课题学习：猜想、证明、拓广[上学期] 北师大版

结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么 不存在另一个矩形,它的周长和面积分别是 已知矩形周长和面积的一半.
想,做,悟 14
挑战“自我”
由特殊到一般
解:当如果矩形的长和宽分别为3和1,4和1,5和1时.设所 求矩形的长为x, 根据题意所得的方程均有没有实数根解, 则说明这样的矩形不存在.

结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,3和1,4和1,5和1时. 都不存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周 长和面积的一半.
结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么 存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩 形周长和面积的2倍.
想,做,悟 7
挑战“自我”
由特殊到一般




如果已知矩形的长和宽分别为3和1,是否还有相同的 结论? 如果已知矩形的长和宽分别为4和1,5和1,……,n和1 呢? 更一般地,当已知矩形的长和宽分别为m和n时,是否仍 然有相同的结论? 还宽分别为 3 5和3 5的矩形(记为A, 其周长和 面积分别为 12和4),是由长和宽分别为 2和1的矩形(记为B) " 加倍"而来的因而矩形 B的周长和面积分别是 A是的周长 和面积的一半 .你同意小明的观点吗 ?
想,做,悟 12
挑战“自我”
由特殊到一般
如果矩形的长和宽分别仍为2和1,那么是否存在一个 矩形,它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积 的一半? 如果已知矩形的长和宽分别为3和1,是否还有相同的 结论? 如果已知矩形的长和宽分别为4和1,5和1,……,n和1 呢?
2 2 2 2
x1 m n n m , x2 m n m n .

若从面积是2mn出发,可得同样的结论.
想,做,悟 9


挑战“自我”
猜想,证明与拓广


结论:任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它 的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍. 老师期望: 同学们,把自己对上述探究过程中的方法和感受与 同伴进行交流,这样会使受益匪浅. 老师提示: 在探索结论:“任意给定一个矩形,必然存在另一个矩 形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.” 的过程中,我们经历了猜想,由特殊到一般的尝试,证 明,拓广的全过程,从而得到了一般性的结论.
结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么 存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩 形周长和面积的2倍.
想,做,悟 6


挑战“自我”
猜想,证明与拓广


(2)从面积是4出发,看周长是否是12. 解:如果设所求矩形的长为x,那么宽为4/x,其周长为 x+4/x).根据题意,得 x+4/x=6. 即 x2-6x+4=0. 显然这个方程有解,由此说明这样的矩形存在. 解这个方程得: x1 3 5, x2 3 5.
想,做,悟 11


挑战“自我”
猜想,证明与拓广
小明认为,这个结论是正确的,理由是:既然任意给定一 个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是已知 矩形周长和面积的2倍.也就是任何一个矩形的周长和 面积可以同时“加倍”,那么,原矩形自然满足新矩形 的“减半”要求,即原矩形的周长和面积分别是新矩形 周长和面积的一半.
2a 4a2
2a
2a2
若面积倍增,即面积变为2a2,则其边长应为 2 a. 无论从哪个角度考虑,都说明不存在这样 的正方形.
想,做,悟 3

挑战“自我”
猜想,证明与拓广

任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长 和面积是已知矩形周长和面积的2倍?
老师提示: 矩形的形状太多了我们可以先研究一个具体的矩形, 比如长和宽分别为2和1,怎么样?

想,做,悟 13
挑战“自我”
由特殊到一般
解:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分 别为6和2,所求矩形的周长和面积应分别为3和1.设所求 矩形的长为x,那么它宽为1.5-x,其面积为x(1.5-x).根据 题意,得 x(1.5-x)=1. 即 2x2-3x+2=0. 如果这个方程有解,则说明这样的矩形存在. 2 2 由b -4ac=3 -4×2×2=-7<0,知道这个方程没有实数根.
想,做,悟 16
挑战“自我”
由特殊到一般


解:如果矩形的长和宽分别为6和1,那么其周长和面积 分别为14和6,所求矩形的周长和面积应分别为7和3.设 所求矩形的长为x,那么它宽为3.5-x,其面积为x(3.5x).根据题意,得 x(3.5-x)=3. 即 2x2-7x+6=0. 由b2-4ac=72-4×2×6=1>0,知道这个方程有实数根:

想,做,悟 4


挑战“自我”
由特殊到一般
解:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积 分别为6和2.
1
2 2
12
4

