第三章 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
任意角和弧度制、任意角的三角函数及诱导公式
任意角和弧度制、任意角的三角函数及诱导公式一、任意角1、角的概念的推广：角可以看成是由一条射线（起始边）旋转到一个新的位置（终边）所形成的图形。
（1）按旋转方向不同分为正角（逆时针）、负角（顺时针）、零角．（2）角具有无界性；意思是说任意角的范围是（3）按终边位置不同分为象限角和轴线角．（约定以原点和x的正半轴组成的射线为起始边）（4）角具有周期性： 终边相同的角不一定相等；终边相同的角相差3600 的整数倍。
2、角与角的位置关系的判断（终边相同的角、对称关系的角）★与任意角 终边相同的所有的角构成一个集合，这个集合可表示为：【注意】（1）终边与终边共线(的终边在终边所在直线上) .（2）终边与终边关于轴对称.（3）终边与终边关于轴对称.（4）终边与终边关于原点对称.（5）终边在轴上的角可表示为：；终边在轴上的角可表示为：；终边在坐标轴上的角可表示为：.例1：与角的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿。
练习1（1）与1991°终边相同的最小正角是______,绝对值最小的角是_________．（2）－1120°角所在象限是（3）把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（4）终边在第二象限的角的集合可以表示为（5）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ）A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C（6）下列结论中正确的是( )A.小于90°的角是锐角B.第二象限的角是钝角C.相等的角终边一定相同D.终边相同的角一定相等（7）下列角中终边与330°相同的角是（ B ）A．30° B．-30° C．630° D．-630°例2：若是第二象限角，则是第_____象限角。
第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数
第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数高考概览：1.了解任意角的概念；2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．[知识梳理]1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式3.任意角的三角函数[辨识巧记]1．区分两个概念(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角．(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等．2．两个关注点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致，不能混用．[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)小于90°的角是锐角．()(2)锐角是第一象限角，反之亦然．()(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.()(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(必修4P10A组T10改编)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( )A ．10πB ．9π C.910π D.109π[解析] ∵200°＝10π9，∴单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为l ＝10π9×1＝10π9.故选D.[答案] D3．(必修4P 15练习T 6改编)若角θ满足tan θ>0，sin θ<0，则角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] 由正切和正弦的象限符号可知，在第三象限．故选C.[答案] C4．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( ) A ．－43 B ．－45 C ．－35 D ．－34[解析] 根据三角函数的定义，tan α＝y x ＝35－45＝－34，故选D. [答案] D5．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为________．[解析] 如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4考点一 角的概念及集合表示【例1】 (1)若α是第三象限角，且cos α2>0，则α2是第________象限角． (2)终边在直线y ＝3x 上的角的集合是________．[解析] (1)解法一：∵α是第三象限角，∴2k π＋π<α<2k π＋3π2(k∈Z )，则k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈N )时，2n π＋π2<α2<2n π＋3π4，不满足cos α2>0，舍去．当k ＝2n ＋1(n ∈N )时，2n π＋π＋π2<α2<2n π＋π＋3π4，满足cos α2>0，∴α2是第四象限角．解法二：利用等分象限角的方法，可以判断α2是第二或四象限角，又因为cos α2>0，所以α2是第四象限角．(2)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π3＋k π，k ∈Z . [答案] (1)四 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π3＋k π，k ∈Z(1)确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤①用终边相同角的形式表示出角α的范围；②再写出kα或αk 的范围；③然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置．(2)终边在某直线上角的求法3步骤①数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；②按逆时针方向写出[0，π)内的角β；③{α|α＝k π＋β，k ∈Z }．[对点训练]1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] －3π4是第三象限角；4π3是第三象限角；－400°＝－40°－360°，所以－400°是第一象限角；－350°＝10°－360°，所以350°是第一象限角．故②④正确，故选B.[答案] B2．设集合M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2×180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 4×180°＋45°，k ∈Z ，则两集合的关系是( ) A ．N ⊆M B ．M ＝N C ．M ND ．M ∩N ＝∅ [解析] 因为M ＝{x |x ＝(2k ＋1)·45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合； 而集合N ＝{x |x ＝(k ＋1)·45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，所以：M N .故选C.[答案] C考点二 扇形的弧长和面积公式【例2】 已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长．(2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？[思路引导] (1)化α为弧度制→代入弧长公式求解(2)利用扇形周长为C 确定α和R 的关系→用α表示扇形的面积S →借助函数知识求解[解] (1)设弧长为l ，则α＝60°＝π3，R ＝10，l ＝π3×10＝10π3(cm)．(2)解法一：扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴R ＝C2＋α， ∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2 ＝C 22α·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216.当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.解法二：扇形周长C ＝2R ＋l ，面积S ＝12lR ＝12R (C －2R )＝－R 2＋12CR ＝－⎝⎛⎭⎪⎫R －C 42＋C 216⎝ ⎛⎭⎪⎫0<R <C 2， 当且仅当R ＝C 4，即C ＝4R 时，扇形的面积S 最大，此时C ＝4R ＝2R ＋l ，l ＝2R ，由l ＝2R 得α＝2，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：l ＝|α|R ，S ＝12|α|R 2＝12lR .在公式的选择上以简单，计算量小为原则，如本例(2)中解法二比解法一计算量小．[对点训练]已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由S ＝12×4×R 2＝2，得R ＝1，所以弧长l＝4×1＝4，故扇形的周长C＝2R＋l＝2＋4＝6.故选C.[答案] C考点三三角函数的定义任意角的三角函数的定义属于理解内容，单独考查时不多，多结合其他知识一起考查，以选择、填空题形式出现．常见的命题角度有：(1)求三角函数值；(2)判断三角函数值的符号；(3)利用三角函数线解不等式．角度1：求三角函数值【例3－1】已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sinα＝2m4，求cosα，tanα的值．[解]设P(x，y)．由题设知x＝－3，y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－3)2＋m2(O为原点)，r＝3＋m2，所以sinα＝mr＝2m4＝m22，所以r＝3＋m2＝22，3＋m2＝8，解得m＝±5. 当m＝5时，r＝22，x＝－3，y＝5，所以cosα＝－322＝－64，tanα＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5，所以cos α＝－322＝－64，tan α＝153. 角度2：判断三角函数值的符号【例3－2】 若sin α·tan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin α·tan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限的角，由cos αtan α<0，可知cos α，tan α异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．故选C.[答案] C角度3：利用三角函数线解不等式【例3－3】 函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________． [思路引导] 真数大于0→解三角不等式→ 单位圆中正弦线→看图得结果[解析] ∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34， ∴－32<sin x <32.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )(1)定义法求三角函数的3种情况①已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．