2011届高考数学第一轮复习单元检测试题4
2011年广东省高考理科数学模拟试题(四)答案
2011年广东高考全真模拟试卷理科数学（四）答案一、 选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.1.选 D ．提示：因为{}|14U C B x x =-≤≤，所以()U AC B ={}|13x x -≤≤.2.选 D ．提示：画出约束条件表示的平面区域,平行移动直线01:3l y x =至点(-２,２)处取得最小值.3.选 Ａ．提示：使得二次函数2()3f x x ax =--的对称轴42ax =≥即可. 4.选 Ｃ．提示：由317S a =得2311117s a qa q a a =++=,解得q =23-或.5.选 Ｃ．提示：由//a b 有12(2)0m ⨯-⨯-=,故得4m =-,在求得b =6.选 Ｂ．提示：'tan (1)1f α==. 7.选 Ａ．提示： ①若“p 且q ”为假命题，p 、q 可能有一个为真命题.②命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题应为“若2x <或3y <，则5x y +<”；③在ABC ∆中，“45A >”是“sin 2A >”的必要非充分条件. 8.选 D ．提示：其它的都需要拉伸变换才行.二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9. 1-.提示:利用基本不等式即可.10. ６.提示:用三角形面积公式: 1sin 62s BA BC B =⋅⋅=.11. 223144x y -=. 提示:直接用点到直线的距离公式.12. 3i s s +=,1+=i i （顺序不能颠倒）. 提示:试着按照程序去运行就可以了.13.3a .提示:把棱长为a 的空间正四面体ABCD 以Ｐ为顶点分割成４个地面相等的小四面体,然后用体积公示计算其和为定值.14．165 . 提示:用直角三角形的面积射影定理. 15． 85.提示:因为曲线是半径为１的圆.先求出圆心到直线的距离为 35,然后由弦长l =.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16. （本小题满分12分）(本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力) （Ⅰ）∵()4sin()cos f x x x π=-4sin cos x x =2sin 2x =， ………3分22T ππ== …………………5分 ∴函数()f x 的最小正周期为π .…………………6分（Ⅱ）由2()43f πθ+=， ∴22sin 2()43πθ+=, …………………7分化简可得1cos 23θ=, ………………9分则2112sin 3θ-=, ∴21sin 3θ=…………………10分 由(0,)θπ∈,∴sin 0θ>,故sin 3θ=…………………12分 17. （本小题满分12分）（本小题主要考查排列组合、古典概型、随机变量的分布列等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）解：⑴、记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541()40A A P E C A ==， 即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140．………………………4分 ⑵、记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541()10A P E C A ==，………………………6分所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=．8分 ⑶、随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务，则235334541(2)4C A P C A ξ===． …………………………………10分所以3(1)1(2)4P P ξξ==-==，ξ的分布列是：18. （本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、面面关系、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） 解:（Ⅰ）连接1D O ，如图，∵O 、M 分别是BD 、11B D 的中点，11BD D B 是矩形，∴四边形1D OBM 是平行四边形， ∴1//D O BM ． ………2分 ∵1D O ⊂平面1D AC ，BM ⊄平面1D AC ，∴//BM 平面1D AC ．………… 4分 （Ⅱ）连接1OB ，∵正方形ABCD 的边长为2，1BB ， ∴11B D =12OB =，12D O =，则2221111OB DO B D +=， ∴11OB DO ⊥． ……………6分 ∵在长方体1111ABCD A BC D -中，AC BD ⊥，1AC D D ⊥，……… 12分∴AC ⊥平面11BDD B ， 又1D O ⊂平面11BDD B ， ∴1AC D O ⊥， 又1ACOB O =，∴1D O ⊥平面1ABC ． ………………………………8分（Ⅲ）在平面1ABB 中过点B 作1BE AB ⊥于E ， 连结EC ，∵CB AB ⊥，1CB BB ⊥， ∴CB ⊥平面1ABB ，又1AB ⊂平面1ABB ， ……………………………9分 ∴1CB AB ⊥，又1BE AB ⊥，且CBBE B =，∴1AB ⊥平面EBC ，而EC ⊂平面EBC ， …………………10分 ∴1AB EC ⊥．∴BEC ∠是二面角1B AB C --的平面角． …………………12分在Rt BEC ∆中，BE =，2BC =∴tan BEC ∠=60BEC ∠=，∴二面角1B AB C --的大小为60． …………………………14分解法2（坐标法）：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接1D O ，则点(1,1,0)O 、1D ，∴1(1,1OD =--又点(2,2,0)B ，(1,1M ，∴(1,1BM =-- ∴1OD BM =， 且1OD 与BM 不共线， ∴1//OD BM ．又1D O ⊂平面1D AC ，BM ⊄平面1D AC ，∴//BM 平面1D AC ． ……………………………4分（Ⅱ）∵11(1,1(1,10OD OB ⋅=--⋅=，1(1,1(2,2,0)0OD AC ⋅=--⋅-=∴11OD OB ⊥，1OD AC ⊥， 即11OD OB ⊥，1OD AC ⊥， 又1OB AC O =，∴1D O ⊥平面1ABC ． …………………………8分 （Ⅲ）∵CB AB ⊥，1CB BB ⊥， ∴CB ⊥平面1ABB ，∴(2,0,0)BC =-为平面1ABB 的法向量．∵11OD OB ⊥，1OD AC ⊥，∴1(1,1OD =--为平面1ABC 的法向量．∴11cos ,2BC OD <>=， ∴BC 与1OD 的夹角为60，即二面角1B AB C --的大小为60．………………14分（Ⅲ）（法三）设二面角1B AB C --的大小为α，1AB C ∆在平面1AB B 内的射影就是1AB B ∆，根据射影面积公式可得11cos AB B AB CS S α∆∆=，1112AB B S AB B B ∆=⋅⋅=1112AB C S AC B O ∆=⋅⋅=∴111cos 2AB B AB CS S α∆∆===， ∴二面角1B AB C --的大小为60 …………14分 19. （本小题满分14分）（本小题主要考查应用题型、函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） 解：（1）设商品降价x 万元， 则多卖的商品数为2kx ，若记商品在一个星期的获利为()f x ，………………1分 则依题意有2()(309)(432)f x x kx =--+2(21)(432)x kx =-+， ………………4分又由已知条件，2242k=·， 于是有6k =， ……5分所以32()61264329072[030]f x x x x x =-+-+∈，，．…………7分（2）根据（1），我们有2()18252432f x x x '=-+-18(2)(12)x x =---．………9分…………12分故12x =时，()f x 达到极大值． 因为(0)9072f =，(12)11264f =，所以定价为301218-=万元能使一个星期的商品销售利润最大． …………14分 20. （本小题满分14分）（本小题主要考查圆、椭圆、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） 解：（1）由椭圆的方程知1a =，∴点(0,)B b ，(1,0)C ，设F 的坐标为(,0)c -， ………………1分∵FC 是P 的直径，∴FB BC ⊥∵,BC BF b k b k c=-= ∴1bb c-⋅=- --------------------2分 ∴221b c c ==-，210c c +-= --------------------------------------3分解得c =--------------------------------------5分∴椭圆的离心率c e a ==分（2）∵P 过点F,B,C 三点，∴圆心P 既在FC 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，FC 的垂直平分线方程为12cx -=--------① -----------7分∵BC 的中点为1(,)22b ，BC k b =- ∴BC 的垂直平分线方程为11()22b y x b -=------② ---------9分由①②得21,22c b cx y b--==， 即21,22c b c m n b--== -----11分 ∵P (,)m n 在直线0x y +=上，∴ 21022c b c b--+=⇒(1)()0b b c +-=∵10b +>∴b c = ------------------13分由221b c =-得212b =∴椭圆的方程为2221x y +=. -------------------14分21. （本小题满分14分）（本小题主要考查数列、不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）解：⑴(1)3,(2)6f f == -----------------2分当1x =时，y 取值为1，2，3，…，2n 共有2n 个格点当2x =时，y 取值为1，2，3，…，n 共有n 个格点∴()23f n n n n =+= -----------------4分 ⑵()(1)9(1)22n n nf n f n n n T ++==119(1)(2)229(1)22n n n nn n T n n n T n +++++⇒==+ -------------5分当1,2n =时，1n n T T +≥当3n ≥时，122n n n n T T ++<⇒< ------------------6分 ∴1n =时，19T =2,3n =时，23272T T ==4n ≥时，3n T T <∴{}n T 中的最大值为23272T T ==. ------------------8分要使m T n ≤对于一切的正整数n 恒成立， 只需272m ≤ ∴272m ≥ -------------------9分 ⑶()3228f n n n n b ===8(18)8(81)187n n n S -⇒==--. ---------------10分 将n S 代入16111<-+++n n n n tb S tb S ， 化简得，888177812877n n t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭<⎛⎫-- ⎪⎝⎭（﹡）-------------------11分若1t =时 8817781277nn -<-，81577n<即，显然1n =-------------------12分若1t >时 818077n t ⎛⎫--< ⎪⎝⎭ （﹡）式化简为815877n t ⎛⎫-> ⎪⎝⎭不可能成立 --------------13分综上，存在正整数1,1n t == 使16111<-+++n n nn tb S tb S 成立. - --------------14分。
2011届高考数学一轮复习测评卷13.4
2011年《新高考全案》高考总复习第一轮复习测评卷第十三章 第四讲一、选择题1．若变量y 与x 之间的相关系数r ＝－0.936 2，查表得到相关系数临界值r 0.05＝0.801 3，则变量y 与x 之间( )A ．不具有线性相关关系B ．具有线性相关关系C ．它们的线性关系还要进一步确定D ．不确定 [答案] B2．如果有95%的把握说事件A 和B 有关系，那么具体计算出的数据( )A ．K 2＞3.841B ．K 2＜3.841C ．K 2＞6.635D ．K 2＜6.635[解析] 比较K 2的值和临界值的大小，95%的把握则K 2＞3.841，K 2＞6.635就约有99%的把握．[答案] A3．实验测得四组(x ，y )的值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y 与x 之间的线性回归方程为( )A.y ∧＝x ＋1 B.y ∧＝x ＋2 C.y ∧＝2x ＋1D.y ∧＝x －1[解析] 画散点图，四点都在直线y ∧＝x ＋1上． [答案] A4．如下图所示，4个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是( )[解析]图A中的点不成线性排列，故两个变量不适合线性回归模型，故选A.[答案] A5．观察下列各图，其中两个分类变量关系最强的是()[解析]D选项中主对角线上两个柱形高度之积与副对角线上两个柱形高度之积相差最大，选D.[答案] D6．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，数据如下表．由此建立的身高与年龄的回归模型为y＝7.19x＋73.93.用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是() 年龄/岁3456789身高/cm94.8104.2108.7117.8124.3130.8139.0 A.C．身高在145.83 cm左右D．身高在145.83 cm以下[解析]将x＝10代入得y＝145.83，但这种预测不一定准确，应该在这个值的左右．故选C.[答案] C二、填空题7．下列命题：①用相关指数R 2来刻画回归的效果时，R 2的值越大，说明模型拟合的效果越好； ②对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”可信程度越大；③两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1；④三维柱形图中柱的高度表示的是各分类变量的频数．其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)[答案] ①③④8．若两个分类变量x 和y 的列联表为：则x 与y [解析] x 2＝(5＋15＋40＋10)(5×10－40×15)2(5＋15)(40＋10)(5＋40)(15＋10)≈18.822，查表知P (x 2≥6.635)≈0.1，∴x 与y 之间有关系的概率约为1－0.1＝0.99. [答案] 0.999．