19.2.1 正比例函数
19.2.1 正比例函数
19．2．1正比例函数（顾乃峰录入）第1课时典例解读例1 已知函数y=2(1)kk x+是正比例函数，则k=_____．【解前导析】满足条件21k=和k+1≠0即可．【规范解读】∵y=2(1)kk x+是正比例函数，∴2±11,110kkkk=⎧=⎧⎨⎨≠-+≠⎩⎩即，k=1．【题后点睛】这里除了要求x的指数为1外，还要求比例系数不为0，这一隐含条件特别容易被忽视，从而造成错解．易错警示例2 当m为何值时，函数y=2(3)mm x++是正比例函数？【错解】∵函数y=2(3)mm x-+是正比例函数，∴21m-=，即3m=．∴3m=±．∴当3m=±时，函数y=2(3)mm x++是正比例函数．【错因分析】忽视了正比例函数应满足的条件：自变量的指数为1，并且系数不为0，, 【正解】m=3．课堂作业堂堂清知识点正比例函数1．在下列函数中，y与x的正比例函数的是（ C ）A．2005yx=B．13y x+=C．30y x+=D．22y x=-2．下面给出的两个变量中，成正比例函数关系的是（ D ）A．少年儿童的身高与年龄B．圆锥的底面积一定，圆锥的体积与它的高C．长方形的面积一定，它的长与宽D．圆的面积与它的半径3．若函数2(1)1y k x k=++-是y关于x的正比例函数，则常数k的值应为（ C ）A．±1 B．1 C．-1 D．不存在课后作业课课清1．下是列函数中，是正比例函数的（ B ）A ． 21y x =-B ． 23y x =C ． 6y x= D ． 22y x =- 2．在下列函数中，是正比例函数的有（ A ）①5y x =；② 215y x =；③51y x =-；④1y x =；⑤52xy =-A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 3．函数(5)y k x =+是正比例函数，则k __≠5 ．4．若函数(2)(26)y m x m =-++是正比例函数，则m 的值为 -3 ，此时正比例函数的表达式为5y x =- ．5．某种苹果每千克5元，则买苹果付款数y （元）与所买苹果数量x （千克）之间的函数关系式是5y x = ，它是正比例函数．6．根据下表写出y 与x 之间的一个函数关系式，并指明它是什么函数关系式．3y x =-，正比例函数7．已知y +2与x +3成正比例，当x =1时，y =2，则y 与x 的函数关系式为1y x =+． 中考链接1．已知函数233(6)k k y k x ++=+是正比例函数，则k = -1或-2 ．第2课时典例解读例1 已知正比例函数(12)y a x =-．（1）若函数图象经过原点及第一、三象限，试求a 的取值范围； （2）若函数的图象经过点（-1,3），求此函数解析式并作出图象． 【解前导析】（1）图象经过原点及第一、三象限，则120a -＞；（2）把点（-1,3）代入(12)y a x =-，即可求出a ．【规范解答】（1）由题意得120a -＞，解得12a ＜．（2）把点（-1,3）代入(12)y a x =-得3(12)a =-×（-1），所以a =2，此函数解析式为3y x =-，画图略．【方法归纳】正比例函数y kx =中，k ＞0，图象经过第一、三象限；k ＜0，图象经过第二、四象限．例2 已知y 与x +2成正比例，且x =1时，y =-6，（1）求y 与x 之间的函数关系；（2）若点（a ，2）在函数图象上，求a 的值．【解前导析】y 与x +2成正比例，可设(2)y k x =+，将x =1，y =-6代入求值． 【规范解读】（1）根据题意，可设(2)y k x =+， ∵当x =1时，y =-6 ∴6(12)k -=+，解得k =-2∴2(2)y x =-+，即24y x =--∴y 与x 之间的函数关系为24y x =--（2）∵点（a ，2）在函数图象上 ∴224a =--，解得a =-3．【题后点睛】待定系数法是求正比例函数的常用方法．y 与x +2成正比例，而不是y 与x 成正比例，故不能设y kx =．课堂作业 堂堂清知识点一 正比例函数图象1．下列四个点，在正比例函数25y x =-的图象上的点是 （ D ）A ．（2,5）B ．（5,2）C ．（2，-5）D ．（5，-2） 2．一个正比例函数的图象经过点（2，-3），它的表达式为 （ A ） A ． 32y x =- B ． 23y x = C ． 32y x = D ． 23y x =-3．（陕西中考）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A （2，m ）、B （n ，3），那么一定有 （ D ） A ．m ＞0，n ＞0 B ． m ＞0，n ＜0 C ．m ＜0，n ＞0 D ．m ＜0，n ＜0 知识点二 正比例函数的性质4．关于函数13y x =，下列结论正确的是（ C ）A ．函数图象经过点（1，3）B ．函数图象经过第二、四象限C ．y 随x 的增大而增大D ． 不论x 为何值，总有y ＞05．对于函数2y k x =（k 是常数，k ≠0）的图象，下列说法不正确的是（ C ） A ．是一条直线 B ．过点（1k，k ） C ． 经过一、三象限或二、四象限 D ． y 随x 的增大而增大6．（遵义中考）1P (11,x y )，2P (22,x y )是正比例函数12y x =-图象上的两点，下列判断中，正确的是（ D ）A ． 1y ＞1yB ． 1y ＜1yC ． 当1x ＜2x 时，1y ＜2yD ． 当1x ＞2x 时，1y ＞2y课后作业 课课清 1．（成都中考）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是 （ C ）A ． 