广东省韶关市北江中学2017-2018学年高三上学期9月月考数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年广东省韶关市北江中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合A={x|log3x≥0}，B={x|x≤1}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．下列4个命题：①命题“若x2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣x≠0”；②若“¬p或q”是假命题，则“p且¬q”是真命题；③若p：x（x﹣2）≤0，q：log2x≤1，则p是q的充要条件；④若命题p：存在x∈R，使得2x＜x2，则¬p：任意x∈R，均有2x≥x2；其中正确命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．已知f（x）=ax2+bx是定义在[a﹣1，3a]上的偶函数，那么a+b的值是（）A．﹣B．C．D．﹣4．已知M={（x，y）|=3}，N={（x，y）|ax+2y+a=0}且M∩N=∅，则a=（）A．﹣6或﹣2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．﹣25．设命题p：函数y=在定义域上为减函数；命题q：∃a，b∈（0，+∞），当a+b=1时， +=3，以下说法正确的是（）A．p∨q为真B．p∧q为真C．p真q假D．p，q均假6．函数y=lg（x2﹣2x+a）的值域不可能是（）A．（﹣∞，0]B．[0，+∞）C．[1，+∞）D．R7．设f（x）=，则不等式f（x）＜f（﹣1）的解集是（）A．（﹣3，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣3，﹣1）∪（2，+∞）C．（﹣3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）（﹣1，3）8．函数f（x）=的图象关于点（1，1）对称，g（x）=lg（10x+1）+bx是偶函数，则a+b=（）A．﹣B．C．D．﹣9．函数y=log a（x2﹣ax+2）在区间（﹣∞，1]上是减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．[2，+∞）C．[2，3）D．（1，3）10．已知f（x）=，则不等式f（x﹣2）+f（x2﹣4）＜0的解集为（）A．（﹣1，6）B．（﹣6，1）C．（﹣2，3）D．（﹣3，2）11．设集合A={x|x2+2x﹣3＞0}，集合B={x|x2﹣2ax﹣1≤0，a＞0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是（）A． B．C．D．（1，+∞）12．设f（x）是定义在R上的偶函数，∀x∈R，都有f（2﹣x）=f（2+x），且当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣2，若函数g（x）=f（x）﹣log a（x+1）（a＞0，a≠1）在区间（﹣1，9]内恰有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，）∪（，+∞）B．（）∪（1，） C．（，）∪（，）D．（，）∪（，3）二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设函数，则=；若f（f（a））=1，则a的值为．14．函数f（x）=，（a＞0且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是．15．已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．16．已知函数f（x）=x2+ax+1，若存在x0使|f（x0）|≤，|f（x0+1）|≤同时成立，则实数a的取值范围为．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=2sin cos﹣2sin2．（1）求函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=1，且b2=ac，求sinA 的值．18．设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+）的值域为R；命题q：3x﹣9x＜a对一切实数x恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）=x2++c（b，c是常数）和g（x）=x+都是定义在M={x|1≤x≤4}上的函数，对于任意的x∈M，存在x0∈M，使得f（x）≥f（x0）且g（x）≥g（x0）且f（x0）=g（x0），求f（x）在集合M上的最大值．20．已知函数f（x）=x2﹣2|x﹣a|．