DFT分析连续时间信号频谱
DFT在信号频谱分析中的应用
DFT在信号频谱分析中的应用目录Ⅰ.设计题目 (1)Ⅱ.设计目的 (1)Ⅲ.设计原理 (1)Ⅳ.实现方法 (1)Ⅴ.设计内容及结果 (5)Ⅵ.改进及建议 (11)Ⅶ.思考题及解答 (14)Ⅷ.设计体会及心得 (15)Ⅸ.参考文献 (16)Ⅰ.设计题目DFT 在信号频谱分析中的应用Ⅱ.设计目的掌握离散傅里叶变换的有关性质，利用Matlab 实现DFT 变换。
了解DFT 应用，用DFT 对序列进行频谱分析，了解DFT 算法存在的问题及改进方法。
学习并掌握FFT 的应用。
Ⅲ.设计原理所谓信号的频谱分析就是计算信号的傅里叶变换。
连续信号与系统的傅里叶分析显然不便于直接用计算机进行计算，使其应用受到限制，而DFT 是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，成为分析离散信号和系统的有力工具。
工程实际中，经常遇到的连续信号Xa(t),其频谱函数Xa(jW)也是连续函数。
数字计算机难于处理，因而我们采用DFT 来对连续时间信号的傅里叶变换进行逼近，进而分析连续时间信号的频谱。
Ⅳ.实现方法离散傅里叶变换是有限长序列的傅里叶变换，它相当于把信号的傅里叶变换进行等频率间隔采样，并且有限长序列的离散傅里叶变换和周期序列的离散傅里叶级数本质是一样的。
快速傅里叶变换（FFT ）并不是一种新的变换，它是离散傅里叶变换的一种快速算法，并且主要是基于这样的思路而发展起来的：（1）把长度为N 的序列的DFT 逐次分解成长度较短的序列的DFT 来计算。
（2）利用WN(nk)的周期性和对称性，在DFT 运算中适当的分类，以提高运算速度。
（对称性nkNnk NW W N-=+2，12-=NN W ;周期性nkN nk N nrN N k rN n NW W W W ---==)(，r 为任意整数,1=nrNN W ）离散傅里叶变换的推导：离散傅里叶级数定义为nk j N k p p ek x Nn x N21)(1)(π∑-==（1-1） 将上式两端乘以nm j Neπ2-并对n在0~N-1求和可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∑∑∑∑∑-=---=-=-=---=-10)(110101)(1N2N2N2)()(1)(N n m k n j N N k p N n N k m k n j pN n nm j pe k X ek XNen xπππ 因为{m k 1mk 0)(N )(1)(N 2N2N2-1-1N 11=≠---=-==∑m k j m k j N n m k n je eeNπππ所以∑∑-=-=--=110)()()(N2N k p N n nm j p m k k X en x δπ 这样∑-=-=10N2)()(N n nm j p p en x m X π用k 代替m 得∑-=-=1N2)()(N n nk j p P en x k X π（1-2）令N2πj N eW -=则（1-2）成为DFS []∑-===10)()()(N n nkN p p p W n x k X n x （1-3）（1-1）成为IDFS []∑-=-==1)(1)()(N n nkN pp p W k XNn x k X （1-4）式（1-3）、（1-4）式构成周期序列傅里叶级数变换关系。
DFT分析信号频谱
x[k ] X (e )
jw
x[k]
k
x[k ]e
jkw
X(ejw)
...
0 k
...
0
2 p p
p
2p
w
图3 离散非周期信号及其频谱
x[ k ] 4.离散时间周期信号 ~
~ ~ x [k ] X [m]
~ x [k ]
N 1 k 0
~ x [k ]e
窗函数一：
矩形窗
1 0 k N w[k ] 0 其它
1 0.8
时域波形
0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 20 25 30 35
40 30
幅度频谱
20 10 0 -1
-0.5
0
0.5
1
矩形窗：
1 0 k N w[k ] 0 其它
sin( Nw / 2) WN (e ) DTFT{RN [k ]} e sin( w / 2)
j
2p mk N
~ X [m]
...
