与168°角的终边相同，求在[0°，360°)内终边 与θ3角的终边相同的角． 解：(1)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝π3＋k π，k ∈Z}．(2)∵θ＝168°＋k ·360°(k ∈Z)，∴θ3＝56°＋k ·120°(k ∈Z)，∵0°≤56°＋k ·120°<360°，∴k ＝0,1,2时，θ3∈[0°，360°)．故在[0°，360°)内终边与θ3角的终边相同的角是56°，176°，296°.练1.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：(1)－120°；(2)660°；(3)－950°08′.解：(1)∵－120°＝240°－360°，∴在0°～360°范围内，与－120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限的角； (2)∵660°＝300°＋360°，∴在0°～360°范围内，与660°角终边相同的角是300°角，它是第四象限的角； (3)∵－950°08′＝129°52′－3×360°，∴在0°～360°范围内，与－950°08′终边相同的角是129°52′，它是第二象限的角． 例2. (1)已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形的弧长； (2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm ，求扇形的面积．解：(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l ，半径为r ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10， ①12lr ＝4. ②①代入②得r 2－5r ＋4＝0，解之得r 1＝1，r 2＝4.当r ＝1 cm 时，l ＝8(cm)，当r ＝4 cm 时，l ＝2(cm)，∴弧长为8 cm 或2 cm. (2)设扇形弧长为l ，∵72°＝72×π180 rad ＝2π5rad ，∴l ＝αR ＝2π5×20＝8π(cm)，∴S ＝12lR ＝12×8π×20＝80π(cm 2)．练2.(1)一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？(2)一扇形的周长为20，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解：(1)设扇形的圆心角是θ rad ，因为扇形的弧长是rθ，所以扇形的周长是2r ＋rθ.依题意，得2r ＋rθ＝πr ， ∴θ＝π－2＝(π－2)×(180π)°≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′.∴扇形的面积为S ＝12r 2θ＝12(π－2)r 2.(2)设扇形的半径为r ，弧长为l ，则l ＋2r ＝20， 即l ＝20－2r (0<r <10)．①扇形的面积S ＝12lr ，将①代入，得S ＝12(20－2r )r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25，所以当且仅当r ＝5时，S 有最大值25.此时l ＝20－2×5＝10，α＝lr＝2.所以当α＝2 rad 时，扇形的面积取最大值．例3.已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈(π2，π)，求α的三角函数值．解：∵θ∈(π2，π)，∴－1<cos θ<0，∴r ＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ，故sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43.练3.已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．解：∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)， 则x ＝4t ，y ＝－3t .r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |，当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.任意角和弧度制及任意角的三角函数课后作业一、选择题1．若α＝45°＋k ·180°(k ∈Z )，则α的终边所在的象限为( )A ．第一或第三象限B ．第二或第三象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限 解析：选A.当k 为奇数时，α为第三象限角，当k 为偶数时，α为第一象限角． 2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( )A.143 π B ．－143 π C.718 π D ．－718π 解析：选B.显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的13，用弧度制表示就是－4π－13×2π＝－143π.故选B.此题一定要记住分针顺时针旋转形成负角．3．将－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是( )A ．－π4－8π B.74π－8π C.π4－10π D.74π－10π解析：选D.∵－1485°＝－5×360°＋315°，又2π rad ＝360°，315°＝7π4rad ，故－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是74π－10π.4．若角α与β的终边互相垂直，则α与β的关系是( )A ．β＝α＋90°B ．β＝α±90°C ．β＝α＋k ·360°＋90°(k ∈Z )D ．β＝k ·360°＋α±90°(k ∈Z )解析：选D.如图(1)，角α与β终边互相垂直，β＝α＋90°. 如图(2)，角α与β终边互相垂直，α＝β＋90°.