高等数理统计试题
高校统计学专业数理统计期末考试试卷及答案
高校统计学专业数理统计期末考试试卷及答案
第一部分：选择题（共60分）
请在每道题目后面括号内选择正确答案并填写在答题卡上。
1. 下列哪个统计指标可以用于描述数据的集中趋势？
A. 标准差
B. 方差
C. 中位数
D. 偏度
（ ）
2. 某班级的人数的平均值为65，标准差为4。如果一个同学的分数在80分的位置上，其标准化分数为多少？
A. -3.75
B. -3
C. 3
D. 3.75
（ ） 3. 对于一个正态分布，大约有多少个观测值在平均值的两个标准差范围内？
A. 68%
B. 95%
C. 99.7%
D. 100%
（ ）
4. 下列哪个检验方法可以用于比较两个样本均值是否有显著性差异？
A. 卡方检验
B. 方差分析
C. T检验
D. 相关分析
（ ）
5. 对于一组数据，如果众数、中位数和平均数三者相同，则数据呈现什么类型的分布？
A. 正态分布
B. 偏态分布
C. 均匀分布 D. 无法确定
（ ）
第二部分：填空题（共40分）
请在下列每道题目的空格内填写正确答案。
1. 离散型随机变量的概率质量函数是由______给出的。
2. 两个事件相互独立时，它们的联合概率等于______。
3. 在正态分布中，标准差为1，均值为0的分布称为______。
4. 在假设检验中，如果p值小于显著性水平α，则拒绝______假设。
5. 相关系数的取值范围为______。
6. 在回归分析中，自变量对因变量的解释程度可以通过______来衡量。
7. 当两个事件相互独立时，它们的联合概率等于______。
8. 当置信区间越窄时，对于参数估计的精确度越______。
第三部分：简答题（共100分）
请简要回答下列问题。
1. 请解释什么是统计学，并简要介绍统计学在实际生活中的应用场景。
安徽大学《概率论与数理统计》2020-2021学年第二学期期末试卷A
安徽大学2020-2021学年第二学期数理统计期末考试试卷(A卷)
出卷人:王学军
1填空题
(5小题×2分=10分)
1.设X1,X
2,···,X
n相互独立,且X
i∼N(µ
i,σ2),i=1,2,···,n.则1
σ2n
i=1(X
i−µ
i)2的分布为.
2.设随机变量X∼t(10),已知P(X2>x
0)=0.05,则x
0=.
3.已知某型号的导线电阻值服从N(µ,σ2).现测量16次,算得¯X=1
nn
i=1X
i=10.78Ω,S∗=
1
n−1n
i=1(X
i−¯X)2=1.40Ω,
则均值µ的置信水平1−α=0.95的置信区间为.其中t
0.025(15)=2.131,t
0.05(15)=1.753.
4.设X1,X
2,···,X
m是来自Bernoulli分布总体B(n,p)的简单随机样本,¯X=1
mm
i=1X
i,S∗=
1
m−1m
i=1(X
i−¯X)2.
若¯X+kS2
∗是np2的无偏估计,则k=.
5.设总体X的概率密度函数为f(x;θ),X1,X
2,···,X
n是来自总体的简单随机样本.
考虑假设H
0:θ=θ
0↔H
1:θ=θ
1的UMP检验,利用似然比检验法,拒绝域为.
2选择题
(5小题×2分=10分)
6.设X1,X
2,···,X
n是来自总体U(θ
1,θ
2)的简单随机样本,其中θ
1已知,θ
2未知,则是统计量.
A.X1+X
n+¯X−θ
2B.min(X1,X
2,X
3)+θ
1C.¯X−θ
1θ2
2D.S2−θ
1θ2
2
7.总体X∼N(µ,σ2
0),σ2
0已知.样本容量n不变时,若置信度1−α减小,则µ的置信区间.
A.长度变小B.长度变大C.长度不变D.以上都有可能
8.设X1,X
2,X
3,X
4是来自总体N(0,4)的简单随机样本,若,则随机变量X=a(X
1−2X
2)2+b(3X
3−4X
4)2
的分布为χ2分布.
A.a=1
12,b=1
28B.a=1
20,b=1
100C.a=1
30,b=1
概率论与数理统计 中国科学院大学硕士研究生入学考试试题
中国科学院大学
2020年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：概率论与数理统计
考生须知：
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
本试卷可能用到的常数：分别以()Z，2()n
表示标准正态分布、卡方分布的上
分位数，(0.005)2.57Z，(0.01)2.33Z，(0.025)1.96Z，(0.05)1.65Z，
2
0.05(7)14.067，2
0.05(8)15.507，2
0.05(8)16.919。
1.(20分）设有n个事件1,,
nAA，其概率分别为1,,
npp，设01ip，
1,,in.