-N 0 N k
...
-N 0 N m
图4 离散周期信号及其频谱
问题提出： 如何利用数字方法分析信号的频谱？
x(t ) X ( j)
x(t )e
jt
dt
1 jn0t xT (t ) X (n0 ) xT (t )e dt T T
512点DFT幅频特性
10
150 100 50 0
0
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
|X(k)|
数字信号处理 利用DFT分析连续信号频谱
k
N 1 k 0
jk x [ k ] e
j 2 mk N
~ x [k ]e
问题的提出
有限长序列 x N [k ] 的傅立叶变换DFT
xN [k ] X N [m] xN [k ]e
k 0
N 1
j
2π mk N
0
π/2
信号特点：时域无限，频谱无限
问题的提出
如何利用数字方法分析连续信号的频谱？
x ( t ) X ( j )
x (t )e jt dt
1 jn0t xT (t ) X (n0 ) xT (t )e dt T T
x[k ] X ( e j )
xN [k ]
XN [m]
0
N-1
k
0
N-1
m
DFT看作对周期序列的DFS主值区间取值
问题的提出
可否利用DFT分析连续信号的频谱？
基本原理 利用信号傅立叶变换具有的信号时域与频 域之间的对应关系，建立信号的DFT与四种信 号频谱之间的关系。
时域的离散化
时域的周期化
频域周期化 频域离散化
利用DFT分析连续信号的频谱
[m] X [m] 取主值[书75公式（2-62）] X N
2.5.1 连续非周期信号频谱与DFT的关系 X(j) X[m]采样、周期、取主值
X ( j) X (e
j
) 采样 =T；T
[-m , m ] [ , ]
[m] 周期 X (e ) X N
x[k ] X ( e )
x[k]
j
k
用DFT对时域离散信号进行频谱分析
用DFT对时域离散信号进行频谱分析DFT（离散傅里叶变换）和FFT（快速傅里叶变换）是用于对时域离散信号进行频谱分析的常用方法之一、在本文中，我将介绍DFT和FFT的原理和应用，并探讨它们的优势和劣势。
频谱分析是一种研究信号频率成分的方法。
它可以用于分析信号的频域特征，例如信号频谱的幅度和相位信息。
频谱分析广泛应用于通信、声学、图像处理、金融等领域。
DFT是傅里叶变换在时域离散信号上的一种离散形式。
傅里叶变换将信号从时域转换到频域，使我们能够分析信号包含的不同频率的成分。
DFT计算离散信号的系数，这些系数表示了信号在不同频率上的幅度和相位信息。
DFT的计算复杂度为O(N^2)，其中N是信号的长度。
这意味着DFT对于长时间序列的计算是非常昂贵的。
为了解决DFT计算复杂度高的问题，人们引入了FFT算法。
FFT是一种基于DFT的快速算法，可以大大提高计算效率。
FFT的计算复杂度为O(NlogN)。
当信号的长度是2的幂次时，FFT的计算速度尤为快速。
FFT算法利用了傅里叶变换中的对称和周期性特性，通过分治法将DFT计算分解成多个小规模的DFT计算，从而加快了计算速度。
FFT算法有多种变体，包括Cooley-Tukey算法、Gentleman-Sande算法等。
使用DFT和FFT进行频谱分析有很多应用。
其中一种常见的应用是信号滤波。
通过分析信号的频谱，我们可以确定信号中所包含的不同频率的成分，从而选择性地滤除或增强一些频率的信号成分。
另一种应用是频谱分析可用于频率识别。
通过观察信号频谱的峰值和分布情况，我们可以确定信号的主要频率成分，从而进行信号的识别和辨别。
尽管DFT和FFT在频谱分析中非常有用，但它们也存在一些局限性。
首先，这些方法假设信号是离散、周期且稳定的。
对于非周期信号和突发信号，DFT和FFT的结果可能会产生混淆或误导。
其次，DFT和FFT的分辨率取决于采样率和信号长度，这可能会导致频域分辨率较低。
数字信号处理,第六讲DFT应用
3.4 利用DFT分析连续信号的频谱
