整数矩阵可嵌入整数环上的可逆矩阵的充要条件
矩阵可逆的条件
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矩阵秩的计算方法
• 矩阵秩的计算可以通过高斯消元法、初等变换等方法进 行 • 计算矩阵秩时，可以先将矩阵A化简为行阶梯形式或行最 简形式
矩阵秩的应用
• 矩阵秩在解线性方程组、计算矩阵的逆矩阵等方面具有 重要作用 • 矩阵秩还可以用于判断矩阵的性质，如线性无关性、秩 相等性等
05
线性方程组的解与矩阵可逆性
矩阵可逆条件的探讨
CREATE TOGETHER
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01
矩阵的基本概念及性质
矩阵的定义与类型
矩阵的定义
• 矩阵是一个线性方程组的系数和常数项组成的数组 • 矩阵中的每个元素都是一个数
矩阵的类型
• 数值矩阵：矩阵中的元素都是数值 • 符号矩阵：矩阵中的元素都是符号 • 对角矩阵：矩阵中对角线上的元素相等，其余元素都为零 • 单位矩阵：主对角线元素为1，其余元素为0的方阵 • 零矩阵：所有元素都为0的方阵
矩阵的基本性质
矩阵的加法
• 交换律：A+B=B+A • 结合律： (A+B)+C=A+(B+C) • 数乘律： k(A+B)=kA+kB
矩阵的减法
• 交换律：A-B=B-A • 结合律：(A-B)-C=A(B+C) • 数乘律：k(A-B)=kA-kB
矩阵的乘法
• 不满足交换律：AB≠BA • 结合律：(AB)C=A(BC) • 数乘律：k(AB)=kA(B)
线性方程组的解与矩阵可逆性的关系
线性方程组的解与矩阵可逆性的关系
• 矩阵A可逆时，线性方程组有唯一解 • 矩阵A不可逆时，线性方程组无解或无穷多解
线性方程组解的计算与矩阵可逆性的判断
可逆矩阵求法
可逆矩阵求法可逆矩阵是线性代数中一个非常重要的概念，它在求解线性方程组和研究线性变换等方面有着广泛的应用。
本文将从可逆矩阵的定义、性质和求解方法三个方面进行介绍。
一、可逆矩阵的定义可逆矩阵是指一个方阵，如果它的行列式不为零，则称这个矩阵是可逆的。
也就是说，如果一个矩阵能够通过初等行变换或者初等列变换，化成一个单位矩阵，则称它是可逆的。
二、可逆矩阵的性质1. 可逆矩阵的逆矩阵是唯一的。
2. 若矩阵A、B都是可逆的，则AB也是可逆的，并且(AB)的逆等于B的逆乘以A的逆，即(AB)^-1 = B^-1A^-1。
3. 若矩阵A是可逆的，则A的转置矩阵也是可逆的，且(A^T)^-1 = (A^-1)^T。
4. 若矩阵A是可逆的，则A的行列式不为零。
5. 若矩阵A是可逆的，则A的每一行和每一列都是线性无关的。
三、可逆矩阵的求解方法1. 行列式法行列式法是一种求解可逆矩阵的方法，它基于一个定理：如果一个n阶矩阵的行列式不为零，则这个矩阵是可逆的。
因此，我们可以通过计算矩阵的行列式来判断它是否可逆。
2. 初等矩阵法初等矩阵法是一种求解可逆矩阵的方法，它利用了初等矩阵的性质：对于任意一个可逆矩阵A，我们可以通过一系列的初等变换将它化成一个单位矩阵，这样的变换可以表示成A = E1E2...En，其中Ei 表示一个初等矩阵。
因此，我们可以通过对单位矩阵进行相应的初等变换，得到原矩阵的逆矩阵。
3. 矩阵分块法矩阵分块法是一种求解可逆矩阵的方法，它可以将一个大的矩阵分成若干个小的矩阵，从而简化计算。
具体来说，我们可以将一个可逆矩阵表示成如下形式：A = [A11 A12][A21 A22]其中A11和A22都是方阵，且A11和A22都是可逆的。
那么，我们就可以通过矩阵的初等变换将A11和A22分别化成单位矩阵，从而得到原矩阵的逆矩阵。
可逆矩阵在线性代数中有着非常重要的地位，它不仅是求解线性方程组的重要工具，也是研究线性变换的基础。
可逆矩阵与正定矩阵
可逆矩阵与正定矩阵
可逆矩阵与正定矩阵是线性代数中的两个重要概念，它们之间存在一定的关系。
