例说变上限积分问题
变限定积分与分部积分法
关键 词 ： 定积分 累次积分 变限 定积分 分部 积分 法 中图分 类号 ： Ｏ１ ２ ７ 文献标 识 码 ：Ａ
文章编号 ： ７ —９ ９ （ ０ ） ８ ｂ一Ｏ ９ －０ １ ３ ７ ５ ２ １ ０ （） ０ ４ １ ６ ０
文 ［ 将 一 元 函 数 定 积 分 问题 转 化 为 １ 二 重 积 分 交 换 积 分 次 序 来 解 ， 二 重 积 但 分 的 交 换 积 分 次 序 毕 竟 比 定 积 分 更 难 掌
分法 。
＝
（ １。 －ｄ ） 一） 一 （ ｔ Ｊ ｔ
（一 ） （ ｎ １！ ｔ ）
类似可解２０年数学一考研题 ： ０４ 设为 ｆ ｘ （）
＝
参考 文献
（ ｆ（ ｆ ｏ 【】 爱雯 ． 用 二 重 积分 证 明积 分 不 等 式 １井 利 …． 高等 数 学研 究 ， ０ ０ ３ ｉ ：４ ５ ２ ０ ， （ ）２ ～２ ． ［］王 金 金 ， 华 ． 用 重 积 分 证 明定 积 分 ２ 马 利 不 等 式 【】 高 等 数 学 研 究 ， ０ ４ ７ ２ ： Ｊ． ２ ０ ，（）
（ ＝ 一ｔｔ Ｉ 。） ） （ｄ
＝，…， （ 可 １，）则 ２ ）
—
１
（ ｆ ）
表 为 三 。 － （ ・ 示 （ 而ＪＸｔ ） （ ） Байду номын сангаас
证： 因为 （） 一（ ， ＝ ｆ 且 ）
因 为 ＿ 在 区 间 ［， 上 有 连 续 的 导 厂 ） （ ０１ ］
从而
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≤ Ｆ （≤ ｆ ） ４
（ 八 ） ）
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，
＝ —） ｆ
Ｉｕｆ）＝ ｔ（ ｔ ： Ｉ（ｔ —ｆ）， ｄ： ｔ （ ）ｔ ｄ ｄ
定积分变换上下限
定积分变换上下限摘要：1.引言2.定积分的定义和性质3.定积分变换上下限的方法4.举例说明5.总结正文：1.引言在数学分析中，定积分是一种重要的概念和工具，广泛应用于各种实际问题中。
在求解定积分时，常常需要对积分区间进行变换，以便于计算。
本文将介绍如何通过变换上下限来计算定积分。
2.定积分的定义和性质定积分是指将一个函数在某一区间上的值与区间长度相乘后求和，其结果表示该函数在该区间上的平均值。
定积分的定义为：∫[a, b] f(x)dx = lim(n→∞) Σ[i=1 to n] f(xi)Δx，其中a 和b 是积分区间的上下限，f(x) 是被积函数，Δx 是区间长度的分割数，n 是分割点数量。
根据定积分的性质，我们可以将积分区间的上下限进行变换，而不改变积分的结果。
3.定积分变换上下限的方法为了方便计算，我们可以通过变换上下限来改变积分区间。
假设我们需要计算积分∫[a, b] f(x)dx，我们可以将其变换为∫[b, a] f(x)dx。
具体操作如下：(1) 将被积函数f(x) 取相反数，即-f(x)；(2) 交换积分区间的上下限，即变为∫[b, a] -f(x)dx；(3) 对被积函数进行积分，得到新的积分式子：-∫[a, b] f(x)dx。
通过这种方法，我们可以将原来的积分区间[a, b] 变为[b, a]，从而简化计算过程。
4.举例说明假设我们需要计算积分∫[0, π] sin(x)dx，根据上述方法，我们可以进行如下变换：(1) 将被积函数sin(x) 取相反数，即-sin(x)；(2) 交换积分区间的上下限，即变为∫[π, 0] -sin(x)dx；(3) 对被积函数进行积分，得到新的积分式子：-∫[0, π] sin(x)dx。
然后我们可以利用定积分的性质，即∫[a, b] f(x)dx = -∫[b, a] f(x)dx，得到：-∫[0, π] sin(x)dx = ∫[π, 0] sin(x)dx。
考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt=⎰形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量在积分区间上变动。
t ],[x a （即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1如果在上连续，则在（a ，b ）上可积，而可积，则)(x f ],[b a )(x f )(x f 在上连续。
⎰=xa dt t f x F )()(],[b a 定理2如果在上有界，且只有有限个间断点，则在（a ，b ）上可积。
)(x f ],[b a )(x f 定理3如果在上连续，则在上可导，而且有)(x f ],[b a ⎰=xa dt t f x F )()(],[b a ).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：)(x f 可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数经过求导后，其导函数甚至不一定是连续的。
)(x f )(x f ' （Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1 <变上限积分改变上下限，变号。
>)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰推论2 <上限是复合函数的情况求导。
>)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰推论3 <上下限都是变的时候，用上限的减去)()]([)()]([])([)()(x x f x x f dt t f dxd x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰下限的。
变上限的定积分
1．变上限的定积分
设 f ( x) 在[a,b] 上连续，则对x[a,b] ，定积分
x a
f
(t
)dt
存在，这就确定了[a,b]
上的一个函数，记为
(
x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，即
(
x
)
x a
f (t )dt
,
x[a,b]
。积分
x a
f
(t )dt
称
为变上限的定积分。
2．定理 1 设 f ( x) 在[a,b] 上连续， c[a,b] ，则
x
( x) c f (t)dt
在[a,b] 上可导，且
(
x
)[
x c
f
(t )dt
]
f (x)
，x[a,b]
。
证明：设 x[a,b] ，且 x x[a,b] ，则
( x)( xx)( x)
x Δx
c f (t)dt
x
c f (t)dt
x
x Δx
x
x Δx
c f (t)dt x f (t)dt c f (t)dt x f (t)dt .
