实验3 导数及偏导数计算
偏导数与方向导数的计算与应用
偏导数与方向导数的计算与应用导数是微分学中的重要概念，它不仅可以对函数进行切线的斜率计算，还可以对多元函数进行求导运算。
在多元函数中，偏导数和方向导数是导数的两种常见形式。
本文将介绍偏导数和方向导数的计算方法，并讨论它们在实际应用中的作用。
一、偏导数的计算方法偏导数是多元函数在某个指定变量上的导数。
它的计算方法与普通函数的导数类似，只需将其他变量视为常数进行求导即可。
例如，对于二元函数f(x, y)，要计算其对x的偏导数∂f/∂x，可以视y为常数，将f(x, y)作为只与x有关的函数进行求导。
同样地，计算其对y的偏导数∂f/∂y时，将x视为常数进行求导。
对于多元函数而言，偏导数可以存在多个，每个偏导数都表示函数在不同变量上的变化率。
通过偏导数的计算，可以得到函数在各个方向上的斜率信息，进而分析函数对各个变量的依赖程度。
二、方向导数的计算方法方向导数是多元函数在某个指定方向上的导数。
它表示函数在该方向上的变化率。
设函数为f(x, y, z)，要计算在点P(x0, y0, z0)处沿着向量u=(a, b, c)的方向导数，可以按照以下步骤进行计算。
1. 求出点P的梯度向量∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)。
2. 计算向量u与梯度向量的内积，即求出u与∇f的点积：u·∇f =a(∂f/∂x) + b(∂f/∂y) + c(∂f/∂z)。
3. 将点积的结果与向量u的模长相乘，得到方向导数的值：Duf = u·∇f × ||u||，其中||u||表示向量u的模长。
通过计算方向导数，我们可以研究函数在某个特定方向上的变化情况。
方向导数的大小和正负表明了函数增长或减少的趋势，对于优化问题和梯度下降算法等有重要应用价值。
三、偏导数和方向导数的应用偏导数和方向导数在数学和物理学中有广泛的应用，以下是其中的几个典型例子：1. 函数极值的判定：通过计算偏导数，可以找到多元函数的极值点。
偏导数计算公式
偏导数计算公式关于偏导数，我们可以从算法的角度进行简单的介绍。
偏导数计算公式也就是算法的表示。
偏导数可以用来指定一个变量对函数的变化率（斜率），表达式写作：$\frac{\partial y}{\partial x}$其中，y是函数，x是自变量。
如果函数的变量是w，那么表示式为：$\frac{\partial y}{\partial w}$偏导数是一种数学工具，用于衡量特定函数对特定变量的变化率。
有时，我们也称其为斜率，这种数学工具最常用于做梯度下降法，也就是minimization或优化问题。
偏导数的计算可以使用直接的微分法，也可以使用高级的数学工具，如极限法或泰勒展开。
通常，许多复杂函数的计算需要极限或泰勒展开法。
直接微分法（Direct Differentiation Method）是最常用的偏导数计算算法。
它可以获得一个复杂函数的解析解（Analytical Solution），类似于除微分几何中的画曲线，采用该法可以计算出复杂函数的偏导数。
示例：给定一个函数 y = x^2。
直接微分法求偏导数：$\frac{\partial y}{\partial x} = 2x$从这个例子可以看出，直接微分法就是根据偏导数的计算公式，通过求导的方式求得偏导数的结果。
此外，还可以使用极限法（Limit Method）和泰勒展开法（Tailor Series Expansion Method）来求取偏导数。
极限法是一种数学工具，用于计算有限的函数的极限或相似的表达式。
而泰勒展开法可以用于给定函数的一阶偏导及其多次级导数，其表示式：$\frac{\partial^n f(x)}{\partial x^n} = \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\binom{n}{k} (x-x_0)^k$其中，k为自变量x的取值，n为$f^{(k)}(x_0)$阶数，x为自变量x的新取值，$x_0$表示自变量x初始取值。
偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义及其计算法偏导数是多元函数在其中一点上的变化率的一种度量，它描述了函数在其中一方向上的变化速率。
偏导数的定义非常简单，它是将函数的其他自变量视为常数，而对其中一自变量求导得到的导数。
对于一个多元函数 f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数可以用∂f/∂xi 或者 fxi 来表示，其中∂表示偏导数的符号，xi 表示自变量 xi 的偏导数。
偏导数的计算方法基本与一元函数的导数计算类似，但在计算过程中需要将其他的自变量视为常数。
举个例子来说明偏导数的计算：假设有一个二元函数f(x1,x2)=x1^2+x2^2，我们要计算该函数关于自变量x1的偏导数∂f/∂x1在计算过程中，我们将x2视为常数，即f(x1,x2)=x1^2+C^2，其中C 表示x2的常数值。
然后我们对f(x1,x2)关于x1求导数，得到f'(x1,x2)=2x1、最后得到∂f/∂x1=f'x1=2x1，即关于x1的偏导数。
在实际应用中，偏导数常常用于优化算法、极值问题的求解等方面。
在多元函数中，偏导数的大小和符号可以用于判断函数的变化趋势和极值点的位置。
除了一阶偏导数，我们还可以计算高阶偏导数。
高阶偏导数描述的是函数对自变量一次、二次、三次...的变化率。
例如，二元函数的二阶偏导数就是对一阶偏导数再次求导，即∂^2f/∂x1^2，表示f(x1,x2)对x1的变化率的变化率。
对于多元函数而言，偏导数的计算可以推广到n阶偏导数，并且可以使用偏导数的混合形式。
例如，对于三元函数f(x1,x2,x3)，我们可以计算∂^2f/∂x1∂x2，表示对x1求偏导后再对x2求偏导。
总结来说，偏导数是多元函数关于其中一自变量的变化率的度量。
计算偏导数的方法与一元函数的导数计算类似，但需要将其他自变量视为常数。
偏导数在实际应用中具有广泛的用途，如优化算法、极值问题的求解等。
除了一阶偏导数，我们还可以计算高阶偏导数和混合偏导数。
大学多元函数的偏导数计算
大学多元函数的偏导数计算在大学数学的学习过程中，多元函数是一个非常重要的概念。
多元函数的偏导数计算是其中的一个关键内容。
在本文中，我们将探讨多元函数的偏导数计算方法，并且介绍一些常见的例子来帮助我们更好地理解该概念。
一、偏导数的概念和定义偏导数是用来描述多元函数在某一点上某个自变量的变化率的概念。
对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，我们可以将其中的一个自变量视为其他自变量都是常数的情况下的一元函数。
对这个一元函数求导，即可得到该自变量的偏导数。
在数学上，我们用∂f/∂xi来表示函数f对自变量xi的偏导数。
其中，∂是一个类似∂x/∂y的符号，表示偏微分的操作。
二、偏导数的计算方法1. 常规函数的偏导数对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，我们需要计算它的偏导数时，可以将其他自变量视为常数，然后对需要求偏导的自变量进行求导。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + y^2，我们求它对x的偏导数。
因为y在此时被视为常数，所以我们可以将y^2看作常数项。
因此，偏导数∂f/∂x = 2x。
2. 复合函数的偏导数当函数是由多个函数复合而成时，我们需要使用链式法则来计算偏导数。
例如，对于函数f(u, v) = u^2 + v，其中u = x + y，v = x - y。
我们需要求f对x的偏导数。
首先，我们要根据链式法则计算两个中间变量fu 和fv的偏导数。
fu = ∂f/∂u = 2u，fv = ∂f/∂v = 1。
然后，我们可以根据链式法则来计算偏导数∂f/∂x。
