高中数学必修一函数解题方法
必修一数学必考题型及答题方法
必修一数学必考题型及答题方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数学作为一门理科必修课程，对于学生来说是一个必考的科目。
必修一数学主要包括函数、导数、微分、积分等内容，其中考试题型也比较多样化。
在备考必修一数学考试时，掌握各种题型及答题方法是非常重要的。
本文将针对必修一数学的必考题型及相应的答题方法进行分析与总结。
1. 函数与极限函数与极限是必修一数学中一个非常重要的题型，通常考察的内容包括函数的性质、极限的计算以及极限存在性的判断。
在应对这类题型时，需要注意以下几点答题方法：- 对于函数的性质，需要掌握函数的定义域、值域、奇偶性等基本概念，并能够应用这些概念解决实际问题。
- 在计算极限时，需要掌握常见极限的计算方法，如利用洛必达法则、泰勒展开等方法，同时要注意极限存在性的判断。
- 针对极限存在性的判断，需要掌握夹逼定理、单调有界准则等方法，以判断函数在某点的极限是否存在。
2. 导数与微分导数与微分是必修一数学中另一个重点考察的内容，通常考察的内容包括导数的计算、导数的应用、微分的计算等。
在应对这类题型时，需要注意以下几点答题方法：- 计算导数时，要掌握基本函数的导数计算方法，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数计算公式。
- 在导数的应用中，需要注意应用题的建模、解题过程，并掌握利用导数分析函数的单调性、凹凸性以及求取最值等问题。
- 对于微分的计算，要掌握微分的定义及微分运算规则，并能够熟练应用微分进行问题的求解。
3. 积分与定积分积分与定积分是必修一数学中另一个重要的考察内容，通常考察的内容包括积分的计算、定积分的应用、面积计算等。
在应对这类题型时，需要注意以下几点答题方法：- 对于积分的计算，要掌握不定积分的计算方法，如基本积分法、换元积分法、分部积分法等，同时要注意积分的性质和常见积分的计算结果。
- 在应用题中，要能够熟练应用定积分计算曲线下面积、旋转体的体积、物理问题中的积分应用等内容。
高一数学函数解题技巧
高一数学函数解题技巧上了高中以后，数学这门课程基本上都离不开函数的学习，考试内容也会围绕函数来考察。
经了解，高中数学必须要掌握基本初等函数以及相关的变形，方能提高分数。
那么，高一数学函数解题技巧有哪些?下文中将会做出介绍。
高一数学函数解题技巧有哪些?解题方法一：代入法代入法主要有两种方式，一种是出现在选择题中，就是直接把题目的答案选项带入到题目中进行验证，这也是相对比较快的一种办法，另外一种就是求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数，带入函数的表达公式或者函数的性质，直接性的求解题目，通常适用于填空题，难度也也不会太大。
解题方法二：单调性法单调性是在求解函数至于或者最值得时候很常见的一种高效解题的方法，函数的单调性是函数的一个特别重要的性质，也是每年高考考察的重点。
但是不少同学由于对基础概念认识不足，审题不清，在解答这类题时容易出现错解。
下面对做这类题时需注意的事项加以说明，以引起同学们的重视。
解题方法三：待定系数法待定系数法解题的关键是依据已知变量间的函数关系，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是根据所给条件来确定这些未知系数，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
运用待定系数法解答函数问题的基本步骤是：1、首先要确定所求问题含有待定系数的解析式;2、根据题目中恒等的条件，列出一组含待定系数的方程;3，用函数的基本性质解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
解题方法四：换元法换元法主要用于解答复合函数题型问题，把一个小的函数表达式用一个变量来表现的形式称为换元法，运用换元法解题可以降低题目的难度，便于观察和理解。
解题方法五：构造方程法不管哪种函数性坏死，函数的方程在运用中无疑是可以降低解题难度的，所以构造函数的方程也是经常会用到的一种解题技巧，特别是在高考解答题压轴题中，构造函数这个步骤也是可以取得很高分数的，所大家必须要重视构造函数法这个技巧。
高中数学必修1基本函数题型的必杀技：图像法解题
基本函数题型的必杀技：图像法 （必修1）此法没有什么特别的技巧，总之只要能画出图像，就能适用，而且必定一击即杀！ 例1 判断此命题是否为真命题： 解析：此题为一个选择中的一个项目。
咋一看很难判断，其实你只要沉下心来，去画题目的指数函数和对数函数的图像，很容易一目了然解决大小问题。
然后发现其实这道题里图像很好画。
如下图，x12⎛⎫ ⎪⎝⎭取两个点为()0,1和131132⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，13log x 取两个点为()1,0和1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，则图像为很明显可以看出来，结论成立，为真命题例2 设函数，则满足的的取值范围是（ ）。
A:B:C:D:解析：我们分类讨论如下：（1）1a ≥此时()22af a =≥ 此时()()()22222a a f a ff a == 此时()()()2f a f f a =成立（2）1a <()31f a a =-①()23113f a a =-≥≥即a 此时()()()3131222f a a a ff a --== 显然()()()2f a f f a =成立②()23113f a a =-<即a<此时()()()()3133119422f a a f f a a a -=--=-= 现在我们来考察下当23a <时，3a 194a --与2可能相等否，直接画图即可。
对于9a-4，我们取两点为()0,4-和2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭，对于312a -我们取两点为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭，画图如下显然这两个函数在23a <时不可能相等。
综上，我们应该取23a ≥，选C 例3 已知函数，若存在实数使得函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）。