若施化肥量x 与水稻产量y 的回归直线方程为y ∧＝5x ＋250，当施化肥量为80 kg 时，预计水稻产量为________．[答案] 650 kg10．根据下面的列联表：得到如下的判断：99%的把握认为患肝病与嗜酒有关；③认为患肝病与嗜酒有关的出错的可能为1%；④认为患肝病与嗜酒有关的出错的可能为10%.其中正确的命题为________．[解析] 正确命题为②③. [答案] ②③ 三、解答题11．某体育训练队共有队员40人，下表为跳远和跳高成绩的统计表，成绩分为1～5共5个档次，例如表中所示跳高成绩为4分、跳远成绩为2分的队员为5人，将全部队员的姓名卡混合在一起，任取一张，得该卡对应队员的跳高成绩为x 分，跳远成绩为y 分，设x ，y 为随机变量．(注：没有相同姓名的队员)(1)跳高成绩是否“优秀”与跳远是否“优秀”有没有关系？(2)若跳远成绩相等和跳高成绩相等的人数分别为m 、n .试问：m 、n 是否具有线性相关关系？若有，求出回归直线方程．若没有，请说明理由．(回归相关系数r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n (x i －x )2∑i ＝1n(y i －y )2)[解] (1)根据题中条件，对两变量进行分类，先看跳远成绩“优”的队员有10人，“一般”的有30人；跳高“优”的有15人，“一般”的有25人；于是，列联表如下：假设跳高“优则K 2＝80×(15×30－10×25)240×40×25×55＝1.455＜2.706，显然，没有充分的证据显示跳高“优”与跳远“优”有关． (2)将跳远、跳高成绩及人数整理如下表：易得m ＝8，n ＝8，∑i ＝1k(m i －m)2＝30，∑i ＝1k(n i －n )2＝22，∑i ＝1k(m i －m )(n i －n )＝5，那么r ＝∑i ＝1k(m i －m )(n i －n )∑i ＝1k(m i －m)2·∑i ＝1k (n i －n )2＝530×22≈0.194 6，可见变量n 与m 不具有线性相关性．12．某数学教师为了研究学生的性别与喜欢数学之间的关系，随机抽测了20名学生，得到如下数据：(2)根据题(1)系？(3)按下面的方法从这20名学生中抽取1名学生来核查测量数据的误差：将一个标有数字1,2,3,4,5,6的正六面体骰子连续投掷两次，记朝上的两个数字的乘积为被抽取学生的序号．试求：①抽到12号的概率；②抽到“无效序号(超过20号)”的概率．参考公式：K 2＝n ×(ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )参考数据：P (K 2≥k )0.025 0.010 0.005 k5.0246.6357.879[解] (1)根据题中表格数据可得2×2列联表如下：男生 女生 合计 喜欢数学 5 3 8 不喜欢数学 1 11 12 合计61420(2)提出假设H 0：性别与是否喜欢数学之间没有关系．根据上述列联表可以求得K 2的观测值为k ＝20×(5×11－1×3)26×14×8×12≈6.7063.当H 0成立时，P (K 2≥6.635)≈0.010＝1%，而这里6.7063＞6.635. ∴认为性别与是否喜欢数学之间没有关系的概率是1%，∴该数学教师有99%的把握认为：性别与是否喜欢数学之间有关系．(3)将一个骰子连续投掷两次，事件“朝上的两个数字的乘积”有6×6＝36种． ①∵朝上的两个数字的乘积为12的事件有4种：2×6,3×4,6×2,4×3. ∴抽到12号的概率为P 1＝436＝19.②∵朝上的两个数字的乘积为“无效序号(超过20号)”的事件有6种：4×6,5×5,5×6,6×4,6×5,6×6，∴抽到“无效序号(超过20号)”的概率为P 2＝636＝16.亲爱的同学请你写上学习心得________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________。
2011年黄冈中学高考数学一轮复习(内部)系列
2011年黄冈中学高考一轮复习(内部)系列:高考数学一轮复习单元测试卷（13）—数形结合思想一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．已知集合P={ 0, m},Q={x │Z x x x ∈<-,0522},若P∩Q≠Φ,则m 等于 （ ）A ．1B ．2C ．1或25D ．1或22．使得点)2sin ,2(cos ααA 到点)sin ,(cos ααB 的距离为1的α的一个值是 （ ）A ．12π B ．6π C ．3π-D ．4π-3．将函数x x f 2sin :→的图象向右平移B=[－1，1]个单位长度，再作关于x 轴的对称变换，得到y x x R =∈c o s 2，的图象，则f x ()可以是 （ ）A ．s in xB ．c o s xC ．2s i n xD ．2c o s x4．某工厂六年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂六年来这种产品的可用图像表示的是 （ ）A .B .C .D .5．有一棱长为a 的正方体框架，其内放置一气球，是其充气且尽可能地膨胀（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为 （ ）A ．2a πB ．22a πC ．32a πD ．42a π6．已知z ∈C ，满足不等式0<-+z i iz z z 的点Z 的集合用阴影表示为 （ ）A ．B ．C ．D ．36Cot36Cot 36Cot 36Cot x y O x y O1xy O 1 x y O －7．直角坐标x O y 平面上，平行直线x ＝n （n ＝0，1，2，……，5）与平行直线y ＝n （n ＝0， 1，2，……，5）组成的图形中，矩形共有 （ ）A ．25个B ．36个C ．100个D ．225个8．方程11122=---x y y x 所对应的曲线图形是（ ）A ．B ．C ．D ．9．设0＜x ＜π，则函数xxy sin cos 2-=的最小值是（ ）A ．3B ．2C ．3D ．2-310．四面体ABCD 的六条棱中，其中五条棱的长度都是2，则第六条棱长的取值范围是( )A ．()2,0B ．()32,0C ．()32,2D ．[)4,211．若直线1+=kx y 与曲线12+=y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 （ ）A ．12-<<-kB ．22<<-kC ．21<<k D ．2-<k 或2>k12．某企业购置了一批设备投入生产，据分析每台设备生产的总利润y （单位：万元）与年数x ()N x ∈满足如图的二次函数关系。
高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 N单元 选修4系列(2011年) Word版含答
课标理数5.N1如图1－2，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G .图1－2给出下列三个结论： ①AD ＋AE ＝AB ＋BC ＋CA ； ②AF ·AG ＝AD ·AE ； ③△AFB ∽△ADG . 其中正确结论的序号是() A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③课标理数5.N1 A 【解析】因为AD 、AE 、BC 分别与圆O 切于点D 、E 、F ，所以AD ＝AE ，BD ＝BF ，CF ＝CE ，又AD ＝AB ＋BD ，所以AD ＝AB ＋BF ，同理有AE ＝CA ＋FC .又BC ＝BF ＋FC ，所以AD ＋AE ＝AB ＋BC ＋CA ，故①正确；对②，由切割线定理有：AD 2＝AF ·AG ，又AD ＝AE ，所以有AF ·AG ＝AD ·AE 成立；对③，很显然，∠ABF ≠∠AGD ，所以③不正确，故应选A.图1－2课标理数15.N1 (几何证明选讲选做题)如图1－2，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且PB ＝7，C 是圆上一点使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.课标理数15.N135 【解析】因为PA 为圆O 切线，所以∠PAB ＝∠ACB ，又∠APB ＝∠BAC ，所以△PAB ∽△ACB ，所以PB AB ＝AB CB，所以AB 2＝PB ·CB ＝35，所以AB ＝35.课标文数15.N1 (几何证明选讲选做题)如图1－3，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，图1－3E 、F 分别为AD 、BC 上点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．课标文数15.N1 7∶5图1－4【解析】图1－4延长AD 与BC 交于H 点，由于DC ∥EF ∥AB ，又DC AB ＝24，所以S △HDC S △HAB ＝416，同理S △EFH S △HAB ＝916，所以S △HDC ∶S 梯形DEFC ∶S 梯形EFBA ＝4∶5∶7， 所以梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为7∶5.图1－2课标理数11.N1如图1－2，A ，E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，则AF 的长为________．课标理数11.N1233【解析】连结AO 与AB ，因为A ，E 是半圆上的三等分点，所以∠ABO ＝60°，∠EBO ＝30°.因为OA ＝OB ＝2，所以△ABO 为等边三角形．又因为∠EBO ＝30°，∠BAD ＝30°，所以F 为△ABO 的中心，易得AF ＝233.课标理数22.N1图1－11如图1－11，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合，已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．课标理数22.N1【解答】 (1)证明：连结DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB ＝mn ＝AE ×AC ，即AD AC ＝AE AB，又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB ， 因此∠ADE ＝∠ACB ，即∠ACB 与∠EDB 互补，所以∠CED 与DBC 互补， 所以C ，B ，D ，E 四点共圆．图1－12(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12. 故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC ， 从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12(12－2)＝5，故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.课标理数22.N1选修4－1：几何证明选讲图1－11如图1－11，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．课标理数22.N1【解答】 (1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA，故∠ECD＝∠EBA，所以CD∥AB.图1－12(2)由(1)知，AE＝BE，因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC.从而∠FED＝∠GEC.连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA，所以∠AFG＋∠GBA＝180°，故A，B，G，F四点共圆．课标文数22.N1如图1－10，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线图1－10与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．课标文数22.N1【解答】 (1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.图1－11因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE，因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆．课标文数22.N1如图1－10，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．图1－10已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．课标文数22.N1图1－11【解答】 (1)证明：连结DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，即AD AC ＝AE AB，又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB . 因此∠ADE ＝∠ACB ，即∠ACB 与∠EDB 互补，所以∠CED 与∠DBC 互补， 所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12. 故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC ，从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12(12－2)＝5.故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.课标理数15. (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)N4A .(不等式选做题)若关于x 的不等式|a|≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是____________．图1－5N1B.(几何证明选做题)如图1－5，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________．N3C .(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．课标理数15.(1)N4a ≥3或a ≤－3【解析】令t ＝|x ＋1|＋|x －2|得t 的最小值为3，即有|a |≥3，解得a ≥3或a ≤－3. 课标理数15.(2)N1 4 2 【解析】在Rt △ADC 中，CD ＝82；在Rt △ADC 与Rt △ABE中，∠B ＝∠D ，所以△ADC ∽△ABE ，故AB AD ＝BE CD ，BE ＝ABAD×CD ＝4 2. 课标理数15.(3)N3 3 【解析】由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ消参得(x －3)2＋(y －4)2＝1；由C 2：ρ＝1得x 2＋y 2＝1，两圆圆心距为5，两圆半径都为1，故|AB |≥3，最小值为3.