∂f/∂x = ∂f/∂u * ∂u/∂x + ∂f/∂v * ∂v/∂x根据链式法则，∂u/∂x = 1，∂v/∂x = 1。
代入上述公式，我们可以得到∂f/∂x = 2u * 1 + 1 * 1 = 2u + 1。
其中，u = x + y，所以偏导数∂f/∂x =2(x + y) + 1 = 2x + 2y + 1。
偏导数概念及其计算
偏导数概念及其计算
偏导数是求解多元函数的过程，它将多元函数的变化量分解出来，表
示与其中一个变量有关的导数，而忽略其他变量的影响。
比如，给定函数
f（x，y），对于其中一个变量x，我们可以定义偏导数f'x（x，y）表示
对于x变量而言，f的变化量，而忽略另一个变量y。
偏导数在求解函数的最值时很常用，是求解多元函数的最值、极值、
微分的重要方法，可以根据偏导数的值来判断该点是极值点还是普通点，
而无需关心其他变量的取值。
偏导数的计算：
（1）多元函数的偏导数
多元函数的偏导数定义为在所有的其他变量保持不变的情况，仅针对
一个变量的导数。
一般表示为：
f'_x(x,y)=∂f/∂x
（2）多元函数的偏导数的计算方法
1）首先，根据函数求出所有变量的偏导数：
f'_x(x,y)=∂f/∂x
f'_y(x,y)=∂f/∂y
2）若函数f(x,y)为非限制类型的多元函数，只需要求出变量x，y
的偏导数即可，求取其中其中一项变量的偏导数时，把其他变量看做常数，然后用一般微分法计算即可。
3）若函数f(x,y)为限制类型的多元函数，即该函数中存在不可加以变动的约束条件，此时，可以先求出该函数的全部变量的偏导数，然后根据拉格朗日乘数法求出未知偏导数。
偏导数的定义与计算方法
偏导数的定义与计算方法偏导数是数学中的一个重要概念。
它可以在多变量函数中反映出每个变量对函数的影响程度。
偏导数的计算方法和一元函数的导数有所不同，下面将详细介绍偏导数的定义、性质以及计算方法。
一、偏导数的定义在多元函数中，每个自变量的取值都会影响函数值的大小。
因此，在计算偏导数时，需要将其他自变量看作常数，只考虑某一个自变量对函数的影响。
对于一个函数f(x1,x2,...xn)，对于自变量xi的偏导数定义为：∂f/∂xi=lim (Δxi→0) (f(x1,x2,...,xi+Δxi,...xn)-f(x1,x2,...,xi,...xn))/Δxi其中，Δxi表示自变量xi的增量，是一个很小的数。
当Δxi趋近于0时，称之为f对xi的偏导数。
二、偏导数的性质1. 偏导数存在性对于连续的多元函数，偏导数一定存在。
但对于非连续的函数，偏导数可能不存在。
2. 二阶偏导数如果一个函数的一阶偏导数存在，则可以进行二次偏导数的计算。
二次偏导数的计算方法和一次偏导数类似，只需要在一次偏导数的式子中再次取偏导数即可。
3. 高阶偏导数类似于二次偏导数，多元函数的任意阶偏导数也可以进行计算。
高阶偏导数的符号和计算方法与一阶偏导数相同。
4. 取偏导数的顺序不同的偏导数的计算顺序有可能会影响计算结果。
例如，f(x,y)=x^2y^2，如果先对x求偏导数，再对y求偏导数，得到的结果为：∂f/∂x=2xy^2，∂f/∂y=2x^2y如果先对y求偏导数，再对x求偏导数，得到的结果为：∂f/∂y=2xy^2，∂f/∂x=2x^2y由于偏导数的计算顺序不同，导致结果也不同。
因此，在取偏导数时，需要注意顺序。
三、偏导数的计算方法1. 公式法偏导数的计算可以使用公式法。
首先需要将待求的函数f(x1,x2,...xn)展开为多项式形式，然后按照偏导数的定义进行计算。
例如，对于函数f(x,y)=x^2+y^2，需要求∂f/∂x和∂f/∂y。
导数及偏导数的计算
偏导数在优化问题中的应用
总结词
偏导数可以用于求解约束优化问题，通过求偏导数并找到使目标函数取得极值的点，可以确定最优解 。
详细描述
在约束优化问题中，如果目标函数具有多个变量，则可以通过求偏导数并找到使目标函数取得极值的 点，从而确定最优解。偏导数的应用在多变量函数优化问题中具有广泛的应用价值。
THANKS.