(1)试用数学归纳法证明：
11nn
ii
iiPAp
；
(2)设n个事件1,,
nAA独立，记1nppp.证明：事件“1,,
nAA都不发
生”的概率小于pe。
2.(10分）一个均匀骰子有两面涂成白色，有四面涂成黑色。抛掷这个骰子直至首次出现白色为止。试问：游戏至少持续四次或更多次数的概率是多少？
科目名称：概率论与数理统计第1页共3页3.(15分)小王外出可以乘坐飞机、高铁、轮船、汽车四种交通工具，其概率分
别为5%、15%、30%、50%，乘坐几种交通工具如期到达的概率依次为90%、90%、
70%、60%。
(1)求小王如期到达的概率；
(2)已知小王误期到达，求他乘坐高铁的概率。
4.(10分）设随机变量X的概率密度为22,0
()
0,xx
fx
其他，定义随机变量
sinYX。求Y的概率密度()
Yfy。
5.(15分）设随机变量X与Y相互独立且均服从指数分布，其密度函数为
()
0, 0
xxefx
，
其他。XY和X
Y是否独立？说明理由或给出证明。
6.(15分）设随机向量(,)XY有概率密度函数22
22,1
1(,)
0,cxy
xyfxy
概率论与数理统计期末考试试卷答案
概率论与数理统计期末考试试卷答案
数理统计练习 ⼀、填空题1、设 A 、 B 为随机事件，且 P (A)=0.5 ， P (B)=0.6 ，P (B A)=0.8 ，则 P (A+B)=__ 0.7 __ 。
80 2
2、某射⼿对⽬标独⽴射击四次，⾄少命中⼀次的概率为 80 ，则此射⼿的命中率 2 。
81 3
3、设随机变量 X 服从[0 ， 2] 上均匀分布，则 D(X) 1/3 。
[E(X)]2
4、设随机变量 X 服从参数为 的泊松( Poisson )分布，且已知 E[(X 1)(X 2)] ＝1， 则 ___1 。
5、⼀次试验的成功率为 p ，进⾏ 100 次独⽴重复试验，当 p 1/2 _______ 时 ， 成功次数的⽅差的值最⼤，最⼤值为 25 。
6、(X ，Y )服从⼆维正态分布 N( 1, 2, 12, 22, )，则 X 的边缘分布为 N( 1, 12)
7、已知随机向量( X ，Y )的联合密度函数
3 xy 2, 0 x 2,0 y 1
，则f (x, y ) 2
0, 其他
8、随机变量 X 的数学期望 EX ，⽅差 DX
2
，k 、b 为常数，则有 E(kX b)=22
D(kX b)=k 2 2
。9、若随机变量 X ～N ( －2，4)，Y ～N (3 ，9)，且 X 与 Y 相互独⽴。设 Z ＝2X －Y ＋5， 则 Z ～ N(-2, 25) 。
10、 ?1, ?2是常数 的两个 ⽆偏 估计量，若 D(?1) D( ?2 ) ，则称 ?1⽐ ?2有效。
1、设 A 、 B 为随机事件，且 P ( A )=0.4, P ( B )=0.3, P ( A ∪ B )=0.6 ，则 P ( AB )=_0.3__ 。
2、设 X B (2, p )，Y B (3, p )，且 P {X ≥ 1}= 5 ，则 P {Y ≥ 1}= 19 。
9 27
3、设随机变量 X 服从参数为 2的泊松分布，且 Y =3X -2, 则E ( Y )=4
安徽大学《概率论与数理统计B》2020-2021学年第一学期期末考试试卷B卷
第 1 页 共 6 页 安徽大学20 20—20 21学年第 1 学期 《概率论与数理统计B》考试试卷（B卷） （闭卷 时间120分钟） 考场登记表序号 一、选择题（每小题3分，共15分） 1. 设BA,为两个随机事件，且0)(ABP，则下列结论中一定正确的是( ). A. A与B互不相容 B. AB是不可能事件 C. AB未必是不可能事件 D. 0)(AP或0)(BP 2. 设4(1,1)9PXY
, 5(1)(1)9PXPY, 则(min{,}1)PXY( ). A. 13 B. 2081 C. 49 D. 23 3.设1()Fx与2()Fx分别为随机变量1X与2X的分布函数. 为使12()()FxaFxbFx是某一变量的分布函数, 在下列给定的各组数值中应取( ). A. 32,55ab B. 22,33ab C. 13,22ab D. 13,22ab 4. 设X是随机变量, 且EX, )0(2DX, 则对任意常数c, 恒有( ). A. 222)(cEXcXE B. 22)()(XEcXE C. 22)()(cXEXE D. 22)()(XEcXE 5. 设总体X服从正态分布2,N，其中已知，2未知，nXXX,,,21是取自总体X的一个简单随机样本，则下列样本函数中不是统计量的是( ). A. iniX1max B. niiX12 C. niiXn11 D. niiXn121 题 号 一 二 三 四 总分 得 分 阅卷人 得分
院/系 年级 专业 姓名 学号
答 题 勿 超 装 订 线
------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------
概率论与数理统计+试卷与答案
《概率论与数理统计》期末考试试题（A）专业、班级：姓名：学号：
题号一二三四五六七八九十十一十二总成绩
得分
一、单项选择题(每题3分共18分)
（1）
.0)(,0)(;;0)(0)();(( ).,0)(
ABPAP(D)BA(C)BPAP(B)BA(A)ABPBA