课标文数15.N4A.(不等式选做题)若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．图1－7N1B.(几何证明选做题)如图1－7，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE ＝________．N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．课标文数15A.N4 (－∞，3] 【解析】由绝对值的几何意义得|x ＋1|＋|x －2|≥3，要使得|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，则a ≤3，即a ∈(－∞，3]．课标文数15B.N1 2 【解析】根据图形由∠ACD ＝90°，∠B ＝∠D ，得A ，B ，C ，D 四点共圆，连接BD ，则∠DBA ＝90°，AB ＝6，AD ＝12，所以∠BDA ＝30°＝∠BCA .因为AE ⊥BC ，AE ＝12AC ＝2.课标文数15C.N3 1 【解析】由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ消参得(x －3)2＋y 2＝1，由C 2：ρ＝1得x 2＋y 2＝1，两圆圆心距为3，两圆半径都为1，故|AB |≥1，最小值为1.课标数学21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．图1－7N1A ．选修4－1：几何证明选讲如图1－7，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1>r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．N2B ．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β.N3C ．选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程． N4D ．选修4－5：不等式选讲 解不等式x ＋|2x －1|<3.课标数学21.N1A ．选修4－1：几何证明选讲 本题主要考查两圆内切、相似比等基础知识，考查推理论证能力．【解答】证明：连结AO 1，并延长分别交两圆于点E 和点D.连结BD ，CE.因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上，故AD ，AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径． 从而∠ABD ＝∠ACE ＝π2，所以BD ∥CE ，于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1r 2.所以AB ∶AC 为定值．N2B ．选修4－2：矩阵与变换 本题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求解能力．【解答】A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3243.设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .由A 2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3243⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，从而⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2.解得x ＝－1，y ＝2，所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12. N3C ．选修4－4：坐标系与参数方程 本题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力．【解答】由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4，0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.N4D ．选修4－5：不等式选讲 本题主要考查解绝对值不等式的基础知识，考查分类讨论、运算求解能力．【解答】原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x ＋（2x －1）<3或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，x －（2x －1）<3. 解得12≤x <43或－2<x <12.所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2<x <43.课标理数12.N1如图1－6所示，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．图1－6课标理数12.N172【解析】设AF ＝4k (k >0)，则BF ＝2k ，BE ＝k . 由DF ·FC ＝AF ·BF ，得2＝8k 2，即k ＝12.∴AF ＝2，BF ＝1，BE ＝12，AE ＝72，由切割线定理得CE 2＝BE ·EA ＝12×72＝74，∴CE ＝72.课标文数13.N1如图1－5，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．图1－5课标文数13.N172【解析】设AF ＝4k (k >0)，则BF ＝2k ，BE ＝k . 由DF ·FC ＝AF ·BF 得2＝8k 2，即k ＝12.∴AF ＝2，BF ＝1，BE ＝12，AE ＝72，由切割线定理得CE 2＝BE ·EA ＝12×72＝74，∴CE ＝72.课标理数21.N2(1)选修4－2：矩阵与变换 设矩阵M ＝错误!(其中a >0，b >0)． ①若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；②若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．N3(2)坐标系选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．①已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；②设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． N4(3)选修4－5：不等式选讲 设不等式|2x －1|<1的解集为M . ①求集合M ；②若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．课标理数21.【解答】N2(1)①设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 1x 2y 2)，则MM －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1001)．又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2003)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2003)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 1x 2y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1001)．所以2x 1＝1，2y 1＝0，3x 2＝0，3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13.故所求的逆矩阵M－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫120013)． ②设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)．则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 00b )⎝ ⎛⎭⎪⎫x y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′y ′)，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′by ＝y ′.又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1.则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.N3(2)①把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P(0，4)．因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． ②因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离为 d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋2 2. 由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.N4(3)①由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x<1， 所以M ＝{x|0<x<1}．②由①和a ，b ∈M 可知0<a<1，0<b<1， 所以(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)>0. 故ab ＋1>a ＋b.课标数学21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．图1－7N1A ．选修4－1：几何证明选讲如图1－7，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1>r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．N2B ．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β.N3C ．选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程． N4D ．选修4－5：不等式选讲 解不等式x ＋|2x －1|<3.课标数学21.N1A ．选修4－1：几何证明选讲 本题主要考查两圆内切、相似比等基础知识，考查推理论证能力．【解答】证明：连结AO 1，并延长分别交两圆于点E 和点D.连结BD ，CE.因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上，故AD ，AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径． 从而∠ABD ＝∠ACE ＝π2，所以BD ∥CE ，于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1r 2.所以AB ∶AC 为定值．N2B ．选修4－2：矩阵与变换 本题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求解能力．【解答】A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3243.设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .由A 2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3243⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，从而⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2.解得x ＝－1，y ＝2，所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12. N3C ．选修4－4：坐标系与参数方程 本题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力．【解答】由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4，0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.N4D ．选修4－5：不等式选讲 本题主要考查解绝对值不等式的基础知识，考查分类讨论、运算求解能力．【解答】原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x ＋（2x －1）<3或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，x －（2x －1）<3.解得12≤x <43或－2<x <12.所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2<x <43.课标理数5.N3在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为()A ．2 B.4＋π29C.1＋π29D. 3课标理数5.N3 D 【解析】点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3的直角坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos π3＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π3＝ 3.圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心(1，0)到点(1，3)的距离为 3.课标理数3.N3在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2C ．(1，0)D ．(1，π)课标理数3.N3 B 【解析】由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化为普通方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，其圆心坐标为(0，－1)，所以其极坐标方程为⎝⎛⎭⎪⎫1，－π2，故应选B.课标理数21.N2(1)选修4－2：矩阵与变换设矩阵M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 00b )(其中a >0，b >0)．①若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；②若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．