②已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．③已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．(2)三角函数符号在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(3)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．[对点训练]1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－45[解析] 根据题，cos α＝－4(－4)2＋32＝－45.故选D. [答案] D2．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α<0，则a 的取值范围是________．[解析] 因为sin α>0，cos α<0，所以α是第二象限角．所以点(3a －9，a ＋2)在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －9<0，a ＋2>0，解得－2<a <3.[答案] (－2,3)3．函数y ＝2cos x －1的定义域为________． [解析] ∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围．∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )课后跟踪训练(二十)基础巩固练一、选择题1．下列角中终边与330°相同的角是( ) A ．30° B ．－30° C ．630° D ．－630°[解析] 因为330°的角的终边与－30°的角的终边相同，所以选项B 满足题意．故选B.[答案] B2．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512[解析] 因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.[答案] D3．若角α＝2 rad(rad 为弧度制单位)，则下列说法错误的是( ) A ．角α为第二象限角B ．α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360π°C ．sin α>0D ．sin α<cos α[解析] 对于A ，∵π2<α<π，∴角α为第二象限角，故A 正确；对于B ，α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360π°＝2 rad ，故B 正确；对于C ，sin α>0，故C 正确；对于D ，sin α>0，cos α<0，故D 错误．故选D.[答案] D4．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角α的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4[解析] 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则l ＋2r ＝6，S ＝12lr ＝2，解得r ＝2，l ＝2或r ＝1，l ＝4，故α＝lr ＝1或4，故选C.[答案] C5．集合⎭⎬⎫{α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )[解析] 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．故选C.[答案] C 二、填空题6．若α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ，则α为________象限角． [解析] α＝k ·180°＋45°＝k 2·360°＋45°.当k 为偶数时，α为第一象限角；当k 为奇数时，α为第三象限角．综上，α为第一或第三象限角．[答案] 第一或第三7．若点⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为________． [解析] ∵角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，∴由任意角的三角函数的定义，可得sin α＝－32.[答案] －328．已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α＝________.[解析] 圆的半径为2，π2的弧长对应的圆心角为π4，故以ON 为终边的角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π4，k ∈Z ，故tan α＝1.[答案] 1 三、解答题9．(1)设90°<α<180°，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，求tan α.(2)已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ.[解] (1)∵90°<α<180°，∴cos α<0，∴x <0. 又cos α＝15x ＝x x 2＋16，∴x ＝－3.∴tan α＝4x ＝－43.(2)∵θ的终边过点(x ，－1)，∴tan θ＝－1x ， 又∵tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22.10．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角； (2)一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .[解] (1)设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎨⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎨⎧r ＝4，θ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8.(舍去)． ∴扇形的圆心角为12.(2)设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎨⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr ＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad. ∴AH ＝1·sin1＝sin1(cm)， ∴AB ＝2sin1(cm)．能力提升练11．(2019·江西南昌二中测试)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sin α等于( )A ．sin2B ．－sin2C ．cos2D ．－cos2[解析] r ＝(2sin2)2＋(－2cos2)2＝2.由任意角的三角函数的定义，得sin α＝yr ＝－cos2，故选D.[答案] D12．(2019·山东济南外国语学校段考)下列结论中错误的是( ) A ．若0<α<π2，则sin α<tan αB ．若α是第二象限角，则α2为第一象限或第三象限角 C ．若角α的终边过点P (3k,4k )(k ≠0)，则sin α＝45D ．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度 [解析] 选项A ，若0<α<π2，则sin α<tan α＝sin αcos α，A 正确；选项B ，若α是第二象限角，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z ，则α2∈⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π4，k π＋π2，k ∈Z ，为第一象限或第三象限角，B 正确；选项C ，若角α的终边过点P (3k,4k )(k ≠0)，则sin α＝4k 9k 2＋16k 2＝4k 5|k |，不一定等于45，C 不正确；选项D ，若扇形的周长为6，半径为2，则弧长＝6－2×2＝2，其圆心角的大小为22＝1弧度，D 正确．故选C.[答案] C13．(2018·北京第三十五中学期中)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆的交点A 在第二象限．若cos α＝－35，则点A 的坐标为________．[解析] ∵cos α＝－35，∴sin α＝1－cos 2α＝45，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫－35，45.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，4514.如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴的正半轴的交点，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫513，1213，∠AOB ＝90°.(1)求cos ∠COA ； (2)求tan ∠COB .[解] (1)因为点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫513，1213，根据三角函数的定义可得cos ∠COA ＝513.(2)因为∠AOB ＝90°，sin ∠COA ＝1213， 所以cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋90°)＝－sin ∠COA ＝－1213.又因为点B 在第二象限， 所以sin ∠COB ＝1－cos 2∠COB ＝513.故tan ∠COB ＝sin ∠COB cos ∠COB＝－512.拓展延伸练15．(2019·上海长宁、嘉定一模)设角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sin α>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] α的终边在第一、二象限能推出sin α>0，sin α>0成立能推出α的终边在第一、二象限或y 轴的正半轴上，故“α的终边在第一、二象限”是“sin α>0”的充分不必要条件．故选A.[答案] A16．(2019·河北张家口月考)若角θ满足sin θ>0，tan θ<0，则θ2是( )A ．第二象限角B ．第一象限角C ．第一或第三象限角D ．第一或第二象限角[解析] ∵角θ满足sin θ>0，tan θ<0，∴θ是第二象限角，即π2＋2k π<θ<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<θ2<π2＋k π，k ∈Z ，∴θ2是第一或第三象限角．故选C.[答案] C。
一轮复习三角函数PPT课件
[自主解答] (1)∵在(0，π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角 是π3，∴终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为
α|α＝π3＋kπ，k∈Z. (2)∵θ＝67π＋2kπ(k∈Z)， ∴θ3＝27π＋2k3π(k∈Z)． 依题意 0≤27π＋2k3π＜2π⇒－37≤k＜178，k∈Z.
[备考方向要明了]
考什么 1.了解任意角的概念． 2.了解弧度制的概念，能进
行弧度与角度的互化． 3.理解任意角三角函数(正
弦、余弦、正切)的定 义．
1.三角函怎数么的定考义与三 角恒等变换等相结 合，考查三角函数
求 值问 题，如2008
年 高考T15等.
