高考数学第一轮总复习～030数列与函数的极限(1)
高考理科数学第一轮考点总复习-数列的极限PPT优质课件
1lim n2 4nn ; n
2lnim1
1 22
1
1 32
1
1 n2
;
3 lnimC22 C32 C42 Cn2(C21 C31 C41 Cn1)n;
4
3n1 lnim 3n1
an1 an1
(a＞0，且为常数).
• 解：(1)原式lim 4n lim 4 2.
• (2)原式
n n24nn n 141 n
1 q
• 1.下列极限正确的个数是( B)
① lni m n10(＞ 0); ② lni m qn0;
③ lni m 2 2n n 3 3n n1; ④ lni m CC(C为 常 数 ).
• A. 2
B. 3
• C. 4
D. 都不正确
• 解:①③④正确.故选B.
• •
2等. 于ln (i m ［ n C) 1 1 3 1 1 4 (1 1 5 ) (1 n 12 )］
22 1
lim
n
22
•
32 1 32
•
42 1 42
••
n2 1 n2
1• 3
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n
22
•
2•4 32
•
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••
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n2
1
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n 2n 2
• (3)原式=
lim
n
2
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n
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2
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2
1 1
高三数学数列、函数的极限及函数的连续性知识精讲
高三数学数列、函数的极限及函数的连续性【本讲主要内容】数列、函数的极限及函数的连续性数列与函数的极限定义、极限的四则运算、函数的连续性【知识掌握】【知识点精析】 （一）数列极限 1. 概念考察以下三个数列当n 无限增大时，项a n 的变化趋势：.,101,,101,101,10132 n ① .,1,,43,32,21 n n ② .,)1(,,31,21,1 nn ③（1）随着n 的增大，从数值变化趋势上看，a n 有三种变化方式：数列①是递减的,② 是递增的，③是正负交替地无限趋近于a.（2）随着n 的增大，从数轴上观察项a n 表示的点的变化趋势，也有三种变化方式:① 是从点a 右侧，②是从点a 左侧，③是从点a 两侧交替地无限趋近于a ．（3）随着n 的增大，从差式∣a n －a ∣的变化趋势上看，它们都是无限地接近于0，即a n 无限趋近于a ．这三个数列的共同特性是：不论这些变化趋势如何，“随着项数n 的无限增大，数列项a n 无限地趋近于常数a （即∣a n －a ∣无限地接近于0）”．定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列 n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a 时，（即a a n 无限地接近于0），那么就说数列 n a 以a 为极限，或者说a 是数列 n a 的极限。
表示为a a lin n n2. 数列极限的表示方法：① a a n nlim ②当 n 时，a a n .3. 几个常用极限：①C C nlim （C 为常数）②),(01lim是常数k N k n kn③对于任意实常数， 当1|| a 时，0limnn a当1 a 时，若a ＝1，则1limn n a ；若1 a ，则nn n n a )1(lim lim不存在当1 a 时，nn alim 不存在（二）函数极限研究函数的极限，首先考虑自变量x 的变化方式有哪些． 1. x →∞时，函数)(x f 的极限 考察函数f(x)＝1，当x →＋∞和x →－∞时，函数的变化趋势 （1）当x →＋∞时，从图象和表格上看，函数y ＝x的值无限趋近于0．就是说 函数y ＝x 1上的极限为0，记作01lim xx（2）当 x 时，类似地可得函数xy 1的值无限趋近于0，就是说，当 x 时，函数xy 1的极限为0，记作01lim x x（3）还可以从差式│y －0│上看，随着x →＋∞ (或x →－∞),差式无限趋近于0，即函数y ＝x1无限趋近于0，这说明01lim x x (或01lim x x )函数f(x)的变化趋势与极限的关系见下表：几种特殊函数的极限：（1）常数函数f(x)＝C (C 为常数,x ∈R),有C x f x)(lim（2）函数xx f 1)(（x ≠0）,有01lim x x .2. x →x 0时，函数)(x f 的极限例1. 