N3(2)坐标系选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．①已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；②设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． N4(3)选修4－5：不等式选讲 设不等式|2x －1|<1的解集为M . ①求集合M ；②若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．课标理数21.【解答】N2(1)①设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 1x 2y 2)，则MM －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1001)．又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2003)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2003)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 1x 2y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1001)．所以2x 1＝1，2y 1＝0，3x 2＝0，3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13.故所求的逆矩阵M－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫120013)． ②设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)．则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 00b )⎝ ⎛⎭⎪⎫x y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′y ′)，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′by ＝y ′.又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1.则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.N3(2)①把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P(0，4)．因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． ②因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离为 d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋2 2. 由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.N4(3)①由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x<1， 所以M ＝{x|0<x<1}．②由①和a ，b ∈M 可知0<a<1，0<b<1， 所以(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)>0. 故ab ＋1>a ＋b.课标理数14.N3 (坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θy ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．课标理数14.N3⎝ ⎛⎭⎪⎫1，255 【解析】把参数方程⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ化为标准方程得x 25＋y 2＝1(y ≥0)，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t 化为标准方程得y 2＝45x (x >0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 2＝1，y 2＝45x ，得x ＝1或x＝－5(舍去)，把x ＝1代入y 2＝45x 得y ＝255或y ＝－255(舍去)，所以交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，255.课标理数9.N3在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________．课标理数9. N3 2 【解析】曲线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α化为普通方程：x 2＋(y －1)2＝1，圆心为(0，1)，r ＝1，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0化为普通方程：x －y ＋1＝0，则圆心在曲线C 2上，直线与圆相交，故C 1与C 2的交点个数为2.课标文数9.N3在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________．课标文数9.N3 2 【解析】曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α，化为普通方程：x 24＋y 23＝1①，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0化为普通方程：x －y ＋1＝0②.联立①，②得7x 2＋8x －8＝0，此时Δ＝82－4×7×(－8)>0.故C 1与C 2的交点个数为2.课标理数15.N3 (1)(坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．课标理数15.N3【答案】x 2＋y 2－4x －2y ＝0【解析】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ⇒cos θ＝x ρ，sin θ＝y ρ，ρ2＝x 2＋y 2，代入ρ＝2sin θ＋4cos θ得，ρ＝2y ρ＋4x ρ⇒ρ2＝2y ＋4x ⇒x 2＋y 2－4x －2y ＝0.课标理数23.N3在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α.(α为参数)M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的参数方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.课标理数23.N3【解答】 (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，由于M 点在C 1上，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数) (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝2 3.课标理数23.N3选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a ＞b ＞0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．课标理数23.N3【解答】 (1)C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1，0)，(a ，0)． 因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0，1)，(0，b )．因为这两点重合，所以b ＝1.(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x 29＋y 2＝1.当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝31010.当α＝－π4时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称．因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形，故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为（2x ′＋2x ）（x ′－x ）2＝25.课标文数23.N3在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ，(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，(a ＞b ＞0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．课标文数23.N3【解答】 (1)C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1，0)，(a ，0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0，1)，(0，b )，因为这两点重合，所以b ＝1.(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x 29＋y 2＝1.当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝31010.当α＝－π4时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形．故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为（2x ′＋2x ）（x ′－x ）2＝25.课标文数23.N3在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α.(α为参数)M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的参数方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.课标文数23.N3【解答】 (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，由于M 点在C 1上，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α，(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.课标理数15. (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)N4A .(不等式选做题)若关于x 的不等式|a|≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是____________．图1－5N1B.(几何证明选做题)如图1－5，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________．N3C .(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．课标理数15.(1)N4a ≥3或a ≤－3【解析】令t ＝|x ＋1|＋|x －2|得t 的最小值为3，即有|a |≥3，解得a ≥3或a ≤－3. 课标理数15.(2)N1 4 2 【解析】在Rt △ADC 中，CD ＝82；在Rt △ADC 与Rt △ABE 中，∠B ＝∠D ，所以△ADC ∽△ABE ，故AB AD ＝BE CD ，BE ＝ABAD×CD ＝4 2. 课标理数15.(3)N3 3 【解析】由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ消参得(x －3)2＋(y －4)2＝1；由C 2：ρ＝1得x 2＋y 2＝1，两圆圆心距为5，两圆半径都为1，故|AB |≥3，最小值为3.课标文数15.N4A.(不等式选做题)若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．图1－7N1B.(几何证明选做题)如图1－7，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE ＝________．N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．课标文数15A.N4 (－∞，3] 【解析】由绝对值的几何意义得|x ＋1|＋|x －2|≥3，要使得|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，则a ≤3，即a ∈(－∞，3]．课标文数15B.N1 2 【解析】根据图形由∠ACD ＝90°，∠B ＝∠D ，得A ，B ，C ，D 四点共圆，连接BD ，则∠DBA ＝90°，AB ＝6，AD ＝12，所以∠BDA ＝30°＝∠BCA .因为AE ⊥BC ，AE ＝12AC ＝2.课标文数15C.N3 1 【解析】由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ消参得(x －3)2＋y 2＝1，由C 2：ρ＝1得x 2＋y 2＝1，两圆圆心距为3，两圆半径都为1，故|AB |≥1，最小值为1.课标数学21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．图1－7N1A ．选修4－1：几何证明选讲如图1－7，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1>r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．N2B ．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β.N3C ．选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程． N4D ．选修4－5：不等式选讲 解不等式x ＋|2x －1|<3.课标数学21.N1A ．选修4－1：几何证明选讲 本题主要考查两圆内切、相似比等基础知识，考查推理论证能力．【解答】证明：连结AO 1，并延长分别交两圆于点E 和点D.连结BD ，CE.因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上，故AD ，AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径． 