[归纳
1．角的有关概念
知识整合]
角的特点
三角函数线
有向线段 ____ 有向线段____ 有向线段____
MP
OM
AT
为正弦线
为余弦线
为正切线
[探究] 3.三角函数线的长度及方向各有什么 意义？
提示：三角函数线的长度表示三角函数值的绝 对值，方向表示三角函数值的正负．
[自测 牛刀小试] 1．(教材习题改编)下列与94π的终边相同的角 α 的集合为___．
解析：∵94π＝94×180°＝360°＋45° ∴与94π 终边相同的角可表示为 k·360°＋45°(k∈Z)
答案：{α|α＝k·360°＋ 45°(k∈Z)}
2．(教材习题改编)若角θ同时满足sin θ＜0且tan θ＜0， 则角θ的终边一定落在第________象限． 解析：由sin θ＜0，可知θ的终边可能位于第三或第 四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tan θ＜0， 可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的
2．弧度的概念与公式
3-1第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数(2015年高考总复习)
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第三章
第一节
高考总复习模块新课标
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5．三角函数线 设角 α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边 与单位圆相交于点 P，过 P 作 PM 垂直 x 轴于点 M.由三角函数的 定义知，点 P 的坐标为(cosα，sinα)，即 P(cosα，sinα)，其中 cosα ＝ OM ，sinα＝ MP ，单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A，单位圆 在 A 点的切线与 α 的终边或其反向延长线相交于点 T，则 tanα ＝ AT .我们把有向线段 OM、MP、AT 叫做 α 的 余弦线、正弦线 、 正切线 .
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(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边 相同的角的同一三角函数值相等．
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2．对三角函数的理解要透彻 三角函数也是一种函数， 它可以看成是从一个角(弧度制)的集 合到一个比值的集合的函数．也可以看成是以实数为自变量的函 数，定义域为使比值有意义的角的范围． y 如 tanα＝x有意义的条件是角 α 终边上任一点 P(x，y)的横坐 标不等于零，也就是角 α 的终边不能与 y 轴重合，故正切函数的 π 定义域为{α|α≠kπ＋ ，k∈Z}． 2
答案 A
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3．若 sinα＜0 且 tanα＞0，则 α 是( A．第一象限角 C．第三象限角 B．第二象限角 D．第四象限角
第三章 第一节 任意角的概念与弧度制、任意角的的三角函数
对k的奇偶性讨论可得解. (2)由α所在的象限写出角α的范围，从而得2α, 的范围， 最后确定终边所在的位置. 【规范解答】(1)选B.由 2k＜＜3 2k，k Z, 得 k＜1 ＜3 k，k Z，
2 2 2 4 故 k＜ 1 ＜ k, k Z. 4 2 2 当k为偶数时π- 1 α在第一象限，当k取奇数时π- 在第三象 2 2
2 2
13
13
13
13
因此 sin 2 2sin cos ( 3 13 ) 2 2 3 13 2 13 3 .
13 13 13 13
(2)由题设知 x 3，y m，
∴r2=|OP|2=（ r 3 m2 .
2 2 3 ） +m （O为原点），
第三章 三角函数、三角恒等变形、
解三角形
第一节 任意角的概念与弧度制、任意角的 三角函数
1.角的有关概念
射线 象限角
旋转
正角 负角
零角
α +k·360o,k∈Z
2.弧度的定义和公式
单位长度 (1)定义:在以单位长为半径的圆中,_________的弧所对的圆心 rad 弧度 角为1弧度的角,它的单位符号是____，读作_____.
从而 sin
m r
2m m ， 4 2 2
r 3 m2 2 2，
于是3+m2=8，解得 m 5. 当 m 5 时，r 2 2，x 3，
3 6 15 cos ，tan ; 4 3 2 2 当 m 5 时， 2 2，x 3， r cos 3 6 15 ，tan . 4 3 2 2
v u 于点P(u,v)，则sin α =__，cos α =__，tan α = v u 0）. （
高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数学案 文
3．1 任意角和弧度制及任意角的三角函数[知识梳理]1．任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．(4)相关结论①象限角②轴线角2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)公式3．任意角的三角函数[诊断自测] 1．概念思辨(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( )(2)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位．( )(3)α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α>α>sin α.( )(4)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．教材衍化(1)(必修A4P 9T 5)直径为4的圆中，36°的圆心角所对的弧长是( ) A.4π5 B.2π5 C.π3 D.π2答案 B解析 ∵36°＝36×π180 rad ＝π5 rad ，∴36°的圆心角所对的弧长为l ＝π5×2＝2π5.故选B.(2)(必修A4P 21T 9)设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 B解析 由θ在第三象限，所以2k π＋π<θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，所以k π＋π2<θ2<k π＋3π4(k ∈Z )．又cos θ2≤0，故选B. 3．小题热身(1)(2017·石家庄模拟)已知角α的终边在直线y ＝－x 上，且cos α＜0，则tan α＝________.答案 －1解析 如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P (x ，y )，则y ＝－x ，由三角函数的定义得tan α＝y x ＝－xx＝－1.(2)(2018·黄浦模拟)如图，已知扇形OAB 和OA 1B 1，A 1为OA 的中点，若扇形OA 1B 1的面积为1，则扇形OAB 的面积为________．答案 4解析 设∠AOB ＝α，则S 扇形OA 1B 1＝12OA 21·α＝1，S 扇形OAB ＝12OA 2·α，OA ＝2OA 1，∴S 扇形OAB ＝12·(2OA 1)2·α＝4.题型1 象限角及终边相同的角典例1设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z，判断两集合的关系( ) A ．M ＝N B ．M N C ．N MD ．M ∩N ＝∅将描述法表示的集合变为列举法表示．答案 B解析 由于M ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z } ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M N .典例2 已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋|cos θ|cos θ＋tan θ|tan θ|的值为________．找α的终边，利用终边定号法．答案 －1解析 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同角的概念知，α的终边在第四象限，又θ与α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.因此，y ＝－1＋1－1＝－1.方法技巧象限角的两种判断方法1．图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．2．转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．提醒：注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k ·180°(k ∈Z )表示终边落在角α的终边所在直线上的角．冲关针对训练1．(2017·潍坊模拟)集合{|αk π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2， 此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．故选C.2．若sin θ2＝45，且sin θ<0，则θ所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 C解析 ∵sin θ<0，∴2sin θ2cos θ2<0.又∵sin θ2＝45，∴cos θ2<0.故θ2在第二象限，且2k π＋π2<θ2<2k π＋34π(k ∈Z )． ∴4k π＋π<θ<4k π＋32π，∴θ在第三象限．故选C.题型2 弧度制及扇形面积公式的应用典例 已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？利用方程组法、二次函数求最值．解 (1)α＝60°＝π3 rad ，∴l ＝α ·R ＝π3×10＝10π3 (cm)．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2R ＋R α＝10，12α·R 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝1，α＝8(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，α＝12.故扇形圆心角为12.(3)由已知得，l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10，α＝2.[条件探究] 将典例中的第(3)问推广为“若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？”解 扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ， ∴R ＝C2＋α，∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2＝C 2α2·14＋4α＋α2＝C 22·14α＋4＋α≤C 216. 当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.方法技巧应用弧度制解决问题的方法1．