考察函数y ＝x 2，当χ无限趋近于2时，函数的变化趋势．①从表一上看：自变量x<2趋近于2(x 2)时，y 4． 从表二上看：自变量x>2趋近于2(x 2)时，y 4．②从图象上看：图象见教科书第79页，自变量x 从左侧趋近于2(即x 2)和从右侧趋近于2(即x 2)时，y 都趋近于4．③从差式|y －4|看：差式的值变得任意小(无限接近于0)．从任何一方面看，当x 无限趋近于2时，函数y ＝x 2的极限是4．记作： 2lim x x 2＝4注意：x 2，包括分别从左、右两侧趋近于2．例2. 考察函数112 x x y (x ≠1),当x 1时的变化趋势.分析：此例虽然在x ＝1处没有定义，但仍有极限．即：2)1(lim 11lim121 x x x x x 定义：一般地，当自变量x 无限趋近于常数0x （但不等于0x ）时，如果函数)(x f 无限趋近于一个常数a ，就是说当x 趋近于0x 时，函数)(x f 的极限为a ．记作a x f x x )(lim 0或当0x x 时，a x f )(.注：当0x x 时，)(x f 是否存在极限与)(x f 在0x 处是否有定义无关，因为0x x 并不要求0x x ．（当然，)(x f 在0x 处是否有定义也与)(x f 在0x 处是否存在极限无关．故函数)(x f 在0x 有定义是)(lim 0x f x x 存在的既不充分又不必要条件．）如1111)(x x x x x P 在1 x 处无定义，但)(lim 1x P x 存在，因为在1 x 处左右极限均等于零．3. 函数)(x f 的左、右极限例3 考察函数f(x)＝x x 01).0(),0(),0(时当时当时当 x x x 当x 0 时，或x 0 时函数的变化趋势．分析： 此例与上两例不同，x 从原点某一侧无限趋近于0，f(x)也会无限趋近于一个确定的常数．但从不同一侧趋近于0，f(x)趋近的值不同，这时f(x)在x 0处无极限．定义：如果x 从x ＝x 0的单侧无限趋近于x 0时，f(x)无限趋近于一个常数a ，那么a 叫做f(x)单侧的极限．当x x0时，f(x)的极限a 1叫做左极限，记作1x x a )x (f lim 0；当x x0时，f(x)的极限a 2叫右极限，记作2x x a )x (f lim 0．只有a 1＝a 2时，a x f x x )(lim 0才存在。
高中数学知识点总结数列极限与函数极限
高中数学知识点总结数列极限与函数极限高中数学知识点总结：数列极限与函数极限数学是一门基础性的学科，而数学中的数列极限与函数极限在高中阶段被广泛研究和应用。
本文将对高中数学中的数列极限与函数极限进行总结和解析。
以下是各章节的内容：一、数列极限数列极限是高中数学中的重要概念，它在解析几何、微积分等数学领域中都有着重要的应用。
数列极限的定义是指当数列的项趋于无穷大时，数列中的元素也趋于某个确定的数。
数列极限可以分为收敛和发散两种情况。
1. 收敛数列收敛数列是指当数列的项趋于无穷大时，数列中的元素趋于某个确定的数。
收敛数列的定义涉及到两个重要概念：极限和无穷大。
在对数列进行分析时，可以通过计算数列的通项公式或者观察数列的性质来确定数列的极限。
2. 发散数列发散数列是指当数列的项趋于无穷大时，数列中的元素趋于无穷大或者无穷小。
发散数列在数学中也有重要的研究价值，它们常常与函数极限或者无穷小量相联系。
二、函数极限函数极限是指当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于某个确定的数。
函数极限也分为收敛和发散两种情况。
1. 左极限和右极限函数在一点的左极限是指当自变量趋向于这个点时，函数值从左边逼近的极限值。
同理，右极限是指当自变量趋向于这个点时，函数值从右边逼近的极限值。
左极限和右极限在研究函数的连续性和间断点时起着重要的作用。
2. 无穷极限当自变量趋于无穷大时，函数的极限被称为无穷极限。
无穷极限有正无穷和负无穷两种情况。
通过研究函数的无穷极限，可以了解函数在无穷远处的行为特征。
三、数列极限与函数极限的关系数列极限和函数极限实际上是密切相关的。
当函数的自变量取数列中的元素，并且这个数列收敛时，函数的极限可以与数列的极限相联系。
这种联系在高等数学的各个领域中都有着重要的应用。
综上所述，数列极限与函数极限是高中数学中的重要知识点。
通过深入理解数列极限和函数极限的概念以及它们之间的关系，可以更好地应用于解决实际问题和推导更高级的数学理论。
高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习及答案)_g31030数列与函数的极限(1).