由终边相同角的表示方法知：角α与β终边互相垂直则有β＝k ·360°＋α±90°(k ∈Z )． 5.若角α的终边在直线y ＝2x 上，则sin α的值为( )A ．±15B ．±55C ．±255D ．±12解析：选C.在α的终边上任取一点P (1,2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝25＝255；或者取P (－1，－2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝－25＝－255.6．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则a 的取值范围是( )A ．(－2,3)B ．[－2,3)C ．(－2,3]D ．[－2,3] 解析：选C.由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －9≤0，a ＋2>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3，a >－2.即－2<a ≤3.7．如果cos α＝cos β，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称 解析：选A.利用单位圆中的余弦线即得．8．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c解析：选D.如图，在单位圆O 中分别作出角57π、27π、27π的正弦线M 1P 1，余弦线OM 2、正切线AT .由57π＝π－27π知M 1P 1＝M 2P 2，又π4<27π<π2，易知AT >M 2P 2>OM 2，∴cos 27π<sin 5π7<tan 2π7，故b <a <c .二、填空题9．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________.解析：因为5α与α始边、终边分别相同， 所以5α＝α＋k ·360°，k ∈Z ， 所以α＝k ·90°.又因为180°<α<360°，∴α＝270°.答案：270°10．已知扇形的半径为r ，若它的周长等于弧所在圆的半圆周的长，则扇形的圆心角为________弧度，扇形的面积为________．解析：设扇形的圆心角为θ，则2r ＋rθ＝πr ，所以θ＝π－2，S 扇＝12r 2θ＝12r 2(π－2)．答案：π－2 12r 2(π－2)11．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于________．解析：由题意P (m ，n )是角α终边上一点，sin α＝y r＝n m 2＋n2<0，∴n <0.又角α的终边与y ＝3x 重合， 故n ＝3m <0，∴m <0.由|OP |＝10，则m 2＋n 2＝10， 10m 2＝10，m 2＝1，∴m ＝－1. 由n ＝3m ，∴n ＝－3.∴m －n ＝－1－(－3)＝2. 答案：212．若θ∈(3π4，π)，则下列各式错误的是________．①sin θ＋cos θ<0；②sin θ－cos θ>0；③|sin θ|<|cos θ|；④sin θ＋cos θ>0.解析：若θ∈(3π4，π)则sin θ>0，cos θ<0，sin θ<|cos θ|，所以sin θ＋cos θ<0. 答案：④ 三、解答题13. 如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OM 上； (2)终边落在直线OM 上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解析：(1)终边落在射线OM 上的角的集合A ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }．(2)终边落在射线OM 上的角的集合为A ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }，终边落在射线OM 反向延长线上的角的集合为B ＝{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }，所以终边落在直线OM 上的角的集合为：A ∪B ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．(3)同理可得终边落在直线ON 上的角的集合为{β|β＝60°＋n ·180°，n ∈Z }，所以终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为：{α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }． 14．扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .解：设该扇形AOB 的半径为r ，圆心角为θ，面积为S ，弧长为l .(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＋2r ＝812l ·r ＝3解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1l ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3l ＝2.∴圆心角θ＝l r ＝61＝6或θ＝l r ＝23，∴圆心角的大小为23或6.(2)θ＝8－2r r ，∴S ＝12·r 2·8－2rr＝4r －r 2＝－(r －2)2＋4，∴当r ＝2即θ＝8－42＝2时，S max ＝4(cm 2)．此时弦长AB ＝2×2sin 1＝4sin 1(cm)．∴扇形面积最大时，圆心角等于2弧度，弧长AB 为4sin 1 cm.。
第14讲：数学高考一轮总复习(三角函数定义及同角三角函数)+强化练习
2kπ
3π 4
,
2kπ
π
k
Z
C．
2kπ
3π 4
,
2kπ
5π 4
k
Z
D．
2kπ
5π 4
,
2kπ
7π 4
k
Z
3．(2020·贵州高三其他模拟)已知点 P(sin cos, tan ) 在第一象限，则在 0, 2 内的 的取值范围
是( )
A．
(
,
3
)
(
,
5
)