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．见典例(1)． 2．求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．见典例(3)．3．在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 提醒：弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．在角度制下，弧长l ＝n πr180，扇形面积S ＝n πr 2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．冲关针对训练(2018·大连模拟)一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积是( )A.R 22B.12R 2sin1·cos1 C.12R 2(2－sin1·cos1) D ．R 2(1－sin1·cos1)答案 D解析 设圆心角为θ，由题知2R ＋R ·θ＝4R ，得θ＝2， 所以S 弓＝S 扇－S三角形＝12×2R ·R －12R 2·sin2＝R 2－12R 2·sin2＝R 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12sin2＝R 2(1－sin1·cos1)．故选D.题型3 任意角三角函数的定义及应用角度1 利用三角函数定义求值典例 已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的非负半轴．若角α终边经过点P (－3，y )，且sin α＝34y (y ≠0)，则判断角α所在的象限，并求cos α和tan α的值．定义法．解 依题意，P 到原点O 的距离为 |PO |＝ (－3)2＋y 2，∴sin α＝y r＝y3＋y2＝34y . ∵y ≠0，∴9＋3y 2＝16，∴y 2＝73，∴y ＝±213.∴点P 在第二或第三象限． 当P 在第二象限时，y ＝213，cos α＝x r ＝－34，tan α＝－73. 当P 在第三象限时，y ＝－213，cos α＝x r ＝－34，tan α＝73. 角度2 利用三角函数线比较大小，解不等式典例 sin1，cos1，tan1的大小关系是( ) A ．sin1>cos1>tan1 B ．sin1>tan1>cos1 C ．tan1>sin1>cos1D ．tan1>cos1>sin1单位圆定义法．答案 C解析 作单位圆，作出锐角1弧度的正弦线BP ，余弦线OB ，正切线AT ，可得tan1>sin1>cos1.故选C.方法技巧三角函数定义问题的常见类型及解题策略1．已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．2．利用单位圆解三角不等式的步骤 (1)确定区域的边界(注意边界的虚实)； (2)确定区域； (3)写出解集．3．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．提醒：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．冲关针对训练1．设π2<x <3π4，a ＝sin x ，b ＝cos x ，c ＝tan x ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <c <aD ．b <a <c 答案 B解析 ∵π2<x <3π4，∴22<sin x <1，－22<cos x <0，tan x <－1. ∴c <b <a .故选B.2．(2017·兴庆区校级期中)已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x >0)，且cos α＝36x, 求sin α＋1tan α的值． 解 角α的终边经过点P (x ，－2)(x >0) ∵r ＝x 2＋2，∵cos α＝x r ＝36x ， 可得x ＝10. 则r ＝2 3.sin α＝y r ＝－223＝－66，tan α＝y x ＝－210＝－55.那么sin α＋1tan α＝－66－5＝－6＋656.1．(2017·商丘期末)已知点P (－3，y )为角β的终边上的一点，且sin β＝1313，则y 的值为( )A ．±12 B.12 C ．－12 D ．±2答案 B解析 由题意可得：|OP |＝y 2＋3，所以sin β＝y y 2＋3＝1313，所以y ＝±12，又因为sin β＝1313，所以y >0，所以y ＝12.故选B. 2．(2018·东莞月考)角β的终边上有一点P (－m ，m )，其中m ≠0，则sin β＋cos β的值为( )A. 2 B ．－ 2 C ．0 D.2或－ 2 答案 C解析 角β的终边上有一点P (－m ，m )，其中m ≠0， ∴r ＝|OP |＝2|m |， 当m >0时，cos β＝－m2|m |＝－22，sin β＝m2|m |＝22，∴sin β＋cos β＝0； 当m <0时，cos β＝－m2|m |＝22，sin β＝m 2|m |＝－22，∴sin β＋cos β＝0.综上，sin β＋cos β的值为0.故选C.3．(2017·连云港质检)已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6 B.2π3 C.5π4 D.11π6答案 D解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴角α为第四象限角，且sin α＝－12，cos α＝32.∴角α的最小正值为11π6.故选D. 4．(2017·河南八市联考)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，点P (－4m,3m )(m >0)是角α终边上的一点，则2sin α＋cos α＝________.答案 25解析 ∵|OP |＝ (－4m )2＋(3m )2＝5|m |＝5m (m >0)， ∴sin α＝3m 5m ＝35，cos α＝－4m 5m ＝－45，∴2sin α＋cos α＝2×35－45＝25.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 ①中－3π4是第三象限角，故①错．②中4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确．③中－400°＝－360°－40°，从而③正确．④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确．故选C.2．sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在答案 A解析 ∵π2<2<3<π<4<3π2，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0.∴sin2·cos3·tan4<0.故选A.3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4答案 C解析 设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.故选C.4．若π4<θ<π2，则下列不等式成立的是( )A ．sin θ>cos θ>tan θB ．cos θ>tan θ>sin θC ．sin θ>tan θ>cos θD ．tan θ>sin θ>cos θ答案 D解析 ∵π4<θ<π2，∴tan θ>1，sin θ－cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.∵π4<θ<π2，∴0<θ－π4<π4，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4>0，∴sin θ>cos θ.故选D.5．在△ABC 中，若sin A ·cos B ·tan C <0，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定答案 B解析 ∵△ABC 中每个角都在(0，π)内，∴sin A >0. ∵sin A ·cos B ·tan C <0，∴cos B ·tan C <0. 若B ，C 同为锐角，则cos B ·tan C >0. ∴B ，C 中必定有一个钝角． ∴△ABC 是钝角三角形．故选B.6．(2018·永昌县期末)已知角α的终边经过点(3a,4a )(a ≠0)，则sin α＋cos α的值为( )A.75 B ．－75 C ．±75 D ．±34 答案 C解析 ∵角α的终边经过点(3a,4a )(a ≠0)，当a >0时，r ＝5a ，sin α＝y r ＝45，cos α＝x r ＝35，sin α＋cos α＝75； 当a <0时，r ＝|5a |＝－5a ，sin α＝y r ＝－45，cos α＝x r ＝－35，sin α＋cos α＝－75.综上可得，sin α＋cos α＝±75.故选C.7．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan βC ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos βD ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β 答案 D解析 由三角函数线可知，选D.8．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin2 C.2sin1 D ．2sin1答案 C解析 如图，∠AOB ＝2弧度，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交弧AB 于D .则∠AOD ＝∠BOD ＝1弧度，且AC ＝12AB ＝1，在Rt △AOC 中，AO ＝ACsin ∠AOC ＝1sin1，即r ＝1sin1，从而弧AB 的长为l ＝|α|·r ＝2sin1.故选C. 9．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α<0 B ．tan α－sin α<0 C ．cos α－tan α<0 D ．tan αsin α<0 答案 B解析 ∵α是第三象限角，∴sin α<0，cos α<0，tan α>0，则可排除A ，C ，D.故选B.10．(2018·江西模拟)已知角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝ 7π3，则m 的值为( ) A ．27 B.127 C ．9 D.19答案 B解析 角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝7π3，则tan 7π3＝tan π3＝3＝3mm＝m－ 16，则m ＝127.故选B.二、填空题11．(2017·广州模拟)若角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且 sin θ＝24m ，则cos θ的值为________． 答案 －64解析 点P (－3，m )是角θ终边上一点，由三角函数定义可知sin θ＝m3＋m2.又sin θ＝24m ， ∴m3＋m2＝24m . 又m ≠0，∴m 2＝5，∴cos θ＝－33＋m2＝－64. 12．(2018·济南校级期末)已知1|sin α|＝－1sin α，且lg cos α有意义，则α所在象限为第________象限．答案 四解析 由1|sin α|＝－1sin α可知，sin α<0，∴α是第三或第四象限角或终边在y 轴的非正半轴上的角． 