2017高考试题解析分类汇编函数导数
函数导数
1（2017北京文）已知函数
，则 （A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数 （D ）是奇函数，且在R 上是增函数 【答案】B
2（2017北京文）（本小题13分）
已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.
1()3()3
x
x f x =-()f
x ()e cos x f x x x =-()y f x =(0,(0))f ()f x π[0,]
21y =2
π-
（Ⅱ）设，则
.
当时，，
所以在区间上单调递减.
所以对任意
有，即. 所以函数在区间
上单调递减. 因此在区间上的最大值为，最小值为. 3（2017新课标Ⅱ理）（12分）
已知函数2()ln f ax a x x x x =--，且()0f x ≥． （1）求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220e ()2f x --<<．
()e (cos sin )1x h x x x =--()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-π(0,)2
x ∈()0h x '<()h x π[0,]2
π(0,]2x ∈()(0)0h x h <=()0f x '<()f x π
[0,]2
()f x π[0,]2
(0)1f =ππ()2
2
f =-
所以()220e 2f x --<<．
4（2017天津理）（本小题满分14分）
设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数.
（Ⅰ）求()g x 的单调区间；
（Ⅱ）设00[1,)(,2]m x x ∈，函数0()()()()h x g x m x f m =--，求证：
0()()0h m h x <；
（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且
00[1,)(,2],p x x q ∈ 满足041||p x q Aq
-≥. 【答案】（1）增区间是(,1)-∞-，1
(,)4+∞，减区间是1(1,)4
-.（2）（3）证明见解析
【解析】（Ⅰ）由
432()2336f x x x x x a
=+--+，可得
32()()8966g x f x x x x '==+--，
进而可得2()24186g x x x '=+-.令()0g x '=，解得1x =-，或14
x =. 当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：
所以，()g x 的单调递增区间是(,1)-∞-，(,)4
+∞，单调递减区间是(1,)4
-. （Ⅱ）证明：由0()()()()h x g x m x f m =--，得0()()()()h m g m m x f m =--，
000()()()()h x g x m x f m =--.
（III ）证明：对于任意的正整数 p ，q ，且00[1)(,],2p x x q
∈，
令p
m q
=
，函数0()()()()h g m x x x m f =--. 由（II ）知，当0[1),m x ∈时，()h x 在区间0(,)m x 内有零点； 当0(,2]m x ∈时，()h x 在区间0(),x m 内有零点.
所以041|2|()p x q g q -≥
.所以，只要取()2A g =，就有0
4
1
||p x q Aq -≥. 5（2017新课标Ⅲ理数）（12分）
已知函数()f x =x ﹣1﹣a ln x ． （1）若()0f x ≥ ，求a 的值；
（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，21
111++1+)2
22
n ()(1)(﹤m ，求m 的最小值．
解：（1）()f x 的定义域为()0，+∞.
2211111
111++1+++1+＜+++=1-＜12222222n n n ln ln ln ???????????? ? ? ???????
故21111+1+1+＜222n e ??????
??? ??? ??
??
?
?
?
而231111+1+1+＞2222?????? ??????
??
??
?
，所以m 的最小值为3. 6（2017山东理）（本小题满分13分）
已知函数()22cos f x x x =+，()()cos sin 22x g x e x x x =-+-，其中 2.71828e =是自然对数的底数.
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()(),f x π处的切线方程；
（Ⅱ）令()()()()h x g x af x a R =-∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
【答案】（Ⅰ）222y x ππ=--. （Ⅱ）综上所述：
当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增， 函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；
当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，
极大值是()()()2
ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ??=--+++??
极小值是()021h a =--；
当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； 当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，
在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值， 极大值是()021h a =--；
极小值是()()()2
ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ??=--+++??.
【解析】解：（Ⅰ）由题意()22f ππ=- 又()22sin f x x x '=-， 所以()2f ππ'=，
因此 曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为
()()222y x πππ--=-，
即 222y x ππ=--.
（Ⅱ）由题意得 ()()()22cos sin 222cos h x e x x x a x x =-+--+， 因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin x x h x e x x x e x x a x x '=-+-+--+--
()()2sin 2sin x e x x a x x =---
()()2sin x e a x x =--，
令()sin m x x x =- 则()1cos 0m x x '=-≥
所以()m x 在R 上单调递增.
所以 当0x >时，()m x 单调递减， 当0x >时，()0m x <
(2)当0a >时，()()()ln 2sin x a h x e e x x '=-- 由 ()0h x '=得 1ln x a =，2=0x ①当01a <<时，ln 0a <，
当(),ln x a ∈-∞时，()ln 0,0x a e e h x '-<>，()h x 单调递增； 当()ln ,0x a ∈时，()ln 0,0x a e e h x '-><，()h x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()ln 0,0x a e e h x '->>，()h x 单调递增. 所以 当ln x a =时()h x 取得极大值.