A:B:C:D: 解析：注意到分段函数的每一段的单调性都是很容易确定的，因此考虑把图像画出来。
易知2log (2)x -在[0,)k 上递减。
且当x=0时，2log (2)1x -=，32x =时，2log (2)1x -=-， x=1时，2log (2)0x -=，因此画出2log (2)x -的图像我们可以取三个点，为()30,1,(1,0),(,1)2-。
部编版高中数学必修一第五章三角函数解题方法技巧
(名师选题)部编版高中数学必修一第五章三角函数解题方法技巧单选题1、已知sin (α−π3)+√3cosα=13，则sin (2α+π6)的值为（ ） A ．13B ．−13C ．79D ．−79答案：D解析：利用两角和与差的正弦公式，诱导公式化简已知等式可得cos(α−π6)=13，进而利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解．因为sin (α−π3)+√3cosα=12sinα−√32cosα+√3cosα=12sinα+√32cosα =sin (α+π3)=sin (π2+α−π6)=cos (α−π6)=13，所以sin (2α+π6)=sin (π2+2α−π3)=cos (2α−π3)=2cos 2(α−π6)−1=2×(13)2−1=−79，故选：D2、筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m ，筒车转轮的中心O 到水面的距离为2m ，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（即P 0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .设盛水筒M 从点P 0运动到点P 时所经过的时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为h （单位：m ），则点P 第一次到达最高点需要的时间为（ ）s .A ．2B ．3C ．5D ．10答案：C分析：设点P离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+2，根据题意求出A,ω,φ，再令ℎ(t)=6可求出结果. 设点P离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+2，依题意可得A=4，ω=8π60=2π15，φ=−π6，所以ℎ(t)=4sin(2π15t−π6)+2，令ℎ(t)=4sin(2π15t−π6)=6，得sin(2π15t−π6)=1，得2π15t−π6=2kπ+π2，k∈Z，得t=15k+5，k∈Z，因为点P第一次到达最高点，所以0<t<2π2π15=15，所以k=0,t=5s.故选：C3、已知某摩天轮的旋转半径为60米，最高点距地面135米，运行一周大约30分钟，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则第10分钟时他距地面大约为（）A．95米B．100米C．105米D．110米答案：C分析：设函数关系式为f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,φ∈[0,2π))，根据题意求得各参数得解析式，然后计算f(10)可得．设该游客在摩天轮上离地面高度f(t)（米）与时间t（分钟）的函数关系为f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,φ∈[0,2π))，由题意可知A=60，B=135−60=75，T=2πω=30，所以ω=π15，即f(t)=60sin(π15t+φ)+75．又f(0)=135−120=15，得sinφ=−1，故φ=3π2，所以f(t)=60sin(π15t+3π2)+75=−60cosπ15t+75，所以f(10)=−60×cos2π3+75=105．故选：C．4、若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（）A ．5−1sin1B ．1sin1+32C ．5sin11+sin1D ．5+51+sin1答案：C分析：先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆半径r 的等式，由此求解出r 的值.设扇形的半径为R ，圆心角为α，面积为S ，因为2R +αR =20， 所以S =12αR 2=(10−R )R ≤(10−R+R 2)2=25，取等号时10−R =R ，即R =5，所以面积取最大值时R =5,α=2， 如下图所示：设内切圆圆心为O ，扇形过点O 的半径为AP ，B 为圆与半径的切点， 因为AO +OP =R =5，所以r +rsin∠BPO =5，所以r +rsin1=5， 所以r =5sin11+sin1， 故选：C.5、若f (x )=cos (x −π3)在区间[−a,a ]上单调递增，则实数a 的最大值为（ ） A ．π3B ．π2C ．2π3D ．π 答案：A分析：先求出函数的增区间，进而建立不等式组解得答案即可.易知将函数y =cosx 的图象向右平移π3得到函数f (x )=cos (x −π3)的图象，则函数f (x )=cos (x −π3)的增区间为[−23π+2kπ,π3+2kπ](k ∈Z )，而函数又在[−a,a ]上单调递增，所以{−a ≥−23πa ≤π3⇒a ≤π3，于是0<a ≤π3，即a的最大值为π3. 故选：A.6、已知函数f(x)=2sin(ωx−π6)（ω>12，x∈R），若f(x)的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，则ω的取值范围是（）A．(12,23]∪[89,76]B．(12,1724]∪[1718,2924]C．[59,23]∪[89,1112]D．[1118,1724]∪[1718,2324]答案：C分析：由已知得12×2πω≥4π−3π，kπ+π2≤3ωπ−π6，且kπ+π+π2≥4ωπ−π6，解之讨论k，可得选项.