由lg cos α有意义可知cos α>0，∴α是第一或第四象限角或终边在x 轴的非负半轴上的角，综上可知角α是第四象限角．13．若角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sin α＋3cos α＝________.答案 0解析 设角α终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)，则r ＝x 2＋y 2＝k 2＋(－3k 2)＝10|k |.当k >0时，r ＝10k . ∴sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10kk ＝10.∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0.当k <0时，r ＝－10k .∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10kk ＝－10.∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.14．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正方向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．答案 (2－sin2,1－cos2)解析 因为圆心由(0,1)平移到了(2,1)，所以在此过程中P 点所经过的弧长为2，其所对圆心角为2.如图所示，过P 点作x 轴的垂线，垂足为A ，圆心为C ，与x 轴相切于点B ，过C 作PA 的垂线，垂足为D ，则∠PCD ＝2－π2，|PD |＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos2，|CD |＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin2，所以P 点坐标为(2－sin2,1－cos2)， 即OP →的坐标为(2－sin2,1－cos2)．三、解答题15．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解 设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴弦长AB ＝2sin1×2＝4sin1. 16．已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解 (1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α>0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为{α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0，sin α2<0，cos α2>0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．。
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳一、基础知识1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx(x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角考点一 象限角及终边相同的角[典例] (1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． [解析] (1)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．故选C.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.[答案] (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3[题组训练]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π≤α≤k π＋π4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选B 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π≤α≤2n π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和0≤α≤π4的终边一样，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π≤α≤2n π＋π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和π≤α≤π＋π4的终边一样． 2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )， 解得－765360≤k <－45360(k ∈Z )，从而k ＝－2或k ＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°考点二 三角函数的定义[典例] 已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.[解析] ∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－x x 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213， ∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.[答案] －23[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．[题组训练]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315. 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 考点三 三角函数值符号的判定[典例] 若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号， 则α为第三象限角或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角． [答案] C[解题技法] 三角函数值符号及角所在象限的判断三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0.[题组训练]1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0 B ．cos(－305°)<0 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－22π3>0 D ．sin 10<0解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝⎛⎭⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin 10<0，故选D. 2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由题意得⎩⎨⎧cos α<0，tan α<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限．[课时跟踪检测]A 级1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 设扇形的半径为r (r >0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 2．(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( )A ．150°B ．135°C ．300°D ．60°解析：选C 由sin 150°＝12 >0，cos 150°＝－32<0，可知角α终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32，因为0°≤α<360°，所以角α为300°.3．(2018·长春检测)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π－π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D 当α的终边在射线y ＝－3x (x ≤0)上时，对应的角为2π3＋2k π，k ∈Z ，当α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上时，对应的角为－π3＋2k π，k ∈Z ，所以角α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z .4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( ) A.3 B ．－5 C.5 D.3或5解析：选C 由题意知|OP |＝3＋y 2，则sin α＝y 3＋y 2＝2y4，解得y ＝0(舍去)或y ＝±5，因为α为第二象限角，所以y >0，则y ＝ 5.6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，因为角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1. 7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________． 解析：设此扇形的半径为r (r >0)，由3π2＝12×3π4×r 2，得r ＝2.答案：28．(2019·江苏高邮模拟)在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________．解析：∵60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，∴tan 60°＝m1，∵tan 60°＝3，∴m ＝ 3.答案：39．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为360°×k ＋120°，k ∈Z ， 令k ＝－1或k ＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°， 设点B 坐标为(x ，y )，则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)11．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又因为α是第四象限角，所以m <0， 从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.12．已知α为第三象限角． (1)求角α2终边所在的象限；(2)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，当k 为偶数时，角α2终边在第二象限；当k 为奇数时，角α2终边在第四象限．故角α2终边在第二或第四象限．