，在 (a,
b)
内有且只有一个根。
证明：令 F ( x)
x a
f
(t )dt
x b
dt f (t)
，
显然F ( x) C[a, b]，且 f ( x) 0 ,则 f ( x) 0或f ( x) 0，
不妨设 f (x) 0
F (a)
a b
dt 0, f (t)
b
F (b) a f (t)dt0,
定理
1
变限积分定义域
变限积分定义域【实用版】目录1.变限积分的定义2.变限积分的定义域3.求解变限积分定义域的方法4.举例说明正文1.变限积分的定义变限积分，又称为广义积分，是一种扩展了定限积分的概念，用于处理更复杂的数学问题。
在变限积分中，积分的上下限不再是常数，而是含有一个或多个变量。
这使得变限积分能够描述更广泛的函数类型，从而更灵活地解决实际问题。
2.变限积分的定义域变限积分的定义域是指积分区间内所有可能的取值范围。
通常，我们可以将变限积分表示为：∫[a(x), b(x)] f(x) dx其中，a(x) 和 b(x) 是两个关于 x 的函数，f(x) 是被积函数。
a(x) 和 b(x) 称为积分的上下限，它们的取值范围构成了变限积分的定义域。
3.求解变限积分定义域的方法求解变限积分定义域的方法通常分为以下两步：（1）确定积分区间：根据被积函数 f(x) 的性质，找到合适的积分区间 [a(x), b(x)]。
这可能涉及到求解不等式、方程或其他约束条件。
（2）确定上下限函数的定义域：对于积分的上下限函数 a(x) 和b(x)，分别求出它们的定义域，并取交集。
这将得到变限积分的定义域。
4.举例说明假设我们要求解以下变限积分的定义域：∫[x^2, x^3] (x^2 + 1) dx首先，我们需要确定积分区间。
由于被积函数为 (x^2 + 1)，它在整个实数范围内都是非负的，因此我们可以选择任意积分区间。
为了简化问题，我们选择 [0, 1] 作为积分区间。
接下来，我们需要确定上下限函数的定义域。
对于上限函数 x^2，它的定义域为 [0, 1]；对于下限函数 x^3，它的定义域也为 [0, 1]。
因此，变限积分的定义域为 [0, 1]。
变限积分求导的口诀记忆法及应用
科 技 教 育151科技资讯 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATIONDOI：10.16661/ki.1672-3791.2018.12.151变限积分求导的口诀记忆法及应用①王旭坡(广东理工学院基础课教学研究部 广东肇庆 526100)摘 要：变限积分的计算结果为函数形式，对其求导就体现了重要的意义，同时变限积分的引入，为后续定积分的求解起到了铺垫作用，然而许多教材并没有着重讲解变限积分问题.本文在研究三类变限积分求导过程的基础上，总结出相应的记忆口诀，通过形象生动地语言描述，使初学者能够快速理解并掌握变限积分的求导，同时举例说明了口诀的可行性与便捷性。
关键词：变限积分 求导 口诀记忆法中图分类号：O13 文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2018)04(c)-0151-02变限积分，又叫变限积分函数，是一种特殊形式的定积分，主要分为三种形式，即变上限积分()、变下限积分()以及上下限同时变化的积分()。
由于变限积分的计算结果为函数形式，对其求导就体现了重要的意义。
同时变限积分作为定积分求解的引入环节，是大学阶段高等数学课程中比较重要的知识模块，也是硕士研究生入学考试的重要考点之一[1]，然而许多教材中并没有着重讲解变限积分的性质以及求导思路。
对于初学者而言，就很难接受教材中讲解的简略求导过程。
在课堂教学过程中，枯燥的理论讲解很容易让学生在学习时产生抵触心理，进而影响到课程教学进度和课堂教学效果。
对于数学课程而言，更是被很多学生冠以“枯燥无味的课程”的称谓。
如何才能改善高等数学课程教学的效果，进而创造出良好的课堂教学氛围。
为此，许多教学研究者都积极参与到了改善教学方法及教学手段的设计行列中。
如张波[2]等在研究常用教学方法和教学手段的基础上，对各种教学原则进行了综合比较，从而给出了高等数学课程教学过程中最优教学法选择的依据和策略。
同时强调在高等数学课程教学过程中，应将初等数学与高等数学建立连接，着重数学思想及数学方法的培养和应用，在教学过程中灵活运用多媒体，根据问题情境创造数学建模氛围，从而激发学生学习高等数学的兴趣；王晓峰[3]等针对应用型本科院校，在分析高等数学课堂教学过程中所面临的一些问题的基础上，提出了高等数学课程“走班制”分层教学法的教学理念，提倡对学生数学水平、教材选用、教学内容及方法和考核方式等方面进行分层次教学的手段，以期做到改善高等数学的课堂教学效果，使学生逐渐养成“我要学数学”的心态，从而营造出良好的课堂教学氛围。
积分上限的函数及其导数
车到停车走了多少距离? 解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
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内容小结
1. 微积分基本公式
则有
积分中值定理
微分中值定理
2. 变限积分求导公式
牛顿 – 莱布尼兹公式
公式 目录 上页 下页 返回 结束
所以 其中
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作业
P240 3 ; 4 ; 5 (3) ; 6 (8) , (11) , (12) ; 9 (2) ; 12
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 设