3y x =-+B ． 5y x=C ． 2y x =D ． 227y x x =-+- 2．已知正比例函数y kx =（k ≠0）的图象经过第二、四象限，则 （ C ）A ． y 随x 的增大而减小B ． y 随x 的增大而增大C ． 当x ＜0 时，y 随x 的增大而增大；当x ＞0 时，y 随x 的增大而减小D ． 不论x 如何变化，y 不变3．结合正比例函数y =4x 的图象（如图）回答：当x ＞1时，y 的取值范围是 （ D ） A ．y ＜1 B ． 1≤y ＜4 C ． y ＝4 D ．y ＞4 4．（南通中考）如果正比例函数y kx =的图象经过点（1，-2），那么k 的值等于 -2 ． 5．若函数(3)y a x =+的图象经过第一、三象限，则a 的取值范围是 a ＞-3 ．6．点A （3，1y ）、B （-1，2y ）都在直线25y x =-的图象上，则1y 与2y 的大小关系是12y y ＜． 7．已知A （3，a ）、B （b ，-3）、C （1，32）三点在直线y kx =上，则a +b =52． 8．若正比例函数22(21)m y m x -=+，y 随x 的增大而增大，求正比例函数的解析式． 答案：由题意，得221210m m ⎧-=⎨+⎩＞，解得m =1．当m =1时，3y x =．所求函数的解析式为3y x =．9．在同一直角坐标系中画出14y x =和1-4y x =的图象10．如图所示，正比例函数图象经过点A ，求这个正比例函数的解析式．答案：设正比例函数的解析式为y kx =，由图象可知，该图象过点A （1，3），∴3=k ，即该正比例函数的解析式为3y x =．11．已知点（2，6）在正比例函数y kx =的图象上． （1）求k 的值；（2）若点A （-2，1y ）、B （-2，2y ）、C (1，3y )都在此函数图象上，试比较1y 、2y 、3y 的大小．答案：（1）k =3 （2）m = -6 （3）2y ＜1y ＜3y12．点P （1，m ）为正比例函数图象上一点，PQ ⊥x 轴于Q ，△PO Q 的面积为2，求正比例函数的解析式及m 的值．答案：4y x =，m = 4或-4y x =，m = -4中考链接 1．（连云港中考）若正比例函数y kx =（k 为常数，且k ≠0）的函数值y 随着x 的增大而减小，则k 的值可以是-2（答案不唯一）．（写出一个即可）。
19.2.1 正比例函数
19.2.1 正比例函数1.理解正比例函数的概念.2.掌握正比例函数的图象和性质及简单应用.1.正比例函数的定义一般地,形如y=kx(k是常数, )的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.2.正比例函数的图象及画法(1)图象:正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过的直线,也称它为直线y=kx.(2)画法:画y=kx的图象时,一般过(0,0)和(1,k)两点画直线.3.正比例函数的性质(1)k>0时,直线y=kx经过第三、第一象限,从左向右上升,即随x的增大y也.(2)k<0时,直线y=kx经过第二、第四象限,从左向右下降,即随x的增大y反而.探究一:正比例函数的定义【例1】下列函数中:①y=-;②y=;③y=8x2+x(1-8x);④y=1+8x.正比例函数有哪几个?【导学探究】把函数的解析式变形后,如果能化为的形式,则函数为正比例函数,否则不是正比例函数.变式训练11:已知函数y=(k-2)x|k|-1(k为常数)是正比例函数,则k= .变式训练12:写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断y是否为x的正比例函数?(1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系;(2)圆的面积y(平方厘米)与它的半径x(厘米)之间的关系;(3)一棵树现在高50厘米,每个月长高2厘米,x月后这棵树的高度为y(厘米).探究二:正比例函数的图象和性质【例2】已知正比例函数y=(2m+4)x.求:(1)m为何值时,函数图象经过第一、三象限;(2)m为何值时,y随x的增大而减小;(3)m为何值时,点(1,3)在该函数图象上.【导学探究】1.由函数图象经过第一、三象限得2m+4 0;2.由y随x的增大而减小得2m-4 0.变式训练21:函数y=-kx(k<0)的图象可能是( )变式训练22:已知正比例函数y=(2m-1)x的图象上有两个点A(x 1,y1),B(x2,y2),且当x1<x2时,有y1>y2.(1)求m的取值范围.(2)说出正比例函数的图象经过哪些象限.1.(2013重庆)已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(1,-2),则这个正比例函数的解析式为( )(A)y=2x (B)y=-2x(C)y=x (D)y=-x2.(2014广州)已知正比例函数y=kx(k<0)的图象上两点A(x1,y1)、B(x2,y2),且x1<x2,则下列不等式中恒成立的是( )(A)y1+y2>0 (B)y1+y2<0(C)y1-y2>0 (D)y1-y2<03.已知自变量为x的函数y=(m-1)x+m2-1是正比例函数,则m= ,该函数的解析式为.4.(2014丽水)写出图象经过点(-1,1)的一个函数的解析式是.5.已知正比例函数的图象经过点(-3,6).(1)求这个正比例函数的解析式;(2)若这个图象还经过点A(a,8),求点A的坐标.6.在同一直角坐标系中,画出函数y=x与函数y=2x的图象, 然后比较哪一个与x轴正方向所成的锐角较小,由此你得到什么猜想?。