24
4
C．
(
,
3
)
( 5
,
3
)
A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第三、四象限角 D．第一、四象限角
(2)(2020·山东高三专题练习)若 是第二象限角，则点 P sin, cos 在 ( )
A．第一象限 【举一反三】
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
1．(2019·浙江高三专题练习)已知 sin 0 且 cos 0 ，则角 的终边所在的象限是( )
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l，l 是以角α作为圆心角时 r
所对圆弧的长，r 为半径．
③弧度与角度的换算：360°＝2π rad；180°＝π rad；1°＝ π rad；1 rad＝180度．
180
π
二．任意角的三角函数
1.定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点 P 的坐标是(x，y)，它与原点的距离是 r(r＝ x2＋y2>0)．
D． 3 5
【举一反三】
1．(2020·北京)在平面直角坐标系 xOy 中，角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终
任意角、弧度制及任意角的三角函数-知识点及课堂练习与答案
第讲任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲.了解任意角的概念；.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．知识梳理．角的概念的推广()定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．()分类(\\(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.)) ()终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合＝{ββ＝α＋·°，∈}．．弧度制的定义和公式()定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度的角，弧度记作.()公式角α的弧度数公α＝(弧长用表示)式角度与弧度的换①°＝②＝°算弧长公式弧长＝α扇形面积公式＝＝α.三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(，)，那么叫做α的正弦，记作α叫做α的余弦，记作α叫做α的正切，记作α各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函数线有向线段为正弦线有向线段为余弦线有向线段为正切线诊断自测．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)()小于°的角是锐角．(×)()锐角是第一象限角，反之亦然．(×)()将表的分针拨快分钟，则分针转过的角度是°.(×)()若α∈，则α＞α＞α.(√)()相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．(×)．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()．π＋°(∈) ．·°＋π(∈)．·°－°(∈) ．π＋(∈)解析与的终边相同的角可以写成π＋(∈)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案正确．答案．(·新课标全国Ⅰ卷)若α＞，则()．α＞．α＞．α＞．α＞解析由α＞可得α的终边在第一象限或第三象限，此时α与α同号，故α＝αα＞，故选.答案．(·大纲全国卷)已知角α的终边经过点(－)，则α＝()．－．－解析由三角函数的定义知α＝＝－ .故选.答案．(人教必修10A改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为弧度．答案考点一象限角与三角函数值的符号【例】 ()若角α是第二象限角，则是()．第一象限角．第二象限角．第一或第三象限角．第二或第四象限角()若α·α＜，且αα )＜，则角α是()．第一象限角．第二象限角．第三象限角．第四象限角深度思考象限角的判定有两种方法，请你阅读规律方法，其中角的判断结论为：解析()∵α是第二象限角，∴＋π＜α＜π＋π，∈，∴＋π＜＜＋π，∈.当为偶数时，是第一象限角；当为奇数时，是第三象限角．()由α·α＜可知α，α异号，从而α为第二或第三象限的角，由αα)＜，可知α，α异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．答案()()规律方法()已知θ所在的象限，求或θ(∈*)所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式(含有)表示，然后两边同除以或乘以，再对进行讨论，得到或θ(∈*)所在的象限．()象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为·°＋α(°≤α＜°，∈)的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．()由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解．【训练】 ()设θ是第三象限角，且(θ)))＝－，则是()．第一象限角．第二象限角．第三象限角．第四象限角() · ·的值()．小于．大于．等于．不存在解析()由θ是第三象限角，知为第二或第四象限角，∵(θ)))＝－，∴≤，综上知为第二象限角．()∵＞，＜，＞，∴ · ·＜.答案()()考点二三角函数的定义【例】()(·宁波高三考试)已知角θ的终边经过点(－，)(≠)且θ＝，试判断角θ所在的象限，并求θ和θ的值．()已知角α的终边过点(－8m，－ °)，且α＝－，试求的值．解()由题意得，＝，∴θ＝＝.∵≠，∴＝±.故角θ是第二或第三象限角．当＝时，＝，点的坐标为(－，)，∴θ＝＝＝－，θ＝＝＝－.