因为f(x)的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，所以12×2πω≥4π−3π，所以12<ω≤1，故排除A，B；又kπ+π2≤3ωπ−π6，且kπ+π+π2≥4ωπ−π6，解得3k+29≤ω≤3k+512,k∈Z，当k=0时，29≤ω≤512,不满足12<ω≤1，当k=1时，59≤ω≤23,符合题意，当k=2时，89≤ω≤1112,符合题意，当k=3时，119≤ω≤149,不满足12<ω≤1，故C正确，D不正确，故选：C.小提示：关键点睛：本题考查根据正弦型函数的对称性求得参数的范围，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，解之讨论可得选项.7、《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为π4m，肩宽约为π8m，“弓”所在圆的半径约为54m，则掷铁饼者双手之间的距离约为（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）（）A ．1.012mB ．1.768mC ．2.043mD ．2.945m 答案：B分析：由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其弦长，即可求解.如图所示，由题意知“弓”所在的弧ACB⌢ 的长l =π4+π4+π8=5π8，其所对圆心角α=5π854=π2，则两手之间的距离|AB |=2|AD |=2×54×sin π4≈1.768(m )． 故选：B ．8、若角α的终边上一点的坐标为(1，−1)，则cosα=( ) A ．−1B ．−√22C ．√22D ．1 答案：C分析：根据任意角三角函数的定义即可求解.∵角α的终边上一点的坐标为(1，−1)，它与原点的距离r =√12+(−1)2=√2， ∴cosα=xr =√2=√22，多选题9、若sinα+√3cosα=12，则（ ） A ．cos (α+5π6)=14B ．3tan 2α+8√3tanα=−11C ．sin (α+4π3)=−14D ．3tan 2α+8√3tanα=−12 答案：BC分析：利用辅助角公式和诱导公式可求得sin (α+π3)=cos (α−π6)=14，结合诱导公式可判断出AC 正误；利用(sinα+√3cosα)2=14可得正余弦的齐次式，根据同角三角函数商数关系可求得BD 正误. 对于AC ，∵sinα+√3cosα=2sin (α+π3)=12，∴sin (α+π3)=14； ∵sin (α+π3)=cos (α−π6)=14，∴cos (α+5π6)=cos [(α−π6)+π]=−cos (α−π6)=−14，A 错误； sin (α+4π3)=−sin (α+π3)=−14，C 正确； 对于BD ，∵sinα+√3cosα=12，∴(sinα+√3cosα)2=14， 即4sin 2α+8√3sinαcosα+12cos 2α=1=sin 2α+cos 2α， ∴3sin 2α+8√3sinαcosα+11cos 2α=0， ∴3sin 2α+8√3sinαcosα+11cos 2αsin 2a+cos 2α=3tan 2α+8√3tanα+11tan 2α+1=0，∴3tan 2α+8√3tanα=−11，B 正确，D 错误. 故选：BC.10、给出下列四个选项中，其中正确的选项有（ ） A ．若角α的终边过点P(3,−m)且sinα=−2√1313，则m =2B ．若α是第二象限角，则α2为第二象限或第四象限角C ．若f(x)=log a (x 2+2ax +2a −1)在(−∞,−2)单调递减，则a ∈(1,2]D ．设角α为锐角（单位为弧度），则α>sinα分析：A由终边上的点可得√9+m2=−2√1313即可求m值；B由题设2kπ+π2<α<2kπ+π，进而求α2的范围即可知所在的象限；C利用对数复合函数的单调性，结合单调区间求参数范围；D利用单位圆确定α,sinα所代表的长度，即可比较大小.A：sinα=√9+m2=−2√1313，易知m>0且m2=4，则m=2，正确；B：2kπ+π2<α<2kπ+π，则kπ+π4<α2<kπ+π2，可知α2为第一象限或第三象限角，错误；C：由x2+2ax+2a−1=(x+1)(x+2a−1)>0，当0<a<1时，(−∞,−1)上递增，(1−2a,+∞)上递减；当a>1时，(−∞,1−2a)上递减，(−1,+∞)上递增；而f(x)在(−∞,−2)上递减，则a>1且−1≥1−2a≥−2，可得1<a≤32，故错误；D：如下图，单位圆中α=AC⌢,sinα=AB，显然α>sinα，正确；故选：AD11、中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为S1，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为√5−12时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（参考数据：√5≈2.236）（）A．S1S2=θ2π−θB．若S1S2=12，扇形的半径R=3，则S1=2πC．若扇面为“美观扇面”，则θ≈138∘D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径R=20，则此时的扇形面积为200(3−√5)分析：首先确定S1,S2所在扇形的圆心角，结合扇形面积公式可确定A正确；由S1S2=θ2π−θ=12可求得θ，代入扇形面积公式可知B错误；由S1S2=θ2π−θ=√5−12即可求得θ，知C正确；由扇形面积公式可直接判断出D错误.对于A，∵S1与S2所在扇形的圆心角分别为θ，2π−θ，∴S1S2=12⋅θ⋅r212(2π−θ)⋅r2=θ2π−θ，A正确；对于B，∵S1S2=θ2π−θ=12，∴θ=2π3，∴S1=12⋅θ⋅R2=12×2π3×9=3π，B错误；对于C，∵S1S2=θ2π−θ=√5−12，∴θ=(3−√5)π，∴θ≈(3−2.236)×180∘≈138∘，C正确；对于D，S1=12⋅θ⋅R2=12×(3−√5)π×400=200(3−√5)π，D错误.故选：AC. 填空题12、已知cos(π6+α)=√33，则cos(5π6−α)=________.答案：−√33分析：本题可根据诱导公式得出结果.cos(5π6−α)=cos[π−(π6+α)]=−cos(π6+α)=−√33，所以答案是：−√3313、若函数f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为________．答案：π2（2kπ+π2,k∈Z均可）分析：根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得f(x)=√cos2φ+(sinφ+1)2sin(x+θ)，可得√cos2φ+(sinφ+1)2=2，即可解出.因为f(x)=cosφsinx+(sinφ+1)cosx=√cos2φ+(sinφ+1)2sin(x+θ)，所以√cos2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2.所以答案是：π2（2kπ+π2,k∈Z均可）.小提示：本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.。