从而∠ABD ＝∠ACE ＝π2，所以BD ∥CE ，于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1r 2.所以AB ∶AC 为定值．N2B ．选修4－2：矩阵与变换 本题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求解能力．【解答】A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3243.设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .由A 2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3243⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，从而⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2.解得x ＝－1，y ＝2，所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12. N3C ．选修4－4：坐标系与参数方程 本题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力．【解答】由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4，0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.N4D ．选修4－5：不等式选讲 本题主要考查解绝对值不等式的基础知识，考查分类讨论、运算求解能力．【解答】原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x ＋（2x －1）<3或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，x －（2x －1）<3. 解得12≤x <43或－2<x <12.所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2<x <43.课标理数11.N3已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t(t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________．课标理数11.N3 2 【解析】由抛物线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t ，消去t ，得y 2＝8x ，∴焦点坐标为(2，0)．∴直线l 的方程为y ＝x －2.又∵直线l 与圆(x －4)2＋y 2＝r 2相切， ∴r ＝|4－2|12＋12＝ 2.课标理数21.N2(1)选修4－2：矩阵与变换设矩阵M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 00b )(其中a >0，b >0)．①若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；②若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．N3(2)坐标系选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．①已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；②设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． N4(3)选修4－5：不等式选讲 设不等式|2x －1|<1的解集为M . ①求集合M ；②若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．课标理数21.【解答】N2(1)①设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 1x 2y 2)，则MM －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1001)．又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2003)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2003)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 1x 2y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1001)．所以2x 1＝1，2y 1＝0，3x 2＝0，3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13.故所求的逆矩阵M－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫120013)． ②设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)．则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 00b )⎝ ⎛⎭⎪⎫x y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′y ′)，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′by ＝y ′.又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1.则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.N3(2)①把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P(0，4)．因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． ②因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋2 2. 由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.N4(3)①由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x<1， 所以M ＝{x|0<x<1}．②由①和a ，b ∈M 可知0<a<1，0<b<1， 所以(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)>0. 故ab ＋1>a ＋b.课标理数10.N4，E6设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________．课标理数10.N4，E6 9 【解析】方法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝1＋4x 2y 2＋1x 2y 2＋4≥5＋24x 2y 2×1x 2y2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y 2时，“＝”成立．方法二：利用柯西不等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ×1x ＋1y ×2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y 2时，等号成立．课标理数15.N4 (2)(不等式选做题)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________．课标理数15.N4【答案】 5【解析】 |x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，当x ＝0，y ＝3时，|x －2y ＋1|取得最大值5.课标文数15.N4对于x ∈R ，不等式||x ＋10－||x －2≥8的解集为________． 课标文数15.N4设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ＞0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．课标理数24.N4【解答】 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2.由此可得x ≥3或x ≤－1. 故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为 {x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得 |x －a |＋3x ≤0. 此不等式可化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a ＞0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a 2.由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.课标理数24.N4选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集．课标理数24.N4【解答】 (1)f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3， x ≤2，2x －7， 2＜x ＜5，3，x ≥5.当2＜x ＜5时，－3＜2x －7＜3. 所以－3≤f (x )≤3. (2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2＜x ＜5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ＜5}； 当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}． 综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．课标文数24.N4已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|.(1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集． 课标文数24.N4【解答】(1)f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3， x ≤2，2x －7， 2＜x ＜5，3，x ≥5.当2＜x ＜5时，－3＜2x －7＜3. 所以－3≤f (x )≤3. (2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2＜x ＜5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ＜5}； 当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}． 综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．课标文数24.N4设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．课标文数24.N4【解答】 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1， 故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为 {x |x ≥3或x ≤－1}．(2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0. 此不等式可化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－a 2.由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.课标理数15. (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)N4A .(不等式选做题)若关于x 的不等式|a|≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是____________．图1－5N1B.(几何证明选做题)如图1－5，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________．N3C .(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．课标理数15.(1)N4a ≥3或a ≤－3【解析】令t ＝|x ＋1|＋|x －2|得t 的最小值为3，即有|a |≥3，解得a ≥3或a ≤－3. 课标理数15.(2)N1 4 2 【解析】在Rt △ADC 中，CD ＝82；在Rt △ADC 与Rt △ABE 中，∠B ＝∠D ，所以△ADC ∽△ABE ，故AB AD ＝BE CD ，BE ＝ABAD×CD ＝4 2. 课标理数15.(3)N3 3 【解析】由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ消参得(x －3)2＋(y －4)2＝1；由C 2：ρ＝1得x 2＋y 2＝1，两圆圆心距为5，两圆半径都为1，故|AB |≥3，最小值为3.课标文数15.N4A.(不等式选做题)若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．图1－7N1B.(几何证明选做题)如图1－7，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE ＝________．N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．课标文数15A.N4 (－∞，3] 【解析】由绝对值的几何意义得|x ＋1|＋|x －2|≥3，要使得|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，则a ≤3，即a ∈(－∞，3]．课标文数15B.N1 2 【解析】根据图形由∠ACD ＝90°，∠B ＝∠D ，得A ，B ，C ，D 四点共圆，连接BD ，则∠DBA ＝90°，AB ＝6，AD ＝12，所以∠BDA ＝30°＝∠BCA .因为AE ⊥BC ，AE ＝12AC ＝2.课标文数15C.N3 1 【解析】由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ消参得(x －3)2＋y 2＝1，由C 2：ρ＝1得x 2＋y 2＝1，两圆圆心距为3，两圆半径都为1，故|AB |≥1，最小值为1.