则同时出现是不可能事件与或互不相容互斥与则以下说法正确的是适合、若事件
（2）设随机变量X其概率分布为X-1012
P0.20.30.10.4
则}5.1{XP（）。
(A)0.6(B)1(C)0(D)
21
（3）设事件
1A与
2A同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是（）
（A）)()(
21AAPAP
（B）1)()()(
21APAPAP
（C）)()(
21AAPAP
（D）1)()()(
21APAPAP
（4）
).54,0);46,0();3,0();5,0(~,72,),1,2(~),1,3(~
(D)N(C)N(B)N(A)ZYXZYXNYNX
则令相互独与且设随机变量
(N立).(
（5）设
nXXX,,
2,1为正态总体),(2
N的一个简单随机样本，其中
,2
未知，则（）是一个统计量。
(A)2
12
n
iiX(B)2
1)(
n
iiX
(C)
X(D)
X
（6）设样本
nXXX,,,
21来自总体22
),,(~
NX未知。统计假设
为。：已知）（：
01000
HH则所用统计量为（）
(A)
nX
U
0
(B)
nSX
T0
(C)
22
2)1(
Sn
(D)
n
iiX
12
22
)(1
二、填空题(每空3分共15分)
（1）如果)()(,0)(,0)(APBAPBPAP，则)(ABP.
（2）设随机变量X的分布函数为
.0 ,)1(1,0 ,0
)(
xexx
xF
x
则X的密度函数)(xf
,，)2(XP3e^-2.
（3）
.ˆ
,________,ˆ
3ˆ
2ˆˆ
,ˆ
东北林业大学2018-2019学年第2学期期末《概率论与数理统计》考试试题及答案
第1页共2
页东北林业大学
2018－2019学年第二学期期末考试试题
考试科目：概率论与数理统计试卷总分：100分考试时间：120分钟占总评比例：40%
题号一二三四五六卷面分
得分
评卷教师
（注:试卷所有结果写到答题纸上的相应位置,一定不要写错位置和写出边框外,并工整清晰
作答！）
一、单选题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）
1、设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则下列结论正确的是（）
(A)XY
服从正态分布(B)22XY
服从2
分布
(C)2X
和2Y
都服从2
分布(D)2
2X
Y服从F
分布
2、设总体X2,(
N
），
未知时对
进行检验：
00:H
，
10:H
此时应选取的统计量是（）(A)0X
U
n
(B)0X
T
Sn
(C)2
0
2
1
2
0()
=n
i
iX
(D)2
2
2
0(1)
=nS
3、设
1210,,,XXX
为来自正态总体2(0,)N
的简单随机样本，则使随机变量
310
22
14()()ii
iiYaXbX
服从自由度为2的2
分布的,ab
的值为()
(A)
2211
37ab
(B)11
37ab
(C)2237ab
(D)37ab
4、设ˆ
是参数
的无偏估计量，ˆ
0()D
，则下列结论必定成立的是（）
(A)2ˆ
()
是2
的无偏估计量(B)2ˆ
()
是2
的矩估计量
(C)2ˆ
()
是2
的有偏估计量(D)2ˆ
()
是2
的一致估计量
5、设总体2~(,)XN
，则
的置信区间长度L
与置信度1
的关系是（）。
(A)1
减小时，L
变小(B)1
减小时，L
增大
(C)1
减小时，L
不变(D)1
减小时，L
增减不能确定
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）
1、,
分别是假设检验中犯第一类，第二类错误的概率，且
0H
,
1H
分别为原假设和备选
假设，则
00()=PHH接受为真
；
2、设
12,,,
mXXX
为来自二项分布总体(,)Bnp
北京交通大学《概率论与数理统计》2018-2019学年第二学期期末考试B卷
2018-2019学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷（B卷）
第1页共9页北京交通大学
2018~2019学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（B卷）
一．（本题满分8分）
将三封信随机投入编号为1、2、3、4的四个信箱，记X为1号信箱内信的数目，Y表示有信的信箱
数目，求：二维随机变量
YX，的联合分布律（5分）及随机变量X与Y各自的边缘分布律（3分）．
解：
X的可能取值为0，1，2，3；Y的可能取值为1，2，3．
YX，的联合分布律以及X与Y各自的边缘分布律为Y
X123
ip
0
643
6418
646
6427
10
649
6418
6427
20
649
0
649
3
641
00
641
jp
644
6436
6424
二．（本题满分8分）
设二维随机变量
YX，的联合密度函数为
其它，
0122yxycx
yxf
⑴试确定常数c（4分）；⑵求随机变量X的边缘密度函数
xf
X（4分）．
解：
⑴
211
2
14
1
21
xfxydxdydxcxydyc
，
所以，
