数值分析-课件-第02章插值法
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数值分析第二章 插值法
(j,k=0,1,…,n)
( x x0 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn )
n1 ( x ) ( x xk ) n1 ' ( xk )
n
• 均差的计算
三、均差与牛顿插值
1.均差与性质
• 均差定义
• 性质 （2）k阶均差可重新写为：
f [ x1 , x2 ,, xk ] f [ x0 , x1 , xk 1 ] f [ x0 , x1 , xk ] xk x0
• 均差的计算
三、均差与牛顿插值
1.均差与性质
• 均差定义
类似地称 2 f k f k 1 f k 为 xk 处的二阶差分. 一般地称 n f k n1 f k 1 n1 f k 为 xk 处的n阶差分.
• 均差与差分关系
• 牛顿前插公式
n f k (1) f nk j , j 0 j
求5、6月份的日照时间的变化规律。 • 多项式插值的存在唯一性
一、引言
2.多项式插值
• 一个例子 日照时间的变化设为 y(x)=a0+ a1x + a2x2, 根据三组数据: (1, 13.53), (31, 14.21),(61, 14.40)， 导出关于a0，a1，a2的线性方程组
a0 a1 a2 13.53 2 a0 31a1 (31) a2 14.21 2 a0 61a1 (61) a2 14.40
三、均差与牛顿插值
3.差分形式的牛顿插值公式
若x0,x1,…,xn 为等距节点，即xk=x0+kh (k=0,1,...,n) 时，可将牛顿插值公式简化
数值分析中的(插值法)
§4 均差与Newton插值公式 §9 评 述
§5 差分与等距节点插值公式
数值分析 第二章 插值法
李庆扬 王能超 易大义编
Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS
第一节 引 言
理学院
2.‹#›
数值分析 第二章 插值法
李庆扬 王能超 易大义编
理学院
Anhui University of Science and Technology
DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS
Y
●
f (x)
● ●
p(x)
●
●
2.‹#›
y0
y1 y2
y n 1
yn
x0 x1 x2
·x
xn1 xn
已知 y=f(x) 在点xi 的值 yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 求一简
单函数P(x)，满足 P(xi)=yi (i=0,1, ..., n) ( 2.1－1 )
即简单函数P(x)的曲线要经过 y f (x) 上已知
的n+1个点 x0 , y0 , x1, y1 ,L , xn, yn ,
数值分析 第二章 插值法
李庆扬 王能超 易大义编
Anhui University of Science and Technology DEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS
理学院
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第二节 拉格朗日插值
❖ 拉格朗日插值多项式 ❖ 截断误差 ❖ 数值实例 ❖ 拉格朗日插值多项式的优缺点
i0 i 1
数值分析ppt第2章_插值法
上页
下页Biblioteka 其中P 次插值多项式, 称为被插函 其中 n(x) 称为 f(x) 的n次插值多项式 f(x) 称为被插函 次插值多项式 称为插值节点 数, xi(i=0,1, ...,n)称为插值节点 (xi, yi) (i=0,1, … ,n) 称为 称为插值节点, 插值点, 称为插值区间 插值区间, 称为插值条件 插值点 [a,b] 称为插值区间 式(5-1)称为插值条件。 称为插值条件。 从几何意义来看,上 从几何意义来看 上 述问题就是要求一条多 项式曲线 y=Pn(x), 使它 通过已知的n+1个点 通过已知的 个点 (xi,yi) (i=0,1, … ,n),并用 并用 Pn(x)近似表示 近似表示f(x). 近似表示
第2章 插 值 法 章