g3.1030数列与函数的极限（1）一、知识回顾1、 数列极限定义（1）定义：设{a n }是一个无穷数列，a 是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N ，使得只要正整数n>N ，就有|a n -a|<ε，那么就称数列{a n }以a 为极限，记作lim ∞→n a n =a 。
对前任何有限项情况无关。
*（2）几何解释：设ε>0，我们把区间(a-ε，a+ε)叫做数轴上点a 的ε邻域；极限定义中的不等式|a n -a|<ε也可以写成a-ε<a n <a+ε，即a n ∈(a-ε，a+ε)；因此，借助数轴可以直观地理解数列极限定义：不论a 点的ε邻域怎么小，数列{a n }从某一项以后的所有项都要进入这个邻域中，也可以说点a 的任意小的ε邻域(a-ε，a+ε)中含有无穷数列{a n }的几乎所有的项，而在这个邻域之外至多存在有限个项，由此可以想像无穷数列{a n }的项是多么稠密地分布在点a 的附近。
2、几个常用极限①lim ∞→n C=C （常数列的极限就是这个常数） ②设a>0，则特别地 01lim=∞→nn ③设q ∈(-1，1)，则lim ∞→n q n=0；;1lim ,1==∞→n n q q ,1-=q 或nn q q ∞→>lim ,1不存在。
若无穷等比数列1,,,,11<-q aq aq a n 叫无穷递缩等比数列，其所有项的和（各项的和）为：qa s s n n -==∞→1lim 13、数列极限的运算法则 如果lim∞→n a n =A ，lim ∞→n b n =B ，那么(1)lim ∞→n (a n ±b n )=A ±B (2)lim ∞→n (a n ·b n )=A ·B(3)lim ∞→n n n b a =BA(B ≠0) 极限不存在的情况是1、±∞=∞→n n a lim ；2、极限值不唯一，跳跃，如1，-1，1，-1…. 注意：数列极限运算法则运用的前提: (1)参与运算的各个数列均有极限;(2)运用法则,只适用于有限个数列参与运算,当无限个数列参与运算时不能首先套用. 二.基本训练1、n n n n 2312lim 22++∞→= ；22322lim n n n n n→∞+++=2、135(21)lim 2462n n n→∞+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=_________________3．已知a 、b 、c 是实常数，且acn can b cn c bn c bn c an n n n ++=--=-+∞→∞→∞→2222lim ,3lim ,2lim 则的值是………（ ）A.121B.61C.23 D.6 4．已知a 、b 都是实数，且a>0，如果0)(lim =+∞→nn ba b ，那么a 与b 的关系是………………（ ）A.a<2bB.－a<2bC.－a<bD.－a<b<2a5.在等比数列中，a 1>1,前项和S n 满足11lim n n S a →∞=，那么a 1的取值范围是……………………（ ）（A ）（1，＋∞） （B ）（1，4） （C ）（1，2） （D ）（16.等比数列｛a n ｝中，a 1=－1,前n 项和为S n ，若10531,32S S =则lim n n S →∞=………………………（ ） （A ）23 （B ）－23（C ）2 (D)－2 三、例题分析例1求下列极限(1)lim ∞→n (1223-n n -122+n n ) (2)lim∞→n [n (1+n -n )] (3)lim ∞→n (21n +24n +27n +…+223n n -) (4)lim∞→n )1()1()1()1(11n n n n a a a a a a -+--+--+(a ≠1)例2：已知)413(22limn bnan cn n n -+++∞→=5，求常数a 、b 、c 的值。
高中数学中的数列极限知识点总结
高中数学中的数列极限知识点总结数列是高中数学中的重要概念，而数列的极限是数学分析的核心内容之一。
我们在学习数列时，需要理解和掌握数列极限的相关概念和性质，以提升数学思维和解题能力。
本文将对高中数学中的数列极限知识点进行总结，并提供一些例题进行讲解。
1. 数列与数列极限的基本概念数列是由一列数按照一定规律排列而成的，可以用数学公式表示为 {an}，其中n表示序号，an表示第n项。
对于数列来说，我们常常关注的是数列的极限。
数列极限是指数列在无限项情况下逐渐接近的数值，可以用极限符号lim表示。
当数列的极限存在时，我们可以通过计算极限值来求解相关问题。
2. 数列极限的性质数列极限具有以下性质：(1) 唯一性：数列的极限值唯一，即一个数列只有唯一一个极限值。
(2) 有界性：如果数列有极限，那么它一定是有界的，即数列的项在某一范围内。
(3) 保号性：如果数列的极限值大于0（或小于0），那么数列的部分项也大于0（或小于0），反之亦然。
(4) 夹逼性：如果数列的每一项都被两个趋于相同极限的数列夹逼，那么它们的极限也相同。
3. 数列极限的计算方法在实际运用中，我们常常需要计算数列的极限。
对于一些简单的数列，我们可以通过常用的计算方法求解。
(1) 常数数列的极限等于该数列的常数项。
例如：数列 {an} = {2, 2, 2, ...} 的极限等于2。
(2) 等差数列的极限等于首项（a1）。
例如：数列 {an} = {1, 3, 5, ...} 的极限等于1。
(3) 等比数列的极限在一定条件下存在，存在时等于首项乘以公比（ |r| < 1）。
例如：数列 {an} = {2, 1, 0.5, ...} 的极限等于0。
4. 数列极限的收敛与发散数列极限可以分为收敛和发散两种情况。
(1) 收敛：如果数列的极限存在，我们称数列是收敛的。
(2) 发散：如果数列的极限不存在，我们称数列是发散的。
例如：数列 {an} = {1, -1, 1, -1, ...} 是发散的，因为其极限不存在。