例4. 利用DFT近似分析连续信号x(t) etu(t)的 幅度频谱并与理论值比较。
解：X ( j) x(t)e jtdt 1
1 j
| X ( j) | 1 1 2
| X ( j) |
准确的频谱如图所示：
0 50
现以fs 20Hz对其抽样,抽样点数 N =20或N=100,分别进行200的DFT。
精确x(t)的幅度谱，画出DFT的幅度谱。 (2)T 0.005s, N 40或N 50，画出DFT的
幅度谱。
3.4 利用DFT分析连续信号的频谱
解：（1）由信号的构成可见，频率分辨率F=2Hz 当T=0.01s时，fs=100Hz
此时DFT的点数应满足 2, 0, 0, 0, 0; n 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7}
(1)计算X (e j ), X (k)并比较两者的关系。
(2)计算Y (e j )与Y (k)，有何结论？
3
解：(1)X (e j )
x(n)e jn
e
j
3 2
[4
cos(
3 2
)
6
cos(
1 2
)]
n03
X (k)
x(n)e
j
2 4
nk
{10, 1
j, 0, 1
j}
n0
X
(k)
X
(e
j
)
2
k
4
7
(2)Y (e j )
y(n)e jn
e
j
3 2
[4
cos(
3 2
)
6
cos(
1 2
)]
用DFT(FFT)对连续信号进行频谱分析
电子信息工程系实验报告课程名称：数字信号处理Array实验项目名称：用DFT(FFT)对连续信号进行频谱分析实验时间：班级：通信姓名： xxp 学号：一、实验目的:1．掌握用DFT（FFT）对模拟信号进行谱分析的方法，理解可能出现的分析误差及其原因，以便在实际中正确应用FFT。
2．熟悉应用FFT实现两个序列的线性卷积的方法。
二、实验原理：1．用DFT（FFT）对连续信号进行频谱分析用DFT（FFT）对模拟信号做谱分析是一种近似的谱分析。
首先一般的模拟信号(周期信号除外)的频谱是连续谱，而用FFT做谱分析得到的是数字谱，因此应该取FFT的点数多一些，用它的包络作为模拟信号的近似谱。
另外，如果模拟信号不是严格的带限信号，会因为频谱混叠现象引起谱分析的误差，这种情况下可以预先将模拟信号进行预滤，或者尽量将采样频率取高一些。
最后要注意一般的模拟信号是无限长的，分析时要截断，截断的长度与对模拟信号进行频谱分析的分辨率有关。
如果要进行谱分析的模拟信号是周期信号，最好选择观测时间是信号周期的整数倍，如果不知道信号的周期，要尽量选择观测时间长一些，以减少截断效应的影响。
在运用DFT（FFT）对模拟信号进行谱分析的过程中主要可能产生以下三种误差：(1) 混叠现象对模拟信号进行谱分析时首先要对其采样，当采样速率不满足Nyquist定理时，就会发生频谱混叠，使得采样后的信号序列频谱不能真实的反映原模拟信号的频谱。
避免混叠现象的唯一方法是保证采样速率足够高，使频谱混叠现象不致出现，即在确定采样频率之前，必须对频谱的性质有所了解，在一般情况下，为了保证高于折叠频率的分量不会出现，在采样前，先用低通模拟滤波器对信号进行滤波。
(2) 截断效应实际中我们往往用截短的序列来近似很长的甚至是无限长的序列，这样可以使用较短的DFT来对信号进行频谱分析，这种截短等价于给原信号序列乘以一个矩形窗函数，也相当于在频域将信号的频谱和矩形窗函数的频谱卷积，所得的频谱是原序列频谱的扩展。
4DFT分析信号频谱
k 0
k 0
{10, 1 j, 0, 1 j}
X [m]
X (e
j
)
2
4
m
- j.3
e2
(4 cos
3 2
6 cos
1 2
)
m
2
{10, 1 j, 0, 1 j} ，m=0,1,2,3
7
X1(e j ) DTFT{x1[k]} x1[k] e-jk x1[k] e-jk
k
k 0
m
0
N1
四、混叠现象、泄漏现象、栅栏现象
（1）混叠现象：减小抽样间隔T，抗混滤波
X
(e
j )
1 T
n
X
( j(
nsam ))
1 T
n
X
(
j1 T