极大值为()()()2
ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ??=--+++??，
当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--； ②当1a =时，ln 0a =，
所以 当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '≥，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；
极小值是()()()2
ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ??=--+++??.
综上所述：
当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增， 函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；
当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，
极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ??=--+++??
极小值是()021h a =--；
当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；
当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增， 在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值， 极大值是()021h a =--；
极小值是()()()2
ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ??=--+++??.
7（2017天津文）（本小题满分14分）设,a b ∈R ，||1a ≤.已知函数
32()63(4)f x x x a a x b =---+，()e ()x g x f x =.
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）已知函数()y g x =和e x y =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线，
（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；
（ii ）若关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围.
【答案】（1）递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，递减区间为(),4a a -.（2）（ⅰ）()f x 在0x x =处的导数等于0.（ⅱ）b 的取值范围是[7],1-. 【解析】（I ）由324()63()f x x a x x a b =--+-，可得
（ii ）因为()e x g x ≤，00[11],x x x ∈-+，由e 0x >，可得()1f x ≤. 又因为0()1f x =，0()0f 'x =，故0x 为()f x 的极大值点，由（I ）知0x a =. 另一方面，由于||1a ≤，故14a a +<-，
由（I ）知()f x 在(,)1a a -内单调递增，在(),1a a +内单调递减， 故当0x a =时，()()1f f x a ≤=在[1,1]a a -+上恒成立，从而()e x g x ≤在
00,[11]x x -+上恒成立.
由32()63()14a a f a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤。 令32()261t x x x =-+，[1,1]x ∈-，所以2()612t'x x x =-， 令()0t'x =，解得2x =（舍去），或0x =.
因为(1)7t -=-，(1)3t =-，(0)1t =，故()t x 的值域为[7],1-. 所以，b 的取值范围是[7],1-. 8（2017新课标Ⅰ理数）（12分）
已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.
综上，a 的取值范围为(0,1).
9（2017江苏）（本小题满分16分）
已知函数有极值，且导函数的极
值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求关于的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：；
（3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围．
当时，，故在R 上是增函数，没有极值；
当时，有两个相异的实根，
．
列表如下：
32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R ()f x '()f x b a 23b a >()f x ()f x '7
2-
a 3a =()>0(1)f x x '≠-()f x ()f x 3a >()=0f x
'1=3
a x --
2x
故
的极值点是．从而．因此，定义域为
．
（2）由（1
．设
，则． 当时，，从而在上单调递增． 因为，所以
此．
记，所有极值之和为
，
()f x 12,x x 3a >223
9a b a
=+(3,)+∞2923()=9t g t t +222
23227
()=99t g t t t
-'-=(
,)2t ∈+∞()0g t '>()g t (,)2
+∞3a >>(g g 2>3b a ()f x ()f x '()h a
因为的极值为，所以，．
因为
，于是在上单调递减． 因为，于是，故．因此a 的取值范围为． 10（2017新课标Ⅱ文）（12分） 设函数2()(1)e x f x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）当0x ≥时，()1f x ax ≤+，求a 的取值范围.
()f x '2
213
39a b a a
-=-+213()=9h a a a -+3a >2
23
()=09h a a a '--<()h a (3,)+∞7
(6)=2
h -
()(6)h a h ≥6a ≤(36]，
11（2017北京理）（本小题13分）
已知函数f （x ）=e x cos x ?x .
（Ⅰ）求曲线y = f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f （x ）在区间[0，]上的最大值和最小值. 【答案】
解：（Ⅰ）因为，所以.
π
2
()e cos x f x x x =-()e (cos sin )1,(0)0x f x x x f ''=--=
又因为，所以曲线在点处的切线方程为.
12（2017浙江）（本题满分15分）已知函数f (x )=（x
（）．
（Ⅰ）求f (x )的导函数； （Ⅱ）求f (x )在区间上的取值范围． 【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）[0，
]．
【解析】（Ⅰ）因为，，
所以
．
（Ⅱ）由
(0)1f =()y f x =(0,(0))f 1y
=
e x
-12
x ≥1[+)2
∞，()(1)(1
x
f'x
x -=-121
2
e -(1x '
=(e )e x x '--=-()(1(x x f'x x --=-
-1
)2
x =
>
，
解得
或．
因为
又， 所以
f （x ）在区间上的取值范围是．
13（2017新课标Ⅲ文数）（12分）
已知函数()f x =ln x +ax 2+(2a +1)x ． （1）讨论()f x 的单调性； （2）当a ﹤0时，证明3
()24f x a
≤-