在工程技术与科学研究中， 在工程技术与科学研究中，常会遇到函数表达 式过于复杂而不便于计算， 式过于复杂而不便于计算，且又需要计算众多点处 的函数值；或已知由实验（测量） 的函数值；或已知由实验（测量）得到的某一函数 y=f(x)在区间 在区间[a,b]中互异的 中互异的n+1个xi ( i=0, 1, ... ,n)处 处 在区间 中互异的 个 的值y 需要构造一个简单易算的 的值 i=f(xi) (i=0,1,...,n), 需要构造一个简单易算的 函数P(x)作为 作为y=f(x)的近似表达式 函数 作为 的近似表达式 y=f(x)≈P(x) , 使得 P(xi)= f(xi) = yi (i=0,1, ..., n) 这类问题就称为插值问题， 称为插值函数 这类问题就称为插值问题， P(x)称为插值函数， 插值问题 称为插值函数， P(x)一般取最简单又便于计算得函数。 一般取最简单又便于计算得函数。 一般取最简单又便于计算得函数
数值分析中的(插值法)
三、多项式插值问题中需要研究的问题
满足插值条件的多项式 Pn 是x否存在？唯一？
若满足条件的 Pn 存x在，又如何构造？ 用 Pn 近x似代替 f的 x误 差估计？
数值分析 第二章 插值法
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2.‹#›
（4）若引入记号
n1(x) (x x0 )(x x1) (x xn ) 则
n
1
(xk
)
(xk
x0 )
(xk
xk 1)(xk
xk 1)
(xk
xn )
于是
Ln(x)
n
yklk (x)
k 0
n
yk
k 0
(x
n1(x) xk )n1(xk )
Li(x)为插值基函数。
数值分析 第二章 插值法
李庆扬 王能超 易大义编
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2.‹#›
注：（1） 插值基函数l i(x) (i=0,1, …,n)仅由插值节点 xi (i=0,1, … ,n)确定,与被插函数 f(x)无关.
Rn ( x) f ( x) Ln ( x) K ( x)n1( x) 可知：x0 , x1, , xn和x是 (t) 在区间[a,b]上的n+2个 互异零点, 因此根据罗尔(Rolle)定理, 至少存在一点
数值分析 第2章 插值PPT课件
1
第一部分
整体概述
THE FIRST PART OF THE OVERALL OVERVIEW, PLEASE SUMMARIZE THE CONTENT
2
§1 引 言
一、引例
已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：
深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13
定理
对于给定的互异节点 x0 … xn, 满足 插值条件 P n(xi)yi,i0 ,...,n的 n 阶插值 多项式Pn(x)存在且唯一。
插值多项式的构造：
插值多项式的存在唯一性说明，满足插值条件的 多项式存在，并且插值多项式与构造方法无关。
如何构造插值函数才能达到预期的效果呢？
15
一般插值多项式的构造方法
根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如 500米，600米，1000米…）处的水温.
这就是本章要讨论的“插值问题”
3
问题驱动：汽车的刹车距离
司机驾驶汽车时需要根据车速估计汽车的刹 车距离以确保行车安全。
图2.1.1 某车型干燥路况刹车距离示意图
4
美国的某司机培训课程的有如下驾驶规则：正常的驾 驶条件下对车与车之间的距离的要求是每小时10英里的速 率可以允许一辆车的跟随距离。实现这一规则的简便方法 就是 “2秒法则”：这种方法不管车速为多少，后车司机 从前车经过某一标志开始默数“一千零一，一千零二”， 这样用英文读完就是两秒。如果你在默数完这句话前就到 了同一标志处，那么你的车和前面的车靠得太近了。
x0nan x1nan
y0 y1
（2.2.2）
1 a0 xna1 xnnan yn
13
第一部分
整体概述
THE FIRST PART OF THE OVERALL OVERVIEW, PLEASE SUMMARIZE THE CONTENT
2
§1 引 言
一、引例
已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：
深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13
定理
对于给定的互异节点 x0 … xn, 满足 插值条件 P n(xi)yi,i0 ,...,n的 n 阶插值 多项式Pn(x)存在且唯一。
插值多项式的构造：
插值多项式的存在唯一性说明，满足插值条件的 多项式存在，并且插值多项式与构造方法无关。
如何构造插值函数才能达到预期的效果呢？
15
一般插值多项式的构造方法
根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如 500米，600米，1000米…）处的水温.