高中数学知识点归纳数列与函数的极限
高中数学知识点归纳数列与函数的极限高中数学知识点归纳：数列与函数的极限数列与函数的极限是高中数学中的重要部分，它们涉及到数学分析和数学推理的重要思想。
本文将对数列和函数的极限理论进行归纳总结，以帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、数列的极限数列是由一系列实数按照一定规律排列而成的序列。
在数学中，数列的极限是指随着自变量无限接近某个值时，函数值的变化趋势。
下面将分别介绍数列的极限的两个重要概念。
1.1 数列的收敛对于数列{an}，如果存在实数a，使得对于任意给定的正数ε（无论多么小），都存在一个正整数N，使得当n>N时，满足|an - a| < ε，那么称数列{an}收敛于a，记为lim（n→∞）an = a。
简单来说，数列的极限是指数列中的元素随着序号的增大无限接近一个固定的值。
1.2 数列的发散如果不存在实数a，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，当n>N时，满足|an - a| < ε，那么称数列{an}发散。
换句话说，发散的数列没有随着序号的增大趋于一个确定的数。
二、函数的极限函数是一种关系：对于给定的自变量值，通过某种规则可以确定唯一的函数值。
函数的极限是指当自变量无线贴近某个值时，函数值的变化趋势。
下面将介绍函数的极限的概念。
2.1 函数在无穷远处的极限对于定义在区间(a, +∞)上的函数f(x)，如果存在实数L，对于任意给定的正数ε，存在实数M，当x>M时，满足|f(x) - L| < ε，那么称函数f(x)在无穷远处的极限为L，记为lim（x→+∞）f(x) = L。
2.2 函数在有限点的极限对于定义在区间(a, b)上的函数f(x)，如果存在实数L，对于任意给定的正数ε，存在一个实数δ，当0 < |x - x0| < δ时，满足|f(x) - L| < ε，那么称函数f(x)在点x0处的极限为L，记为lim（x→x0）f(x) = L。
年高考第一轮复习数学.新编函数的极限
13.3 函数的极限●知识梳理1.函数极限的概念：（1）如果+∞→x lim f （x ）=a 且-∞→x lim f （x ）=a ,那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f （x ）的极限是a ,记作∞→x lim f （x ）=a ,也可记作当x →∞时，f （x ）→a.（2）一般地，当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x 不等于x 0）时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋近于x 0时，函数f （x ）的极限是a ,记作0lim x x →f （x ）=a ,也可记作当x →x 0时，f （x ）→a .（3）一般地，如果当x 从点x =x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数f （x ）在点x 0处的左极限，记作-→0lim x x f （x ）=a .如果从点x =x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数 f （x ）在点x 0处的右极限，记作+→0lim x x f （x ）=a .2.极限的四则运算法则：如果0lim x x → f （x ）=a , 0lim x x →g （x ）=b ,那么lim x x →[f （x ）±g （x ）]=a ±b ; 0lim x x →[f （x ）·g （x ）]=a ·b ; 0lim x x →)()(x g x f =ba（b ≠0）. 特别提示（1）上述法则对x →∞的情况仍成立； （2）0lim x x →[Cf （x ）]=C 0lim x x →f （x ）（C 为常数）;（3）0lim x x →[f （x ）]n =[0lim x x →f （x ）]n （n ∈N *）.●点击双基1.+→0lim x x f （x ）=-→0lim x x f （x ）=a 是f （x ）在x 0处存在极限的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案:C2.f （x ）=⎩⎨⎧<≥,10,12x x x 下列结论正确的是A.)(lim 1x f x +→=-→1lim x f （x ）B.)(lim 1x f x +→=2，)(lim 1x f x -→不存在C.+→1lim x f （x ）=0, )(lim 1x f x -→不存在D.+→1lim x f （x ）≠-→1lim x f （x ）答案:D3.函数f （x ）在x 0处连续是f （x ）在点x 0处有极限的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案:A4.（2005年西城区抽样测试） 1lim →x x x x x --+222=________________.解析: 1lim →x xx x x --+222=1lim →x )1()2)(1(-+-x x x x =1lim →x x x 2+=3. 答案:35.若1lim →x 3322+++x ax x =2,则a =__________.解析: 1lim →x 3322+++x ax x =2, ∴44+a =2.∴a =4. 答案:4●典例剖析【例1】求下列各极限：（1） 2lim →x （)21442---x x ；（2）∞→x lim （))((b x a x ++－x ）；（3） 0lim→x ||x x； （4） 2πlim→x .2sin2cos cos x x x-剖析:若f （x ）在x 0处连续，则应有0lim x x → f （x ）=f （x 0）,故求f （x ）在连续点x 0处的极限时，只需求f （x 0）即可；若f （x ）在x 0处不连续，可通过变形，消去x －x 0因式，转化成可直接求f （x 0）的式子.