课标数学21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．图1－7N1A ．选修4－1：几何证明选讲如图1－7，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1>r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．N2B ．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β. N3C ．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程． N4D ．选修4－5：不等式选讲解不等式x ＋|2x －1|<3.课标数学21.N1A ．选修4－1：几何证明选讲 本题主要考查两圆内切、相似比等基础知识，考查推理论证能力．【解答】证明：连结AO 1，并延长分别交两圆于点E 和点D.连结BD ，CE.因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上，故AD ，AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径．从而∠ABD ＝∠ACE ＝π2，所以BD ∥CE ， 于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1r 2. 所以AB ∶AC 为定值．N2B ．选修4－2：矩阵与变换 本题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求解能力．【解答】A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3243. 设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .由A 2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3243⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，从而⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2. 解得x ＝－1，y ＝2，所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12. N3C ．选修4－4：坐标系与参数方程 本题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力．。
2011届高考数学第一轮复习阶段质量检测试题1
阶段质量检测(八) 平面解析几何 (时间120分钟，满分150分) 第Ⅰ卷 (选择题，共40分)一、选择题(本大题共8题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是 ( ) A.|a |4 B.|a |2 C ．|a | D ．－a 2 解析：由已知焦点到准线的距离为p ＝|a |2.答案：B2．过点A (4，a )与B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |＝ ( )A ．6 B.2 C ．2 D ．不确定 解析：由题知b －a5－4＝1，∴b －a ＝1.∴|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2.答案：B3．已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.14 D.116解析：依题意得e ＝2，抛物线方程为y 2＝12p x ，故18p ＝2，得p ＝116.答案：D4．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为 ( ) A ．1 B ．5 C ．4 2 D ．3＋2 2 解析：由(x －2)2＋(y －1)2＝13，得圆心(2,1)， ∵直线平分圆的周长，即直线过圆心． ∴a ＋b ＝1.∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b ≥3＋22，当且仅当b a ＝2ab ，即a ＝2－1，b ＝2－2时取等号，∴1a ＋2b 的最小值为3＋2 2. 答案：D5．抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( )A.1716B.1516 C ．－1516 D ．－1716 解析：准线方程为y ＝116， 由定义知116－y M ＝1⇒y M ＝－1516.答案：C6．(2009·全国卷Ⅱ)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝( )A. 3 B ．2 C ．3 D ．6 解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±12x 即x ±2y ＝0，圆心(3,0)到直线的距离d ＝|3|(2)2＋1＝ 3.答案：A7．(2009·四川高考)已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则1PF ·2PF ＝ ( ) A ．－12 B ．－2 C ．0 D ．4 解析：由渐近线方程y ＝x 得b ＝2， 点P (3，y 0)代入x 22－y 2b 2＝1中得y 0＝±1.不妨设P (3，1)，∵F 1(2,0)，F 2(－2,0)， ∴1PF ·2PF ＝(2－3，－1)·(－2－3，－1) ＝3－4＋1＝0. 答案：C8．(2009·天津高考)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝( )A.45B.23C.47D.12解析：如图过A 、B 作准线l ：x =-12的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由于F 到直线AB 的距离为定值． ∴S △BCF S △ACF ＝|BC ||CA |. 又∵△B 1BC ∽△A 1AC . ∴|BC ||CA |＝|BB 1||AA 1|， 由拋物线定义|BB 1||AA 1|＝|BF ||AF |＝2|AF |.由|BF |＝|BB 1|＝2知x B ＝32，y B ＝－3，∴AB ：y －0＝33－32(x －3)．把x ＝y 22代入上式，求得y A ＝2，x A ＝2，∴|AF |＝|AA 1|＝52.故S △BCF S △ACF ＝|BF ||AF |＝252＝45. 答案：A第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把正确答案填在题中横线上) 9．已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a ，b 为常数)上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为________． 解析：(x 0－a )2＋(y 0－b )2可看作点(x 0，y 0)与点(a ，b )的距离．而点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0上，所以(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为点(a ，b )到直线ax ＋by ＝0的距离|a ·a ＋b ·b |a 2＋b 2＝a2＋b2.答案：a2＋b210．(2009·福建高考)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B 两点，若线段AB的长为8，则p＝________.解析：由焦点弦|AB|＝2psin2α得|AB|＝2psin245°，∴2p＝|AB|×12，∴p＝2.答案：211．直线l的方程为y＝x＋3，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2－4y2＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为______________．解析：所求椭圆的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0),2a＝|PF1|＋|PF2|.欲使2a最小，只需在直线l 上找一点P，使|PF1|＋|PF2|最小，利用对称性可解．答案：x25＋y24＝112．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若AF＝FB，BA·BC＝48，则抛物线的方程为______________．解析：设抛物线的准线与x轴的交点为D，依题意，F为线段AB的中点，故|AF|＝|AC|＝2|FD|＝2p，|AB|＝2|AF|＝2|AC|＝4p，∴∠ABC＝30°，|BC|＝23p，BA·BC＝4p·23p·cos30°＝48，解得p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x.答案：y2＝4x13．若双曲线22xa－y2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为________．解析：由a2＋1＝4，∴a＝3，∴e＝23＝233.答案：23314．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________ 解析：如图 |AD |＝|AE |＝8， |BF |＝|BE |＝2， |CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)． 答案：22916x y -＝1(x >3) 三、解答题(本大题共6小题，共8分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质， 得⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝ 2.解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.16．(本小题满分12分)过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．解：设M 的坐标为(x ，y )，则A 、B 两点的坐标分别是(2x ,0)，(0,2y )，连结PM ， ∵l 1⊥l 2，∴2|PM |=|AB |.而|PM||AB∴=化简，得x +2y -5=0即为所求的轨迹方程．17．(本小题满分14分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F (0,2)，且与定直线L ：y ＝－2相切．(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过F (0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ .解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F (0,2)为焦点，L ：y ＝－2为准线的抛物线． 因为抛物线焦点到准线距离等于4， 所以圆心的轨迹是x 2＝8y .(2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直， 设AB ：y ＝kx ＋2. A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，可得x 2－8kx －16＝0，x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16. 抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x .所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1k 2＝14x 1·14x 2＝116x 1·x 2＝－1.所以AQ ⊥BQ .18． (本小题满分14分)给定抛物线C ：y 2＝4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，记O 为坐标原点． (1)求OA ·OB 的值；(2)设AF ＝λFB ，当△OAB 的面积S ∈[2， 5 ]时，求λ的取值范围． 解：(1)根据抛物线的方程可得焦点F (1,0)， 设直线l 的方程为x ＝my ＋1，将其与C 的方程联立，消去x 可得y 2－4my －4＝0. 设A ，B 点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(y 1>0>y 2)， 则y 1y 2＝－4.因为y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以x 1x 2＝116y 21y 22＝1，故OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3. (2)因为AF ＝λFB ，所以(1－x 1，－y 1)＝λ(x 2－1，y 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝λx 2－λ， ①－y 1＝λy 2， ②又y 21＝4x 1， ③ y 22＝4x 2， ④由②③④消去y 1，y 2后，得到x 1＝λ2x 2，将其代入①，注意到λ>0，解得x 2＝1.从而可得y 2＝－2λ，y 1＝2λ， 故△OAB 的面积S ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝λ＋1λ，因λ＋1λ≥2恒成立，所以只要解λ＋1λ≤5即可， 解之得3－52≤λ≤3＋52.19．(本小题满分14分)已知A 、B 、D 三点不在一条直线上，且A (－2,0)，B (2,0)，|AD |＝2，AE ＝12(AB ＋AD )．(1)求E 点的轨迹方程；(2)过A 作直线交以A 、B 为焦点的椭圆于M ，N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆的方程．解：(1)设E (x ，y )，由AE ＝12(AB ＋AD )，可知E 为线段BD 的中点，又因为坐标原点O 为线段AB 的中点， 所以OE 是△ABD 的中位线， 所以|OE |＝12|AD |＝1，所以E 点在以O 为圆心，1为半径的圆上， 又因为A ，B ，D 三点不在一条直线上， 所以E 点不能在x 轴上，所以E 点的轨迹方程是x 2＋y 2＝1(y ≠0)．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，中点为(x 0，y 0)，椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，直线MN 的方程为y ＝k (x ＋2)(当直线斜率不存在时不成立)， 由于直线MN 与圆x 2＋y 2＝1(y ≠0)相切， 所以|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33，所以直线MN 的方程为y ＝±33(x ＋2)，将直线y ＝±33(x ＋2)代入方程x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，整理可得：4(a 2－3)x 2＋4a 2x ＋16a 2－3a 4＝0， 所以x 0＝x 1＋x 22＝－a 22(a 2－3).