19.2.1 正比例函数-2020-2021学年八年级数学下册(人教版)(解析版)
19.2.1正比例函数一、单选题1．下列函数中，哪个是正比例函数 （ ）A ．5x y =-B ．1y x =C ．3y x =-D ．22y x =【答案】A【解析】根据正比例函数的定义判断即可．解：正比例函数的解析式是()0y kx k =≠，只有5x y =-符合正比例函数的解析式的特征． B. 1y x=为反比例函数，不符合题意； C. 3y x =-为一次函数，不符合题意；D. 22y x =为二次函数，不符合题意．故选：A【点睛】本题考查了正比例函数的定义，熟知正比例函数的定义和形式是解题关键．2．下列问题中的y 与x 成正比例关系的是（ ）A ．圆的半径为x ，面积为yB ．某地手机通话套餐的月租为10元，通话收费标准为0.1元/分钟，若某月通话的时间为x 分钟，通话的费用为y 元C ．把10本书全部随意放入两个抽屉内，第一个抽屉放入x 本，第二个抽屉放入y 本D ．长方形的一边长为4，另一边长为x ，面积为y【答案】D【解析】【解析】（1）根据圆的周长公式，正比例函数的定义，可得答案；（2）根据月租+通话收费=某月通话的费用，正比例函数的定义，可得答案；（3）根据两个抽屉书的数量和=10，正比例函数的定义，可得答案；（4）根据长方形面积公式，正比例函数的定义，可得答案．解：A 项，y 与x 之间的关系式为，不是正比例关系；B 项，y 与x 之间的关系式为，不是正比例关系； C 项，y 与x 之间的关系式为，不是正比例关系； D 项，y 与x 之间的关系式为，成正比例关系． 故选:D ．【点睛】本题考查了正比例函数，理解题意是解题关键，注意y =kx （k 是常数，且k ≠0）是正比例函数．3．若函数y=（2m+6）x 2+（1﹣m ）x 是正比例函数，则m 的值是（ ）A ．m=﹣3B ．m=1C ．m=3D ．m ＞﹣3 【答案】A 由题意可知：260m +=∴m=-3故选：A4．若某正比例函数过(2,3)-，则关于此函数的叙述不．正确的是（ ）．A ．函数值随自变量x 的增大而增大B ．函数值随自变量x 的增大而减小C ．函数图象关于原点对称D ．函数图象过二、四象限【答案】A 解：设正比例函数解析式(0)y kx k =≠，∴正比例函数过(2,3)-，∴32k -=， ∴32k =-， ∴正比例函数解析式为32y x =-， ∴302k =-<， ∴图象过二、四象限，函数值随自变量x 增大而减小，图象关于原点对称，∴四个选项中，只有A 选项中的不正确，其余三个选项中的结论都是正确的.故选A ．5．若正比例函数y ＝(1－2m)x 的图象经过点A(x 1，y 1)和点B(x 2，y 2)，当x 1＜x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜0B ．m ＞0C ．m ＜12D ．m ＞12【答案】D【解析】根据正比例函数的大小变化规律判断k 的符号．解：根据题意，知：y 随x 的增大而减小，则k ＜0，即1-2m ＜0，m ＞12． 故选：D ．【点睛】本题考查正比例函数的性质．根据正比例函数的大小变化规律判断k 的符号：当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．6．邮购一种图书，每册定价20元，另加书价的5%作邮资，购书x 册，需付款y （元）与x （册）的函数关系式为（ ）A ．205%y x x =+B ．20.5y x =C ．20(15%)y x =+D ．19.95y x =【答案】C【解析】根据题意可得购买一册书需要花费（20+20×5%）元，根据此关系式可得出购书x 册与需付款y （元）与x 的函数解析式．解：由题意得购买一册书需要花费(20+205%)⨯元，∴购买x 册书需花费(20205%)x +⨯元，即(20205%)20(15%)y x x =+⨯=+.故选C.【点睛】本题考查根据题意列方程的知识，要先表示出买一册书的花费，这样问题就迎刃而解了．7．如图，在同一直角坐标系中，正比例函数1y k x =，2y k x =，3y k x =，4y k x =的图象分别为1l ，2l ，3l ，4l ，则下列关系中正确的是（ ）A ．1234k k k k <<<B ．2143k k k k <<<C ．1243k k k k <<<D ．2134k k k k <<<【答案】B【解析】首先根据直线经过的象限判断k 的符号，再进一步根据直线的陡峭趋势（直线越陡k 越大）判断k 的绝对值的大小，最后判断四个数的大小.解：根据直线经过的象限，知20k <，10k <，40k >，30k >，根据直线越陡k 越大，知21k k >，43k k <，所以2143k k k k <<<．故选B ．【点睛】 此题主要考查了正比例函数图象的性质，直线越陡k 越大，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键．8．如图，平面直角坐标系中，点A 1的坐标为（1，2），以O 为圆心，OA 1的长为半径画弧，交直线y ＝12x 于点B 1；过点B 1作B 1A 2∥y 轴交直线y ＝2x 于点A 2，以O 为圆心，OA 2长为半径画弧，交直线y ＝12x 于点B 2；过点B 2作B 2A 3∥y 轴交直线y ＝2x 于点A 3，以点O 为圆心，OA 3长为半径画弧，交直线y ＝12x 于点B 3；…按如此规律进行下去，点B 2021的坐标为（ ）A ．（22021，22021）B ．（22021，22020）C ．