解:（1）原式＝2lim →x 4)2(42-+-x x ＝2lim→x 21+-x =－41. （2）原式=∞→x limxab x b a x ab x b a ++++++)()(2=a +b .（3）因为+→0lim x ||x x =1,而=-→0lim x ||x x =－1，+→0lim x ||x x ≠-→0lim x ||x x , 所以0lim →x ||x x不存在．（4）原式=2πlim→x 2sin 2cos 2sin 2cos 22x x x x --＝2πlim →x （cos 2x +sin 2x ）＝2.思考讨论数列极限与函数极限的区别与联系是什么？ 【例2】 （1）设f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=>+→,021;)(lim ,,00,020x x f b x x bx xx 存在使的值试确定;（2）f （x ）为多项式,且∞→x lim x x x f 34)(-=1,0lim →x xx f )(=5,求f （x ）的表达式.解:（1）+→0lim x f （x ）= +→0lim x （2x +b ）=b ,-→0lim x f （x ）= -→0lim x （1+2x ）=2,当且仅当b =2时, +→0lim x f （x ）= -→0lim x f （x ）,故b =2时,原极限存在.（2）由于f （x ）是多项式,且∞→x lim xx x f 34)(-=1,∴可设f （x ）=4x 3+x 2+ax +b （a 、b 为待定系数）.又∵0lim →x xx f )(=5,即0lim →x （4x 2+x +a +xb）=5, ∴a =5,b =0,即f （x ）=4x 3+x 2+5x .评述:（1）函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同. （2）初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化.【例3】 讨论函数f （x ）= ∞→n limnn xx 2211+-·x （0≤x ＜+∞）的连续性，并作出函数图象.部析:应先求出f （x ）的解析式，再判断连续性.解:当0≤x ＜1时，f （x ）= ∞→n lim ⋅+-nnx x 2211x =x ;当x ＞1时，f （x ）= ∞→n limnnx x 2211+-·x =∞→n lim 111122+-n nxx ·x =－x ;当x =1时，f （x ）=0.∴f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<≤).1(),1(0),10(x x x x x i ∵+→1lim x f （x ）=+→1lim x （－x ）=－1,-→1lim x f （x ）= -→1lim x x =1, ∴1lim →x f （x ）不存在.∴f （x ）在x =1处不连续，f （x ）在定义域内的其余点都连续. 图象如下图所示.评述:分段函数讨论连续性，一定要讨论在“分界点”的左、右极限，进而判断连续性. ●闯关训练 夯实基础1.已知函数f （x ）是偶函数,且-∞→x lim f （x ）=a ,则下列结论一定正确的是A. +∞→x lim f (x )=－a B. +∞→x lim f （x ）=aC. +∞→x lim f (x )=|a | D. -∞→x lim f （x ）=|a |解析：∵f （x ）是偶函数,∴f （－x ）=f （x ）. 又-∞→x lim f （x ）=a ,+∞→x lim f （－x ）=a ,f （x ）=f （－x ）,∴+∞→x lim f （－x ）= +∞→x lim f （x ）=a .答案：B2.（2004年全国Ⅱ，理2）1lim →x 54222-+-+x x x x 等于A.21B.1C.52D.41 解析:∵122lim ,52)5)(1()2)(1(542→∴++=+-+-=-+-+x x x x x x x x x x x 54222-+-+x x x x =21.答案:A3.已知函数y =f （x ）在点x =x 0处存在极限,且+→0lim x x f （x ）=a 2－2,-→0lim x x f （x ）=2a +1,则函数y =f（x ）在点x =x 0处的极限是____________.解析:∵y =f （x ）在x =x 0处存在极限,∴+→0lim x x f （x ）=-→0lim x x f （x ）,即a 2－2=2a +1.∴a =－1或a =3.∴0lim x x → f （x ）=2a +1=－1或7.答案:－1或7 4.若f （x ）=11113-+-+x x 在点x =0处连续，则f （0）=__________________.解析:∵f （x ）在点x =0处连续， ∴f （0）=0lim →x f （x ）,lim →x f （x ）= 0lim→x 11113-+-+x x= 0lim→x 1111)1(332++++++x x x =23. 答案:235.已知函数f （x ）=∞→n limnnn n xx +-22，试求:（1）f （x ）的定义域，并画出图象；（2）求--→2lim x f （x ）、+-→2lim x f （x ）,并指出2lim -→x f （x ）是否存在.解:（1）当|x |＞2时，∞→n limn n nnx x +-22=∞→n lim 1)2(1)2(+-nnxx =－1; 当|x |＜2时，∞→n lim n n n n x x +-22=∞→n lim nn x x )2(1)2(1+-=1; 当x =2时，∞→n lim nn nn x x +-22=0;当x =－2时，∞→n lim nn nn x x +-22不存在.