又线段MN 的中点到y 轴的距离为45，即x 0＝－a 22(a 2－3)＝－45，解得a ＝2 2.故所求的椭圆方程为x 28＋y 24＝1.20． (本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y轴上运动，且|AB |＝8，动点P 满足AP ＝35PB ，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM 交曲线C 于另外一点Q . (1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值．解：(1)设A (a,0)，B (0，b )，P (x ，y )， 则AP ＝(x －a ，y )，PB ＝(－x ，b －y )，∵AP ＝35PB ，∴⎩⎨⎧x －a ＝－35x ，y ＝35(b －y ).∴a ＝85x ，b ＝83y .又|AB |＝a 2＋b 2＝8，∴x 225＋y 29＝1.∴曲线C 的方程为x 225＋y 29＝1.(2)由(1)可知，M (4,0)为椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点，设直线PM 方程为x ＝my ＋4， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 225＋y 29＝1，x ＝my ＋4，消去x 得 (9m 2＋25)y 2＋72my －81＝0，∴|y P －y Q |＝(72m )2＋4×(9m 2＋25)×819m 2＋25＝90m 2＋19m 2＋25.∴S △OPQ ＝12|OM ||y P －y Q |＝2×90m 2＋19m 2＋25＝20m 2＋1m 2＋259＝20m 2＋1m 2＋1＋169＝20m 2＋1＋169m 2＋1≤2083＝152， 当m 2＋1＝169m 2＋1， 即m ＝±73时，△OPQ 的面积取得最大值为152，此时直线方程为3x ±7y －12＝0.。
郑州四中2011届高三数学一轮复习综合测试(二)
郑州四中2011届高三数学一轮复习综合测试（二）注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟．2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上、考试结束，试题和答题卡一并收回．3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：球的表面积公式：S＝4πR2，其中R是球的半径.如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k 次的概率：P n（k）＝C p k(1-p)n-k（k＝0，1，2，…，n）.如果事件A．B互斥，那么P（A+B）＝P（A）+P（B）.如果事件A．B相互独立，那么P（AB）＝P（A）·P（B）.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．己知全集，，，则（）(A) (B) (C) (D)2．在2009年全运会女子百米冠军王静传出兴奋剂事件后，许多网民表达了自己的意见，有的网友进行了调查，在参加调查的4258名男性公民中有2360名认为其服用了兴奋剂，3890名女性公民中有2386人认为遭人陷害，在运用这些数据说明王静兴奋剂事件是否遭人陷害时用什么方法最有说服力？（）A．平均数与方差B．回归分析C．独立性检验D．概率3．设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（）A．B．C．D．4．若等差数列满足，，则的值是（）A．20 B．36 C．24 D．725根据上表估计新华书店8 月份的销售总数是（）A．1147本B．1110本C．1340本D．12786．设，若线段是△外接圆的直径，则点的坐标是（）A．B．C．D．7．已知命题p：关于的函数在上是增函数.，命题q：为减函数，若为真命题，则的取值范围是（）A．B．C．D．8．对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次, 第次观测得到的数据为，具体如下表在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图(其中是这8个数据的平均数)，则输出的的值是（）A．6 B．7C．8 D．99．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（）A．B．C．D．10．已知两点，点为坐标平面内的动点，满足＝0，则动点到点的距离的最小值为（）A．2B．3C．4D．611．半径为4的球面上有A、B、C、D四点，AB，AC，AD两两互相垂直，则△ABC、△ACD、△ADB面积之和的最大值为（）A．8 B．16 C．32 D．6412．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意（2）对任意（3）对任意关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为3；②函数为奇函数；③函数的单调递增区间为。
2011届高考数学一轮单元达标精品试卷(十五)
2011届高考数学一轮单元达标精品试卷(十五)第十五单元 函数与方程思想(时量:120分钟 150分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．设直线 ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a2．设P 是60°的二面角α－l －β内一点，P A ⊥平面α，PB ⊥平面β，A 、B 为垂足，P A ＝4，PB ＝2，则AB 的长为 A ．2 3B ．2 5C ．27D ．4 23． 若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是 A ．4005B ．4006C ．4007D ．40084．每个顶点的棱数均为三条的正多面体共有 A ．2种 B ．3种C ．4种D ．5种5．设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M ＝[a ，b ](a <b )，集合N ＝{M x x f y y ∈=),(}，则使M ＝N 成立的实数对(a ，b )有A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数多个6．设)(1x f-是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b f a f ，则)(b a f +的值为A ．1B ．2C ．3D ．3log 27．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当A 、B C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°8．若函数f (x )＝(1－m )x 2－2mx －5是偶函数，则f (x )A ．先增后减B ．先减后增C ．单调递增D ．单调递减9．定义在(－∞，＋∞)上的奇函数f (x )和偶函数g (x )在区间(－∞，0]上的图像关于x 轴对称，且f (x )为增函数，则下列各选项中能使不等式f (b )－f (－a )>g (a )－g (－b )成立的是A ．a >b >0B ．a <b <0C ．ab >0D ．ab <010．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边．如果a 、b 、c 成等差数列∠B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b ＝A ．1＋32B ．1＋ 3C ．2＋32D ．2＋ 3二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在横线上．11．两个正数a 、b 的等差中项是5，等比中项是4．若a ＞b ，则双曲线122=-by a x 的离心率e 等于 ． 12．若1(2)n x x+-的展开式中常数项为－20，则自然数n ＝ ． 13．x 0是x 的方程a x ＝log a x (0<a <1)的解，则x 0，1，a 这三个数的大小关系是 ． 14．已知函数y f x y fx ==-()()与1互为反函数，又y f x y g x =+=-11()()与的图象关于直线y x =对称，若f x x x fx ()log ()()()=+>=-122120，则__ _;g ()6=_______ ．15．已知矩形ABCD 的边⊥==PA BC a AB ,2,平面,2,=PA ABCD 现有以下五个数据：,4)5(;2)4(;3)3(;1)2(;21)1(=====a a a a a 当在BC 边上存在点Q ，使QD PQ ⊥时，则a 可以取_____________．（填上一个正确的数据序号即可）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，集合B ＝{x |log 2(x 2－5x ＋8)＝1}，集合C ＝{x |m 822-+x x ＝1，m ≠0，|m |≠1}满足A ∩Bφ， A ∩C ＝φ，求实数a 的值．17．（本小题满分12分）有一组数据)(,,,:2121n n x x x x x x <<< 的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的一个，余下数据 的算术平均值为11．（1）求出第一个数1x 关于n 的表达式及第n 个数n x 关于n 的表达式;（2）若n x x x ,,,21 都是正整数，试求第n 个数n x 的最大值，并举出满足题目要求且n x 取到最大值的一组数据．18．（本小题满分14分） 求函数241)1ln()(x x x f -+=在[0，2]上的最大值和最小值．19．（本小题满分14分）某公司生产的A 型商品通过租赁柜台进入某商场销售．第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年A 型商品定价为每件70元，年销售量为11．8万件．第二年，商场开始对该商品征收比率为p %的管理费（即销售100元要征收p 元），于是该商品的定价上升为每件%170p 元，预计年销售量将减少p 万件．（1）将第二年商场对该商品征收的管理费y （万元）表示成p 的函数，并指出这个函数的定义域；（2）要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，则商场对该商品征收管理费的比率p %的范围是多少？（3）第二年，商场在所收管理费不少于14万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p 应为多少？20．（本小题满分14分）已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx （a ，b 为常数，且a ≠0）满足条件： f (x －1)＝f (3－x )且方程f (x )＝2x 有等根． （1）求f (x )的解析式；（2）是否存在实数m ，n （m <n ），使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[4m ，4n ]，如果存在，求出m ，n 的值；如果不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n ．（1）若首项=1a 32 ，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ；（2）求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S =成立．第十五单元 函数与方程思想参考答案(11) 25(12)． 3； (13)． 10或1031-(14)．12214⎛⎝ ⎫⎭⎪-<--xx ()，；(15)． ①或②三、解答题（共80分）16．解：由条件即可得B ＝{2，3}，C ＝{－4，2}，由A ∩B ∅Ù，A ∩C ＝∅，可知3∈A ，2∉A ．将x ＝3代入集合A 的条件得：a 2－3a －10＝0 ∴a ＝－2或a ＝5 当a ＝－2时，A ＝{x|x 2＋2x －15＝0}＝{－5，3}，符合已知条件．当a ＝5时，A ＝{x|x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}，不符合条件“A ∩C ”＝∅，故舍去． 综上得：a ＝－2．17．解：（1） 依条件得：⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=+++=+++-)3()1(11)2()1(9)1(103212121n x x x n x x x nx x x n n n 由)2()1(-得：9+=n x n ，又由)3()1(-得：n x -=111（2）由于1x 是正整数，故 1111≥-=n x ，101≤≤⇒n ，故199≤+=n x n 当n ＝10时， 11=x ，1910=x ，80932=+++x x x ， 此时，62=x ，73=x ，84=x ，95=x ，116=x ，127=x ，138=x ，149=x ．18． 解：,2111)(x x x f -+=' ,02111=-+x x 化简为,022=-+x x 解得.1),(221=-=x x 舍去当)(,0)(,10x f x f x >'<≤时单调增加；当)(,0)(,21x f x f x <'≤<时单调减少． 所以412ln )1(-=f 为函数)(x f 的极大值． 又因为 ),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-==所以 0)0(=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最小值，412ln )1(-=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最大值．19． 解：（1）依题意，第二年该商品年销售量为（11．8－p ）万件，年销售收入为%170p -（11．8－p ）万元，则商场该年对该商品征收的总管理费为%170p -（11．8－p ）p %（万元）．故所求函数为:y ＝p-1007（118－10p ）p ．11．8－p ＞0及p ＞0得定义域为0＜p ＜559．（2）由y ≥14，得p-1007（118－10p ）p ≥14．化简得p 2－12p ＋20≤0，即（p －2）（p －10）≤0，解得2≤p ≤10．故当比率在［2%，10%］内时，商场收取的管理费将不少于14万元． （3）第二年，当商场收取的管理费不少于14万元时， 厂家的销售收入为g （p ）＝%170p -（11．8－p ）（2≤p ≤10）．∵g （p ）＝%170p -（11．8－p ）＝700（10＋100882-p ）为减函数，∴g （p ）max ＝g （2）＝700（万元）．