(2)当角α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当角α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此tan α2sin α2cos α2取正号．B 级1．若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α解析：选C 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－3π4 <α<－π2，所以α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.2．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 因为点P 在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin α－cos α>0，tan α>0，即⎩⎨⎧sin α>cos α，tan α>0.由tan α>0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．又sin α>cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即角α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4.3．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)．(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15； 当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15. (2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，π2， cos θ＝－45∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝⎛⎭⎫－45＜0； 当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．。
第1讲 任意角和弧度制、三角函数的概念
第1讲任意角和弧度制、三角函数的概念1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.1.任意角(1)任意角包括正角、负角和零角.(2)象限角：在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在□1第几象限，就说这个角是第几□2象限角；如果角的终边在□3坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝□4{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于□5半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是一个□6正数，负角的弧度数是一个□7负数，零角的弧度数是□80.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝π180rad；1rad＝□9(180π)°弧长公式弧长l＝□10|α|r扇形面积公式S＝□1112lr＝□1212|α|r2扇形的弧长公式、面积公式中角的单位要用弧度，在同一式子中，采用的度量制必须一致.3.任意角的三角函数(1)概念：任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sinα＝□13y，cosα＝□14x，tan α＝□15y x(x ≠0).(2)概念推广：三角函数坐标法定义中，若取点P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O 的距离为r ，则sin α＝□16y r ，cos α＝□17x r ，tan α＝□18y x(x ≠0).常用结论1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.象限角与不属于任何象限的角(1)(2)(3)3.重要不等关系：若α∈(0，π2)，则sin α<α<tan α.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.()(3)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.()(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2.回源教材(1)67°30′化为弧度是()A.3π8B.38C.673π1800D.6731800解析：A 67°30′＝67.5×π180＝38π.(2)已知α是第一象限角，那么α2是()A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角解析：D 易知2k π＜α＜π2＋2k π，k ∈Z ，故k π＜α2＜π4＋k π，所以α2是第一或第三象限角.(3)已知角θ的终边经过点P (－12，5)，则sin θ＋cos θ＝.解析：由三角函数的定义可得sin θ＋cos θ＝5（－12）2＋52＋－12（－12）2＋52＝513－1213＝－713.答案：－713任意角及其表示例1(1)(多选)若α是第二象限角，则()A.－α是第一象限角B.α2是第一或第三象限角C.3π2＋α是第二象限角D.2α是第三或第四象限角或终边在y 轴负半轴上解析：BD因为α是第二象限角，所以可得π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z .对于A ，－π－2k π<－α<－π2－2k π，k ∈Z ，则－α是第三象限角，所以A 错误.对于B ，可得π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角，所以B 正确.对于C ，2π＋2k π<3π2＋α<5π2＋2k π，k ∈Z ，即2(k ＋1)π<3π2＋α<π2＋2(k ＋1)π，k ∈Z ，所以3π2＋α是第一象限角，所以C 错误.对于D ，π＋4k π<2α<2π＋4k π，k ∈Z ，所以2α的终边位于第三象限或第四象限或y 轴负半轴上，所以D 正确.故选BD.(2)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：C当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样.故选C.反思感悟1.表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.(2)再按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α＜x ＜β}，其中β－α＜360°.(3)最后令起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角的集合.2.象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.(2)转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角.训练1(1)把－380°表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，则θ的值可以是()A.π9B.－π9C.8π9D.－8π9解析：B∵－380°＝－20°－360°，∴－380°＝(－π9－2π)rad ，故选B.(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为.解析：如图，在平面直角坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y＝3x上的角有两个，即π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个，即－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为{－5π3，－2π3，π3，4π3}.答案：{－5π3，－2π3，π3，4π3}弧度制及其应用例2已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝π3，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形的周长是20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝π3，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.解：(1)因为α＝π3，R＝10cm，所以l＝|α|R＝π3×10＝10π3(cm).(2)由已知，得l＋2R＝20，所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.所以当R＝5cm时，S取得最大值，此时l＝10cm，α＝2.(3)设弓形面积为S弓形，由题意知l＝2π3cm，所以S弓形＝12×2π3×2－12×22×sinπ3＝(2π3－3)(cm2).反思感悟应用弧度制解决问题时的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，或用基本不等式解决.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.训练2如图，图1是杭州2022年第19届亚运会的会徽，名为“潮涌”，整个会徽象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设弧AD 的长度是l 1，弧BC 的长度是l 2，几何图形ABCD 的面积为S 1，扇形BOC 的面积为S 2，若l 1l 2＝2，则S1S 2＝()图1图2A.1B.2C.3D.4解析：C 设∠BOC ＝α，由l 1l 2＝2，得OA ·αOB ·α＝OA OB ＝2，即OA ＝2OB ，∴S1S 2＝12α·OA 2－12α·OB 212α·OB 2＝OA 2－OB 2OB 2＝4OB 2－OB 2OB 2＝3.故选C.三角函数的定义及其应用三角函数的定义例3(1)(2024·哈尔滨期中)已知角α的终边经过点P (－3，4)，则sin α－cos α－11＋tan α的值为()A.－65 B.1C.2D.3解析：A由（－3）2＋42＝5，得sin α＝45，cos α＝－35，tan α＝－43，代入原式得45－（－35）－11＋（－43）＝－65.(2)如果点P 在角23π的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标是()A.(1，3)B.(－1，3)C.(－3，1)D.(－3，－1)解析：B由三角函数定义知，cos 23π＝x P |OP |＝－12，sin 23π＝y P |OP |＝32，所以x P ＝－1，y P ＝3，即P 的坐标是(－1，3).三角函数值的符号例4(1)点P (sin 100°，cos 100°)落在()A.第一象限内B.第二象限内C.第三象限内D.第四象限内解析：D因为sin 100°＝sin(90°＋10°)＝cos 10°＞0，cos 100°＝cos(90°＋10°)＝－sin 10°＜0，所以点P (sin 100°，cos 100°)落在第四象限内.