（1）若函数y=f（x）为偶函数，求a的值；（2）若a=，求函数y=f（x）的单调递增区间；（3）当a＞0时，若对任意的x∈（0，+∞），不等式f（x﹣1）≤2f（x）恒成立，求实数a的取值范围．21．设函数f（x）=，g（x）=﹣x+（a+b）（其中e为自然对数的底数，a，b∈R且a≠0），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=ae（x﹣1）．（1）求b的值；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）与g（x）有且只有两个交点，求a的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，在答题卡对应的题号后的小圆圈内涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]．23．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．2016-2017学年广东省韶关市北江中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合A={x|log3x≥0}，B={x|x≤1}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据对数函数的单调性便可解出A={x|x≥1}，这样即可求出A∩B，A∪B，从而找出正确选项．【解答】解：A={x|x≥1}，B={x|x≤1}；∴A∩B={1}，A∪B=R，A，B没有包含关系；即B正确．故选B．2．下列4个命题：①命题“若x2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣x≠0”；②若“¬p或q”是假命题，则“p且¬q”是真命题；③若p：x（x﹣2）≤0，q：log2x≤1，则p是q的充要条件；④若命题p：存在x∈R，使得2x＜x2，则¬p：任意x∈R，均有2x≥x2；其中正确命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【分析】直接写出命题的逆否命题判断①；由复合命题的真假判断判定②；求解不等式，然后结合充要条件的判断方法判断③；直接写出特称命题的否定判断④．【解答】解：①命题“若x2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣x≠0”，①正确；②若“¬p或q”是假命题，则¬p、q均为假命题，∴p、¬q均为真命题，“p且¬q”是真命题，②正确；③由p：x（x﹣2）≤0，得0≤x≤2，由q：log2x≤1，得0＜x≤2，则p是q的必要不充分条件，③错误；④若命题p：存在x∈R，使得2x＜x2，则¬p：任意x∈R，均有2x≥x2，④正确．∴正确的命题有3个．故选：C．3．已知f（x）=ax2+bx是定义在[a﹣1，3a]上的偶函数，那么a+b的值是（）A．﹣B．C．D．﹣【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由定义域关于原点对称求出a的值，再由f（﹣x）=f（x）求得b的值，则答案可求．【解答】解：由f（x）=ax2+bx是定义在[a﹣1，3a]上的偶函数，得a﹣1=﹣3a，解得：a=．再由f（﹣x）=f（x），得a（﹣x）2﹣bx=ax2+bx，即bx=0，∴b=0．则a+b=．故选：C．4．已知M={（x，y）|=3}，N={（x，y）|ax+2y+a=0}且M∩N=∅，则a=（）A．﹣6或﹣2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．﹣2【考点】交集及其运算．【分析】集合M表示y﹣3=3（x﹣2）上除去（2，3）的点集，集合N表示恒过（﹣1，0）的直线方程，根据两集合的交集为空集，求出a的值即可．【解答】解：集合M表示y﹣3=3（x﹣2），除去（2，3）的直线上的点集；集合N中的方程变形得：a（x+1）+2y=0，表示恒过（﹣1，0）的直线方程，∵M∩N=∅，∴若两直线不平行，则有直线ax+2y+a=0过（2，3），将x=2，y=3代入直线方程得：2a+6+a=0，即a=﹣2；若两直线平行，则有﹣=3，即a=﹣6，综上，a=﹣6或﹣2．故选：A．5．设命题p：函数y=在定义域上为减函数；命题q：∃a，b∈（0，+∞），当a+b=1时， +=3，以下说法正确的是（）A．p∨q为真B．p∧q为真C．p真q假D．p，q均假【考点】复合命题的真假．【分析】根据反比例函数的单调性知，它在定义域上没有单调性，所以命题p是假命题；根据a+b=1得b=1﹣a，带入，看能否解出a，经计算解不出a，所以命题q是假命题，即p，q均假，所以D是正确的．【解答】解：函数y=在（﹣∞，0），（0，+∞）上是减函数，在定义域{x|x≠0}上不具有单调性，∴命题p是假命题；由a+b=1得b=1﹣a，带入并整理得：3a2﹣3a+1=0，∴△=9﹣12＜0，∴该方程无解，即不存在a，b∈（0，+∞），当a+b=1时，，∴命题q是假命题；∴p，q均价，∴p∨q为假，p∧q为假；故选D．