导数在极值问题中的应用
总结词
导数可以用于求解函数的极值，通过求导数并找到导 数为零的点，然后分析该点附近的函数值变化情况， 可以确定函数的极值。
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且该点附近左侧 导数大于零、右侧导数小于零，则该点为函数的极大 值点；反之，则为极小值点。因此，通过求函数的导 数并找到导数为零的点，可以求解函数的极值。
幂函数求导法则
总结词
幂函数求导的常用方法。
详细描述
幂函数求导法则指出，对于幂函数$f(x) = x^n$，其导数为$f'(x) = nx^{n-1}$。此外， 对于复合幂函数，如$f(x) = (g(x))^n$，其导
数可以通过链式法则和幂函数求导法则进行 计算。
偏导数的定义与性质
03
偏导数的定义
复合函数求导法则
总结词
通过复合函数的导数计算方法。
详细描述
复合函数的导数可以通过链式法则进行计算。对于复合函数$f(g(x))$，其导数为 $f'(g(x)) cdot g'(x)$，其中$f'(g(x))$表示函数$f$关于$g(x)$的导数，$g'(x)$表示函
数$g$关于$x$的导数。
链式法则
导数的计算方法
02
定义法
总结词
偏导数的定义和计算方法
偏导数的定义和计算方法偏导数是数学中的一个概念，用于描述标量函数关于一些变量的变化率。
当需要研究多元函数时，偏导数可以帮助我们更好地理解和运用函数。
下面将介绍偏导数的定义和计算方法。
一、偏导数的定义在多元函数中， x 和 y （或更多的变量）的取值可能会相互影响，这样导致的函数变化会比较复杂。
为了深入研究这种情况下的函数特性，我们需要使用偏导数。
偏导数可以理解为，将其它变量视为常数，只从一个变量的角度来观察函数的变化率。
比如，对于一个函数 f(x,y)，f 对 x 的偏导数，记作∂f/∂x，表示当 y 固定， x 发生小量变化时， f 的变化率。
偏导数的定义如下：偏导数的计算方法就是对变量求偏导数，即把其它变量视为常数，只对一个变量进行求导。
下面我们将介绍一些具体的计算方法。
二、偏导数的计算方法1. 常数的偏导数为 0如果一个变量是常数，那么它的偏导数就为 0。
因为在求偏导数时，我们只考虑其它变量的变化对函数的影响，而常数固定不变，因此偏导数为 0。
示例：对于函数 f(x,y) = 3x + 5，∂f/∂y = 0，因为常数 5 对函数没有影响。
2. 求导法则对于多元函数，我们可以运用求导法则来求偏导数。
下面是一些求导法则：（1）加减法则：偏导数的加减顺序可以交换。
（2）乘法法则：f(x,y) = u(x,y) * v(x,y)，则有∂f/∂x = ∂u/∂x * v+ u * ∂v/∂x。
（3）除法法则：f(x,y) = u(x,y) / v(x,y)，则有（4）复合函数法则：如果 z = f(x,y)，x = g(t) 且 y = h(t)，则3. 链式法则链式法则是求导法则的一个重要应用，用于求解复合函数的偏导数。
下面是链式法则的公式：偏导数计算方法较为简单，但是需要注意的是，当变量较多时，求解偏导数可能需要耗费较多的时间和劳动。
因此，在实际问题中可以运用各种数学工具，如微积分软件等，来简化计算。
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实验3 导数的概念和计算
实验目的
1.进一步理解导数概念及其几何意义.
2.学习matlab的求导命令与求导法.
实验内容
1.学习matlab命令.
建立符号变量命令sym和syms调用格式:
x=sym(｀x｀)，建立符号变量x;
syms x y z ，建立多个符号变量x，y，z;
matlab求导命令diff调用格式:
diff(函数f(x)) ，求f(x)的一阶导数;
diff(函数f(x)，n) ，求f(x)的n阶导数(n是具体整数);
2.导数概念.
导数是函数的变化率，几何意义是曲线在一点处的切线斜率.
(1)点导数是一个极限值.
例3.1.设f(x)=exp(x)，用定义计算f(x)在x=0处的导数.
解:f(x)在某一点X0的导数定义为极限:
lim(f(x0+△x)-f(x0))/△x(△x→0)
我们记h=△x，输入命令:
syms h;limit((exp(0+h)-exp(0))/h，h，0)
得结果:ans=1.可知f '(0)=1
(2)导数的几何意义是曲线的切线斜率.