∴f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-<>-).22(1),2(0),22(1x x x x 或∴f （x ）的定义域为{x |x ＜－2或x =2或x ＞2}. 如下图:（2）∵--→2lim x f （x ）=－1,+-→2lim x f （x ）=1.∴2lim -→x f （x ）不存在.6.设函数f （x ）=ax 2+bx +c 是一个偶函数,且1lim →x f （x ）=0,2lim -→x f （x ）=－3,求出这一函数最大值.解:∵f （x ）=ax 2+bx +c 是一偶函数, ∴f （－x ）=f （x ）, 即ax 2+bx +c =ax 2－bx +c . ∴b =0.∴f （x ）=ax 2+c .又1lim →x f （x ）= 1lim →x ax 2+c =a +c =0, 2lim -→x f （x ）=2lim -→x ax 2+c =4a +c =－3,∴a =－1,c =1.∴f （x ）=－x 2+1.∴f （x ）max =f （0）=1. ∴f （x ）的最大值为1. 培养能力7.在一个以AB 为弦的弓形中,C 为的中点,自A 、B 分别作弧AB 的切线,交于D 点,设x 为弦AB 所对的圆心角,求ABDABCx S S ∆∆→0lim.解：设所在圆圆心为O ,则C 、D 、O 都在AB 的中垂线上,∴∠AOD =∠BOD =2x.设OA =r .S △ABC =S 四边形AOBC －S △AOB =r 2sin 2x －21r 2sin x =r 2sin 2x （1－cos 2x ）,S △ABD =S 四边形AOBD －S △AOB =r 2tan 2x －21r 2sin x =r 22cos2sin 3x x.∴0lim→x ABD ABCS S ∆∆=0lim →x 2cos2sin )2cos 1(2sin322x xr xx r -=0lim→x 2cos 12cos x x +=21. 8.当a ＞0时,求0lim→x bb x a a x -+-+2222.解:原式=0lim→x ))()(())()((222222222222a a x b b x b b x b b x a a x a a x ++++-+++++-+=0lim→x ))(())((2222222222a a x b b x b b x a a x ++-+++-+=0lim→x aa xb b x ++++2222=aa bb ++|||| =⎪⎩⎪⎨⎧>≤).0(),0(0时当时当b a b b探究创新9.设f （x ）是x 的三次多项式，已知a x 2lim →=a x x f 2)(-=a x 4lim →ax x f 4)(-=1. 试求a x 3lim →ax x f 3)(-的值（a 为非零常数）.解:由于a x 2lim →ax x f 2)(-=1,可知f （2a ）=0. ①同理f （4a ）=0. ②由①②，可知f （x ）必含有（x －2a ）与（x －4a ）的因式，由于f （x ）是x 的三次多项式，故可设f （x ）=A （x －2a ）（x －4a ）（x －C ）.这里A 、C 均为待定的常数.由a x 2lim →ax x f 2)(-=1,即 =ax 2lim →A （x －4a ）（x －C ）=1,得A （2a －4a ）（2a －C ）=1,即4a 2A －2aCA =－1. ③同理，由于a x 4lim →ax x f 4)(-=1,得A （4a －2a ）（4a －C ）=1,即8a 2A －2aCA =1. ④ 由③④得C =3a ,A =221a, 因而f （x ）=221a （x －2a ）（x －4a ）（x －3a ）. ∴a x 3lim →a x x f 3)(-=a x 3lim →221a （x －2a ）（x －4a ） =221a·a ·（－a ）=－21.●思悟小结 1. ∞→x lim f （x ）=A ⇔+∞→x lim f （x ）= -∞→x lim f （x ）=A ,lim x x →f （x ）=A ⇔+→0lim x x f （x ）=-→0lim x x f （x ）=A .2.函数f （x ）在x 0处连续当且仅当满足三个条件： （1）函数f （x ）在x =x 0处及其附近有定义； （2）0lim x x →f （x ）存在；（3） 0lim x x →f （x ）=f （x 0）.3.会熟练应用常见技巧求一些函数的极限. ●教师下载中心 教学点睛1.在讲解过程中，要讲清函数极限与数列极限的联系与区别，借助于函数图象讲清连续性的意义.2.函数极限比数列极限复杂之处在于它有左、右极限，并有趋近于无穷大和趋近于常数两类，需给予关注.3.在求函数极限时，需观察，对不能直接求的可以化简后求，但提醒学生要注意类似于+∞→x limx x 12+与-∞→x lim xx 12+的区别. 拓展题例【例1】 设f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>≤+),0(e ),0(25x k x k x x 为常数问k 为何值时，有0lim →x f （x ）存在？解: -→0lim x f （x ）=2k , +→0lim x f （x ）=1,∴要使0lim →x f （x ）存在，应有2k =1.∴k =21.【例2】 a 为常数，若+∞→x lim （12-x －ax ）=0,求a 的值.解:∵+∞→x lim （12-x －ax ）= +∞→x limaxx x a x +---112222=+∞→x limaxx x a +---11)1(222=0,∴1－a 2=0.∴a =±1.但a =－1时，分母→0, ∴a =1.。
高中数学中的数列极限与函数极限
高中数学中的数列极限与函数极限数列极限和函数极限是高中数学中的重要概念，在数学分析中有着广泛的应用。