421
c．2018-2019学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷（B卷）
第2页共9页⑵当11x时，
421
21
821
421
2xxydyxdyyxfxf
xX
，
因此，X的边缘密度函数为
其它0111
821
42xxx
xf
X
三．（本题满分8分）
某人有n把钥匙，其中只有一把能打开他的房门，他逐个试开，试过的不再重试．令X表示试开次
数，求随机变量X的数学期望
XE（4分）与方差
XD（4分）．
解：
随机变量X的取值为n,,2,1，并且
nkXP1
，
nk,,2,1．
21
21111
111
nnn
nk
nnkkXPkXEn
kn
kn
k，
6121
6121111
12
12
122
概率论与数理统计期末考试试卷
第 1 页 共 12 页 一、填空题：（每题3分，共30分.请把答案填在题中横线上.）
1．设
CBA,,是三个随机事件，则事件“
CBA,,不同时发生”可以表示
为： .
2. 三个人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少
有一个人能将此密码译出的概率是____________.
3．设离散型随机变量
X的分布函数为
()Fx,则
PaXb= .
4．设
X
的概率密度函数是1
11
()10.5
2
0x
fxPX
，则
其它 .
5．若
(2,4)XN，令
__________Y,则
(0,1)YN.
6. 设随机变量
X的方差
()DX存在，则
()DX
.
7．已知随机变量
X有2
(),()EXDX
，根据契比雪夫不等式，则
3PX
.
8．已知离散型随机变量
X服从参数为2的泊松分布，则
()DX .
9．设
12,,
nXXX是来自总体
X的样本，则
11n
i
iXX
n
，2
S .
10．评价估计量的标准有无偏性、有效性和 .
1．用3个机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.5，0.3，0.2，各机床加工的
零件为合格品的概率分别为0.94，0.9，0.95，求全部产品中的合格率.
2．已知随机变量
X的分布律为124
0.50.30.2X
p
，求
()Fx及
12.5PX
.
3．设连续型随机变量X的分布函数为2
0
()
0x
ABex
Fx
其它，试求：（1）A、B的值;（2）概率
密度函数()fx.
4. 已知随机变量X、Y相互独立，二维随机变量(,)XY的联合概率分布如下，请将表内空白处填
入适当的数.
试卷装订
线 第 2 页 共 12 页
5. 袋中有2只黑球，2只白球，3只红球，从中任取2
只，用表示取到黑球的只数，以
表示取到白球的只数（1）求
(,)的联合分布律; （2）求
(2)P
安徽大学2020-2021第一学期概率论与数理统计论与数理统计A期末考试卷及参考答案
1 安徽大学2020—2021学年第一学期
《概率论与数理统计A》期末考试试卷（A卷）参考答案及评分标准
一、填空题（每小题3分，共15分）
1．0.8； 2．0111
22Y
； 3．1
2；
4．22+； 5．1.65
二、选择题（每小题3分，共15分）
6．C； 7．B； 8．C； 9．A； 10．D
三、计算题（每小题10分，共60分）
11．解：(1) 由1
21
d)(
02==−kxxk
2 =k，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分
(2) 2
2 0 0
2
()()d , 0
1 xx
xx
Fxfttx
x
−
==−
，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分
12．解：
(1) Z的密度函数为
−
=
其他 , 022 , 4/1
)(z
zf
，
,
41
}1{}1,1{}1,1{=−=−=−=−=ZPZZPYXP
,0}1,1{}1,1{=−==−=ZZPYXP
,
21
}11{}1,1{}1,1{=−=−=−==ZPZZPYXP
,
41
}1{}1,1{}1,1{==−===ZPZZPYXP
所以X 和Y的联合概率分布为
Y
X
1−
1
1−
1 4/1
0
2/1
4/1
．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分
(2) ,
32
4321
}1{}1,1{
}1|1{==
=−==
==−=
XPYXP
XYP
2 .
31
}1{}1,1{
}1|1{=
===
===
XPYXP
XYP
．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分
13．解：此人每天等车时间超过10分钟也即步行上班的概率为
2
5
10ede
51
)10(−−+
==xXPx
，
故 )e,5(~2−
BY.
．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分
他一周内至少有一次步行上班的概率为
52
)e1(1)1(−
−−=YP.
．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分