当＝－时，＝，点的坐标为(－，－)．∴θ＝＝＝－，θ＝＝＝.综上可知，θ＝－，θ＝－或θ＝－，θ＝.()∵＝，∴α＝＝－，∴>，∴＝，即＝.规律方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标，纵坐标，该点到原点的距离.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．【训练】已知角α的终边在直线＋＝上，求α，α，α的值．解∵角α的终边在直线＋＝上，∴在角α的终边上任取一点(，－)(≠)，则＝，＝－，＝＝＝，当>时，＝，α＝＝＝－，α＝＝＝，α＝＝＝－；当<时，＝－，α＝＝＝，α＝＝＝－，α＝＝＝－.综上可知，α＝－，α＝，α＝－或α＝，α＝－，α＝－.考点三扇形弧长、面积公式的应用【例】 (·象山中学检测)已知一扇形的圆心角为α (α>)，所在圆的半径为. ()若α＝°，＝，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；()若扇形的周长是一定值 (>)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解()设弧长为，弓形面积为弓，则α＝°＝，＝，＝×＝ ()，弓＝扇－△＝××－××＝π－＝ ()．()扇形周长＝＋＝＋α，∴＝，∴扇＝α·＝α·＝α·＝·≤.当且仅当α＝，即α＝时，扇形面积有最大值.规律方法涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：＝α，＝α.【训练】已知扇形的周长为，当它的半径为和圆心角为弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是 .解析设扇形圆心角为α，半径为，则＋α＝，∴α＝－.∴扇形＝α·＝－＝－(－)＋，∴当＝时，(扇形)＝，此时α＝.答案微型专题三角函数线的应用在解简单的三角不等式或比较函数值大小时，可利用数形结合的思想，借助单位圆及三角函数线解题是一种方式．【例】 ()求函数＝(－)的定义域；()设θ是第二象限角，试比较，，的大小．点拨()求定义域，就是求使－>的的范围．用三角函数线求解．()比较大小，可以从以下几个角度观察：①θ是第二象限角，是第几象限角？首先应予以确定．②，，不能求出确定值，但可以画出三角函数线．③借助三角函数线比较大小．解()∵－>，∴<，∴－< <.利用三角函数线画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴∈(∈)．()∵θ是第二象限角，∴＋π<θ<π＋π，∈，∴＋π<<＋π，∈，∴是第一或第三象限的角．(如图阴影部分)，结合单位圆上的三角函数线可得：①当是第一象限角时，＝，＝，＝，从而得， < < ；②当是第三象限角时，＝，＝，＝，得 < < .综上可得，当在第一象限时， < < ；当在第三象限时， < < .点评()第()小题的实质是解一个简单的三角不等式，可以用三角函数图象，也可以用三角函数线．但用三角函数线更方便．()第()小题比较大小，由于没有给出具体的角度，所以用图形可以更直观的表示．()本题易错点：①不能确定所在的象限；②想不到应用三角函数线．原因在于概念理解不透，方法不够灵活.[思想方法]．任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点的位置无关．若角α已经给出，则无论点选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．如有可能则取终边与单位圆的交点．其中＝一定是正值．．三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．[易错防范]．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．．角度制与弧度制可利用°＝π 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．基础巩固题组(建议用时：分钟)一、选择题．若α＜且α＞，则α是()．第一象限角．第二象限角．第三象限角．第四象限角解析∵α＜，则α的终边落在第三、四象限或轴的负半轴；又α＞，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限．答案．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(，π)的弧度数为()．解析设圆半径为，则其内接正三角形的边长为，所以＝α·，∴α＝.答案．(·南阳一模)已知锐角α的终边上一点( °，＋ °)，则锐角α＝() ．°．°．°．°解析根据三角函数定义知，α＝° °)＝° °)＝° °)＝° °)＝ °，故锐角α＝°.答案．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是()．α＋α＜．α－α＜．α－α＜．αα＜解析α是第三象限角，α＜，α＜，α＞，则可排除，，，故选.答案．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若α＝β，则α与β的终边相同；⑤若θ<，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是()．．．．解析由于第一象限角°不小于第二象限角°，故①错；当三角形的内角为°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于＝，但与的终边不相同，故④错；当θ＝－，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．答案二、填空题．已知α是第二象限的角，则°－α是第象限的角．解析由α是第二象限的角可得°＋·°＜α＜°＋·°(∈)，则°－(°＋·°)＜°－α＜°－(°＋·°)，即－·°＜°－α＜°－·°(∈)，所以°－α是第一象限的角．答案一．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若(，)是角θ终边上一点，且θ＝－，则＝.解析因为θ＝＝－，所以＜，且＝，所以＝－.答案－．(·金华联考)函数＝( －)＋)的定义域为．