(
n
2
))
x(t)
抗混滤波 抽样间隔T
x0 (t )
抽样
x0[k ] DFT X [m]
X ( j) A
X0 ( j) A
X 0(e j ) A
N=50; %数据旳长度 L=512; %DFT旳点数 f1=100;f2=150; fs=600; %抽样频率 T=1/fs; %抽样间隔 ws=2*pi*fs; t=(0:N-1)*T; f=cos(2*pi*f1*t)+0.15*cos(2*pi*f2*t); wh=(hamming(N))'; f=f.*wh; F=fftshift(fft(f,L)); w=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi); plot(w,abs(F)); ylabel('幅度谱')
频率(Hz)
海明窗
实验四 利用离散傅立叶变换(DFT)分析信号的频谱
实验四 利用离散傅立叶变换（DFT ）分析信号的频谱一、实验目的1、通过这一实验，能够熟练掌握快速离散傅里叶变换（FFT ）的原理及其用FFT 进行频谱分析的基本方法。
2、在通过计算机上用软件实现FFT 及信号的频谱分析。
3、通过实验对离散傅里叶变换的主要性质及FFT 在数字信号处理中的重要作用有进一步的了解。
二、实验原理1、离散傅里叶变换（DFT ）及其主要性质DFT 表示离散信号的离散频谱，DFT 的主要性质中有奇偶对称特性，虚实特性等。
通过实验可以加深理解。
例如：实序列的DFT 具有偶对称的实部和奇对称的虚部，这可以证明如下： 由定义∑-==10)()(N n kn NW n x k X ∑∑-=-=-=1010)2sin()()2cos()(N n N n kn N n x j kn N n x ππ ∑-=-=-10)()()(N n n k N N W n x k N X∑-=-=10)(N n kn N Nn W W n x ∑-=-=10)(N n kn N W n x ∑∑-=-=+=1010)2sin()()2cos()(N n N n kn N n x j kn N n x ππ )(*)(k N X k X -=∴实序列DFT 的这个特性，在本实验中可以通过实指数序列及三角序列看出来。
对于单一频率的三角序列来说它的DFT 谱线也是单一的，这个物理意义我们可以从实验中得到验证，在理论上可以推导如下： 设：)()2sin()(n R n N n x N π=，其DFT 为： ∑-=-=102)()(N n kn N j en x k X π kn Nj N n e n N ππ210)2sin(--=∑= kn N j N n n N j n N j e e e j πππ21022)(21--=-∑-= ∑-=+----=10)1(2)1(2)(21N n k n N j k n N j e e j ππ 从而∑-=-=-=10220)(21)0(N n n N j n N j e e j X ππ∑-=--==-=10422)1(21)1(N n n N j N j j N e j X π 0)2(=X0)2(=-N X22)(21)1(102)2(2N j j N e e j N X N n n j n N N j =-=-=-∑-=--ππ以上这串式中)0(X 反映了)(n x 的直流分量，)1(x 是)(n x 的一次谐波，又根据虚实特性)1()1(*X N X =-，而其它分量均为零。
dft的原理过程及其应用
DFT的原理过程及其应用1. 什么是DFT？DFT（Discrete Fourier Transform，离散傅里叶变换）是一种将时域信号转换为频域信号的数学算法。
它通过将一个连续时间信号分解为一系列正弦和余弦函数，来分析信号的频谱特性。
2. DFT的原理过程DFT的原理过程可以通过以下步骤进行解释：1.首先，我们有一个离散信号序列。
这个信号序列可以是离散时间域信号，也可以是连续时间信号的采样值。
2.接下来，根据信号序列的长度N，我们得到一个离散频率序列，称为频域。