6．函数y=lg（x2﹣2x+a）的值域不可能是（）A．（﹣∞，0]B．[0，+∞）C．[1，+∞）D．R【考点】复合函数的单调性．【分析】利用换元法，结合一元二次函数和对数函数的性质进行讨论求解即可．【解答】解：设t=x2﹣2x+a，则函数为开口向上的抛物线，若判别式△≥0，则此时函数y=lg（x2﹣2x+a）的值域为R，若判别式△＜0，则函数t=x2﹣2x+a＞0恒成立，此时函数有最小值，当t=x2﹣2x+a=1时，y=lg（x2﹣2x+a）的值域为[0，+∞），当t=x2﹣2x+a=10时，y=lg（x2﹣2x+a）的值域为[1，+∞），故不可能是A．故选：A．7．设f（x）=，则不等式f（x）＜f（﹣1）的解集是（）A．（﹣3，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣3，﹣1）∪（2，+∞）C．（﹣3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）（﹣1，3）【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x的范围进行求解即可．【解答】解：由函数的解析式得f（﹣1）=1﹣4+6=3，则不等式等价为f（x）＜3，若x＞0得﹣x+6＜3，得x＞3，若x≤0，则不等式等价为x2+4x+6＜3，即x2+4x+3＜0，得﹣3＜x＜﹣1，综上不等式的解集为（﹣3，﹣1）∪（3，+∞），故选：A．8．函数f（x）=的图象关于点（1，1）对称，g（x）=lg（10x+1）+bx是偶函数，则a+b=（）A．﹣B．C．D．﹣【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题意可得y=m（x）=﹣1 为奇函数，根据它的定义域关于原点对称求得a 的值，检验满足条件；根据g（x）是偶函数，g（﹣1）=g（1），求得b的值，可得a+b的值．【解答】解：∵函数f（x）=的图象关于点（1，1）对称，故把函数f（x）=的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，所得图象关于原点对称，即y=m（x）=﹣1 为奇函数，故函数m（x）的定义域{x|x≠﹣a﹣1}关于原点对称，∴﹣a﹣1=0，∴a=﹣1，此时，m（x）=﹣1=，显然，m（x）是奇函数．又g（x）=lg（10x+1）+bx是偶函数，∴g（﹣1）=g（1），即lg（+1）﹣b=lg（10+1）+b=0，即2b=lg﹣lg11=lg11﹣1﹣lg11=﹣1，∴b=﹣．综上可得，a+b=﹣1﹣=﹣，故选：D．9．函数y=log a（x2﹣ax+2）在区间（﹣∞，1]上是减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．[2，+∞）C．[2，3）D．（1，3）【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】先确定a＞1，再转化为t=x2﹣ax+2在区间（﹣∞，1]上为减函数，且t＞0，即可求得a的取值范围．【解答】解：若0＜a＜1，则函数在区间（﹣∞，1]上为增函数，不符合题意；若a＞1，则t=x2﹣ax+2在区间（﹣∞，1]上为减函数，且t＞0∴，2≤a＜3即a的取值范围是[2，3）故选C．10．已知f（x）=，则不等式f（x﹣2）+f（x2﹣4）＜0的解集为（）A．（﹣1，6）B．（﹣6，1）C．（﹣2，3）D．（﹣3，2）【考点】其他不等式的解法．【分析】本题要先判出f（x）为奇函数和增函数，进而把抽象不等式转化为关于x的一元二次不等式．【解答】解：由题意可知f（x）的定义域为R．∵∴f（﹣x）+f（x）===0，即f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数．又f（x）==，由复合函数的单调性可得f（x）为增函数，∴f（x﹣2）+f（x2﹣4）＜0可化为f（x﹣2）＜﹣f（x2﹣4）即f（x﹣2）＜f（4﹣x2），可得x﹣2＜4﹣x2，即x2+x﹣6＜0，解得﹣3＜x＜2，故选D11．设集合A={x|x2+2x﹣3＞0}，集合B={x|x2﹣2ax﹣1≤0，a＞0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是（）A． B．C．D．（1，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】先求解一元二次不等式化简集合A，B，然后分析集合B的左端点的大致位置，结合A∩B中恰含有一个整数得集合B的右端点的范围，列出无理不等式组后进行求解．【解答】解：由x2+2x﹣3＞0，得：x＜﹣3或x＞1．由x2﹣2ax﹣1≤0，得：．所以，A={x|x2+2x﹣3＞0}={x|x＜﹣3或x＞1}，B={x|x2﹣2ax﹣1≤0，a＞0}={x|}．因为a＞0，所以a+1＞，则且小于0．由A∩B中恰含有一个整数，所以．即，也就是．