高中数学必修一 第二章 函数 第4节 函数解析式的求法
解：（1）设 f (x) ax b (a 0) ，则
f [ f (x)] af (x) b a(ax b) b a2 x ab bBiblioteka a2 4ab b 3
a
b
2 1
或 ab32
f (x) 2x 3
f (x) 2x 1
（2）由题意设 g(x) ax2 bx c ， ∵ g(1) 1，g(1) 5 ，且图像过原点，
例 5：已知 g（x）=1﹣2x，f[g（x）]= （x≠0），则 f（ ）等于（ ）
A．15 B．1 C．3 D．30 解：令 g（x）= ，得 1﹣2x= ，解得 x= ．
∴f（ ）=f[g（ ）]= 故选 A．
= =15．
练习：已知 f（ x﹣1）=2x﹣5，且 f（a）=6，则 a 等于（ ）
+1，则函数 f（x）的表达式是（ ） D．x2﹣1
解：函数 f（x）满足
+1=
．
函数 f（x）的表达式是：f（x）=x2﹣1．（x≥2）． 故选：D．
2.函数 f（x﹣ ）=x2+ ，则 f（3）=（ ）
A．8 B．9 解：∵函数
C．11 =
D．10 ，∴f（3）=32+2=11．
故选 C．
典例分析：
解：由 f（x）=2x+3，得 f（h（x））=2h（x）+3， 则 f（h（x））=g（x）可化为 2h（x）+3=4x﹣5，解得 h（x）=2x﹣4， 故选 C．
2.函数 g（x）=2x+3，f（x）=g（2x﹣1），则 f（x+1）=（ ） A．2x+1 B．4x+5 C．4x﹣5 D．4x+1
得a 2 ，
人教版高中数学必修一函数及其性质考点题型与解题方法
(每日一练)人教版高中数学必修一函数及其性质考点题型与解题方法单选题1、定义在R的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x)，且当x∈(0,2)时，f(x)=(x−1)2，则函数f(x)在区间[−6，4]上的零点个数为（）A．10B．11C．12D．13答案：B解析：由奇函数的性质周期函数的性质结合函数在(0,2)上的解析式，确定函数的零点.∵当x∈(0,2)时，f(x)=(x−1)2，又函数f(x)为奇函数，∴f(−x)=−f(x)∴当x∈(−2,0)时，f(x)=−(x+1)2，f(0)=0，f(−2)=−f(2)∵f(x+4)=f(x)∴函数f(x)是周期函数，且周期为4，f(−2)=f(2)，∴f(−2)=f(2)=0∴ 函数f (x )在[−2,2)的零点有4个，即−2,−1,0,1，∴函数f (x )在[−6,−2)的零点有4个，又函数f (x )在[2,4]的零点有2,3,4，∴函数f (x )在区间[−6，4]上的零点个数为11个，故选：B.2、2020年9月我校正式成为市争创特色学校的项目学校（“非遗文创”特色），其中“江南传统民居木作技艺”是一项非遗保护项目，现有木料形状图如下，那么旋转后可以看成函数的图像的是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C解析：根据函数的定义判断． 把它们放到坐标平面上，只有C 旋转后可以形成对于可取范围的任一x 有唯一的y 与之对应，因此C 旋转后可以看作函数的图象．故选：C ．3、已知函数f(x)=lgx −(12)x ,f(m)=1，且0<p <m <n ，则（ ）A ．f(n)<1且f(p)>1B ．f(n)>1且f(p)>1C ．f(n)>1且f(p)<1D ．f(n)<1且f(p)<1答案：C解析：首先利用导数判断函数的单调性，再根据单调性，比较函数值.∵f ′(x )=1xln10−(12)x ⋅ln 12=1xln10+(12)xln2，当x >0时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，∵0<p <m <n ，且f (m )=1，∴f (p )<f (m )=1<f (n ).故选：C填空题4、若函数y =f(x)的值域是[12,3]，则函数F(x)=f(2x +1)+1f(2x+1)的值域是________.答案：[2,103] 解析：由给定条件求出f(2x +1)的值域，换元借助对勾函数性质即可得解.因函数y =f(x)的值域是[12,3]，从而得函数t =f(2x +1)值域为[12,3]， 函数F(x)变为y =t +1t ，t ∈[12,3]，由对勾函数的性质知y =t +1t 在[12,1]上递减，在[1,3]上递增，t =1时，y min =2，而t =12时，y =52，t =3时，y =103，即y max =103， 所以原函数值域是[2,103]. 所以答案是：[2,103]5、已知偶函数f(x)在(0,+∞)上是减函数，且f(−1)=0，则f(x)x <0的解集__________答案：(−1,0)∪(1,+∞)解析：分x >0和x <0两种情况讨论x 的范围，根据函数的单调性可得到答案.因为f(x)是偶函数，且f(−1)=0，所以f(1)=f(−1)=0，又f(x)在(0,+∞)上是减函数，所以f(x)在(−∞,0)上是增函数，<0得f(x)<0，又由于f(x)在(0,+∞)上为减函数，且f(1)=0，所以f(x)<f(1)，得①当x>0时，由f(x)xx>1；<0得f(x)>0，又f(−1)=0，f(x)在(−∞,0)上是增函数，所以f(x)>f(−1)，所以−1<②当x<0时，由f(x)xx<0.综上，原不等式的解集为：(−1,0)∪(1,+∞).所以答案是：(−1,0)∪(1,+∞).小提示：方法点睛：本题主要考查函数相关性质，利用函数性质解不等式，运用函数的奇偶性与单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段.奇函数在对称区间上的单调性相同，且f(−x)=−f(x).偶函数在对称区间上的单调性相反，且f(x)=f(−x)=f(|x|)..。