正定矩阵是指其顺序主子式均大于0的n阶方阵。
若矩阵A是正定矩阵，则其行列式|A|大于0，且矩阵A满秩，一定可逆。
也就是说，正定矩阵一定是可逆矩阵。
可逆矩阵是指在线性代数中，给定一个n阶方阵A，若存在一n 阶方阵B使得AB=BA=E，其中E为单位矩阵，则称A是可逆的，且B 是A的可逆阵。
可逆矩阵具有多种等价条件，例如：
1.AB=E（E为单位阵）。
2.矩阵A满秩（即r(A)=n）。
3.A的特征值全不为0。
4.A的行列式|A|≠0，也可表述为A是非奇异矩阵（即行列式不为0的矩阵）。
5.齐次线性方程组AX=0仅有零解。
6.非齐次线性方程组AX=b有唯一解。
7.任一n维向量可由A的行（列）向量组线性表示。
总之，正定矩阵一定是可逆矩阵，但可逆矩阵不一定是正定矩阵。
高等代数期末考试试卷
一、填空题（每小题2分，共10分）1．多项式22009320101()(2)()2f x x x =+-的常数项为 。
2．设,,a b c 是方程30x px q ++=的三个根，则a bcb c a c a b = 。
3．线性方程组m n A x b ⨯=有无穷多解的充要条件是______________________。
4．设矩阵123012001A ---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭＝，则1A -的秩为 。
5．设实二次型123(,,)f x x x 的矩阵是111t ⎛⎫⎪⎝⎭，则123(,,)f x x x 是正定二次型的充要条件是 。
二、单选题（每小题2分，共10分）1．实数域上次数大于1的多项式()f x 有一实根是()f x 在实数域上可约的（ ）。
a) 必要非充分条件 b) 充分必要条件 c) 充分非必要条件 d) 既非充分又非必要条件2．行列式111213212223313233a a a a a a d a a a =，则332313322212312111a a a a a a a a a =（ ）。
a) d - b) d c) 0 d) 不确定3．λ=（ ），非齐次线性方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解。
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 4．若矩阵A 满足20A A E ++=，则9A =（ ）。
a) A b) A - c) E d) 05．矩阵（ ）合同与200010005-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 。
a) 4000100010⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭b) 300020005⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭c) 100010001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭d) 200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭三、判断题（每小题2分，共10分）1．若()()()h x f x g x ，则()()h x f x 或()()h x g x 。
对可逆矩阵的定义及求法
对可逆矩阵的定义及求法
《可逆矩阵那些事儿》
嘿呀，今天咱来聊聊可逆矩阵这个神奇的东西！可逆矩阵呢，就像是一把能打开数学大门的钥匙。
咱就说有一次啊，我去参加一个数学兴趣小组的活动。
活动里老师就提到了可逆矩阵。
当时我就特别好奇，这到底是个啥玩意儿呀。
老师就解释说，可逆矩阵就像是一个可以反悔的操作。