解①得：a，解②得：a．所以，满足A∩B中恰含有一个整数的实数a的取值范围是．故选B．12．设f（x）是定义在R上的偶函数，∀x∈R，都有f（2﹣x）=f（2+x），且当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣2，若函数g（x）=f（x）﹣log a（x+1）（a＞0，a≠1）在区间（﹣1，9]内恰有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，）∪（，+∞）B．（）∪（1，） C．（，）∪（，）D．（，）∪（，3）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），推出函数f（x）是以4为最小正周期的函数，结合题意画出在区间（﹣1，9）内函数f（x）和y=log a（x+1）的图象，注意对a讨论，分a＞1，0＜a＜1，结合图象即可得到a的取值范围．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），即f（x+4）=f（x）∴f（x+4）=f（x），则函数f（x）是以4为最小正周期的函数，∵当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣2，f（x）是定义在R上的偶函数，∴当x∈[﹣2，0]时，f（x）=f（﹣x）=2﹣x﹣1，结合题意画出函数f（x）在x∈（﹣1，9]上的图象与函数y=log a（x+1）的图象，①若0＜a＜1，要使f（x）与y=log a（x+1）的图象，恰有3个交点，则，即，解得即a∈（，），②若a＞1，要使f（x）与y=log a（x+1）的图象，恰有3个交点，则，即解得，即a∈（，），综上a的取值范围是（，）∪（，）故选：C．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设函数，则=2；若f（f（a））=1，则a的值为．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】利用分段函数由里及外逐步求解即可．第二问，通过分类讨论求解方程的解即可．【解答】解：函数，则=f（3×）=f（1）=2；f（f（a））=1，a＜时，1=f（3a﹣1）=3（3a﹣1）﹣1，解得a=．当a≥1时，2a＞1，f（f（a））=1，不成立；当时，f（f（a））=1，23a﹣1=1，解得a=，（舍去）．综上a=．故答案为：．14．函数f（x）=，（a＞0且a≠1）是R上的减函数，则a的取值范围是（0，] ．【考点】函数单调性的性质．【分析】由条件利用函数的单调性的性质，可得，由此求得a 的取值范围．【解答】解：∵函数，（a ＞0且a ≠1）是R 上的减函数，∴，求得0＜a ≤，故答案为：（0，]．15．已知偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递减，f （2）=0，若f （x ﹣1）＞0，则x 的取值范围是 （﹣1，3） ．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f （|x ﹣1|）＞f （2），即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递减，f （2）=0， ∴不等式f （x ﹣1）＞0等价为f （x ﹣1）＞f （2）， 即f （|x ﹣1|）＞f （2）， ∴|x ﹣1|＜2， 解得﹣1＜x ＜3， 故答案为：（﹣1，3）16．已知函数f （x ）=x 2+ax +1，若存在x 0使|f （x 0）|≤，|f （x 0+1）|≤同时成立，则实数a 的取值范围为 [﹣，﹣2]∪[2，] ．【考点】二次函数的性质．【分析】求出二次函数的最值，考察f （x ）=x 2+h ，当h=0，﹣时，有|f （﹣）|≤，|f（﹣+1）|≤同时成立，令﹣≤0，解不等式即可得到．【解答】解：由f （x ）=（x +）2+，考察f （x ）=x 2+h ，当h=0时，有|f （﹣）|≤，|f （﹣+1）|≤同时成立；当h=﹣时，有|f （﹣）|≤，|f （﹣+1）|≤同时成立．所以﹣h ≤0即﹣≤0，解得﹣≤a≤﹣2或2≤a≤．故答案为：[﹣，﹣2]∪[2，]．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=2sin cos﹣2sin2．（1）求函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=1，且b2=ac，求sinA 的值．【考点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）将函数利用二倍角、辅助角公式化简，即可确定函数f（x）的值域；（2）由f（C）=1，可得C=，结合b2=ac，c2=a2+b2，即可求得sinA的值．【解答】解：（1）函数f（x）=2sin cos﹣2sin2=﹣1=﹣1 …∵x∈R，∴…∴﹣3≤﹣1≤1 …∴函数f（x）的值域为[﹣3，1]…（2）f（C）=﹣1=1，…∴，而C∈（0，π），∴C=．