高中数学必修一一次函数与二次函数解题方法技巧
(每日一练)高中数学必修一一次函数与二次函数解题方法技巧单选题1、已知函数f (x )=4x −2x+1+4，x ∈[−1,1]，则函数y =f (x )的值域为（ ）．A ．[3,+∞)B ．[3,4]C ．[3,134]D ．[134,4]答案：B解析：根据给定条件换元，借助二次函数在闭区间上的最值即可作答.依题意，函数f (x )=(2x )2−2×2x +4，x ∈[−1,1]，令2x =t ，则t =2x 在x ∈[−1,1]上单调递增，即12≤t ≤2，于是有y =t 2−2t +4=(t −1)2+3，当t =1时，y min =3，此时x =0，f(x)min =3，当t =2时，y max =4，此时x =1，f(x)max =4，所以函数y =f (x )的值域为[3,4].故选：B2、我们把形如y =b|x |−a (a >0,b >0)的函数称为“囧函数”，因其函数图像类似于汉字“囧”字，并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当a =1,b =1时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．5π答案：B根据题意，求得“囧点”坐标，当“囧圆”与y =1|x |−1在x 轴上方曲线相切时，可得圆心到函数图象的最小距离，进而可求得“囧圆”的面积，当“囧圆”与y =1|x |−1图象的下支相切时，可得切点坐标，即可求得“囧圆”的面积，分析即可得答案.当a =1,b =1时，y =1|x |−1， 令x =0，解得y =−1，则“囧点”为(0,1)，作出图象，如下图所示：当“囧圆”与y =1|x |−1在x 轴上方曲线相切时，不妨设在第一象限的切点为(x,y)(x >1)，则其到“囧点”的距离d =√x 2+(y −1)2=√x 2+(1x−1−1)2=√x 2+(1x−1)2+1−2(1x−1) =√x 2+(1x−1)2+3−2(x x−1)=√(x −1x−1)2+3≥√3， 当x =1x−1，即x 2−x −1=0时，解得x =1+√52或x =1−√52（舍）， 所以当x =1+√52时，d =√3，此时 “囧圆”的面积S =π×(√3)2=3π，当“囧圆”与y =1|x |−1图象的下支相切时，且切点为(0,−1)，此时半径r =2，此时 “囧圆”的面积S =π×22=4π，所以所有的“囧圆”中，面积的最小值为3π.解题的关键是理解题意，通过“囧函数”、“囧点”、“囧圆”的定义，考查函数图象与性质、圆的性质等知识，遇到新定义问题时，需耐心读题，分析特点，按照新定义所给信息进行分析，计算，属中档题.3、已知函数f(x)=ax2+bx+c，若关于x的不等式f(x)>0的解集为(−1 , 3)，则A．f(4)>f(0)>f(1)B．f(1)>f(0)>f(4)C．f(0)>f(1)>f(4)D．f(1)>f(4)>f(0)答案：B解析：由题意可得a<0，且−1，3为方程ax2+bx+c=0的两根，运用韦达定理可得a，b，c的关系，可得f(x)的解析式，计算f(0)，f（1），f（4），比较可得所求大小关系．关于x的不等式f(x)>0的解集为(−1,3)，可得a<0，且−1，3为方程ax2+bx+c=0的两根，可得−1+3=−ba ，−1×3=ca，即b=−2a，c=−3a，f(x)=ax2−2ax−3a，a<0，可得f(0)=−3a，f（1）=−4a，f（4）=5a，可得f（4）<f(0)<f（1），故选B．小提示：本题主要考查二次函数的图象和性质、函数与方程的思想，以及韦达定理的运用．4、设f(x)＝2x＋a，g(x)＝ (x2＋3)，且g(f(x))＝x2－x＋1，则a的值为（）A．1B．－1C．1或－1D．1或－2由g(f(x))=14[(2x +a)2+3]=x 2−x +1，比较系数可求a ．因为g(x)=14(x 2+3)，f(x)=2x +a ， 所以g(f(x))=14[(2x +a)2+3]=14(4x 2+4ax +a 2+3)=x 2+ax +a 2+34=x 2−x +1， 故得{a =−1a 2+34=1⇒ a =−1．故选:B.【点评】本题主要考查了待定系数法求解函数解析式，属于基础试题．5、若函数f (x )={ax −2,x ≤2(3−2a )ln (x −1),x >2 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(0,1]B ．(0,2]C ．(0,32)D ．[1,32)答案：A解析：由分段函数单调递增的特性结合单调增函数的图象特征列出不等式组求解即得. 因函数f (x )={ax −2,x ≤2(3−2a )ln (x −1),x >2 在R 上单调递增，则有y =ax −2在(−∞,2]上递增，y =(3−2a )ln (x −1)在(2,+∞)上也递增， 根据增函数图象特征知，点(2,2a −2)不能在点(2,0)上方，于是得{a >03−2a >02a −2≤0，解得0<a ≤1， 所以实数a 的取值范围是(0,1].。
部编版高中数学必修一第三章函数的概念与性质题型总结及解题方法