(2)已知sin θ＜0，tan θ＜0，则角θ的终边位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：D 由sin θ＜0，tan θ＜0，根据三角函数的符号与角的象限间的关系，可得角θ的终边位于第四象限.反思感悟1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.训练3(1)(多选)已知角α的终边与单位圆交于点P (35，m5)，则sin α的值可能是()A.45B.35C.－45 D.－35解析：AC由题意可得sin α＝m 5（35）2＋（m 5）2＝m 32＋m 2＝m5，解得m ＝±4.当m ＝4时，sin α＝45；当m ＝－4时，sin α＝－45.故A ，C 正确，B ，D 错误.(2)(多选)已知角θ的终边经过点(－2，－3)，且θ与α的终边关于x 轴对称，则()A.sin θ＝－217B.α为钝角C.cos α＝－277D.点(tan θ，tan α)在第四象限解析：ACD因为角θ的终边经过点(－2，－3)，所以sin θ＝－37＝－217，故A 正确.因为θ与α的终边关于x 轴对称，所以α的终边经过点(－2，3)，则α为第二象限角，不一定为钝角，且cos α＝－27＝－277，故B 错误，C 正确.因为tanθ＝32>0，tan α＝－32<0，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D 正确.故选ACD.限时规范训练(二十四)A级基础落实练1.与－2023°终边相同的最小正角是()A.137°B.133°C.57°D.43°解析：A因为－2023°＝－360°×6＋137°，所以与－2023°终边相同的最小正角是137°.2.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ＋45°(k∈Z)B.k·360°＋9π4(k∈Z)C.k·360°－315°(k∈Z)D.kπ＋5π4(k∈Z)解析：C对于A，B，2kπ＋45°(k∈Z)，k·360°＋9π4(k∈Z)中角度和弧度混用，不正确；对于C，因为9π4＝2π＋π4与－315°是终边相同的角，故与角9π4的终边相同的角可表示为k·360°－315°(k∈Z)，C正确；对于D，kπ＋5π4(k∈Z)，不妨取k＝0，则表示的角5π4与9π4终边不相同，D错误.3.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－31010，则y＝()A.3B.－3C.1D.－1解析：B因为sinθ＝－31010＜0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y＜0，由三角函数的定义，得yy2＋1＝－31010，解得y＝－3(正值舍去).4.(2024·鹰潭期中)点A(sin1240°，cos1240°)在直角坐标平面上位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：D1240°＝3×360°＋160°，160°是第二象限角，所以sin1240°＞0，cos1240°＜0，P点在第四象限.5.(2023·河东一模)在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为()A.4B.22C.2D.1解析：C设扇形的半径为R(R＞0)，圆心角为α，则12αR2＝4，所以α＝8R2，则扇形的周长为2R＋αR＝2R＋8R≥22R·8R＝8，当且仅当2R＝8 R，即R＝2时，取等号，此时α＝2，所以周长最小时半径的值为2.6.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ＜0，则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的序号是()A.②④⑤B.③⑤C.③D.①③⑤解析：C①由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，故第二象限角大于第一象限角不正确，即①不正确；②直角不属于任何一个象限，故三角形的内角是第一象限角或第二象限角错误，即②不正确；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，即③正确；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y轴对称，即④不正确；⑤若cosθ＜0，则θ是第二象限角或第三象限角或θ的终边落在x轴的负半轴上，即⑤不正确.其中正确命题的序号是③，故选C.7.(多选)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边上有一点P(1，2sinα)，且|α|＜π2，则角α的可能取值为()A.－π3B.0C.π6D.π3解析：ABD因为角α的终边上有一点P(1，2sinα)，所以tanα＝2sinα，所以sinαcosα＝2sinα，①若α＝0，则sinαcosα＝2sinα成立；②若α≠0，则cosα＝12，因为|α|＜π2，所以α＝π3或α＝－π3.8.已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为.解析：因为r＝64m2＋9，所以cosα＝－8m64m2＋9＝－45，所以4m264m2＋9＝125，因为m＞0，解得m＝12.答案：1 29.α为第二象限角，且|cosα2|＝－cosα2，则α2在象限.解析：∵α为第二象限角，∴α2为第一或第三象限角，又|cos α2|＝－cos α2，∴cos α2＜0，∴α2在第三象限.答案：第三10.若角α的终边与函数5x ＋12y ＝0(x ＜0)的图象重合，则2cos α＋sin α＝.解析：∵角α的终边与函数5x ＋12y ＝0(x ＜0)的图象重合，∴α为第二象限角，且tan α＝－512，即sin α＝－512cos α.∴sin 2α＋cos 2α＝(－512cos α)2＋cos 2α＝1，解得cos α＝－1213.∴sin α＝－512cos α＝－512×(－1213)＝513.∴2cos α＋sin α＝2×(－1213)＋513＝－1913.答案：－191311.用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内(含边界)的角θ的集合是.解析：由题图，终边OB 对应角为2k π－π6且k ∈Z ，终边OA 对应角为2k π＋3π4且k ∈Z ，所以阴影部分角θ的集合是[2k π－π6，2k π＋3π4]，k ∈Z .答案：[2k π－π6，2k π＋3π4]，k ∈Z12.已知扇形的圆心角为23π，扇形的面积为3π，则该扇形的周长为.解析：设扇形的半径为R，利用扇形面积计算公式S＝12×23πR2＝3π，可得R＝3，所以该扇形的弧长为l＝23π×3＝2π，所以周长为l＋2R＝6＋2π.答案：6＋2πB级能力提升练13.(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(－1，m)(m＞0)，则下列各式的值一定为负的是()A.sinα＋cosαB.sinα－cosαC.sinαcosαD.sinαtanα解析：CD因为角α终边经过点P(－1，m)(m＞0)，所以α在第二象限，所以sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0，如果α＝23π，所以sinα＋cosα＝32－12＞0，所以选项A不满足题意；sinα－cosα＞0；sinαcosα＜0；sinαtanα＜0，故CD正确.14.(2023·长治模拟)水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强相互作用力(SIM)材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴.如图所示，水滴是由线段AB，AC和圆的优弧BC围成，其中AB，AC恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为1，点A到圆弧所在圆的圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为()A.3＋2π3 B.23＋2π3C.23＋π3D.3＋π3解析：A 如图，设圆弧所在圆的圆心为O ，连接OA ，OB ，OC ，依题意得OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，且OB ＝OC ＝1，OA ＝2，则AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝π3，所以∠BOC ＝2π3，所以该封闭图形的面积为2×12×3×1＋12×(2π－2π3)×12＝3＋2π3.15.(2024·牡丹江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (35，45)，将线段OA绕原点顺时针旋转π3得到线段OB ，则点B 的横坐标为.解析：易知A (35，45)在单位圆上，记终边在射线OA 上的角为α，如图所示，根据三角函数定义可知，cos α＝35，sin α＝45；OA 绕原点顺时针旋转π3得到线段OB ，则终边在射线OB 上的角为α－π3，所以点B 的横坐标为cos(α－π3)＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝3＋4310.答案：3＋431016.若点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0，2π)内α的取值范围是.解析：由题意可得α－cos α＞0，α＞0，∈[0，2π），α＞0，∈[0，2π），可得α∈(0，π2)或α∈(π，3π2)，当α∈(0，π2)，即α为第一象限角，则sin α＞0，cos α＞0，∵sin α－cos α＞0，则tan α＞1，∴α∈(π4，π2)；当α∈(π，3π2)，即α为第三象限角，则sin α＜0，cos α＜0，∵sin α－cos α＞0，则0＜tan α＜1，∴α∈(π，5π4)；综上所述，α∈(π4，π2∪(π，5π4).答案：(π4，π2)∪(π，5π4)。
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[课时作业·巩固练习] 实战演练 夯基提能
[A 组 基础保分练]
1．(2020·云南模拟)已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析：因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨
⎪⎧
tan α＜0，cos α＜0，
所以角α的终边在第二象限．
答案：B
2．若角α和角β的终边关于x 轴对称，则角α可以用角β表示为( ) A ．2k π＋β(k ∈Z ) B ．2k π－β(k ∈Z ) C ．k π＋β(k ∈Z )
D ．k π－β(k ∈Z )
解析：因为角α和角β的终边关于x 轴对称，所以α＋β＝2k π(k ∈Z )所以α＝2k π－β(k ∈Z )．
答案：B
3．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6
D ．8
解析：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12r 2α＝1
2r 2×4，求
得r ＝1，l ＝αr ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.