所求矩形的周长和面积应分别为12和4. 接下来该怎么做?你有何想法? 有两种思路可供选择: 先从周长是12出发,看面积是否是4; 或先从面积是4出发,看周长是否是12.
m n m2 n 2 6m n m n m2 n 2 6m n x1 , x2 . 4 4 结论:如果矩形的长和宽满足m2+n2≥6mn时.
才存在另一个矩形,它的周长和面积分别是 已知矩形周长和面积的一半.
读一读


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挑战“自我”
神奇的反比例函数
同学们,我们已经知道用反比例函数可以解答 世界数学难题:化圆为方,倍立方体.今天我们 再来《读一读》P153反比例函数的又一个杰作.
课题学习
猜想,证明与拓广
想,做,悟 1

挑战“自我”
猜想,证明与拓广

1.任意给定一个正方形,是否存在另一个正方形, 它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2 倍?
2.你准备怎么去做? 3.你有哪些解决方法?

想,做,悟 2


挑战“自我”
a2 a
猜想,证明与拓广
解:设给定的正方形边长为a,则其面积是a2. 若周长倍增,即边长变为2a,则面积应为4a2;
想,做,悟 10


挑战“自我”
猜想,证明与拓广

任意给定一个矩形,是否一定存在另一个矩形,它的周 长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半? 你准备怎么去做? 小明认为,这个结论是正确的,理由是:既然任意给定 一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是已 知矩形周长和面积的2倍.也就是任何一个矩形 的周 长和面积可以同时“加倍”,那么,原矩形自然满足新 矩形的“减半”要求,即原矩形的周长和面积分别是 新矩形周长和面积的一半.
想,做,悟 15
挑战“自我”
由特殊到一般


我们已经知道:如果矩形的长和宽分别为2和1,3和 1,4和1,5和1时.都不存在另一个矩形,它的周长和面 积分别是已知矩形周长和面积的一半.这个结论是否 具有一般性? 如果这个结论不具有一般性,那么当矩形的长和宽满 足什么条件时,才存在一个新的矩形,它的周长和面 积分别是已知矩形的周长和面积的一半?你能再找出 这样的一个例子吗?
想,做,悟 8
挑战“自我”
由特殊到一般




分析:如果矩形的长和宽分别为m和n,那么其周长和面 积分别为2(m+n)和mn,所求矩形的周长和面积应分别 为4(m+n)和2mn. 从周长是4(m+n)出发,看面积是否是2mn; 解:如果设所求矩形的长为x,那么它宽为2(m+n)-x,其 面积为x[2(m+n)-x].根据题意,得 x[2(m+n)-x]=2mn. 即 x2-2(m+n)x+2mn=0. 解这个方程得:
知识的升华
P155习题 1~4题. 祝你成功！
驶向胜利 的彼岸
下课了!
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结束寄语
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函数来自现实生活,函数是描述现实世 界变化规律的重要数学模型. 函数的思想是一种重要的数学思想,它 是刻画两个变量之间关系的重要手段. 从函数的图象中获取信息的能力是学好 数学必需具有的基本素质.
石家庄代怀孕 / 石家庄代怀孕 杂鬻搋
x1 2, x2 1.5. 结论:如果矩形的长和宽分别为6和1时.存 在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知 矩形周长和面积的一半.
想,做,悟 17
挑战“自我”
由特殊到一般



解:如果矩形的长和宽分别为m和n,那么其周长和面积分别为 2(m+n)和mn,所求矩形的周长和面积应分别为m+n和mn/2.设所求 矩形的长为x,那么它宽为(m+n)/2-x,其面积为x[(m+n)/2-x].根 据题意,得 x[(m+n)/2-x]=mn/2. 即 2x2-(m+n)x+mn=0. 由Δ =b2-4ac=(m+n)2-4×2×mn=m2+n2-6mn. 知道只有当m2+n2≥6mn时,这个方程才有实数根:
想,做,悟 5


挑战“自我”
猜想,证明与拓广


(1)从周长是12出发,看面积是否是4; 如果设所求矩形的长为x,那么它宽为6-x,其面积为 x(6-x).根据题意,得 x(6-x)=4. 即 x2-6x+4=0. 如果这个方程有解,则说明这样的矩形存在. 解这个方程得: x1 3 5, x2 3 5.