(名师选题)部编版高中数学必修一第三章函数的概念与性质题型总结及解题方法单选题1、已知f(2x+1)=4x2+3，则f(x)=（）．A．x2−2x+4B．x2+2x C．x2−2x−1D．x2+2x+3答案：A分析：利用配凑法直接得出函数的解析式.因为f(2x+1)=4x2+3=(2x+1)2−2(2x+1)+4，所以f(x)=x2−2x+4．故选：A2、若函数f（x）＝x ln（x+√a+x2）为偶函数，则a的值为（）A．0B．1C．﹣1D．1或﹣1答案：B分析：由f（x）＝x ln（x+√a+x2）为偶函数，则设g（x）＝ln（x+√a+x2）是奇函数，由g（0）＝0，可求出答案.解：∵函数f（x）＝x ln（x+√a+x2）为偶函数，x∈R，∴设g（x）＝ln（x+√a+x2）是奇函数，则g（0）＝0，即ln√a=0，则√a=1，则a＝1．故选：B．3、函数f(x)=log2x−1的零点所在的区间为（）xA．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案：B解析：判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理，判断选项.f(1)=0−1=−1<0，f(2)=1−12=12>0，且函数f(x)=log2x−1x 的定义域是(0,+∞)，定义域内y=log2x是增函数，y=−1x也是增函数，所以f(x)是增函数，且f(1)f(2)<0，所以函数f(x)=log2x−1x的零点所在的区间为(1,2).故选：B小提示：方法点睛：一般函数零点所在区间的判断方法是：1.利用函数零点存在性定理判断，判断区间端点值所对应函数值的正负；2.画出函数的图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或是转化为两个函数的图象交点判断.4、函数y=√2x+4x−1的定义域为（）A．[0,1)B．(1,+∞)C．(0,1)∪(1,+∞)D．[0,1)∪(1,+∞)答案：D分析：由题意列不等式组求解由题意得{2x≥0x−1≠0，解得x≥0且x≠1，故选：D5、下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是（）A．B．C．D．分析：根据函数的定义判断即可.B中，当x>0时，y有两个值和x对应，不满足函数y的唯一性，A，C，D满足函数的定义，故选：B6、已知函数f(x+2)=x2+6x+8，则函数f(x)的解析式为（）A．f(x)=x2+2x B．f(x)=x2+6x+8C．f(x)=x2+4x D．f(x)=x2+8x+6答案：A分析：利用配凑法（换元法）计算可得.解：方法一（配凑法）∵f(x+2)=x2+6x+8=(x+2)2+2(x+2)，∴f(x)=x2+2x.方法二（换元法）令t=x+2，则x=t−2，∴f(t)=(t−2)2+6(t−2)+8=t2+2t，∴f(x)=x2+2x.故选：A7、设函数f(x)=x2+2(4−a)x+2在区间(−∞,3]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．a≥−7B．a≥7C．a≥3D．a≤−7答案：B分析：根据二次函数的图象和性质即可求解.函数f(x)的对称轴为x=a−4，又∵函数在(−∞,3]上为减函数，∴a−4⩾3，即a⩾7．故选：B.小提示：本题考查由函数的单调区间求参数的取值范围，涉及二次函数的性质，属基础题. 8、已知幂函数y=f(x)的图象过点P(2,4)，则f(3)=（）A．2B．3C．8D．9分析：先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求f(3)的值 解：设f(x)=x α，则2α=4，得α=2， 所以f(x)=x 2， 所以f(3)=32=9， 故选：D 多选题9、下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ） A ．f (x )=x 与g (x )=√x 33B ．f (x )=x +1与g (x )=x 2−1x−1C ．f (x )=|x |x 与g (x )={1,x >0−1,x <0D ．f (t )=|t −1|与g (x )=|x −1| 答案：ACD分析：根据两个函数为同一函数的定义，对四个选项逐个分析可得答案.对于A ，f(x)=x ，g(x)=√x 33=x ，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故A 正确；对于B ，f(x)=x +1，g(x)=x +1(x ≠1)，两个函数的定义域不同，所以两个函数不为同一函数，故B 不正确；对于C ，f(x)={1,x >0−1,x <0 ，g (x )={1,x >0−1,x <0，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故C 正确；对于D ，f (t )=|t −1|与g (x )=|x −1|的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故D 正确. 故选：ACD10、（多选题）已知函数f(x)的定义域为D ，若存在区间[m,n]⊆D 使得f(x)： （1）f(x)在[m,n]上是单调函数； （2）f(x)在[m,n]上的值域是[2m,2n]， 则称区间[m,n]为函数f(x)的“倍值区间”． 下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）A ．f(x)=x 2；B ．f(x)=1x；C ．f(x)=x +1x；D ．f(x)=3xx 2+1．答案：ABD分析：函数中存在“倍值区间”，则f(x)在[m,n ]内是单调函数,{f (m )=2m f (n )=2n 或{f (m )=2n f (n )=2m，对四个函数的单调性分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”．函数中存在“倍值区间”，则（1）f(x)在[m,n]内是单调函数，（2）{f(m)=2m f(n)=2n 或{f(m)=2n f(n)=2m，对于A ，f(x)=x 2，若存在“倍值区间”[m,n]，则{f(m)=2m f(n)=2n ⇒ {m 2=2m n 2=2n⇒ {m =0n =2，∴f(x)=x 2，存在“倍值区间”[0,2]；对于B ，f(x)=1x (x ∈R)，若存在“倍值区间”[m,n]，当x >0时，{1m =2n 1n=2m⇒ mn =12，故只需mn =12即可，故存在；对于C ，f(x)=x +1x；当x >0时，在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,+∞)上单调递增，若存在“倍值区间”[m,n]⊆[0,1]⇒m +1m =2n ，n +1n =2m ⇒m 2−2mn +1=0， n 2−2mn +1=0⇒m 2=n 2不符题意；若存在“倍值区间”[m,n]⊆[1,+∞)⇒m +1m =2m ，n +1n =2n ⇒m 2=n 2=1不符题意，故此函数不存在“倍值区间“； 对于D ，f(x)=3xx 2+1=3x+1x，所以f(x)在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,+∞)上单调递减，若存在“倍值区间”[m,n]⊆[0,1]，3m m 2+1=2m ，3nn 2+1=2n ，∴m =0，n =√22， 即存在“倍值区间”[0,√22]； 故选：ABD ．