解析要使原函数有意义，必须有：(\\( －＞，－≥，))即(\\( ＞()，≤().))如图，在单位圆中作出相应三角函数线，由图可知，原函数的定义域为(∈)．答案(∈)三、解答题．已知角α的终边上有一点的坐标是(3a,4a)，其中≠，求α，α，α.解＝＝.当＞时，＝5a，∴α＝＝＝，α＝＝＝，α＝＝＝；当＜时，＝－5a，∴α＝－，α＝－，α＝.．一个扇形的面积是，它的周长是，求圆心角的弧度数和弦长.解设圆的半径为，弧长为，则(\\(()＝，＋＝，))解得(\\(＝，＝.))∴圆心角α＝＝弧度．如图，过作⊥于，则∠＝弧度．∴＝·＝ ()，∴＝ ()．能力提升题组(建议用时：分钟)．已知角α的终边经过点(3a－，＋)，且α≤，α＞，则实数的取值范围是() ．(－] ．(－)．[－) ．[－]解析由α≤，α＞可知，角α的终边落在第二象限或轴的正半轴上，所以有(\\(－≤，＋＞，))解得－＜≤.答案．已知圆：＋＝与轴正半轴的交点为，点沿圆顺时针运动弧长到达点，以为终边的角记为α，则α＝()．－．．－．解析圆的半径为，的弧长对应的圆心角为，故以为终边的角为，故α＝.答案.如图在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在()，此时圆上一点的位置在()，圆在轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于()时，的坐标为．解析如图，作∥轴，⊥, 为垂足．根据题意得劣弧＝，故∠＝，则在△中，∠＝－，＝＝，＝＝－，所以点的横坐标为－＝－，点的纵坐标为＋＝－，所以点的坐标为(－－)，故＝(－－ )．答案(－－ )．已知α＜，α＞.()求α角的集合；()求终边所在的象限；()试判断的符号．解()由α＜，知α的终边在第三、四象限或轴的负半轴上；由α＞，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为.()由(＋)π＜α＜π＋，得π＋＜＜π＋，∈，故终边在第二、四象限．()当在第二象限时，＜，＞，＜，所以取正号；当在第四象限时，＜，＜，＞，所以也取正号．因此，取正号．．已知扇形的周长为.()若这个扇形的面积为，求圆心角的大小；()求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长. 解设扇形的半径为，弧长为，圆心角为α，()由题意可得(\\(＋＝，,()＝，))解得(\\(＝＝))或(\\(＝，＝，))∴α＝＝或α＝＝.()∵＋＝，＝＝·∴扇≤＝×＝，当且仅当＝，即α＝＝时，扇形面积取得最大值.∴＝，∴弦长＝×＝ .更多辅导资源关注微信号：。
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝() A．B．C．－D．－【答案】D【解析】∵α是第二象限角，∴cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，∴tanα＝＝－.3.已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是()A．(，)B．(π，)C．(，)D．(，)∪(π，)【答案】D【解析】由已知得，解得α∈(，)∪(π，)．4.已知角α终边上一点P(－，y)，且sinα＝y，求cosα和tanα的值．【答案】cosα＝－1，tanα＝0.【解析】r2＝x2＋y2＝y2＋3，由sinα＝＝＝y，∴y＝±或y＝0.当y＝即α是第二象限角时，cosα＝＝－，tanα＝－；当y＝－即α是第三象限角时，cosα＝＝－，tanα＝；当y＝0时，P(－，0)，cosα＝－1，tanα＝0.5.设集合M＝，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________．【答案】【解析】由－π＜＜π，得－＜k＜.∵k∈Z，∴k＝－1，0，1，2，故M∩N＝6.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为()A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知,圆内接正三角形边长a与圆的半径之间关系为a=r,∴α===.7. tan(－1 410°)的值为()A．B．－C．D．－【答案】A【解析】tan(－1 410°)＝tan(－4×360°＋30°)＝tan 30°＝8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）【答案】(1) ()；(2)少．【解析】(1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式来计算弧田面积，弧田面积等于扇形面积对应三角形面积．(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即得．试题解析：(1) 扇形半径， 2分扇形面积等于 5分弧田面积=（m2） 7分（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦´矢+矢2）=. 10分平方米 12分按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.【考点】(1)扇形面积公式；(2)弧田面积的经验计算公式．9.在平面直角坐标系中,若角的顶点在坐标原点,始边在轴的非负半轴上,终边经过点(其中)则的值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】，根据任意角的三角函数的定义得，，所以.【考点】任意角三角函数的定义.10.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值11.在平面直角坐标系中，已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则 .【答案】【解析】由任意角的三角函数的定义得：.【考点】任意角的三角函数的定义.12.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.13.已知为钝角，且，则与角终边相同的角的集合为．