（22020，22021）D ．（22022，22021）【答案】B【解析】根据题意可以求得点B 1的坐标，点A 2的坐标，点B 2的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求得点B 2021的坐标．解：由题意可得，点A 1的坐标为（1，2），设点B 1的坐标为（a ，12a ）， 221()2a a +=2212+，解得，a ＝±2，∴点B 1在第一象限，∴点B 1的坐标为（2，1），同理可得，点A 2的坐标为（2，4），点B 2的坐标为（4，2），点A 3的坐标为（4，8），点B 3的坐标为（8，4），……点A n 的坐标为（2n -1，2n ），点B n 的坐标为（2n ，2n -1），∴点B 2021的坐标为（22021，22020），故选：B ．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征和求点的坐标，解答本题的关键是明确题意，发现题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．二、填空题9．若直线y=kx （k≠0）经过点（-2，6），则y 随x 的增大而 ___【答案】减小【解析】将（－2，6）代入函数解析式得6=－2k ，k =－3＜0，∴y 随着x 的增大而减小.故答案为减小.10．在一次函数y=（2﹣k ）x+1中，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围为___．【答案】k ＜2．∴在一次函数y=（2﹣k ）x+1中，y 随x 的增大而增大，∴2﹣k ＞0，解得k ＜2．故答案为：k ＜2．【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系．11．正比例函数()21y k x =+的图像经过第二、四象限，则k ______． 【答案】12k <- 【解析】根据正比例函数经过象限，得到关于k 的不等式，解不等式即可求解．解：∴正比例函数()21y k x =+的图像经过第二、四象限，∴210k +<， 解得12k <-． 故答案为：12k <-【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，在正比例函数中当k>0时，图象经过第一、三象限，当k<0时，图象经过第二、四象限．12．已知y 与x 成正比例，并且x ＝－3时，y ＝6，则y 与x 的函数关系式为________．【答案】2y x =-【解析】设y=kx ,6=-3k ,解得k =-2.所以y =-2x .13．已知函数(2)5y m x =+-，当m ___________时，这个函数为一次函数．【答案】2m ≠-【解析】根据一次函数的定义即可解答．解：当20m +≠，即2m ≠-时，函数(2)5y m x =+-是一次函数， 故答案为：2m ≠-．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y ＝kx ＋b 的定义条件是：k 、b 为常数，k≠0，自变量次数为1． 14．根据下表写出y 与x 之间的函数解析式：写出y 与x 之间的函数解析式是__________，由此判定y 是x 的___________函数？【答案】y=-2x 正比例函数【解析】根据函数经过原点，设函数解析式为y=kx ，将任意一组值代入求出k 即可得到解析式，由此确定函数为正比例函数.由表格知：函数经过点（0,0），∴该函数为正比例函数，设函数解析式为y=kx ，将点（1,-2）代入，得到k=-2，∴函数解析式为y=-2x ，此函数为正比例函数，故答案为：y=-2x ，正比例.【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，判断函数是什么函数.15．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l 将这八个正方形分成面积相等的两部分，设直线l 和八个正方形的最上面交点为A ，则直线l 的解析式是_____________.【答案】910y x = 【解析】如图，利用正方形的性质得到(0,3)B ，由于直线l 将这八个正方形分成面积相等的两部分，则5AOB S ∆=，然后根据三角形面积公式计算出AB 的长，从而可得A 点坐标．再由待定系数法求出直线l 的解析式.解：如图，经过原点的一条直线l 将这八个正方形分成面积相等的两部分，415AOB S ∆∴=+=，而3OB =，∴1·352AB =， 103AB ∴=， A ∴点坐标为10(3，3)． 设直线l 的解析式为y kx =， ∴1033k =，解得910k =， ∴直线l 的解析式为910y x = 故答案为910y x =． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质和待定系数法求函数解析式．由割补法得5AOB S ∆=求分割点A 的位置是解题关键. 三、解答题16．正比例函数23m y mx -=的图象经过第一、三象限，求m 的值． 【答案】2【解析】根据正比例函数的定义和图象经过象限得到关于m 的方程和m 的取值范围，即可求解．解：∴函数函数23m y mx -=为正比例函数，∴231m -=，∴2m =±，又∴正比例函数的图像经过第一、三象限，∴m ＞0，∴2m =【点睛】本题考查了正比例函数的定义和性质，注意正比例函数是一次函数，自变量次数为1，熟知正比例函数图象与性质是解题关键．17．