本文将介绍数列极限和函数极限的定义和性质，并通过示例和推导来加深理解。
一、数列极限的定义与性质数列是按照一定规律排列的数的序列，而数列极限则是指数列随着索引（通常是正整数）趋于无穷大时的极限值。
我们用符号来表示数列极限，记为lim(aa)=a，其中aa表示数列的第a项。
在数列极限的定义中，有两个重要的要素：趋于无穷大和极限值。
当数列的值越来越接近于某个常数a时，我们说数列的极限为a。
具体而言，对于任意给定的正实数a（ε），存在正整数a（N）使得当a>N 时，aa与a之间的差值小于a，即|aa−a|<a。
这种形式的定义表明数列极限的存在性和唯一性。
对于数列极限的性质，我们有以下结论：1. 常数数列的极限等于该常数本身：lim(a)=a，其中a为任意常数。
2. 收敛数列（即存在极限的数列）的极限唯一。
3. 若数列收敛，则数列必有界，即存在一个正数a（M），使得对于任意的a，都有|aa|≤a。
这个结论可以通过使用极限的定义及三角不等式来证明。
二、函数极限的定义与性质与数列极限类似，函数极限描述的是函数随着自变量趋于某个值时，函数值的变化趋势。
我们用lim(a→a)a(a)=a来表示函数极限，其中a(a)表示函数的表达式，a为自变量趋向的值，a为极限值。
函数极限的定义可以类比于数列极限的定义。
对于任意给定的正实数a（ε），存在正实数a（δ）使得当0＜|a−a|<a时，有|a(a)−a|<a。
这个定义表明函数极限的存在性。
与数列极限类似，函数极限也具有唯一性、局部有界性等性质。
此外，我们还有以下性质：1. 若lim(a→a)a(a)=a_1，lim(a→a)a(a)=a_2，则lim(a→a)(a(a)±a(a))=a_1±a_2。
2. 若lim(a→a)a(a)=a，则lim(a→a)aa(a)=aa，其中a为任意常数。
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g3.1030数列与函数的极限（1）一、知识回顾1、 数列极限定义（1）定义：设{a n }是一个无穷数列，a 是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N ，使得只要正整数n>N ，就有|a n -a|<ε，那么就称数列{a n }以a 为极限，记作lim ∞→n a n =a 。
对前任何有限项情况无关。
*（2）几何解释：设ε>0，我们把区间(a-ε，a+ε)叫做数轴上点a 的ε邻域；极限定义中的不等式|a n -a|<ε也可以写成a-ε<a n <a+ε，即a n ∈(a-ε，a+ε)；因此，借助数轴可以直观地理解数列极限定义：不论a 点的ε邻域怎么小，数列{a n }从某一项以后的所有项都要进入这个邻域中，也可以说点a 的任意小的ε邻域(a-ε，a+ε)中含有无穷数列{a n }的几乎所有的项，而在这个邻域之外至多存在有限个项，由此可以想像无穷数列{a n }的项是多么稠密地分布在点a 的附近。
2、几个常用极限①lim ∞→n C=C （常数列的极限就是这个常数） ②设a>0，则特别地 01lim=∞→nn ③设q ∈(-1，1)，则lim ∞→n q n=0；;1lim ,1==∞→nn q q ,1-=q 或nn q q ∞→>lim ,1不存在。
若无穷等比数列1,,,,11<-q aq aq a n 叫无穷递缩等比数列，其所有项的和（各项的和）为：qa s s n n -==∞→1lim 13、数列极限的运算法则 如果lim∞→n a n =A ，lim ∞→n b n =B ，那么(1)lim ∞→n (a n ±b n )=A ±B (2)lim ∞→n (a n ·b n )=A ·B(3)lim ∞→n n n b a =BA(B ≠0) 极限不存在的情况是1、±∞=∞→n n a lim ；2、极限值不唯一，跳跃，如1，-1，1，-1…. 注意：数列极限运算法则运用的前提: (1)参与运算的各个数列均有极限;(2)运用法则,只适用于有限个数列参与运算,当无限个数列参与运算时不能首先套用. 二.基本训练1、n n n n 2312lim 22++∞→= ；22322lim n n n n n→∞+++= 2、135(21)lim2462n n n→∞+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=_________________3．已知a 、b 、c 是实常数，且a cn can b cn c bn c bn c an n n n ++=--=-+∞→∞→∞→2222lim ,3lim ,2lim 则的值是………（ ）A .121 B .61 C .23D .6 4．已知a 、b 都是实数，且a >0，如果0)(lim =+∞→nn ba b ，那么a 与b 的关系是………………（ ）A .a <2bB .－a <2bC .－a <bD .－a <b <2a5.在等比数列中，a 1>1,前项和S n 满足11lim n n S a →∞=，那么a 1的取值范围是……………………（ ）（A ）（1，＋∞） （B ）（1，4） （C ）（1，2） （D ）（16.等比数列｛a n ｝中，a 1=－1,前n 项和为S n ，若10531,32S S =则lim n n S →∞=………………………（ ） （A ）23 （B ）－23（C ）2 (D )－2 三、例题分析例1求下列极限(1)lim ∞→n (1223-n n -122+n n ) (2)lim ∞→n [n (1+n -n )] (3)lim ∞→n (21n +24n +27n +…+223n n -) (4)lim∞→n )1()1()1()1(11n n n n a a a a a a -+--+--+(a ≠1) 例2：已知)413(22limn bnan cn n n -+++∞→=5，求常数a 、b 、c 的值。