这就是本章要讨论的“插值问题”
3
问题驱动：汽车的刹车距离
司机驾驶汽车时需要根据车速估计汽车的刹 车距离以确保行车安全。
图2.1.1 某车型干燥路况刹车距离示意图
4
美国的某司机培训课程的有如下驾驶规则：正常的驾 驶条件下对车与车之间的距离的要求是每小时10英里的速 率可以允许一辆车的跟随距离。实现这一规则的简便方法 就是 “2秒法则”：这种方法不管车速为多少，后车司机 从前车经过某一标志开始默数“一千零一，一千零二”， 这样用英文读完就是两秒。如果你在默数完这句话前就到 了同一标志处，那么你的车和前面的车靠得太近了。
x0nan x1nan
y0 y1
（2.2.2）
1 a0 xna1 xnnan yn
13
《数值分析》第二讲插值法PPT课件
1 xn xn2 xnn Vandermonde行列式
即方程组（2）有唯一解 (a0, a1, , an)
所以插值多项式
P (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n
存在且唯一
第二章：插值
§2.2 Lagrange插值
y
数值分析
1、线性插值
P 即(x)ykx yk k 1 1 x yk k(xxk)
l k ( x k 1 ) 0 ,l k ( x k ) 1 ,l k ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x k 1 ) 0 ,l k 1 ( x k ) 0 ,l k 1 ( x k 1 ) 1
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) lk(x)((xx k x xk k 1 1))((x xkxx k k1)1)
第二章：插值
数值分析
3、Lagrange插值多项式
令 L n ( x ) y 0 l 0 ( x ) y 1 l 1 ( x ) y n l n ( x )
其中，基函数
lk (x ) (x ( k x x x 0 ) 0 ) (( x x k x x k k 1 1 ) )x x k ( ( x x k k 1 ) 1 ) (( x x k x n x )n )
因此 P (x ) lk (x )y k lk 1 (x )y k 1
且
P (x k ) y k P (x k 1 ) y k 1
lk(x), lk1(x) 称为一次插值基函数
数值分析
第二章：插值
2、抛物线插值 令
y (xk , yk )
f (x)
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) p( x) (xk1,yk1)
数值分析(第5版)第2章-插值法 ppt课件
x4 94
1(x 5
4)
插值多项式为
1
1
L1( x)
y0l0 ( x) y1l1( x) 2
5
( x 9) 3 ( x 4) 5
2 ( x 9) 3 ( x 4) 1 ( x 6)
5
5
5
所以
7
L1 (7)
13 5
2.6
ppt课件
项式(2-2) 存在且唯一。证毕。
ppt课件
5
第二节 拉格朗日插值
一、基函数
考虑下面最简单`最基本的插值问题。求n 次多项 式 l i(x) (i=0,1, …, n)，使其满足条件
0 , j i li ( xj ) 1, j i ( j 0,1, , n)
故可设
li ( x) A( x x0 )( x xi1 )( x xi1 )( x xn )
15
例2 求过点(1,2), (1,0), (3,6), (4,3)的三次插值多项式。
解 以 x0 1, x1 1, x2 3, x3 4 为节点的基函数
分别为:
l0
(
x)
( x 1)( x 3)( x 4) (1 1)(1 3)(1 4)
Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn (2-2)
则由插值条件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) 可得关于系数 a0 ,a1 , …,an的线性代数方程组
ppt课件
3
a0 a0
a1 x0 a1 x1
数值分析 第2章 插值法
代入抛物插值公式得：
115 (115 121)(115 144) 10 (100 121)(100 144)
(115 100)(115 144) 11 (121 100)(121 144) (115 100)(115 121) 12 10.7228 (144 100)(144 121)
几何意义：y=p1(x)表示通过三点（x0,y0), (x1,y1) , (x2,y2)的抛物线，因此，二次插值 又称抛物插值。
p2(x)的解？
先解决一个特殊的二次插值问题
特殊的二次插值问题
求作二次式l0(x),使满足条件 l0(x0)=1 ， l0(x1)= l0(x2)=0
由l0(x1)= l0(x2)=0 可知：x1,x2是l0(x)的两个零点，因而有：
4x x
带入x0=100, 得
f
(x 0)
10,f
(x 0 )
1 ,f
20
(x 0 )
1 4000
p1(x ) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) 5 0.05x
p2(x )
p1(x )
f
(x 0 ) (x
2!
x 0)2
计算 115的近似值 （精确值10.723805…）
2!