故当比率为2%时，厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于14万元．20．解：(1)∵方程ax 2＋bx －2x ＝0有等根，∴△＝(b －2)2＝0，得b ＝2．由f(x －1)＝f(3－x)知此函数图像的对称轴方程为x ＝－ab2＝1，得a ＝－1， 故f(x)＝－x 2＋2x ．(2)∵f(x)＝－(x －1)2＋1≤1，∴4n ≤1，即n ≤41． 而抛物线y ＝－x 2＋2x 的对称轴为x ＝1，∴当n ≤41时，f(x)在[m ，n]上为增函数．若满足题设条件的m ，n 存在，则⎩⎨⎧==n n f mm f 4)(4)(即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-nn n m m m 424222⇒⎩⎨⎧-==-==2020n n m m 或或又m<n ≤41． ∴m ＝－2，n ＝0，这时，定义域为[－2，0]，值域为[－8，0]．由以上知满足条件的m ，n 存在，m ＝－2，n ＝0． 21． 解：（1）当1,231==d a 时， n n n n n d n n na S n +=-+=-+=21212)1(232)1(由22242)21(21,)(2k k k k S S k k +=+=得，即 0)141(3=-k k 又4,0=≠k k 所以．（2）设数列{a n }的公差为d ，则在2)(2n n S S =中分别取k ＝1，2，得⎪⎩⎪⎨⎧⨯+=⨯+=⎪⎩⎪⎨⎧==211211224211)2122(2344,,)()(d a d a a a S S S S 即由（1）得 .1011==a a 或 当,60)2(,01===d d a 或得代入时若21)(,0,0,0,0k k n n S S S a d a =====从而则成立若知由则216,324)(,18),1(6,6,02331===-===n n S S S n a d a ,)(239S s ≠故所得数列不符合题意． 当20,)2(64)2(,121==+=+=d d d d a 或解得得代入时若;)(,,1,0,1212成立从而则k k n n S S n S a d a =====若成立从而则221)(,)12(31,12,2,1n n n S S n n S n a d a ==-+++=-=== ．综上，共有3个满足条件的无穷等差数列： ①{a n } : a n ＝0，即0，0，0，…； ②{a n } : a n ＝1，即1，1，1，…； ③{a n } : a n ＝2n －1，即1，3，5，…，（1） （2）。
2011届高考数学第一轮复习全套系列专项测试题(含详解)：32
·高三数学·单元测试卷(十一)第十一单元 排列组合、二项式定理(时量:120分钟 150分)一、选择题：本大题共18小题，每小题5分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为 A ．120B ．324C ．720D ．12802．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是 A ．40B ．74C ．84D ．2003．以三棱柱的六个顶点中的四个顶点为顶点的三棱锥有 A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个4．从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和弦，若有一个音键不同，则发出不同的和弦，则这样的不同的和弦种数是 A ．512B ．968C ．1013D ．1024更多成套系列资源请您访问： （请按ctrl 键单击网址） 成套资源仅2元，以最低成本为您服务，谢谢您的大力支持，欢迎您的宝贵意见！5．如果(n x +的展开式中所有奇数项的系数和等于512，则展开式的中间项是A ．6810C xB ．5710C xC ．468C xD ．611C x6．用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是 A ．36B ．32C ．24D ．207．若n 是奇数，则112217777n n n n n n n C C C ---+++⋯⋯+被9除的余数是A ．0B ．2C ．7D ．88．现有一个碱基A ，2个碱基C ，3个碱基G ，由这6个碱基组成的不同的碱基序列有 A ．20个B ．60个C ．120个D ．90个9．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为 A ．504B ．210C ．336D ．12010．在342005(1)(1)(1)x x x ++++⋯⋯++的展开式中，x 3的系数等于A ．42005CB ．42006CC ．32005CD ．32006C11．现有男女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人，分别参加数理化三科竞赛，共有90种不同方案，则男、女生人数可能是 A ．2男6女B ．3男5女C ．5男3女D ．6男2女12．若x ∈R ，n ∈N ＋ ，定义nx M ＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n －1)，例如55M -＝(－5)(－4)(－3)(－2)(－1)＝－120，则函数199()x f x xM -=的奇偶性为A ．是偶函数而不是奇函数B ．是奇函数而不是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数13．由等式43243212341234(1)(1)(1)(1),x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++定义映射12341234:(,,,)(,,,),f a a a a b b b b →则f （4，3，2，1）等于 A ．（1，2，3，4）B ．（0，3，4，0）C ．（－1，0，2，－2）D ．（0，－3，4，－1）14．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5，6}，从A 到B 的映射f (x )，B 中有且仅有2个元素有原象，则这样的映射个数为 A ．8B ．9C ．24D ．2715．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，而不同的站法有A．24种B．36种C．60种D．66种16．等腰三角形的三边均为正数，它们周长不大于10，这样不同形状的三角形的种数为A．8 B．9 C．10 D．11 17．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有A．36种B．42种C．50种D．72种18．若1021022 012100210139 ),()()x a a x a x a x a a a a a a =+++⋯+++⋯+-++⋯+则的值为A．0 B．2 C．－1 D．1答题卡二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在横线上．19．某电子器件的电路中，在A，B之间有C，D，E，F四个焊点（如图），如果焊点脱落，则可能导致电路不通．今发现A，B间电路不通，则焊点脱落的不同情况有种．20．设f(x)＝x5－5x4＋10x3－10x2＋5x＋1,则f(x)的反函数f－1(x)＝．21．正整数a1a2…a n…a2n－2a2n－1称为凹数，如果a1>a2>…a n，且a2n－1>a2n－2>…>a n，其中a i（i＝1,2,3,…）∈{0,1,2,…,9}，请回答三位凹数a1a2a3（a1≠a3）共有个（用数字作答）．22．如果a1(x－1)4＋a2(x－1)3＋a3(x－1)2＋a4(x－1)＋a5＝x4，那么a2－a3＋a4．23．一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数有．24．已知（x＋1）6（ax－1）2的展开式中，x3的系数是56，则实数a的值为．三、解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25．（本小题满分12分）将7个相同的小球任意放入四个不同的盒子中，每个盒子都不空，共有多少种不同的方法？26．（本小题满分12分）已知(41x＋3x2)n展开式中的倒数第三项的系数为45，求：⑴含x3的项；⑵系数最大的项．27．（本小题满分12分）求证：123114710(31)(32)2.n n n n n n C C C n C n -++++⋯++=+⋅第十一单元 排列组合、二项式定理参考答案一、选择题（每小题5分，共90分）：2．B 分三步：33425154545474.C C C C C C ++=3．C 46312.C -=4．B 分8类：34510121012101010101010101010101010()2(11045)968.C C C C C C C C C C C +++⋯+=+++⋯+-++=-++=5．B 12512,10,n n -=∴=中间项为555561010T C x C x==6．D 按首位数字的奇偶性分两类：2332223322()20A A A A A +-=7．C 原式＝（7＋1）n －1＝(9－1)2－1＝9k －2＝9k ’＋7（k 和k ’均为正整数）．8．B 分三步：12365360C C C =9．A 939966504,504.A A A ==或10．B 原式＝32003320062006442006(1)[1(1)](1)(1)(1).1(1)x x x x x x C x x+-+-+++=+-+即求中的系数为11．B 设有男生x 人，则2138390,(1)(8)30x x C C A x x x -=--=即，检验知B 正确．12．A 2222()(9)(8)(9191)(1)(4)(81).f x x x x x x x x x =--⋯-+-=--⋯- 13．D 比较等式两边x 3的系数，得4＝4＋b 1,则b 1＝0，故排除A ，C ；再比较等式两边的常数项，有1＝1＋b 1＋b 2＋b 3＋b 4,∴b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝0． 14．D 223327.C =15．B 先排甲、乙外的3人，有33A 种排法，再插入甲、乙两人，有24A 种方法，又甲排乙的左边和甲排乙的右边各占12 ，故所求不同和站法有3234136().2A A =种16．C 共有（1，1，1），（1，2，2），（1，3，3），（1，4，4），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，4，4），（3，3，3）（3，3，4）10种．17．B 每人值班2天的排法或减去甲值周一或乙值周六的排法，再加上甲值周一且乙值周六的排法，共有2212264544242().C C A C A -+=种 18．D 设f (x )＝(2－x )10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－…－a 9＋a 10)＝f (1)f (－1)＝(2＋1)10(2－1)10＝1。
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第四单元 三角函数的图象和性质
一.选择题. (1)
下
列
函
数
中
，
最
小
正
周
期
为
2
π
的是
（ ）
A ．)32sin(π
-=x y B ．)3
2tan(π
-=x y C ．)
2cos(π
+
=x y
D ．)4tan(π
+
=x y
(2)将函数ϕ等于
( A ．-(3)是
（
A ．
y =
C ．y =(4)
为
（ A ．[πk C ．[πk (5)函是
( )
(6))sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x =1处取最大值，则 （ ）
A ．)1(-x f 一定是奇函数
B ．)1(-x f 一定是偶函数
C ．)1(+x f 一定是奇函数
D ．)1(+x f 一定是偶函数
(7)已知)c o s ()s i n ()(ϕϕ-+-=x x x f 为奇函数，则ϕ
的一个取值
（ ）
A ．0
B ．π
C ．
2
π
D ．
4
π
(8)
x f )(离为
（ A ．3π
(9)函数=y A ．=x (10)使y = ） A ．π25
二.填空题
(11)把函数则m 的
最小值是(12)函数。
(13)y sin =(14)①存在)2
,
0(π
α∈使3
1cos sin =
+a a
②存在区间（a ，b ）使x y cos =为减函数而x sin ＜0 ③x y tan =在其定义域内为增函数 ④)2
sin(2cos x x y -+=π
既有最大、最小值，又是偶函数
⑤|6
2|sin π
+
=x y 最小正周期为π
以上命题错误的为____________。
三解答题:
15．函数1c o s s i n
)(++=x b x a x f ωω最小正周期为π，最大值为3，且ab f (13)6
(
+=π
≠0），求f (x )的的解析式。
16．求x
x
x x x x f 2sin 2cos
sin
cos
sin )(2
2
4
4
-++=
的最小正周期、最大值、最小值
17．P ∠POC
18．)(x f （1）若f (x +θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ值
（2）f (x )在（0，3
π
）上是增函数，求ω最大值。
答案
一选择题: 1. B
[２.C
[的图象，
３.C
[４.B
[５.D
[6.D
[解析]： ∵)sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x =1处取最大值
∴)1(+x f 在x =0处取最大值, 即y 轴是函数)1(+x f 的对称轴 ∴函数)1(+x f 是偶函数
7.D
[解析]：∵)cos()sin()(ϕϕ-+-=x x x f 为奇函数
而)cos()sin()(ϕϕ-+-=x x x f =)4
sin(2π
ϕ+-x
∴ϕ的一个取值为4
π
8.C
[2222π
+
x
)Z
9.A
[10.A
[ 二填空题: 11．
3
2π[3
12.． (
12
π
, 0)
[解析]：∵函数y = -2sin (4x+3
2π)的图象与x 轴的相交
∴4x+
3
2π=πk ， ∴Z k k x ∈+-
=4
6ππ
当k =1时，交点离原点最近，坐标为(
12
π
, 0)。
13．－1
[解析]：x a x y 2cos 2sin +=的图象关于8
π-=
x 对称，
则)4
()0(π
-
=f f 即a =1)2
sin(-=-
π
14．①②③⑤ [解析]：①当)2
,
0(π
α∈时1cos sin >+a a ，故①错
②若x y cos =为减函数则Z k k k x ∈+∈]2,2[πππ，此时x sin >0，故②错
15
16．解：
)
2sin 2(
12sin 2)
2(sin
4
1
12sin 2cos
sin
12sin 2cos
sin
cos
sin
)(2
2
2
2
2
4
4
x x x x x
x x
x
x x x x f +=--
=--=-++=
17S ∆S 18．解：
（1） 又f 故ω（2）因为。