太阳能小屋的设计-2012年数学建模大赛B组题

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

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我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：贵州师范大学参赛队员 (打印并签名) ：指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：教练组日期： 2012 年 09 月 10 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：太阳能小屋的设计摘要随着太阳能在日常生活中的普及，研究太阳能光伏发电系统也因此具有重要的意义。

为了解决问题一，首先对太阳能电池进行筛选，这是一个最优化问题，通过对小屋最大经济效率的计算，进而得到太阳能电池板的最优组合。

为了使小屋的发电总量、经济效益最大，从而决定了各电池组件之间的数量及连接方式，选择逆变器的数量和容量。

对于问题二，为了实现太阳能光伏电池板最佳倾角的设计及优化[1]，通过MATLAB建立倾斜放置的电池组件接收太阳辐射模型，计算得到光伏板上的辐射能，进而建立倾斜面上总辐射的函数，该函数是关于斜面倾斜角的一个函数，通过求解该函数的极大值，从而得到光伏太阳能电池板的最佳倾角。

对于问题三，为了使小屋的经济效益最高，采用最优化问题解决策略，制定了小屋的建造方式，因此使所限制的条件能够得以实现。

关键词：最优化方法；光伏发电系统；太阳能辐射能；最佳倾角一、问题重述在设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成220V交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网。

不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。

因此，在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。

附件1-7提供了相关信息。

请参考附件提供的数据，对下列三个问题，分别给出小屋外表面光伏电池的铺设方案，使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小，并计算出小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按0.5元/kWh计算）及投资的回收年限。

在求解每个问题时，都要求配有图示，给出小屋各外表面电池组件铺设分组阵列图形及组件连接方式（串、并联）示意图，也要给出电池组件分组阵列容量及选配逆变器规格列表。

在同一表面采用两种或两种以上类型的光伏电池组件时，同一型号的电池板可串联，而不同型号的电池板不可串联。

在不同表面上，即使是相同型号的电池也不能进行串、并联连接。

应注意分组连接方式及逆变器的选配。

问题1：请根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对小屋（见附件2）的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。

问题2：电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，请选择架空方式安装光伏电池，重新考虑问题1。

问题3：根据附件7给出的小屋建筑要求，请为大同市重新设计一个小屋，要求画出小屋的外形图，并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果[3]。

二、问题分析2.1对问题一的分析根据附件4的气象数据初步判断出东、西、南、北、以及顶部的总的辐射强度。

1）计算比较A1A6，B1B7，C1C11每一种电池在每一个平面上的发电量，从而算出每一个面上总的经济效益，以此为标准来确定铺设的太阳能电池组件的类型。

2）根据附件2的每一面的几何数据确定每一面上可铺设电池的面积，由此确定铺设电池的数量。

3）根据附件1电池的连接要求来选择逆变器的数量和容[4]量。

2.2对问题二的分析由附件4给出的数据信息，根据Hay 提出的天空散射辐射各向异性模型，首先计算出倾斜面上总的太阳辐射强度（E ）：b d EE E =+b E 为倾斜面上的直接太阳辐射总量，d E 为倾斜面上的散射辐射总量，此外，太阳的入射角在很大的程度上影响到倾斜面上对太阳辐射总量的吸收，因此斜面吸收的总的太阳辐射是倾斜角β的函数，即：()N N E E β=对这个函数对β进行求导其值为0，即()0N dE d ββ=解此方程算出的β即为最佳倾斜角，进而求出太阳的入射角[5]。

2.3对问题三的分析对于问题三，由于其限制条件比较多，所以要同时实现其所给条件，我们运用了最优化模型对此进行解决，从而达到条件。

其限定小屋使用空间高度为：建筑屋顶最高点距地面高度≤5.4m, 室内使用空间最低净空高度距地面高度为≥2.8m ；建筑总投影面积（包括挑檐、挑雨棚的投影面积）为≤74m 2；建筑平面体型长边应≤15m ，最短边应≥3m ；建筑采光要求至少应满足窗地比（开窗面积与房间地板面积的比值，可不分朝向）≥0.2的要求；建筑节能要求应满足窗墙比（开窗面积与所在朝向墙面积的比值）南墙≤0.50、东西墙≤0.35、北墙≤0.30。