x0)
10.75 0.028125 10.721875
练习：求作f(x)=sin x在节点x0=0的5次泰勒多项式，并估计插 值误差。
解：f (x ) cos x ,f (x ) sin x ,f (3)(x ) cos x , f (4)(x ) sin x ,f (5)(x ) cos x
115 (115 121)(115 144) 10 (100 121)(100 144)
(115 100)(115 144) 11 (121 100)(121 144) (115 100)(115 121) 12 10.7228 (144 100)(144 121)
几何意义：y=p1(x)表示通过三点（x0,y0), (x1,y1) , (x2,y2)的抛物线，因此，二次插值 又称抛物插值。
p2(x)的解？
先解决一个特殊的二次插值问题
特殊的二次插值问题
求作二次式l0(x),使满足条件 l0(x0)=1 ， l0(x1)= l0(x2)=0
由l0(x1)= l0(x2)=0 可知：x1,x2是l0(x)的两个零点，因而有：
4x x
带入x0=100, 得
f
(x 0)
10,f
(x 0 )
1 ,f
20
(x 0 )
1 4000
p1(x ) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) 5 0.05x
p2(x )
p1(x )
f
(x 0 ) (x
2!
x 0)2
计算 115的近似值 （精确值10.723805…）
2!
x0)
10.75 0.028125 10.721875
练习：求作f(x)=sin x在节点x0=0的5次泰勒多项式，并估计插 值误差。
解：f (x ) cos x ,f (x ) sin x ,f (3)(x ) cos x , f (4)(x ) sin x ,f (5)(x ) cos x
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f (2) ( x ) 1 3 R1 ( x) ( x )( x ), sin x 2! 6 4 2 2
5 0.01319 R1 ( ) 0.00762 18
2.9
数值分析
Numerical Analysis
利用
x1 , x2 4 3
注：取七位有效数字的真值
lg 4.01 0.6031444
数值分析
2.17
Numerical Analysis
2.4 等距节点插值
差分的定义
设函数 y f x 在等距节点 xi x0 ih, i 0, 1, 2, 上的函数值 yi f xi 为已知，常数 h 叫做步长，则
l0(x)
数值分析
l1(x)
2.6
Numerical Analysis
构造基函数
l j ( x)
n
( x x0 )( x x1 ) ( x x j 1 )( x x j 1 ) ( x xn ) ( x j x0 )( x j x1 ) ( x j x j 1 )( x j x j 1 ) (x j xn ) x xi
yi yi 1 yi
yi yi yi 1
分别称为函数 f x 在点 xi 的一阶向前差分，一阶向后差分。 利用一阶差分，可以定义高阶差分。例如：
二阶向前差分
2 yi yi 1 yi y i 2 2 yi 1 yi 2 yi yi yi 1 yi 2 yi 1 yi 2
f x0 , x1 , x2
f x0 , x1 f x 1 , x2 x0 x2
称为点 x0 , x1 , x2 上的二阶差商。
数值分析
2.13
Numerical Analysis
一般地，由m-1阶差商 f x0 , x1 , x2 , , xm 1 及 f x1 , x2 ,, xm ，再作 两点 x0 , xm 上的一阶差商，便得到 x0 , x1 , x2 ,, xm 点上的m阶差 商
的二次插值多项式计算，即用
数值分析
2.16
Numerical Analysis
P2 ( x) f ( x0 ) f x0 , x1 x x0 f x0 , x1 , x2 x x0 x x1
计算，代入数据，得
lg 4.01 P2 (4.01) 0.6020817 0.108431 0.0098
2次插值的实际误差 0.00061
数值分析
2.11
Numerical Analysis
2.3 Newton插值多项式
拉格朗日插值多项式构造简单，形式对称，计算方便，理论分析中 有重要的应用价值。但要想在计算中进一步提高精度，增加节点，
则要重新构造基函数，原来的计算要作废，这对实际计算很不利。
为了克服这个缺点，可把插值多项式表示为如下便于计算的形式
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
P x y0 1
y1 y0 x x0 x1 x0
1 x x1 x x0 y0 y1 li x yi i 0 x0 x1 x1 x0
分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50， 并 估计误差。
解： n = 1 分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算
利用
6 4 5 sin 500 L1 ( ) 0.77614 18 x0
, x1
L1 ( x ) x / 4 1 x / 6 1 / 6 / 4 2 / 4 / 6 2
数值分析
2.2
Numerical Analysis
2.1 插值法的概念
举例
已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：
深度（M）
466
741
950
1422
1634
水温（oC）
7.04
4.28
3.40
2.54
2.13
根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000 米„）处的水温。
2.18
二阶向后差分
数值分析
Numerical Analysis
一般地，xi 点的 n 阶向前差分
yi
n
n 1
yi 1
n 1
yi
是
yi , yi 1 ,, yi n 的线性组合。
向后差分
yi
n
n 1
yi
n 1
yi 1
是
yi n ,, yi 1 , yi
f x0 , x1 , x 2 , , xm f x0 , x1 , x 2 , , xm 1 f x1 , x 2 , , xm x0 xm
数值分析
2.14
Numerical Analysis
均差计算表
xi x0 x1 x2 x3 x4 x5
...