答案：C
4．(2020·陕西宝鸡质检)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－2,3]
B ．(－2,3)
C ．[－2,3)
D ．[－2,3]
解析：由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的非负半轴上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
3a －9≤0，
a ＋2＞0，
解得－2＜a ≤3，即a 的取值范围为{a ∈R |－2＜a ≤3}． 答案：A
5．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是________． 解析：一个周角是2π，因此分针10分钟转过的角的弧度数为1060×2π＝π
3.
答案：π
3
6．(2020·山东泰安月考)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0＜α＜π)的弧度数为________．
解析：设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，∴α＝ 3. 答案： 3
7．与2 019°的终边相同，且在0°～360°内的角是________． 解析：∵2 019°＝219°＋5×360°，
∴在0°～360°内终边与2 019°的终边相同的角是219°. 答案：219°
8．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．
解析：由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z )，则180°－(180°＋k ·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k ·360°)(k ∈Z )，即－k ·360°＜180°－α＜90°－k ·360°(k ∈Z )，所以180°－α是第一象限的角．
答案：一
[B 组 能力提升练]
1．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＜0，cos ⎝⎛⎭⎫π
2－θ＞0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角
D ．第四象限角
解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ＜0，cos ⎝⎛⎭⎫π
2－θ＝sin θ＞0，∴θ是第二象限角，故选B. 答案：B
2．角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边经过点P (4，y )，且sin θ＝－3
5，
则tan θ＝( )
A ．－43
B.43 C ．－34
D.34
解析：因为角θ的终边经过点P (4，y )，sin θ＝－3
5
＜0，所以θ为第四象限角，所以cos
θ＝
1－sin 2θ＝45，所以tan θ＝sin θcos θ＝－3
4，故选C.
答案：C 3．已知点P ⎝⎛⎭⎫
32
，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )
A.5π
6 B.2π
3 C.11π6
D.5π3
解析：因为点P ⎝⎛⎭⎫32，－1
2在第四象限，根据三角函数的定义可知tan θ＝－123
2＝－33，
又由θ∈[0,2π)可得θ＝11π
6
.故选C.
答案：C
4．已知θ是第四象限角，则sin(sin θ)( ) A ．大于0 B ．大于等于0 C ．小于0
D ．小于等于0
解析：∵θ是第四象限角，∴sin θ∈(－1,0)．
令sin θ＝α，当－1＜α＜0时，sin α＜0.故sin(sin θ)＜0. 答案：C
5．(2020·成都模拟)已知角α＝2k π－4π3(k ∈Z )，则|sin α|sin α＋tan α
|tan α|的值是( )
A ．0
B ．2
C ．－2
D ．不存在
解析：因为α＝2k π－4π
3(k ∈Z )是第二象限角，
所以sin α＞0，tan α＜0，所以|sin α|sin α＋tan α
|tan α|＝1－1＝0.
答案：A
6．(2020·南京模拟)在△ABC 中，若sin A ·cos B ·tan C ＜0，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形
D ．不能确定
解析：∵△ABC 中每个角都在(0，π)内，∴sin A ＞0. ∵sin A ·cos B ·tan C ＜0，∴cos B ·tan C ＜0.
若B ，C 同为锐角，则cos B ·tan C ＞0. ∴B ，C 中必定有一个钝角． ∴△ABC 是钝角三角形．故选B. 答案：B
7．点P 坐标为(2,0)，射线OP 顺时针旋转2 010°后与圆x 2＋y 2＝4相交于点Q ，则Q 的坐标为( )
A ．(－2，2)
B ．(－3，1)
C ．(－1，3)
D ．(1，－3)
解析：因为－2 010°＝－360°×6＋150°，150°角的终边与圆的交点坐标为(－3，1)．故选B.
答案：B
8．(2018·高考北京卷)在平面直角坐标系中，
是圆x 2＋y 2＝1上的
四段弧(如图所示)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan α＜cos α＜sin α，则P 所在的圆弧是( )
解析：设点P 的坐标为(x ，y )，利用三角函数的定义可得y
x ＜x ＜y ，所以x ＜0，y ＞0，
所以P 所在的圆弧是
，故选C.
答案：C
9．(2020·厦门模拟)如图所示，角的终边与单位圆交于第二象限的点A ⎝⎛⎭⎫cos α，3
5，则cos α－sin α＝________.
解析：由题意得cos 2α＋⎝⎛⎭⎫352＝1，cos 2α＝1625.又cos α＜0，所以cos α＝－45，又sin α＝35
，
所以cos α－sin α＝－7
5
.
答案：－7
5
10．(2020·太原模拟)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255
，则y ＝________.
解析：∵sin θ＝y
42＋y 2＝－255
，∴y ＜0，且y 2＝64，∴y ＝－8.
答案：－8。