…在△ABC中，b2=ac，c2=a2+b2，…∴c2=a2+ac，得…∴…∵0＜sinA＜1，∴sinA==．…18．设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+）的值域为R；命题q：3x﹣9x＜a对一切实数x恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出两个命题的为真命题的等价条件，利用复合命题真假之间的关系进行判断求解．【解答】解：若函数f（x）=lg（ax2﹣x+）的值域为R，则当a=0时，f（x）=lg（﹣x）的值域为R满足条件，若a≠0，要使函数f（x）的值域为R，则，即，即0＜a≤2，综上0≤a≤2；若3x﹣9x＜a对一切实数x恒成立，则设g（x）=3x﹣9x，则g（x）=3x﹣（3x）2，=设t=3x，则t＞0，则函数等价为y=t﹣t2=﹣（t）2+≤，即a＞，若“p且q”为真命题，则，即＜a≤2则若“p且q”为假命题，则a＞2或a≤．19．已知函数f（x）=x2++c（b，c是常数）和g（x）=x+都是定义在M={x|1≤x≤4}上的函数，对于任意的x∈M，存在x0∈M，使得f（x）≥f（x0）且g（x）≥g（x0）且f（x0）=g（x0），求f（x）在集合M上的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意可得f（x）min=f（x0），g（x）min=g（x0），利用基本不等式求出g（x）的最小值，得到x0=2，f（x0）=g（x0）=1，再由f（2）=1得到一个关于b，c的方程，由f'（2）=0求导b值，进一步得到c值，则函数f（x）的解析式可求，求出f（1）和f（4）的值得答案．【解答】解：由题可知，f（x）min=f（x0），g（x）min=g（x0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当且仅当且1≤x≤4即x=2时取“=”，∴x0=2，f（x0）=g（x0）=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由f（2）=1，得，即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1）f（x）min=f（2）=1，得x=2是f（x）的一个极值点，∴f'（2）=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，得，∴b=8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣代入（1），得c=﹣5﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴，（1≤x≤4）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣f（x）max=Max{f（1），f（4）}，∴＜．故f（x）的最大值是5﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．已知函数f（x）=x2﹣2|x﹣a|．（1）若函数y=f（x）为偶函数，求a的值；（2）若a=，求函数y=f（x）的单调递增区间；（3）当a＞0时，若对任意的x∈（0，+∞），不等式f（x﹣1）≤2f（x）恒成立，求实数a 的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质；函数恒成立问题．【分析】（1）根据f（﹣x）=f（x）恒成立，求得a的值．（2）当a=时，f（x）=x2﹣2|x﹣a|=，结合它的图象得到函数的单调增区间．（3）不等式即4|x﹣a|﹣2|x﹣1﹣a|≤x2+2x﹣1 （※），分类讨论，去掉绝对值，求得它的解集．【解答】解：（1）任取∈R，则有f（﹣x）=f（x）恒成立，即x2﹣2|﹣x﹣a|=x2﹣2|x﹣a|恒成立，∴|x+a|=|x﹣a|恒成立，∴平方得2ax=﹣2ax恒成立，∴a=0．（2）当a=时，f（x）=x2﹣2|x﹣a|=，由函数的图象可知，函数的单调递增区间为（﹣1，]、[1，+∞）．（3）不等式式f（x﹣1）≤2f（x）化为（x﹣1）2﹣2|x﹣1﹣a|≤2x2﹣4|x﹣a|，即：4|x﹣a|﹣2|x﹣1﹣a|≤x2+2x﹣1 （※），对任意的x∈（0，+∞）恒成立，因为a＞0，所以分如下情况讨论：①0≤x≤a时，不等式（※）化为﹣4（x﹣a）+2[x﹣（1+a）]≤x2+2x﹣1恒成立，即x2+4x+1﹣2a≥0对x∈[0，a]恒成立，∵g（x）=x2+4x+1﹣2a在[0，a]上单调递增，只需g（x）的最小值g（0）=1﹣2a≥0，∴0＜a≤．②当a＜x≤a+1时，不等式（※）化为4（x﹣a）+2[x﹣（1+a）]≤x2+2x﹣1恒成立，即x2﹣4x+1+16a≥0对x∈（a，1+a]恒成立恒成立，由①知0＜a＜，∴h（x）=x2﹣4x+1+16a在∈（a，1+a]上单调递减，∴只需h（x）的最小值h（1+a）=a2+4a﹣2≥0，∴a≤﹣2﹣或a≥﹣2，∵﹣2＜，∴﹣2≤a≤．