计算得：sin 50 0.76008,
5 0.00660 0.00538 R1 18
sin 50 = 0.7660444…
利用x0, x1 作为插值节点的实际误差 0.01001
利用x1, x2作为插值节点的实际误差 0.00596
数值分析
2.10
2.12
确定
Numerical Analysis
数值分析
差商（也叫均差） 设 y f x 在 a, b 上定义，令互异的点 xi a, b , i 0,1, 2, , n ， 相应的函数 yi f xi , i 0,1, 2,, n 值，记两点上的一阶差商 为，即
lg xi
0.6020817
一阶差商
Байду номын сангаас
二阶差商
4.0104
4.0233 4.0294
0.6031877
0.6045824 0.6052404
0.108431
0.108116 0.107869 -0.0136 -0.0130
根据问题知插值点x=4.01在 x0 与 x1 之间，故可用前三点 x0 , x1 , x2
i 0 i j
x j xi
j=0,1,…，n
（1）
与 节点有关，而与f 无关
数值分析
2.7
Numerical Analysis
可以证明函数组l0(x)，l1(x)，…, ln(x) 在插值区间［a,b］上线性无关，所
以这n+1个函数可作为Pn的一组基函数，称为Lagrange插值基函数
插值多项式
Pn(x)=Ln(x)= f(x0)l0(x)+f(x1) l1(x)+…+ f(xn) ln(x)
记为Pn(x)＝ f(xj)lj(x)=Ln(x)
数值分析
称Pn(x)为n次Lagrange插值多项式
2.8
Numerical Analysis
例：已知
sin 1 , sin 1 , sin 3 6 2 4 3 2 2
yi yi 1 f xi , xi 1 xi xi 1
由定义知： f x0 , x1 f x1 , x0 即差商具有对称性。 显然，一阶差商 f x, x1 是一元函数，再考虑它在点 x0 , x2 的一阶差 商，并记 f x 0 , x1 , x2 ，即
数 值 分 析
Numerical Analysis
机械与汽车工程学院
主讲人：孔胜利
kongsl@
2011-09-01
数值分析
2.1
Numerical Analysis
第2章 插值法
§ 插值法的概念 § 拉格朗日插值多项式 § Newton插值多项式 § 等距节点插值 § Hermite插值 § 分段插值和抛物线插值 § 样条插值
……
f xn 2 , xn 1 , xn
2.15
f x2 , x3
xn1 f xn 1 xn
f xn
f xn 2 , xn 1 f xn 3 , xn 2 , xn 1 f xn 1 , xn
……
f x0 , x1 , , xn
的线性组合。
数值分析
2.19
Numerical Analysis
0.0136 0.0098 0.0004 0.6031444
P ( x) f ( x0 ) f x0 , x1 x x0 1
也可以取 x0 , x1 作线性插值计算，即 代入数据，得
lg 4.01 P (4.01) 0.6020817 0.108431 0.0098 0.6031443 1
Pn ( x) a0 a1 x x0 a2 x x0 x x1 an x x0 x xn 1 其中，a0 , a1 , an为待定系数，可由插值条件 Pn x j f j
j 0,1, , n
18
sin 50 L2 (
R2 ( x )
) 0.76543
1 cos 3 x 2 2
cos x ( x )( x )( x ) ; 3! 6 4 3
5 0.00044 R2 0.00077 18
sin 50 = 0.7660444…
f xi f x0 f x1 f x2 f x3 f x4 f x5