已知正比例函数图象上一个点A 在x 轴的下侧，y 轴的右侧，距离x 轴4个单位长度，距离y 轴2个单位长度，求该正比例函数的表达式．【答案】该正比例函数的表达式为y=﹣2x ．【解析】根据已知条件得到点A 的坐标为（2，﹣4），设正比例函数的表达式为y=kx （k≠0），然后将点（2，﹣4）代入y=kx 中求解即可．∴点A 在x 轴的下侧，y 轴的右侧，距离x 轴4个单位长度，距离y 轴2个单位长度， ∴点A 的坐标为（2，﹣4）．设正比例函数的表达式为y=kx （k≠0），将点（2，﹣4）代入y=kx 中，﹣4=2k ，解得：k=﹣2，∴该正比例函数的表达式为y=﹣2x ．【点睛】本题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，根据已知条件得到点A 的坐标是解题关键．18．若y+1与2x 成正比例，且当3x =-时，y=1．求y 与x 的函数解析式． 【答案】213y x =-- 【解析】先根据y+1与2x 成正比例，假设函数解析式，再根据已知的一对对应值，求得系数k 即可．设12(0)y kx k +=≠，把3x =-，y=1代入解析式，得112(-3)k +=⨯， 解得13k =-， 故y 与x 的函数解析式是213y x =--． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，注意利用正比例函数的定义设出函数关系式．19．已知正比例函数()y k 2x =-．（1）若y 的值随着x 值的增大而减小，则k 的范围是什么？（2）点()23-，在它的图象上，求这个函数的表达式． （3）在()2的结论下，若x 的取值范围是2x 4-≤≤，求y 的取值范围．【答案】（1）k<2；（2）3y x 2=-；（3）-6≤y≤3 【解析】（1）根据题意可得k -2＜0，故可求解；（2）利用待定系数法即可求解；（3）分别求出x=-2,x=4的函数值，即可写出y 的取值．解：()1y 的值随着x 的值增大而减小，∴ k 20-<，解得2k <.()2将点()23-，代入函数解析式可得()32k 2-=-， 解得12k =， ∴这个函数的表达式为3y x 2=-.()3当x 2=-时，()3y 232=-⨯-=， 当x 4=时，3y 462=-⨯=-， 302-<， ∴ y 随x 的增大而减小，∴ 当2x 4-≤≤时，6y 3-≤≤．【点睛】此题主要考查待定系数法求一次函数解析式，正比例函数的性质，解题的关键是熟知一次函数的图象与性质． 20．已知y 2-与x 3+成正比例函数关系，且x 2=-时，y 6=．（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）求当x 3=-时，y 的值；（3）当2y 6-<≤ 时，求x 的取值范围．【答案】（1）y 4x 14=+；（2）y 2=；（3）4x 2-<≤-【解析】（1）根据y 2-与x 1+成正比例关系设出函数的解析式，再把当x 2=-时，y 6=代入函数解析式即可求出k 的值，进而求出y 与x 之间的函数解析式．（2）根据（1）中所求函数解析式，将x 3=-代入其中，求得y 值；（3）利用（1）中所求函数解析式，根据2y 6-<≤，求得x 的取值范围．解：（1）依题意得：设()y 2k x 3-=+． 将x 2=-，y 6=代入：得k 4=所以，()y 24x 3-=+，即y 4x 14=+．（2）由（1）知，y 4x 14=+，∴ 当x 3=-时，()y 43142=⨯-+=，即y 2=； （3）由（1）知，y 4x 14=+，∴ 当2y 6-<≤ 时，24x 146-<+≤，解得，4x 2-<≤-．【点睛】此题考查的是求一次函数解析式，正比例的定义，函数值，函数自变量的取值范围，掌握利用待定系数法求一次函数解析式是解决此题的关键．21．如图，已知正比例函数y=kx 的图象经过点A ，点A 在第四象限，过A 作AH∴x 轴，垂足为H ，点A 的横坐标为4，且∴AOH 的面积为6．（1）求正比例函数的解析式．（2）在x 轴上是否存在一点P ，使∴AOP 的面积为9？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣34x ；（2）存在，P 点坐标为（6，0）或（﹣6，0）． 【解析】（1）先利用三角形面积公式求出AH 得到A 点坐标，然后利用待定系数法求正比例函数解析式；（2）设P （t ，0），利用三角形面积公式得到1||392t ⋅⋅=，然后解关于t 的绝对值方程即可．（1）∴点A 的横坐标为4，且∴AOH的面积为6，∴12•4•AH=6，解得AH=3，∴A（4，﹣3），把A（4，﹣3）代入y=kx得4k=﹣3，解得k=﹣34，∴正比例函数解析式为y=﹣34 x；（2）存在．设P（t，0），∴∴AOP的面积为9，∴12•|t|•3=9，∴t=6或t=﹣6，∴P点坐标为（6，0）或（﹣6，0）．【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式．设正比例函数解析式为y=kx，然后把函数图象上一个已知点的坐标代入求出k即可得到正比例函数解析式．也考查了三角形面积公式．。
19.2.1正比例函数性质
-3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4
思考 对一般正比例函数y =kx，当 k＞0时，它的图象形状是什么？位置 怎样？
思考1 当k＞0 时，图象从左向右看，是 上升还是下降？
图象从左 向右上升
y y = 4x y = 2x
6 4
y =x
1 y= x 3 1 y= x 10 x
2
-5 O -2 5
解：（1）y=0.15x， x 0 （2）列表