求
解： 定积分为常数 , 设
故应用积分法定此常数 . ,则
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2. 求
解： 由于
的递推公式(n为正整数) . 因此
定理2. 函数 , 则
( 牛顿 - 莱布尼兹公式)
证: 根据定理 1,
故
因此 得
记作
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例4. 计算
解:
例5. 计算正弦曲线 的面积 .
解:
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例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,到某处需要减
速停车, 设汽车以等加速度
刹车, 问从开始刹
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数 之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
与速度函数
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
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二、积分上限的函数及其导数
从几道重要例题看不定积分与变限定积分的关系
从几道重要例题看不定积分与变限定积分的关系白秀琴 杨宝玉（平顶山工业职业技术学院基础部 河南平顶山 467001）摘 要：通过一类考研题的讨论，表明不定积分⎰dx x f )(只能作为运算符号，无法用来讨论)(x f 的某一原函数的性质；而变限定积分函数⎰xadt t f )(为某一确定的原函数。
可以用它来讨论)(x f 的原函数的性质；如函数的奇偶性、单调性、极值等. 关键词：不定积分 原函数 变限定积分函数From a few s see the indefinite integral with change to limitthe definite integral of relationBAI Xiu-qin,Yang Bao-yu(Pingdingshang Industrial College Of Technology,Pingdingshan,Henan,467001) Abstract: Through the discussion of this kind of problems in the entranceexams for pastgraduate schools ,it showa that the indefinite integration can just be used as mathematical symbol, but can ’t used to discuss the primary function of f(x); while the Change tolimit the definite integral ，⎰xadt t f )( as one certain primary function,can discuss the quality of f(x), such as the odd or even quality, monotonity extremeum, and value etc.Key words: indefinite integration; primary function, Change to limit the definite integral求导数(或微分)的逆运算问题——求不定积分，是积分学的基本问题之一，而定积分是通过微元分析，并归结为同一类型的黎曼和的极限，这是从两个完全不同的角度引进的两个不同的概念，两者之间的联系之一就是微积分第二基本定理，也就是我们熟悉的牛顿——莱布尼兹公式：)()()(b F a F dx x f ba-=⎰该公式表明，在定理条件下，函数)(x f 在],[b a 上定积分的值等于它任意一个原函数)(x F 在该区间上的改变量)()(b F a F -，它将定积分的计算转化为求原函数的函数值问题.上面公式的重要性不用置疑，然而很多人往往忽视他们之间的另外一个联系，也就是从微积分第一基本定理得到的，这也是本文主要讨论的内容；不定积分与定积分中的变限定积分的关系，绝大部分的高等数学教材，例如同济大学的《高等数学》介绍不定积分与变限定积分的关系，主要就介绍变上限函数求导定理，并引出原函数存在定理 ，同时证明牛顿——莱布尼兹公式.，现在首先来看 变上限积分函数的求导定理：设)(x f 在],[b a 上连续，则)()(x f dt t f xx a ='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰.，由此可知⎰xadt t f )(是)(x f 的一个原函数，很多高等数学教材就只介绍上面这个求导的式子，接下来并没有强调另一关键的式子:C dt t f dx x f xa+=⎰⎰)()( (*)因为要注意的是不定积分⎰dx x f )(只能作为运算符号，或者说它表示一类函数的集合，不能表示)(x f 的一个具体的原函数，特别当)(x f 为一个抽象的函数时，无法用⎰dx x f )(来讨论它的某一原函数的性质，而dt t f xa⎰)(的最大优点在于它的确定性，可以用它来讨论)(x f 原函数的性质；如函数的奇偶性、单调性、极值等等，以下我们通过几个例子来看看变限积分函数⎰xadt t f )(的应用以及它的重要性。