08级数理统计试卷B

中南大学考试试卷
2009——2010学年第一学期 （2010.2） 时间：100分钟
《数理统计》 课程 24学时 1.5 学分 考试形式：闭卷
专业年级：2008级(第三学期) 总分：100分
一、填空题（本题15分，每题3分）
1、设n X X X ,,,21 是取自总体)1,0(~2N X 的样本,则∑==n
i i X Y 12
~________；
2、设总体),(~2σμN X ，X 是样本均值，则)(X D ________；
3、设总体),(~2
σμN X ，若μ未知,2σ已知，n 为样本容量，总体均值μ的置信水平为
α-1的置信区间为),(λσ
λσ
n
X n
X +
-
，则λ的值为________；
4、设总体),(~2σμN X ,2σ已知，在显著性水平0.01下，检验假设0100:,:u H u H ≠=μμ， 拒绝域是________；
5、设总体0],,0[~>θθU X 为未知参数，n X X ,,1 是来自X 的样本，则未知参数θ的矩估计量是______。

1、)(2
n χ； 2、
n
2
σ
； 3、2
αZ ； 4、05.0z z ≥ ； 5、X 2
二、选择题（本题15分，每题3分）
1、设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则（
）
（A ）Y X +服从正态分布
（B ）22
Y X +服从2
χ布 （C ）2
2
Y X 和都服从2
χ分布
（D ）2
2
/Y X
都服从F 分布
2、设)9,1(~N X ，921,...,,X X X 为取自总体X 的一个样本，则有（ ）。

（A ）)1,0(~11N X - （B ）
)1,0(~3
1N X -
（C ）
)1,0(~9
1N X - （D ）
)1,0(~3
1N X -
3、设X 服从参数为p 的(0-1)分布，0>p 是未知参数，n X X X ,...,,21为取自总体X 的样本，X 为样本均值，2
1
2
)(1X X n
S
i
n
i n
-=
∑=，则下列说法错误的是（ ）。

（A ）X 是p 的矩估计 （B ）2n S 是)(X D 的矩估计
（C ）2X 是)(2X E 的矩估计
（D ）)1(X X -是)(X D 的矩估计
4、设总体)4,(~μN X ,由它的一个容量为25的样本，测得样本均值10=x ，在显著性水平0.05下进行假设检验，()975.0)96.1(=Φ，则以下假设中将被拒绝的是（ ）。

（A ）90=μ：H （B ）5.90=μ：H （C ）100=μ：H （D ）5.100=μ：H 5、设总体),(~2σμN X ,样本容量为n ，已知在显著性水平0.05下，检验00:μμ≥H ,
01:μμ<H 的结果是拒绝0H ，那么在显著性水平0.10下，检验0100:,:u H u H ≠=μμ
的结果（ ）。

（A ）一定接受0H （B ）一定拒绝0H （C ）不一定接受0H （D ）不一定拒绝0H 1、C ； 2、A ； 3、C ； 4、A ； 5、B.
三、（本题14分） 设灯泡寿命X 服从参数为θ的指数分布，其中0>θ未知，抽取10只测得寿命（单位：h ）990=x ，求：（1）θ的极大似然估计量；（2）}1290{>X P 的矩估计值。

（本题14分）解：
(1) 似然函数为 01
),(1
>=-
=∏
i x n
i i x e
x L i
，θ
θ
θ
∑
=--=n
i i x n L 1
1
ln ln θ
θ，令
01
)
(ln 2
1
=+-
=∑=θ
θ
θ
n
i i x n
d L d ，
得x x n
n
i i ==
∑
=1
1
ˆθ， 即θ的极大似然估计量为X =θˆ。

（2）由于θ=)(X E ，得990ˆ==x θ，而)1(1}{1}{θ
x
e
x X P x X P ---=≤-=>，
所以}1290{>X P 的矩估计值为33
43990
1290-
-=e
e。