x
y
描点 y/元 6 5 4 3 2 1 O
0
0
1
0.15
连线
y=0.15x
（3）当 x 220 时，
娄底到长沙220公里所需油费 y=0.15×220=33（元）
1 2 3 4 5 6 7 8
x/km
y 3x
y x
1 y x 3
y
4
2 -4 -2 O -2 -4 2
y =k4 x
y =k3 x 4 x
y =k2 x y =k1 x
9.已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15 升． （1）写出汽车行驶途中所耗油 y（升）与行 程 x（km）之间的函数关系式； （2）在平面直角坐标系内描出大致的函数关 系图； （3）计算娄底到长沙220 km所需油量是多少？
y
y 3x
yx
1 y x 3
11Βιβλιοθήκη 0x补充性质：
当 |k| 越大时，图像越靠近y轴 当 |k| 相等时，图像关于坐标轴对称
y
1
0
1
x
思考
如图,三个正比例函数的图 像分别对应的解析式是 ① y=ax② y=bx ③ y=cx, 则a、b、c的大小关系是 ( C )
19.2.1正比例函数教案
一、教学内容
本节课选自教材第九章《函数》的第二节“正比例函数”，主要内容包括：
1.正比例函数的定义：形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中x是自变量，y是因变量。
2.正比例函数的性质：当k>0时，函数图像是一条通过原点的斜率为正的直线；当k<0时，函数图像是一条通过原点的斜率为负的直线。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论
1.讨论主题：学生将围绕“正比例函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如“你能想到的其他正比例关系有哪些？”
总体来说，今天的课堂让我感受到了学生们对数学学习的热情。然而，我也认识到，作为教师，我需要在教学策略和方法上不断调整和完善，以便更好地满足学生的需求。特别是在难点解析和数学语言表达方面，我需要在今后的教学中给予更多的关注和指导。
3.正比例函数的图像：在直角坐标系中，正比例函数的图像是一条直线，且该直线必经过原点。
4.正比例函数的应用：结合实际情境，解决一些简单的正比例函数问题。
二、核心素养目标1.理解并 Nhomakorabea握正比例函数的定义、性质及图像，培养数学抽象和逻辑推理素养。
2.能够运用正比例函数解决实际问题，提高数学建模和数学应用能力。
3.通过观察、分析、归纳正比例函数图像，培养直观想象和数据分析素养。
4.在小组合作探讨正比例函数性质的过程中，提升团队合作和交流表达能力，增强数学交流素养。
19.2.1正比例函数(第一课时正比例函数的概念)
19.2.1 正比例函数第1课时 正比例函数的概念一、知识回顾：1.函数的概念：在一个 过程中有 变量x 与y ，并且对于x 的 确定的值，y 都有 的值与其对应，那么我们就说x 是 ，y 是x 的 。
2. 表示函数的方法有：、 、3. 用描点法画函数图像的一般步骤为：、 、 、 。
二、新知探究：1.下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：（1）圆的周长l 随半径r 的变化而变化．（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m （单位：g ）随它的体积V （单位：cm3）的变化而变化．（3）每个练习本的厚度为0.5cm ，一些练习本摞在一起的总厚度h （单位：cm ）随练习本的本数n 的变化而变化．（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体温度T （单位：℃）随冷冻时间t （单位：min ）的变化而变化．2.思考：（1）认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪些是函数、常数和自变量．（2）这些函数解析式在结构上有什么共同特点？归纳：一般地，形如 （ ）的函数，叫做正比例函数，其中 叫做比例系数．三、针对训练。
1.在下列函数中，哪些是正比例函数？并指出正比例系数分别是多少.①y=x, ②y=6x 2, ③ y=2x , ④y=x -4， ⑤ ⑥y=-x ⑦2. 判定正误：下列说法正确的打“√”，错误的打“×”（1）若y=kx ，则y 是x 的正比例函数（ ）（2）若y=4x2，则y 是x 的正比例函数（ ）（3）若y=4(x -1)，则y 是x 的正比例函数（ ）（4）若y=4(x -1)+4，则y 是x 的正比例函数（ ）（5）若y=4(x -1) ，则y 是x -1的正比例函数（ ）3.2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米，设列车的平均速度为300千米每小时。
考虑以下问题： x y 1-=x 2132)2(--=m x m y （1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小时？（保留一位小数）（2）京沪高铁的行程ykm 与时间th 之间满足函数关系吗？若满足请写出解析式。
人教八下数学课件-19.2.1正比例函数
巩固练习 2.已知正比例函数y=(k+5)x. （1）若函数图象经过第二、四象限，则k的取值范围是_k_<_-_5___. 解析：因为函数图象经过第二、四象限，所以k+5<0，解得k<-5. （2）若函数图象经过点（3，-9），则k__=_-8__.