③当x＞a+1时，不等式（※）化为4（x﹣a）﹣2[x﹣（1+a）]≤x2+2x﹣1恒成立，即x2+2a﹣3≥0 对x∈（a+1，+∞）恒成立．由于m（x）=x2+2a﹣3≥0，且m（x）在[a+1，+∞）上单调递增，∴只需m（x）的最小值m（1+a）=a2+4a﹣2≥0，∴a≤﹣2﹣或a≥﹣2，由②得：﹣2≤a≤．综上所述，a的取值范围是：﹣2≤a≤．21．设函数f（x）=，g（x）=﹣x+（a+b）（其中e为自然对数的底数，a，b∈R且a≠0），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=ae（x﹣1）．（1）求b的值；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）与g（x）有且只有两个交点，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导，从而可得f′（1）=ab=ae，从而解得；（2）令，则任意，f（x）与g（x）有且只有两个交点可化为函数h（x）在有且只有两个零点．求导，从而分类讨论求a的取值范围．【解答】解：（1）由，得，由题意得f′（1）=ab=ae，∵a≠0，∴b=e，（2）令，则任意，f（x）与g（x）有且只有两个交点，等价于函数h（x）在有且只有两个零点．由，得，①当时，由h′（x）＞0得x＞e；由h′（x）＜0得．此时h（x）在上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．∵，∵，∴要使得h（x）在上有且只有两个零点，则只需=，即；②当时，由h′（x）＞0得或x＞e；由h′（x）＜0得a＜x＜e．此时h（x）在（a，e）上单调递减，在和（e，+∞）上单调递增．此时，∴此时h（x）在至多只有一个零点，不合题意；③当a＞e时，由h′（x）＞0得或x＞a，由h′（x）＜0得e＜x＜a，此时h（x）在和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且，∴h（x）在至多只有一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为．请考生在第22、23题中任选一题作答，在答题卡对应的题号后的小圆圈内涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）首先，对于曲线C：根据极坐标与直角坐标变换公式，方程ρsin2θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，化成直角坐标方程，对于直线l：消去参数t即可得到普通方程；（2）首先，联立方程组，消去y整理，然后，设点M，N分别对应参数t1，t2，从而，得到|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|，然胡，结合一元二次方程根与系数的关系，建立含有a的关系式，求解a的取值．【解答】解：（1）∵，方程ρsin2θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax（a＞0）；直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0．（2）联立方程组，消去y并整理，得t2﹣2（4+a）t+8（4+a）=0 （*）△=8a（4+a）＞0．设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．则|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|．由题设得（t1﹣t2）2=|t1t2|，即（t1+t2）2﹣4t1t2=|t1t2|．由（*）得t1+t2=2（4+a），t1t2=8（4+a）＞0，则有（4+a）2﹣5（4+a）=0，得a=1，或a=﹣4．∵a＞0，∴a=1．[选修4-5：不等式选讲]．23．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由m＞0，由f（x）的解析式利用绝对值三角不等式证得结论．（Ⅱ）分当＜2时和当≥2时两种情况，分别根据f（2）＞5，求得m的范围，再把所得m的范围取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）由m ＞0，有f （x ）=|x ﹣|+|x +m |≥|﹣（x ﹣）+x +m |=+m ≥4，当且仅当=m ，即m=2时取“=”，所以f （x ）≥4成立．（Ⅱ）f （2）=|2﹣|+|2+m |．当＜2，即m ＞2时，f （2）=m ﹣+4，由f （2）＞5，求得m ＞．当≥2，即0＜m ≤2时，f （2）=+m ，由f （2）＞5，求得0＜m ＜1．综上，m 的取值范围是（0，1）∪（，+∞）．2016年12月1日。