【答案】【解析】由为钝角，且，得，所以与角终边相同的角的集合为，当然也可写成，但注意制度要统一，不要丢掉.【考点】特殊角的三角函数、终边相同角的集合.14.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.15.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα=．【答案】．【解析】由题意及图所示，易知A点的横坐标为，所以．【考点】三角函数的定义．16.已知函数的定义域为[a,b]，值域为[-2，1]，则的值不可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因的值域[-2,1]含最小值不含最大值,根据图象可知定义域小于一个周期,故选D.【考点】三角函数的定义域和值域.17.若角的终边上有一点P(a，－2)，则实数a的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】三角函数的定义.18.若，则角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第二或第四象限角【答案】D【解析】因为，则角是第二或第四象限角，选D19.点位于直角坐标面的A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，位于直角坐标面的第四象限,选D20.已知圆与轴的正半轴相交于点,两点在圆上,在第一象限,在第二象限,的横坐标分别为，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】设与轴正半轴的夹角分别为则，21.已知动点在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t=0时，点A（，则0≤t≤12时，动点A的横坐标x关于t（单位：秒）的函数单调递减区间是（）A．[0, 4]B．[4,10]C．[10,12]D．[0,4]和[10,12]【答案】D【解析】解：设动点A与x轴正方向夹角为α，则t=0时α=π/ 3 ，每秒钟旋转π /6 ，在t∈[0，1]上α∈[π/ 3 ，π/ 2 ]，在[7，12]上α∈[3π/ 2 ，7π /3 ]，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的．故选D．22.曲线与坐标轴所围的面积是【答案】３【解析】据余弦函数的图象，23.已知，且在第二象限，那么在 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】解：∵sinθ="3" /4 ，且θ在第二象限，∴cosθ=-/4,所以sin2θ=2sinθcosθ=-3/16Cos2θ=1-2sin2θ=-1/8故2θ在第三象限。
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题1.若角的终边经过点P，则的值是．【答案】．【解析】由角的终边经过点P，知，由三角函数的定义可知：，故答案为：．【考点】三角函数的定义.2.已知角的终边经过点（-4,3），则cos=( )A．B．C．－D．－【答案】D【解析】由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以.故选D.【考点】三角函数的概念.3.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α＝________.【答案】－＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标【解析】因为A点纵坐标yAx＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－.A4.下列三角函数值的符号判断错误的是()A．sin165°>0B．cos280°>0C．tan170°>0D．tan310°<0【答案】C【解析】165°是第二象限角，因此sin165°>0正确；280°是第四象限角，因此cos280°>0正确；170°是第二象限角，因此tan170°<0，故C错误；310°是第四象限角，因此tan310°<0正确．5.如图，正三角形ABC的边长为2，D，E，F分别在三边AB，BC和CA上，且D为AB的中点，，，.（1）当时，求的大小；（2）求的面积S的最小值及使得S取最小值时的值.【答案】（1）θ＝60°；（2）当θ＝45°时，S取最小值.【解析】本题主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，在中，，①，而在中，利用正弦定理，用表示DE，在中，利用正弦定理，用表示DF，代入到①式中，再利用两角和的正弦公式展开，解出，利用特殊角的三角函数值求角；第二问，将第一问得到的DF和DE代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦函数的有界性确定S的最小值.在△BDE中，由正弦定理得，在△ADF中，由正弦定理得． 4分由tan∠DEF＝，得，整理得，所以θ＝60°． 6分（2）S＝DE·DF＝． 10分当θ＝45°时，S取最小值． 12分【考点】正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式.6.是第二象限角，则是第象限角．【答案】一或三【解析】是第二象限角，则有，于是，因此是第一、三象限角．【考点】象限角的概念．7.已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？【答案】（1）50cm2（2）【解析】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓．∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝π(cm)．S弓＝S扇－S△＝×π×10－×102·sin60°＝50cm2.(2)∵扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝，∴S扇＝α·R2＝α＝，当且仅当α＝，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形面积有最大值.8.