频域的长度等于N。
3.然后，我们使用离散的正弦和余弦函数作为基函数，将信号序列进行线性组合。
这些基函数的频率等间隔地分布在频域中。
4.每个基函数与信号序列相乘的结果求和即得到频域中对应的频率分量。
这些频率分量表示了信号在不同频率上的能量。
5.最后，通过计算每个频率分量的幅度和相位，我们可以获得信号在频域上的频谱特性。
3. DFT的应用DFT在信号处理和频谱分析中有广泛的应用。
以下列举了一些常见的应用场景：3.1 语音信号处理在语音处理领域，DFT常用于提取语音信号的频谱特征，如音调、共振峰等。
这些特征对于语音识别、音频编解码和语音合成等任务非常重要。
3.2 图像处理在图像处理中，DFT可以将图像从空域转换到频域，通过分析图像的频谱特征，可以实现图像的滤波、增强、压缩等操作。
此外，DFT还可以用于图像编码和解码，如JPEG压缩算法中的离散余弦变换（DCT）就是一种DFT变体。
3.3 音频处理在音频处理领域，DFT常用于音频信号的频谱分析和声音特性的研究。
通过对音频信号进行DFT变换，可以获取音频信号在不同频率上的能量分布，从而实现音频合成、均衡器调节和音频特效等功能。
3.4 数字通信DFT在数字通信系统中也有重要的应用。
它可以用于频谱分析、频域均衡、频谱编码和调制解调等过程。
通过DFT，可以将数字信号从时域转换到频域，实现信道估计、多径消除和干扰抑制等关键操作。
实验一 利用DFT分析信号频谱
实验一 利用DFT 分析信号频谱一、实验目的1、加深对DFT 原理的理解。
2、应用DFT 分析信号的频谱。
3、深刻理解利用DFT 分析信号频谱的原理,分析实现过程中出现的现象及解决方法。
二、实验设备与环境计算机、MATLAB 软件环境。
三、实验基础理论1、DFT 与DTFT 的关系DFT 实际上就是DTFT 在单位圆上以k N j e zπ2=的抽样,数学公式表示为: ∑-=-===102)(|)()(2N n k N j e z e n x z X k X k N j ππ , 1,..1,0-=N k(2—1)2、利用DFT 求DTFT方法一:利用下列公式: )2()()(10∑-==-=N k k j Nk k X e X πωφω (2—2) 其中21)2/sin()2/sin()(--=N j e N N ωωωωφ为内插函数方法二:实际在MATLAB 计算中,上述插值运算不见得就是最好的办法。
由于DFT 就是DTFT 的取样值,其相邻两个频率样本点的间距为Nπ2,所以如果我们增加数据的长度N,使得到的 DFT 谱线就更加精细,其包络就越接近DTFT 的结果,这样就可以利用DFT 计算DTFT 。
如果没有更多的数据,可以通过补零来增加数据长度。
3、利用DFT 分析连续时间函数利用DFT 分析连续时间函数就是,主要有两个处理:①抽样,②截断对连续时间信号)(t x a 一时间T 进行抽样,截取长度为M,则nT j M n a t j a a e nT x T dt e t x j X Ω--=+∞∞-Ω-∑⎰==Ω)()()(10(2—3)再进行频域抽样可得 )()(|)(1022k TX enT x T j X M M n n N k j a NT k a ==Ω∑-=-=Ωππ(2—4)因此,利用DFT 分析连续时间信号的步骤如下:(1)、确定时间间隔,抽样得到离散时间序列)(n x 、(2)、选择合适的窗函数与合适长度M,得到M 点离散序列)()()(n w n x n x M =、(3)、确定频域采样点数N,要求N ≥M 。
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在matlab 中对信号进行采样，其中f1=1000Hz ，根据奈奎斯特111()cos()cos(2)s t t f t π=Ω采样定理，采样频率f>=2*f1，在此我们取f=3000Hz 在matlab 中仿真也好，实际中处理的信号也罢，一般都是数字信号。