小提示：关键点睛：本题考查新定义：“倍值区间”，关键在于紧扣定义，运用函数的单调性和值域，使问题得以解决.11、下列各组函数是同一个函数的是（ ） A ．f (x )=x 2−2x −1与g (s )=s 2−2s −1B．f(x)=√−x3与g(x)=x√−xC．f(x)=xx 与g(x)=1x0D．f(x)=x与g(x)=√x2答案：AC分析：分别求出四个选项中，每个选项两个函数的定义域和对应关系是否相同即可求解.对于选项A：f(x)=x2−2x−1的定义域为R，g(s)=s2−2s−1的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；对于选项B：f(x)=√−x3=−x√−x的定义域为{x|x≤0}，g(x)=x√−x的定义域为{x|x≤0}，定义域相同对应关系不同，不是同一个函数；对于选项C：f(x)=xx =1的定义域为{x|x≠0}，g(x)=1x0=1的定义域{x|x≠0}，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；对于选项D：f(x)=x的定义域为R，g(x)=√x2=|x|的定义域为R，对应关系不同，不是同一个函数. 故选：AC填空题12、已知函数f(x)={3x−1,x≥12−x+3,x<1，则f(−2)=________. 答案：7分析：根据题意直接求解即可解：因为f(x)={3x−1,x≥12−x+3,x<1，所以f(−2)=22+3=7，所以答案是：713、函数f(x)=√1−2x 3x2x+1的定义域________．答案：(−∞,−1)∪(−1,12)分析：根据函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．由f(x)=√1−2x +3x2x+1可得：{1−2x>0x+1≠0解得：x<12，且x≠−1，∴函数f(x)=√1−2x 3x2x+1的定义域为：(−∞,−1)∪(−1,12)，所以答案是：(−∞,−1)∪(−1,12)。
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高中数学必修一函数解题方法函数习题课(I) 函数定义域和值域的求法一、求函数定义域的方法(一) 直接法求定义域关注一些特殊函数的定义域或关注一些特殊的取值，从而使得函数有意义，直接限制自变量的取值围。
一般需要关注的解题要点：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠例1 求下列函数定义域①21)(-=x x f ②xx x f -++=211)( ③0)32(2)3lg()(-++-=x x x x f ④2143)(2-+--=x x x x f ⑤373132+++-=x x y(二)解题时要关注定义域函数的三要素是定义域，值域和对应关系。
其中定义域是规定函数自变量取值围的关键，是题目限制条件的体现。
由于常常被忽略，因此是命题人常将隐含条件设计于其中。
若想正确地解决函数相关问题，必须在解题时关注定义域，把它明确地写出来。
例2 已知函数)91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，求函数[])()(22x f x f +的最大值。
例3 求函数x x x f a 2log )(2-= )10(≠>a a 且的单调增区间。
(三)有关抽象函数的定义域问题抽象函数的自变量始终是x(或其他字母)，但是由于对应法则所作用的x 形式不同(如x+2,x 2 等)，于是就有了有关抽象函数的定义域问题。
解决抽象函数的定义域问题需要紧紧抓住一点：括号里面的所有代数式的取值围是相同的。
例4 已知函数)(x f 的定义域为[0,2]，求)12(+x f 的定义域。
例5 已知函数)12(+x f 的定义域为(-1,5]，求)(x f 的定义域。
例6 已知函数)1(+x f 的定义域为[0,2]，求)3(2x x f +的定义域。
二、求函数值域的方法(一)层层分析法(直接法)这种方法适合值域明显的复合函数或多个值域明显的函数相加减得到的函数求值域。
在分析的题目中常常以分式为背景，当遇到分式上下都有自变量x 的时候，要注意分离常数法的例7 求函数1 222--=x xy 的值域。
例8 求函数12122-+-=x x x y )21(>x 的值域例9 求函数63422-+++=x x x x y 的值域例10 求函数3274222++-+=x x x x y 的值域 (二)换元法常用来处理含根式的函数求值域。
分以下几种情况：1.出现单根式时用代数换元例11 求函数32++=x x y 的值域例12 求函数x x y 312-+=的值域2.出现平方和为定值(常有双根式)时用三角换元例13 求函数638++-=x x y 的值域例14 求函数2)1(12+-++=x x y 的值域3.出现指数或高次函数有时也用换元法另例求函数[])1,0(239∈+-=x y xx 的值域 (三)几何意义法利用函数的几何意义将函数转化成距离的和或差从而利用数形结合的方法处理函数的值域。
常用来解决含绝对值函数，含根式的函数的值域问题。
1.出现绝对值时转化成数轴上两点的和与差例15 求函数41++-=x x y 的值域2.出现双根式时考虑两点间距离例16 求函数106422+-++=x x x y 的值域例17 求函数5413622++-+-=x x x x y 的值域3.出现绝对值时也可以考虑转化为点到直线距离例18 求函数7)2(4222+---=x x y 的值域4.出现分式时可以考虑转化为斜率例19 求函数xx y cos 2sin 3--=的值域函数习题课(II)函数解析式的求法，分段函数一、函数解析式的求法(一)待定系数法若题目中已经明确给出了函数的形式(如一次函数、二次函数、指数函数等)可以利用待定系数法现将函数解析式设出，再利用题目已经给出的关系进行带入化简，通过对比系数进行对于函数解析式的确定。
例1 已知一次函数)(x f ，且[]34)(+=x x f f ，求)(x f 解析式(二)拼凑换元法已知复合函数)]([x g f 的解析式时，通过在已知的解析式中拼凑出)(x g 或通过换元法对解析式进行处理后得到解析式。