解析：将坐标（3，-9）带入函数解析式中，得-9=(k+5)·3， 解得k=-8.
y=-4x y=-1.5x 看图发现：这两个函数图象都是经过原点和第 二、四 象限 的直线.
探究新知
y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一 条经过原点的直线
y=kx(k≠0)
经过的象限
k＞0
第一、三象限
k＜0
第二、四象限
提示：函数y=kx 的图象我们也称作直线y=kx
巩固练习
1.用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
解：（1）函数y=2x中自变量x可为任意实数.
①列表如下： x … -2 -1 0 1 2 … y … -4 -2 0 2 4 …
探究新知
②描点； ③连线.
同样可以画出
函数
的图
象.
y=2x
y1x 3
看图发现：这两个图象都是经过原点的 直线 ． 而且都经过第 一、三 象限；
探究新知 解：（2）函数y=-1.5x，y=-4x的图象如下：
（3）从北京南站出发2.5小时后，是否已过了距始发站1100千米 的南京南站？
探究新知
(1)乘京沪高速列车，从始发站北京南站到终点 站海虹桥站，约需要多少小时(结果保留小数
探究新知
（2）京沪高铁列车的行程y（单位：千米）与 运解行：时y间=30t0（t（单0≤位t≤4：.4）时）之间有何数量关系？
19.2.1正比例函数概念
19.2.1正比例函数的概念一、学习目标（1）经历正比例函数概念的形成过程，理解正比例函数的概念；（2）能根据已知条件确定正比例函数的解析式，体会函数建模思想．二、教学重难点重点：初步认识正比例函数难点：对正比例函数基本特征的认识和正比例函数概念的抽象归纳过程．三、教学准备教学方法：探索、归纳教学用具：多媒体四、教学过程1.情境引入，初步感知引言上一节我们已经学习了关于函数的最基础的知识，知道了变量与函数、函数的图象及函数的三种表示方法，从这节课开始，我们将重点研究一种最基本的具体函数——一次函数，本节课先研究特殊的一次函数——正比例函数.问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318km.设列车的平均速度为300km/h.考虑以下问题：（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？（2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是否已经过了距始发站1 100km的南京南站？师生活动:教师引导学生分析问题中的数量关系，这是典型的行程问题，数量关系是学生熟悉的“路程=速度×时间”．设计意图：让学生真切感受数学与实际的联系，即数学理论来源于实际又服务于实际．帮助学生逐步提高将实际问题抽象为函数模型的能力，初步体会函数建模思想．对问题（1）学生解答后可追问：在京沪高速铁路上以平均速度300km/h运行的列车，其运行时间在什么范围内？设计意图：由于自变量t是列车运行时间，作为实际问题，自变量的取值是受限制的，应对其取值范围作出说明．对问题（2）的分析解答过程让学生回答下列问题：追问1 这个问题中两个变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，试说明理由．设计意图：让学生感受量与量之间的函数关系，体会函数关系蕴涵在实际问题中，激发学生探究兴趣．对理由的说明学生可能有障碍，此时教师要引导学生回顾函数概念的学习过程，用函数的概念来回答：问题中的两个变量，当其中的变量t变化时，另一个变量y随着t的变化而变化，并且对于变量t的每一个确定的值，另一个变量y都有唯一确定的值与之对应．追问2请你写出y与t之间的函数解析式，并分析解析式在结构上是什么形式？追问3 对于自变量t和函数y的每一对对应值，y与t的比值是多少？这个比值会发生变化吗？师生活动:追问2学生独立完成写出解析式，观察解析式的结构形式后发表意见与同学交流；追问3分小组分别取不同的对应值，求出比值后先小组内统一意见，然后全班交流．设计意图：让学生初步感知正比例函数解析式的结构形式为：左边是表示函数的字母，右边是常数（量）与自变量的积的形式．正比例函数的基本特征是：对于自变量和函数的每一对对应值，函数值与自变量的比值是一定的，都等于自变量前的那个常数．对问题（3）的分析解答后可追问：我们是怎样确认列车是否已经过了南京南站的？师生活动:教师引导学生分析，根据函数解析式，求自变量t=2.5时的函数值，得出列车出发2.5小时的行程，再与两站的实际距离比较，对实际问题的作出解答．设计意图：让学生初步体会用函数建模思想解决实际问题的方法．2.