勾股定理全章综合复习

课 题 勾股定理综合复习讲义

学习目标 1、勾股定理的证明、三角形形状的判断

2、勾股定理的几何应用

3、最短距离及航海问题

重点难点 勾股定理的逆定理及其应用

考点一：勾股定理

（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+ 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（2）与直角三角形有关的结论：

①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。

③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

例题：

例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。

（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°

①若a=15，c=25，则b=___________；②若a ∶b=3∶4，c=10则Rt △ABC 的面积是=________。

（2）在Rt △ABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（ ）

A.222a b c +=

B. 222a c b +=

C. 222c b a +=

D.以上都有可能

（3）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是

（4）一架5cm 长的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这是梯子下端距离墙的底端1.4，若梯子顶端下滑了0.8m,则梯子底端将滑动

例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。

（1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。

（2）已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ）

A 、242c m

B 、36 2c m

C 、482c m

D 、602

c m （3）已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ）．

A ．12

B ．7＋7

C ．12或7＋7

D ．以上都不对

（4）已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）

A 、5

B 、25

C 、7

D 、15

考点二：勾股定理的逆定理

（1）逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 有关系，222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

（2）常见的勾股数：（3n,4n,5n ）,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)…..（n 为正整数）

（3）直角三角形的判定方法：

①如果三角形的三边长a,b,c 有关系，222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

②有一个角是直角的三角形是直角三角形。 ③两内角互余的三角形是直角三角形。

④如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

例题：

例1：勾股数的应用

（1） 若线段a ，b ，c 组成直角三角形，则它们的比为（ ）

A 、2∶3∶4

B 、3∶4∶6

C 、5∶12∶13

D 、4∶6∶7

例2：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状

（1）下面的三角形中：①△ABC 中，∠C=∠A －∠B ；②△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3；③△ABC 中，a ：b ：c=3：4：5；④△ABC 中，三边长分别为8，15，17．其中是直角三角形的个数有（ ）．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

（2）已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（ ）

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

（3）三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）

A ．a :b :c=8∶16∶17

B ． a 2-b 2=c 2

C ．a 2=(b+c)(b-c)

D ． a :b :c =13∶5∶12

（4）三角形的三边长为（a+b ）2=c 2+2ab,则这个三角形是( )

A.等边三角形;

B.钝角三角形;

C.直角三角形;

D.锐角三角形 （5）直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为

（6）若△ABC 的三边长a,b,c 满足222a b c 20012a 16b 20c +++=++，试判断△ABC 的形状。

例3：求最大、最小角的问题

（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是 度。

（2）已知三角形三边的比为1：3：2，则其最小角为 。

考点三：勾股定理的应用

例1：面积问题

（1）下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是（ ）

A. 13

B. 26

C. 47

D. 94

A B C

D E S 2S 3S 1

A B

C

S 3

S 2

S 1

（图1） （图2） （图3）

（2）如图，△ABC 为直角三角形，分别以AB ，BC ，AC 为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积关系，可得（ ）

A. S 1+ S 2> S 3

B. S 1+ S 2= S 3

C. S 2+S 3< S 1

D. 以上都不是

（3）如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ）

A. S 1- S 2= S 3

B. S 1+ S 2= S 3

C. S 2+S 3< S 1

D. S 2- S 3=S 1

例2：求长度问题

（1）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。

（2）在一棵树10m 高的B 处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m 处的池塘A 处；?另外一只爬到树顶D 处后直接跃到A 外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？ C A D

B

例3：最短路程问题

（1）如图1，已知圆柱体底面圆的半径为2

，高为2，AB ，CD 分别是两底面的直径，AD ，BC 是母线，若一只小虫从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是 。（结果保留根式）

（2）如图2，有一个长、宽、高为3米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点A 要爬到顶点B ，那么这只昆虫爬行的最短距离为 。

A B C D B A

（图1） （图2）

例4：航海问题

（1）一轮船以16海里/时的速度从A 港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A 港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．

（2）（深圳）如图1，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60°的方向上。该货船航行30分钟到达B 处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。

东

北

30?60?

B A C

M D

（图1）

例5：网格问题

（1）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

（2）如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是 （ ）

A.直角三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.以上答案都不对

（3）如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( )

A ． 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5

B C A A B

C D

C

B A

（图1） （图2） （图3）

例6：图形问题

（1）如图1，求该四边形的面积

（2）如图2，已知，在△ABC 中，∠A = 45°，AC = 2，AB = 3+1，则边BC 的长为 ．

4

312

13B C D

A

（图1） （图2）

（3）将一根长24㎝的筷子置于地面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h ㎝，则h 的取值范围 。

4）已知直角三角形的三边长为6、8、x ，则以x 为边的正方形的面积为_____.

（5）如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要____米.

5米 3米

（6）如图,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_____米.

（7）“交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在

一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米处，过了2秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？

拓展提高：

例1.如图ABC ?中，90C ∠=?，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长

2

1

E D

C

B

A

例2．已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90°，D 为AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，且DE ⊥DF ．求

证：AE 2＋BF 2＝EF 2．

观测点 小汽车 小汽车 B C

A

例3．如图，两个村庄A 、B 在河CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为AC ＝1千米，BD ＝3千米，

CD ＝3千米．现要在河边CD 上建造一水厂，向A 、B 两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD 上选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W ．

提高练习：

1、已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ．

2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在边AB 上的点C ′处，则折痕BD 的长为__________．

3、如图，长方形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将长方形沿AC 折叠，点D 落在D / 处，则重叠部分△AFC 的面积是多少？

A B C

D

E

F

G A B

C

D F D /

4．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，……已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，S n(n为正整数)，那么第8个正方形的面积S8＝______，第n个正方形的面积S n＝______．

6、如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36，点P从点A开始沿AB边向B点

以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？

7、如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x．

（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；并求AC+CE的最小值；

（2）若x+y=12，x＞0，y＞0请仿照（1）中的规律，运用构图法求出代数式的最小值．

8、梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3 ，且S1 +S3 =4S2，则CD=（）

A. 2.5AB

B. 3AB

C. 3.5AB

D. 4AB

9、如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是_________ ．

10、如图：在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．

（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系；

（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论．

11、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．