建筑设计朝向可以根据需要设计，允许偏离正南朝向。

因此，根据上面条件，我们就能得出相应数据进行模型的建立[2]。

三、模型假设1、假设大气层对太阳的辐射总量没有削弱作用；2、假设附件4中的气象数据没有错误；3、太阳能电池板的铺设不考虑屋檐或不规则的区域；4、假设天空的散射辐射是均匀分布的；四、符号说明S ： 倾斜面与水平面之间的夹角E ： 倾斜面上太阳能电池板吸收的总的太阳能辐射b E ：倾斜面上的直接太阳辐射总量d E ：倾斜面上的散射辐射总量θ ：太阳光线的入射角()E t ：倾斜辐射系数b τ： 太阳直辐射透明度系数d τ：太阳散射辐射透明度系数ω： 太阳时角δ： 太阳赤纬角ss T 、st T ：倾斜面上的日出日落时刻/0ph p ：大气修正系数AMh ：表示一定地形高度下的大气量 h ： 大同市的海拔高度 FZ ： 35年的发电总量 L ： 35年的经济效益五、模型的建立及求解5.1 问题一的模型的建立与求解1）首先对大同市一年内的气象数据进行分析，得到东、西、南、北、以及顶部的总的辐射强度：2）其次计算单位面积上每块太阳能电池板产生的经济效益（JABC ），其计算公式为：0.51000⨯⨯转换率辐射强度3）计算单位面积上太阳能电池板所需成本，其计算公式为：⨯组件功率价格面积通过上述计算得出每一种电池板在每一面上所产生的经济效益，将所得的数据进行从高到低的排序，从而得到每一面上优先考虑铺设的电池顺序。

紧接着计算出每一面上电池铺设的最佳组合数，求出在这个组合下这一面一年所产生的电能及经济效益，其计算公式分别为：⨯⨯⨯组合数面积单位经济效益转换率⨯⨯⨯⨯组合数面积单位经济效益转换率0.5-成本由一年产生的电能可以得出35年所产生的电能及经济效益，其计算公式分别为：⨯⨯⨯⨯⨯⨯组合数面积单位经济效益转换率(10+150.9+100.8)(1015⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯组合数面积单位经济效益转换率0.9+100.8)0.5-成本5.2模型求解1）由附录（1～5）程序求解得到铺设部分结果如图所示：（图1）（图2）东面电池板铺设情况j 南面电池板的铺设情况窗大门窗c2c10c6c10c106个C103个C10c10c10c103个C10c1c1c1c8c8c7c10c10c10c10c10c10c10c102）太阳能电池的连接方式部分结果如下：（北面电池连接方式图）（图3）（顶部电池连接方式图）共103对共13对（图4）3）发电量与经济效益结果如表一；4 )每一面上电池所产生的经济效益情况如表二 ； 5.2 模型二的建立及求解 5．2.1太阳赤纬角（δ）太阳赤纬角（δ）：日地中心线与赤道的夹角。

赤道以北为正、南为负，变化范围为15︒23.523.5-︒+︒，可由Cooper 近似公式得到223.45284sin(2)360365N πδπ⨯︒+=⨯ (N=1,,365) 5.2.2 太阳时角（ω）时角ω描述太阳在一天内的变化情况，在当地时间（T ）正午时为0，每走经度1h为15︒，上午为正，下午为负，即()()1512s t ω=-度由此得到日出日落时刻 12(1)15ssT ω=+12(1)15st T ω=-5.2.3 太阳直辐射和散射透明度系数（b τ）[1]在不考虑大气对太阳辐射的削弱作用时，计算直接辐射透明度系数（b τ）的经验公式：0.560.00950.56()AMhAMhb eeτ--=+上式中，AMh 表示一定地形高度下的大气量，计算公式为00PhAMh AM p =⨯0AM 为海平面上的大气量，其值取决于太阳高度角，021/2(1229(614sin ))614sin AM αα=+- /0ph p 是大气修正系数，与当地的海拔高度h 有关，5.2562880.0065()0288ph h p -⨯= 散射辐射透明度系数（d τ）与直接辐射透明度系数（b τ）之间存在线性关系0.2710.294d b ττ=-5.2.4倾斜面上太阳能总辐射的计算光伏太阳能电池板所吸收的太阳能总辐射（E ）包括，倾斜面上的直接太阳辐射（b E ）加上倾斜面上的散射辐射（Ed ），即b d E E E =+然而 ()cos b E E t b τθ=⨯⨯cos sin()sin cos()cos cos θφβδφβδω=-+-（式中的φ为大同市的地理纬度，其值为40.1︒） 电池板上太阳直接辐射强度为2cos ()2sin d E E t d βτα=⨯⨯则一年内太阳能光伏电池组件吸收的总辐射为3651ssstT N T N E EdT ==∑⎰可知N E 是一个关于太阳能光伏电池组件倾角β的函数，即()N N E E β=则最佳倾角β满足()0N dE d ββ=求解此方程，即可得到最佳倾角β，见附录六.5.3模型三的建立与求解 5.3.1模型三的建立设小屋最大高度为H ，最小高度为h ，长为x ，宽为y ，设小屋窗的面积为S ，则： 2.8<H ≤5.4;2.8≤h<5.4;3 <x ≤15;3≤y<15;0.2≤s/x*y <1;0< s/x*y ≤0.5 5.3.2模型三的求解由上面公式和最优化求解方法，可以求出其优解。