比如说你走在路上，突然发现走错路了，那可逆矩阵就可以让你倒回去，找到正确的路。
然后呢，老师开始讲怎么求可逆矩阵啦。
这就像是找宝藏一样，得用一些方法和技巧才能找到。
老师说可以通过行列式的值呀，还有一些运算啥的来判断和求解。
我当时就想，这可真有意思，就像在玩一个解谜游戏。
在求可逆矩阵的过程中，我感觉自己就像是一个探险家，在数学的丛林里努力寻找着答案。
有时候会遇到一些难题，就像路上的荆棘一样，但我可不会轻易放弃，我要努力拨开这些荆棘，找到那个正确的可逆矩阵。
哎呀，总之呢，可逆矩阵虽然有点复杂，但其实也挺好玩的。
就像生活中的很多事情一样，只要我们用心去探索，就能发现其中的乐趣和奥秘。
我现在对可逆矩阵是越来越感兴趣啦，以后还要继续深入研究它呢！嘿嘿，这就是我对可逆矩阵的认识和体验啦，是不是很有趣呀！
希望大家也能像我一样，发现可逆矩阵的奇妙之处哦！。
高等代数试卷
高等代数试卷一一、填空题（每小题2分，共10分）1．多项式22009320101()(2)()2f x x x =+-的常数项为 。
2．设,,a b c 是方程30x px q ++=的三个根，则a bcb c a c a b = 。
3．线性方程组m n A x b ⨯=有无穷多解的充要条件是______________________。
4．设矩阵123012001A ---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭＝，则1A -的秩为 。
5．设实二次型123(,,)f x x x 的矩阵是111t ⎛⎫⎪⎝⎭，则123(,,)f x x x 是正定二次型的充要条件是 。
二、单选题（每小题2分，共10分）1．实数域上次数大于1的多项式()f x 有一实根是()f x 在实数域上可约的（ ）。
a) 必要非充分条件 b) 充分必要条件 c) 充分非必要条件 d) 既非充分又非必要条件2．行列式111213212223313233a a a a a a d a a a =，则332313322212312111a a a a a a a a a =（ ）。
a) d - b) d c) 0 d) 不确定3．λ=（ ），非齐次线性方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解。
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 4．若矩阵A 满足20A A E ++=，则9A =（ ）。
a) A b) A - c) E d) 05．矩阵（ ）合同与200010005-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭。
a) 4000100010⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ b) 300020005⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ c) 100010001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ d) 200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭三、判断题（每小题2分，共10分）1．若()()()h x f x g x ，则()()h x f x 或()()h x g x 。
31节可逆的定义与条件
可得
A
Ps1
P 1 s1
P11Qt1Qt11
Q11
即A可以表示为有限个初等矩阵的乘积。
(充分性) 设有初等方阵P1 P2… Pl，使得
A = P1 P2… Pl。
因为P1， P2，… ，Pl都可逆，所以它们的乘积也 可逆，故A可逆。
定理2.6 方阵A可逆的充分必要条件是A可以