四、（本题14分）假设0.50,1.25,0.80,2.00是来自总体X 的样本值，已知X Y ln =)1,(~μN 。

（1）求μ的置信水平为0.95的置信区间；（2）求)(X E 的置信水平为0.95的置信区间；（645.105.0=z ，96.1025.0=z ）。

（本题14分）解：
（1）μ的置信区间为⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
+
-
22
1
,1ααz n y z n
y 。

0)2ln 8.0ln 25.1ln 5.0(ln 41
=+++=y ,
故总体均值μ的置信区间为(-0.98, 0.98)。

（2）dy e
e
y d e
e y d y
f e e E X E y y y
y Y 2
)]
1([2
1
22
)
(2
2
2121)()()(+--
∞
+∞
-+∞
+∞
---
∞
+∞
-⎰⎰⎰==
==μμμπ
π
2
1+
=μe
；
由于2
1+
μe
是μ的单调增加函数，所以2
1)(+
=μe X E 的置信区间为)(2
12
1+
+
μμe
e
，，
即为)(48.148.0e e ，-。

五、（本题10分）为了考查某厂生产的水泥构件的抗压强度（kg/cm 2），抽取了25件样品进行测试，得到平均抗压强度为415（kg/cm 2），根据以往资料，该厂生产的水泥构件的抗压
强度)20(~2
，
μN X ，试求μ的置信水平为0.95的单侧置信下限； （645.105.0=z ，96.1025.0=z ）。

（本题10分）解： μ的单侧置信下限为ασ
μz n
x -
=，μ= 408.44，
即以0.95的置信水平断定水泥构件的抗压强度至少为408.44（kg/cm 2）
六、（本题14分）随机地从一批钉子中抽取16枚，测得：125.2=x （以厘米计）， 设钉长服从正态分布，求总体均值μ的90%的置信区间： （1）若已知01.0=σ厘米；（2）若σ为未知。

（645.105.0=z ，96.1025.0=z ，7531.1)15(05.0=t , 1315.2)15(025.0=t ）。

解：(1) 已知σ=0.01，当α=0.10时，取2
αZ =1.645，
于是 2
ασ
Z n
x ±
=2.125±1.645×
4
01.0=2.125±0.004，
故总体均值μ的90%的置信区间为(2.121, 2.129)。

(2) 未知σ，当α=0.10时，取t 0.05(15)=1.7531， 于是 2
αt n
s x ±
(n －1)=2.125±
16
1711.0×1.7531=2.125±0.0075
故总体均值μ的90%的置信区间为(2.1175, 2.1325)。

七、（本题10分）在漂白工艺中要考察温度对针织品断裂强度的数据，在70℃和80℃下分
别重复作了8次试验，设两种温度下断裂强度分别为X ，Y ，测得数据（单位：kg ）为：
8.5,4.19,2.6,4.202
2
====Y X S y S x ；问是否可以认为70℃下的断裂强度与80℃下的断裂强
度有相同的方差？（99.4)7.7(,05.0025.0==F α）
解：选用F 检验。

作出假设H 0 :2221σσ=，H 1 : 2
221σσ≠。

对α=0.05， 2
αF (n 1–1, n 2–1)=F 0.025(7.7)=4.99，
2
1α
-
F
(n 1–1，n 2–1)=F 0.975(7.7)=
99
.41)
7.7(1025.0=
F =0.20。

于是,拒绝域为F ≥4.99或F ≤0.20。

经计算，得 F =22
Y
X
S S 的观测值为：069.18
.52.6==
F 没有落在拒绝域内，故接受H 0。

八、（本题8分）设总体X 服从[θθ2,]上的均匀分布，证明：θˆ为参数θ的无偏估计。

证明：∵ 总体X 服从[θθ2,]上的均匀分布，
∴ f(x)=⎪⎩⎪
⎨⎧0
1θ 其它θθ2≤≤x ∴ E （x ）=22θθ+ =23θ
而E(θˆ) = E(X 32) =32E(X ) =32E(
∑=n
i i
X
n
1
1
) = θ ，故 θˆ为θ的无偏估计。