例3．设数列a 1，a 2，…，a n ，…的前n 项的和S n 和a n 的关系是nn n b ba S )1(11+--=，其中b 是与n 无关的常数，且b ≠―1（1）求a n 和a n －1的关系式； （2）写出用n 和b 表示a n 的表达式;（3）当0<b <1时，求极限n n S ∞→lim例4、已知数例{a n }前n 项之和S n =1+ka n （k 为不是0、1的常数）。
(1)用n ，k 表示a n ； (2)若lim ∞→n S n =1，求k 的取值范围。
例5、某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？备用:某县地处水乡，县政府原计划从今年起填湖围造一部分生产和生活用地。
但根据前几年抗洪救灾得到的经验教训和环境保护、生态平衡的要求，准备重新研究修改计划。
为了寻求合理的计划方案，需要研究以下问题：(1)若按原计划填湖造地，水面的减少必然导致蓄水能力的下降。
为了保证防洪能力不会下降，除了填湖费用外，还需要增加排水设备费用，所需经费与当年所填湖造地的面积x （亩）的平方成正比，其比例系数为a 。
又知每亩水面的年平均经济收益为b 元，填湖造地后的每亩土地的年平均经济收益为c 元（其中a ，b ，c 均为常数）。
若按原计划填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，试求所填面积x 的最大值。
(2)如果以每年1%的速度减少填湖造地的新增面积，并为保证水面的蓄洪能力和环保要求，填湖造地的总面积永远不能超过现有水面面积的41，求今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的百分之几？解析：(1)收入不小于支出的条件可以表示为：cx-(ax 2+bx)≥0 即ax 2+(b-c)x ≤0，x[ax-(c-b)] ≤0当c-b ≤0时，abc -≤x ≤0，此时不能填湖造地 当c-b>0时，0≤x ≤a b c -，此时所填面积的最大值为abc -亩。
(2)设该县现有水面为m 亩，今年填湖造地的面积为x 亩，则x+(1-1%)x+(1-1%)2x+…+(1-1%)n x+…≤4m不等式左边是无穷等比数列的和，故有99.01-x ≤4m ，即x ≤400m=0.25%m今年填湖造地的面积最多只能占有水面的0.25%。
[思维点拔]此列应用数极限解决实际问题。
三、课堂小结1、极限的四则运算，要特别注意四则运算的条件是否满足。
2、极限运算最终转化为lim ∞→n q n=0(|q|<1)，nn 1lim∞→=0，lim ∞→n C=C(C 为常数) 3、本节复习内容是数列极限在代数，平面几何、三角、解析几何中的综合应用，尤其要注意公式S=qa -11的运用。
四、作业g3.1030数列与函数的极限（1）1．已知a 、b 是互不相等的正数，则=+-∞→nnnn n b a b a lim A .1 B .－1或1 C .0 D .－1或0 2．a n 是(1+x )n 展开式中含x 2的项的系数，则)111(lim 32nn a a a +⋅⋅⋅++∞→等于A .2B .1C .21 D .31 3．已知数列{a n }中，a 1=1，2a n +1=a n (n =1，2，3…)，则这个数列前n 项和的极限是A .2B .21 C .3 D .314. （05广东卷）已知数列{}n x 满足122x x =，()1212n n n x x x --=+，3,4,n =…．若lim 2n n x →∞=，则 x 1等于 () （Ａ）32（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）５ 5. （05湖南卷）已知数列{log 2(a n －1)}（n ∈N *）为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5，则nn n a a a a a a -++-+-+∞→12312l i m111( ）= （ ）A ．2B ．23C ．1D ．21 6.．（05浙江卷）lim n →∞2123nn++++ ＝( ) (A) 2 (B) 4 (C) 21(D)07．0<a <1,计算.______)1()1)(1)(1(lim 242=+⋅⋅⋅+++∞→nn aa a a8．首项为1，公比为q (q >0)的等比数列前n 项和为S n ，则.______lim1=+∞→n nn S S9．s 和t 分别表示(1+2x )n 和(1+3x )n 展开式中各项系数和，则._____lim=+-∞→ts ts n10．有一系列椭圆，满足条件：（1）中心在原点；（2）以x =2为准线；（3）离心率),2,1()21(⋅⋅⋅==n e n n 。
则所有这些椭圆的长轴长之和为__________________.11. （05山东）2222lim __________(1)n n nn C C n -→∞+=+9．求极限：).632632632632(lim 333222nnn n ++⋅⋅⋅++++++∞→10．已知S n =2+ka n 为数列的前n 项和，其中k 为不等于1的常数。
（1）求a n ； （2）若2lim =∞→n n S ，求k 的取值范围.答案例1. (1)41 (2) 21 (3) 23 (4)当|a|<1时，原式=1；当|a|>1时，原式=a ；当a=-1时极限不存在 例2. a=0，b=43，c=415例3. 111(1)(1);(2);(3)lim 1.1(1)(1)(1)n n n n n n n n b b b b a a a S b b b b -++→∞-=+===+-+ 例4. (1) a n =k -11(1-k k )n-1 .(2) k<21例5.每年新增汽车不应超过3.6万辆。
作业1—6. BAABCC. 7、1.1a - 8、1或1.q9、-1. 10、2. 11、3.2 12、3.2 13、1.2k <。