只经过行(或列）初等变换化为单位矩阵E。
利用（3）可以较容易地求3阶以上可逆矩阵的求逆。
• 于是，我们可以采用下列方式求A1：将A和E并排 放在一起，组成一个n2n矩阵（A ，E），对（A ， E）作一系列初等行变换，将其左半部分化成单位 矩阵E，这时其右半部分就是A1。即
( A, E ) 初等 行变换( E, A1 )
也可以通过
A E
需要注意的是：
解矩阵方程时, 应注意已知矩阵与X的位置
关系.例如解AX B,要先考察A是否可逆(这个过 程 可 以 不 写 出), 只 有A可 逆 时 才 可 解 这 个 矩 阵方 程,这时将方程两边同时左乘 A1 ,得
A1 AX A1 B,即X A1 B, 而不能右乘 A1 ,因为矩阵的乘法不满足交换律. 如果A不可逆，则可用待定法设X待定
2.3 逆矩阵的应用
例6 解矩阵方程（书P69例2.5）
1 3 3
1 0
1 1
4 3
3 4
X
2 5
1 3
0
1
1 , 0
求矩阵X 。
解： 设
1 3 3
A 1 1
4 3
3 , 4
B
2 5
则上式变成: AXB = C
1 3
,
C
1
0
矩阵可逆的充分必要条件
逆矩阵与转置
若A是可逆矩阵，则A的转置A^T也 是可逆的，且(A^T)^-1 = (A^1)^T。
逆矩阵与行列式
一个方阵A可逆的充分必要条件是其 行列式|A| ≠ 0。
判别方法
高斯消元法
通过高斯消元法将给定矩阵化为行阶梯形 式，若存在全零行或主元位置为0，则该
此，不是所有对称矩阵都是可逆的。
稀疏矩阵与可逆性
稀疏矩阵的定义
若一个矩阵中大部分元素为0，则该矩阵称为稀疏矩阵。
稀疏矩阵与可逆性的关系
稀疏矩阵并不一定是可逆的，其可逆性与矩阵中非零元素的分布和数量有关。只有当稀 疏矩阵的行列式不等于0时，它才是可逆的。因此，需要根据具体情况来判断稀疏矩阵
的可逆性。
特征值均非零
矩阵可逆的第三个充分必要条件是其所有特征值均非零。
特征值是矩阵的一个重要性质，反映了矩阵变换对特征向量的缩放程度。
当且仅当矩阵的所有特征值均不为零时，矩阵才具有逆矩阵。这是因为如果存在零特征值，则对应的特 征向量在变换后会被压缩到零向量，导致逆变换无法恢复原始向量。
PART 03
必要条件探讨
矩阵可逆定义及性质
可逆矩阵定义
方阵
可逆矩阵必须是方阵，即行数和列数相等的矩阵。
存在逆矩阵
存在一个与给定矩阵相乘后得到单位矩阵的矩阵， 称为该矩阵的逆矩阵。
非奇异矩阵
可逆矩阵也称为非奇异矩阵，与之相对的是奇异 矩阵（不可逆矩阵）。
性质与定理
逆矩阵的唯一性
一个可逆矩阵的逆矩阵是唯一的。
逆矩阵的运算性质
优点是数值稳定性好，适用于中小规模矩阵 ；缺点是对于大规模矩阵，计算量较大。
λ矩阵可逆的充要条件
λ矩阵可逆的充要条件λ矩阵是指一个方阵，其对角线上的元素全都相等，非对角线上的元素全都相等且为另一个值。
λ矩阵可逆的充要条件是什么呢？本文将从以下几个方面进行探讨。
一、什么是可逆矩阵？在矩阵论中，可逆矩阵也称为非奇异矩阵或满秩矩阵。
一个n×n的方阵A如果存在另一个n×n的方阵B，使得AB=BA=In（其中In为n 维单位矩阵），那么我们称A是可逆的，B就是A的逆矩阵。
二、λ矩阵的定义及性质1. λ矩阵定义：对于一个n×n的λ矩阵L来说，它具有如下特点：（1）对角线上元素相等：Lii=λ（i=1,2,…,n）；（2）非对角线元素相等：Lij=μ（i≠j）。
其中λ和μ均为实数。
2. λ矩阵性质：（1）行列式值：|L|=λ^(n-1)×(λ-(n-1)μ)；（2）特征值和特征向量：① 特征值：λ1=λ+(n-1)μ，λ2=λ+(n-2)μ，…，λn=λ-(n-1)μ；② 特征向量：对于每个特征值λi，都存在一个线性无关的特征向量xi。
三、充分条件：λ矩阵可逆对于一个n×n的λ矩阵L来说，当且仅当其对角线元素不为0时，L是可逆的。
证明：因为L是一个λ矩阵，所以其行列式值为|L|=λ^(n-1)×(λ-(n-1)μ)。