已知α＝，回答下列问题．(1)写出所有与α终边相同的角；(2)写出在(－4π，2π)内与α终边相同的角；(3)若角β与α终边相同，则是第几象限的角？【答案】（1）（2）－、－、（3）第一、三象限的角【解析】(1)所有与α终边相同的角可表示为.(2)由(1)令－4π＜2kπ＋＜2π(k∈Z)，则有－2－＜k＜1－.∵k∈Z，∴取k＝－2、－1、0.故在(－4π，2π)内与α终边相同的角是－、－、.(3)由(1)有β＝2kπ＋ (k∈Z)，则＝kπ＋(k∈Z)．∴是第一、三象限的角．9.已知角α的终边上一点的坐标为(sin,cos),则角α的最小正值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵sin>0,cos>0,∴角α的终边在第一象限,∴tanα====,∴角α的最小正值为.10.已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角α的终边上一点的坐标为，所以角α在第四象限，tan α＝＝-，故α的最小正值为.11.已知则= .【答案】【解析】.【考点】三角函数求值.12.已知则等于（）A．7B．C．D．【答案】B【解析】因为所以，，，选B.【考点】任意角的三角函数，两角和与差的三角函数.13.已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边上一点的坐标为，在第四象限，所以角是第四象限角，又，所以角的最小正值为.【考点】特殊角的三角函数值14.角的终边经过点，则的可能取值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】1.任意角的三角函数；2.同角三角函数的基本关系15.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值16.角的终边经过点，则的可能取值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】1.任意角的三角函数；2.同角三角函数的基本关系17.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若是角终边上的一点，且，则的值为( )A．B．C．或D．或【答案】A【解析】因为，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，且是角终边上的一点，所以，，又由三角函数的定义，得，解得，的值为故选A.【考点】任意角的三角函数18.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，所以，即，所以.【考点】弧度制.19.在中，若，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，在中，若，所以，，，故选B.【考点】任意角的三角函数20.如图，在平面直角坐标系中，以x轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知点A的横坐标为；B点的纵坐标为．则 .【答案】【解析】单位圆的半径是1，根据勾股定理以及点A的横坐标为，B点的纵坐标为，可知点A的纵坐标为，点B的横坐标为，所以，，，，因为，是锐角，所以，所以.【考点】1.任意角的三角函数；2.三角函数的和角公式21.已知为钝角，且，则与角终边相同的角的集合为．【答案】【解析】由为钝角，且，得，所以与角终边相同的角的集合为，当然也可写成，但注意制度要统一，不要丢掉.【考点】特殊角的三角函数、终边相同角的集合.22.在平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－x（x＞0）上，则sin5α＝．【答案】【解析】根据题意，由于平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－x（x＞0）上，则可知，那么可知sin5α=sin,故答案为【考点】三角函数定义点评：解决的关键是利用三角函数的定义来求解三角函数值，属于基础题。
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7.弧度制,任意角三角函数,同角三角函数基本关系式（前置作业）
【知识梳理】
1．任意角
（1）角的概念的推广： ．
（2）与α终边相同角的集合： ．
2．弧度制：1弧度角的定义： ， 弧度与角度的互化公式：180︒= rad ，1︒= rad ，1rad = . 弧长公式： ， 扇形的面积公式： ．
3．任意角的三角函数：
(1)以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，
则sin α= ；cos α= ；tan α= .
(2)这三种三角函数的定义域：
正弦 ；余弦 ；正切 ．
(3)三种三角函数值在各象限的符号规律：
正弦 ；余弦 ；正切 ．
4.同角三角函数的基本关系式：
平方关系： 商数关系：
【自主检测】
1．若2弧度的圆心角所对的弧长是4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积是 ．
2．已知α是第二象限角，且,4|2|≤+α则α的范围是 ．
3.
α角的终边过P （-1，2）
，则cos α=_____________ 4．函数cos tan cos tan x
x y x x =
+的值域是___________
5.角α的终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）交于第二象限的点3
(cos ,)5
A α，则cos sin αα-= ．
6= ．
7．已知1tan ,2α=则sin 3cos sin cos αααα
-=+ ．
答案：
1．若2弧度的圆心角所对的弧长是4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积是 ．
24cm 2．已知α是第二象限角，且,4|2|≤+α则α的范围是 ．]2,2(],23(πππ -- 3.5
5- 4． {}202-，， 5.75
-
6．cos 40︒
7．53-。