重要的是不能忽略拼凑或换元前后定义域的变化。
例2 已知xx xf -=1)1(，求()x f 2cos 的解析式例3 已知221)1(x x x x f +=+()0>x ，求)(x f 的解析式 (三)方程组法求解析式同时出现x xx -,1,等有关的函数解析式时，常用列方程组的方法来求解析式。
例4 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，且11)()(-=+x x g x f ，试求)(xf ，)(xg 的解析式(四)抽象函数求解析式解决抽象函数问题的一种最常用的方法就是赋值法。
当抽象函数相关的题目中先给出了某一函数值，后续的解题过程中必然会用到赋值法，从而简便运算。
例5 已知1)0(=f ，对于任意实数y x ,，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f例 6 设)(x f 是定义在*N 上的函数，且满足1)1(=f 。
对任意自然数b a ,都有等式ab ba fb f a f -+=+)()()(成立，求)(x f二、分段函数问题在给出了分段函数解析式的问题中，主要有三类问题：一是求函数值，特别是求复合函数的值，其方法是当自变量在不同的区间段上时，带入不同的解析式；二是研究这个分段函数的单调性，方法是根据函数在各个区间段上的单调性，整合为整个定义域上的单调性；三是求最值，其方法是求出函数在各个区间段上的最值，这些最值中最大的是分段函数的最大值，最小的是分段函数的最小值。
分段函数的易错点在于各定义域分界点处函数值的大小。
此外，分段函数常用数形结合法分析。
例7 已知函数>-≤++=0,30,34)(2x x x x x x f ，求方程01)(=+x f 的实根个数例8 已知函数<+≥=4),1(4,)21()(x x f x x f x ，求)3log 2(2+f 的值例9 设函数>≤++=0,20,)(2x x c bx x x f ，若2)2(),0()4(-=-=-f f f ，则关于x 的方程x x f =)(的解的个数为例10 已知函数∈--∈---∈+=].2,21[,1),21,1[,2),1,2[,1)(x x x x x x x x f (1)求)(x f 的值域(2)设函数]2,2[,2)(-∈-=x ax x g ，若对于任意]2,2[1-∈x ，总存在]2,2[0-∈x ，使得)()(10x f x g =成立，数a 的取值围函数习题课(III)函数的单调性和最值一、函数的单调性(一)证明函数的单调性必修一当中对于函数单调性的证明仅限于用定义证明，因此难度不是太大，经常在单调性的证明过程中考察指对数运算，新定义的学习能力等。
破解方法即熟练掌握证明方法，并仔细审题，通过题目给出的条件进行运算，拼凑定义。
常用的几种处理方法：因式分解，通分，分子有理化，配方，构造(抽象函数)例1 证明函数x x x f 2)(2-=在区间），（∞+1上单调递增例2 求函数1)(-=x x x f 在区间)1,(-∞上的单调性例3 求函数x x f =)(在区间),0(+∞上的单调性例4 证明函数x x x f +=3)(在R 上为增函数例5 对任意R b a ∈,，函数)(x f 都有1)()()(-+=+b f a f b a f ，且当1)(0>>x f x 时，求证：)(x f 在R 上为增函数 (二)利用函数的单调性解决问题1.利用函数的单调性识图在选择题中常出现一些需要选择函数图像的题目，这时利用单调性进行排除就是一种很好的方法。
此类识图题目有几个关注点：定义域，端点值，特殊值，单调性。
例6 函数1)(21-=x x f 的图象大致是2.利用函数的单调性比较大小在选择题中也常出现一些比较函数值大小的题目，这类题常利用函数在一些区间上的单调性来解决。
但题目往往不会仅用函数的单调性便可以解决，常常需要结合函数的其他性质(如奇偶性，周期性等)将自变量转换到同一个单调区间中后，再进行比较。
例7 定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的)(],0,(,2121x x x x ≠-∞∈，有[]0)()()(2121>--x f x f x x ，则当*N n ∈时，求)1(),1(),(-+-n f n f n f 的大小关系例8 已知函数x x f a log )(=在()+∞,0上单调递增，试比较)3(),1(),2(f f f -的大小关系例9 定义在R 上的奇函数)(x f ，满足)()4(x f x f -=-，且在区间[]2,0上是增函数，试比较)80(),11(),25(f f f -的大小关系3.利用函数的单调性解函数不等式此类题目涉及的函数一般在题目中都会通过一些条件加以限制，从而使它在需要进行求解的围是单调的。
因此解决此类题目只需要将单调性正确解出，再比较需要比较的两个自变量的大小关系即可。
例10 若偶函数)(x f 在(]0,∞-上单调递减，求不等式)(lg )1(x f f <-的解集例11 解不等式1)11(log >-xa 二、函数的最值函数的最值作为函数在特定区间上的一个基本特征，在理解上没有难点，因此在命题上也很少单独考察，一般题目常以求最值为最终命题要求，实际考察函数的单调性，奇偶性和周期性等性质。
【方法技巧】求函数最值的方法：(1)利用已知函数的性质求函数的最值：如二次函数；(2)利用图象数形结合求函数的最值；(3)利用函数的单调性求函数的最值，这种情况下的函数一般为连续函数，且求最值时给出的单调区间常为闭区间(暗示端点值可能为最值) 例12 已知函数31++-=x x y 的最大值为M ，最小值为m ，求Mm 的值例13 求函数1+=x x y 的最大值例14 如果函数)(x f 对任意的实数x ，都有)()1(x f x f -=+，且当21≥x 时，)13(log )(2-=x x f ，那么求函数)(x f 在[]0,2-上的最大值与最小值之和。
☆☆☆☆☆ Tip: 由于奇函数具有关于原点对称的性质，因此常常有最值的奇函数，会出现在求最大值和最小值之和的题目中，此时最大值和最小值之和为0. 因此题目问最大值和最小值之和时，要注意函数的奇偶性，也许可以使运算更加简便。
函数习题课(IV)函数的奇偶性，周期性这一部分应该是函数题目中的重头戏。