而采样就是将信号数字化的一个过程，设将信号s1(t)数字化得到信号s1(n)=cos(2*pi*f1/f*n)，其中n=[0…N-1]，N 为采样点数。
为什么说s1(n)=cos(2*pi*f1/f*n)表示以采样率f 对频率为f1的信号进行采样的结果呢？采样，顾名思义，就是对信号隔一段时间取一个值，而隔的这段时间就是采样间隔，取其倒数就是采样率了，那们我们看s1(n)=cos(2*pi*f1/f*n)，将前面的参数代入，当n=0时,s1(0)=cos(0)，当n=1时,s1(1)=cos(2*pi*1000/3000*1)，当n=2时, s1(2)
=cos(2*pi*1000/3000*2)，当n=3时,s1(3)=cos(2*pi*1000/3000*3)，这是不是想当于对信号s1(t)的一个周期内采了三个样点呢？对一个频率为1000Hz 的信号每周期采三个样点不就是相当于以3倍于频率的采样率进行采样呢？注意，当n=3时相当于下一个周期的起始了。
我们取采样点数N=64，即对64/3=21.3个周期，共计64/3/f1=21.3ms 时长。
我们在matlab 中输入以下命令：
>> n=0:63;
>> f1=1000;f=3000;
>> s1=cos(2*pi*f1/f*n);
>> plot(abs(fft(s1)));
图1 信号频谱
下面引入一个新的概念：频率分辨率
频率分辩率是指频域取样中两相邻点间的频率间隔。
更确切的说是如果某一信号含有两个频率成分f1和f2，Of=|f2-f1|，频率分辨率的概念是如果频率分辨率大于Of，对信号进行谱分析后将不能识别出其含有两个频率成分，这两个频率将混叠在一起。
现在我们设定信号s(t)=cos(w1*t)+sin(w2*t)，其中w1=2*pi*1000，w2=2*pi*1100
在matlab中输入以下命令计算其频谱：
>> n=0:63;
>> f1=1000;f2=1100;f=3000;
>> s5=cos(2*pi*f1/f*n)+sin(2*pi*f2/f*n);
>> plot(abs(fft(s5)));
>> f1=1000;f2=1100;f=3000;
>> s=cos(2*pi*f1/f*n)+sin(2*pi*f2/f*n);
>> plot(abs(fft(s)));
05
10
15 图3采用点数为24，抽样频率为3k 信号频谱
第二种尝试：采样率fs 升为8000Hz ，即满足奈奎斯特采样定理，大于信号s(t)的最高频率分量1100Hz 的两倍，采样点个数N 不变，仍为64个，在matlab 中输入以下命令：>> n=0:63;
>> f1=1000;f2=1100;f=8000;
>> s=cos(2*pi*f1/f*n)+sin(2*pi*f2/f*n);
>> plot(abs(fft(s)));
图4 采用点数为64，抽样频率为8k 信号频谱
由图3、图4，图5可以看出，这三种尝试虽然满足奈奎斯特采样定理，但都不能分辨出两个频率分量，用前面的理论知识可以作如下分析：
第一种尝试的频率分辨率F=1/tp=fs/N=3000/24=125Hz>100Hz
第二种尝试的频率分辨率F=1/tp=fs/N=8000/64=125Hz>100Hz
因此以上两种尝试均不能分辨出频率间隔为100Hz的两个频率分量。
第三种尝试：：如图3所示，频谱很不平滑，呈很明显的折线状态，
采样率fs仍然为3000Hz，即满足奈奎斯特采样定理，大于信号s(t)的最高频率分量1100Hz的两倍，采样点个数24，补40个零，在matlab中输入以下命令：
n=0:23;
f1=1000;f2=1100;f=3000;
s5=cos(2*pi*f1/f*n)+sin(2*pi*f2/f*n);
s6=[s5,zeros(1,40)]
plot(abs(fft(s6)))
长度为tp=0.5s，则可得到的谱线为2Hz，4Hz，6Hz，8Hz，…，若信号中包含频率为7Hz的分量，则该分量将被栅栏挡住，无法显示出来。