当且仅当|L|≠0时，才有可能存在逆矩阵B。
因为L是一个λ矩阵，所以其对角线元素均为λ。
所以|L|=0的充要条件是：（1）存在i∈{1,2,…,n}，使得Li,i=0；（2）存在i,j∈{1,2,…,n}（i≠j），使得Li,j=0。
根据上述条件可以发现，在一个非奇异的情况下，即所有Li,i均不为0时，则有：（1）所有Li,j均不为0；（2）所有特征值都不为0；（3）每个特征向量都与标准基向量线性无关。
因此，在这种情况下，我们可以通过对角化L来求出它的逆矩阵。
四、必要条件：λ矩阵可逆对于一个n×n的λ矩阵L来说，当且仅当其对角线元素均不为0时，L是可逆的。
关于交换环上矩阵嵌入可逆矩阵的一些条件
第37卷第11期2020年11月吉林化工学院学报JOURNAL OF JILIN INSTITUTE OF CHEMICAL TECHNOLOGYVol.37 No.11Nov. 2020文章编号:1007-2853(2020) 11-0091-03关于交换环上矩阵嵌入可逆矩阵的一些条件郭小芳，谭宜家**收稿日期：2020-08-26基金项目:国家自然科学基金面上项目(11971111)；福建省自然科学基金面上项目(2016J01012)作者简介:郭小芳(1993-),女,福建福州人,2014级本科生,主要从事应用数学方面的研究.*通信作者:谭宜家(1962-),男，湖北咸宁人，福州大学教授，硕士，主要从事矩阵代数及其应用方面的研究.E-mail ： yjtan62@ (福州大学数学与计算机科学学院，福建福州350108)摘要：给岀了交换环上一个矩阵可嵌入到可逆矩阵的一个必要条件和一个充分条件，进而证明了主理想整环上一个n 阶矩阵可嵌入到一个n+1阶可逆矩阵的充要条件是这个矩阵的伴随矩阵的元素是互素 的.部分结果推广了整数环上的结论.关键词：矩阵;可逆矩阵;嵌入;交换环;主理想整环中图分类号：O 151.21文献标志码：A D0l ：10.16039/22-1249.2020.n.019设R 是一个含有单位元1的交换环,M ”(R) 是R 上全体n 阶矩阵组成的集合•对于任意A eM n (R),如果存在 B eM n (R),使得 AB_BA_I ”，则称A 是R 上的一个可逆矩阵，这里I n 是n 阶单位矩阵•可逆矩阵在矩阵理论中占有重要的地位,至今仍是矩阵论中研究的热点之一［1-6］.对于可逆矩阵，一个有趣的问题是，任给一个方阵A,A 能否嵌入到一个可逆矩阵中对于整数环Z 的情况，文献［7］获得了如下结论.定理1［7］对于nM2,AeM ”(Z),则A 可嵌入整数环Z 上的n+1阶可逆矩阵的充要条件是A 的所有代数余子式互素.在上述基础上进一步探讨一般交换环上矩阵 的嵌入问题,给出了交换环上一个方阵可嵌入到 可逆矩阵的一个必要条件和一个充分条件，特别地，还获得了主理想整环上一个矩阵可嵌入到可逆矩阵的一个等价刻画•所得的部分结果拓广了 定理1•由于一般交换环中的元素不一定有最大公因子，本文的结论和证明与文献［7］有所不同.1基本概念与符号如无特别说明，R 表示一个含有单位元1的交换环.设aeR,如果存在beR,使得ab _ba _ 1,则称a 是R 的一个可逆元•用U(R)表示R 中所有 可逆元组成的集合•对于任意a,beR ，如果a _bc,则称b 为a 的一个因子(或称b 整除a)，记为 b I a.如果 ae U(R)，则aa~' _ aa _ 1,所以 a 可逆当且仅当aI1.对于任意A e M n (R),a a .表示矩阵A 中第i行第j 列交叉处的元素,A T 表示A 的转置•对于AeM n (R)，如果存在R 上的一个可逆矩阵B,使得A 为B 的一个主子矩阵(即位于B 中左上方的子矩阵)，则称A 为可嵌入R 上的可逆矩阵的矩阵.定义1.1⑻ 设AeM n (R),定义A 的行列式如下:detA _Z (-1)"%。