类比思考，概括共性问题2 思考：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式．（1）圆的周长l随半径的变化而变化．（2）铁的密度为7.8g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化．（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的个数n的变化而变化．（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间（单位：min）的变化而变化．师生活动：学生根据每个问题中蕴涵的数量关系和已知条件，运用函数建模思想独立写出每个问题中变量间的函数解析式．设计意图：让学生再次感知实际问题中蕴涵的函数关系，体会并运用函数建模思想，提高将实际问题抽象为函数模型的能力．追问：这些函数解析式有哪些共同特征？师生活动：引导学生类比问题1的分析方法，对4个解析式从结构形式上分析它们的共同特征，学生分组讨论，教师参与讨论并组织交流．设计意图：通过对实际问题抽象出的函数模型观察比较，找出它们具有的共同特征，为归纳抽象正比例函数的概念作准备．3.归纳抽象，建立概念问题 3 你能否根据上面这些函数的共同特征归纳出这种函数的一般形式？一般形式中各字母的意义是什么？师生活动：教师引导学生归纳出这些函数的一般形式，即都可以写成y=kx（k是常数，k≠0）的形式．设计意图：让学生根据共同特征归纳抽象出正比例函数的一般形式，培养学生从具体问题中抽象出共同具有的本质属性的能力．知道一般形式中各字母的意义．知道自变量系数的限制条件为k≠0．追问1：函数y=kx（k是常数，k≠0）中，对于自变量x和函数y的每一组对应值，函数值与对应自变量的比值等于多少？这说明这两个变量之间有怎样的关系？设计意图：强化学生对正比例函数基本特征的认识，知道正比例函数的两个变量具有正比例关系，为给正比例函数下定义埋下伏笔．追问2：如果给这样的函数取一个名称，你觉得应该叫什么函数比较合适？师生活动：师生共同归纳出正比例函数的概念．一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．设计意图：引导学生根据函数解析式的形式和变量间具有的正比例关系，得出正比例函数的定义．4．辨析应用深化认知问题4 （1）请你举出几个y是x的正比例函数的解析式；（2）完成教科书第87页练习1，补充问题：如果是，请指出比例系数是多少？（3）完成教科书第87页练习2．师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论后交流，教师予以激励性评价．设计意图：引导学生根据概念辨析正比例函数，能够从实际问题中根据已知条件抽象出函数模型并辨析是否是正比例函数．5.反思小结（1）本节课我们学习了哪些知识？（2）正比例函数概念中对比例系数k有怎样的限制条件？（3）学习正比例函数的概念经历了怎样的过程？6．布置作业教科书第98页习题19.2第1题（不画函数图象）补充习题：1.已知y是x的正比例函数，且当x=2时，y=8．（1）写出函数解析式；（2）当y=6时，求x的值.2.已知y是z的正比例函数，z是x的正比例函数，试说明y是x的正比例函数.五、目标检测设计1. 下列函数中，表示y是x正比例函数的是（）.A．y =－6x B．y =－6（x＋1）C．y =－D．y =－6x2设计意图：考查对正比例函数概念的理解．2.下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（）.A．圆的面积S随半径r的变化而变化B．正方形的周长C随边长a的变化而变化C．蓄水10L的水箱以0.5L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量V（单位：L）随放水时间t（单位：min）的变化而变化D．面积为20的三角形的一边a随这边上高h的变化而变化设计意图：考查将实际问题抽象为函数模型的能力和对正比例函数概念的理解．3.已知函数y=（m－2）x＋m2－4表示y是x的正比例函数，则m的值是，这个函数的解析式为．设计意图：考查对正比例函数概念的理解．4. 某大楼电梯从1层（地面）直达3层用了20s，若电梯运行是匀速的，则乘坐该电梯从2层直达8层所需时间为．设计意图：考查运用正比例函数模型解决简单实际问题的能力．5.已知蜡烛被燃烧的长度与燃烧时间成正比例，长为24cm的蜡烛，点燃6分钟后，蜡烛变短3.6cm，设蜡烛点燃x分钟后被燃烧的长度为y cm，请解答下列问题：（1）写出y与x的函数关系式；（2）指出自变量的取值范围；（3）当蜡烛燃烧的20分钟后，蜡烛剩下的长度是多少？设计意图：考查将实际问题抽象为函数模型并用正比例函数模型解决简单实际问题的能力。