例3.2.画出f(x)=exp(x)在x=0处(P(0，1))的切线及若干条割线，观察割线的变化趋势.
解:在曲线y=exp(x)上另取一点M(h，exp(h))，则PM的方程是:
(y-1)/(x-0)=(exp(h)-1)/(h-0).即y=x(exp(h)-1)/h+1
取h=3，2，1，0.1，0.01，分别作出几条割线.
h=[3，2，1，0.1，0.01];a=(exp(h)-1)./h;x=-1:0.1:3;
plot(x，exp(x)，’r’);hold on
for i=1:5;
plot(h(i)，exp(h(i))，’r.’)
plot(x，a(i)*x+1)
end
axis square
作出y=exp(x)在x=0处的切线y=1+x
plot(x，x+1，'r')
从图上看，随着M与P越来越接近，割线PM越来越接近曲线的切线.
3.求一元函数的导数.
(1)y=f(x)的一阶导数.
例3.3.求y=sinx/x的导数.
解:打开matlab指令窗，输入指令:
dy_dx=diff(sin(x)/x).
得结果:
dy_dx=cos(x)/x-sin(x)/x2.
matlab的函数名允许使用字母、空格、下划线及数字，不允许使用其他字符，在这里我们用dy_dx表示dy/dx.
例3.4.求y=ln(sinx)的导数.
解:输入命令:
dy_dx=diff(log(sin(x))).
得结果:
dy_dx=cos(x)/sin(x).
在matlab中，函数lnx用log(x)表示，而log10(x)表示lgx.
例3.5.求y=(x2+2x)20的导数.
解: 输入命令:dy_dx=diff((x2+2*x)20).
得结果:
dy_dx=20*(x2+2*x)19*(2*x+2).
注意2x输入时应为2*x.
例3.6.求y=x x的导数.
解:输入命令:
dy_dx=diff(x x).
得结果:
dy_dx =x x*(log(x)+1).
利用matlab 命令diff一次可以求出若干个函数的导数.
例3.7.求下列函数的导数:
1.y1=sqrt(x2-2x+5).
2.y2=cos(x2)+2cos(2x).
3.y3=4sinx.
4.y4=lnlnx.
解:输入命令:
a=diff([sqrt(x2- 2*x+5)，cos(x2)+2*cos(2*x)，4(sin(x))，
log(log(x))]).
得结果:
a=
[1/2/(x2-2*x+5)(1/2)*(2*x-2)，-2*sin(x2)*x-4*sin(2*x)，
4sin(x)*cos(x)*log(4)，1/x/log(x)].
dy1_dx=a(1)
dy1_dx=1/2/(x2-2*x+5)(1/2)*(2*x-2).
dy2_dx=a(2)
dy2_dx=-2*sin(x2)*x-4*sin(2*x).
dy3_dx=a(3)
dy3_dx=4sin(x)*cos(x)*log(4).
dy4_dx=a(4)
dy4_dx=1/x/log(x).
由本例可以看出，matlab函数是对矩阵或向量进行操作的，a(i)表示向量a的第i个分量.
(2)参数方程所确定的函数的导数.
设参数方程x=x(t)，y=y(t)确定函数y=f(x)，则y的导数dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt). 例3.8.设x=a(t-sint)，y=a(1-cost)，求dy/dx.
解: 输入命令:
dx_dt=diff(a*(t-sin(t)));dy_dt=diff(a*(1-cos(t)));
dy_dx=dy_dt/dx_dt.
得结果:
dy_dx=sin(t)/(1-cos(t)).
其中分号的作用是不显示结果.
练习：
1． 求下列函数的导数。
1) y=(x +1)(1/x -1) 2)y=xsinxlnx
3)y=2sin 2(1/x 2) 4)y=ln(x+22a x )
2． 求下列参数方程所确定的函数的导数
1) x=t 4, y=4t 2) x=ln(1+t2), y=t-arctant
3． 求下列隐函数的导数
1) arctan(y/x)=ln(x 2+y 2)1/2 2)x y =y x
4． 设y=exp(x)*cosx,求y (4)
5．验证y=exp(x)sinx 满足关系式：y ’’-2y ’+2y=0。