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高考数学试题分类汇编--应用题
1 / 5 高考数学试题分类汇编--应用题 1.（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z= A．4650元 B．4700元 C．4900元 D．5000元 【答案】C
【解析】由题意设派甲，乙,xy辆，则利润450350zxy，得约束条件08071210672219xyxyxyxy画出可行域在12219xyxy的点75xy代入目标函数4900z 2.（湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝
克）与时间t（单位：年）满足函数关系：300()2tMtM，其中M0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M（60）= A．5太贝克 B．75In2太贝克 C．150In2太贝克 D．150太贝克 【答案】D 3.（北京理）。根据统计，一名工作组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为
AxAcAxxcxf,,,
)(
（A，C为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是 A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16 【答案】D 4．（陕西理）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。 【答案】2000 5．（湖北理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。
高考数学应用题
由 ,
得 .
即
(2）由 ,知点 在以 ， 为焦点的椭圆上,
∵ ,∴要使四边形DＢAC面积最大，只需 的面积最大,此时点 到 的距离最大,即 必为椭圆短轴顶点．由 ,得短半轴长 面积的最大值为 .
因此,四边形ACDＢ面积的最大值为 ．
3.某直角走廊的示意图如图所示,其两边走廊的宽度均为２m.
17.命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力,考查运算求解能力.
解：(法一）设圆锥母线与底面所成角为 ，且 ，(2分)
则该仓库的侧面总造价
，（8分）
由 得 ,即 ,（1３分）
经检验得,当 时，侧面总造价 最小，此时圆锥的高度为 m．(15分)
(法二）设圆锥的高为 m，且 ，（２分）
则该仓库的侧面总造价
（2)图(１)中由四条线段所在直线围成的平面区域为 ,动点 在 内（包括边界),求 的最大值;
（３）由（2），将动点 所满足的条件及 Nhomakorabea求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如 类比为 ），试列出 所满足的条件，并求出相应的最大值．
（图1)（图2）
1９.解(Ⅰ)
.
(
在 恒成立,所以函数在 上递增
当t＝6时, ＝3４.5. ∴6月份销售额最大为3４500元．
,（8分)
由 得 ,(13分）
经检验得，当 时，侧面总造价 最小,此时圆锥的高度为 ｍ．(1５分）
3． 在一个六角形体育馆的一角ＭAN内，用长为a的围栏设置一个运动器材储存区域(如图所示),已知 ,B是墙角线ＡM上的一点,Ｃ是墙角线AＮ上的一点.
(1)若BC=a＝20,求储存区域面积的最大值;
（2）若AＢ=AC＝１0,在折线 内选一点 ,使 ，求四边形储存区域DBAＣ的最大面积．
2024高考数学空间几何综合应用
2024高考数学空间几何综合应用在中国高考数学试卷中，空间几何是一个重要的知识点。
空间几何涵盖了点、线、面的性质和相互关系，以及在三维空间中的几何问题。
在2024年的高考数学试卷中，空间几何的综合应用题将占据一定比重，要求学生综合运用所学知识，解决实际问题。
本文将探讨2024高考数学空间几何综合应用的相关内容。
一、球面的应用球面是空间几何中的一个重要概念，其应用十分广泛。
在高考数学试卷中，经常会出现涉及球面的综合应用题。
例如：【例题】某公司生产的球形水波机，吹气后能形成直径为3米的水波，每台水波机能同时覆盖20平方米的水面。
现在有一个泳池，它的底面长10米、宽8米，深2米，请问最少需要多少台水波机才能将泳池中的水面完全覆盖？解析：泳池的底面面积为10米×8米=80平方米，而每台水波机的覆盖面积为20平方米。
因此，我们可以计算出覆盖泳池所需的水波机数量为80÷20=4台。
答案是最少需要4台水波机。
二、平面和直线的交点在空间几何中，平面和直线的相交问题也经常出现在高考数学试卷中。
考生需要全面了解平面和直线的性质，并能够运用相关公式和定理解决问题。
例如：【例题】已知空间直线l的对称式方程为x-2=y+3=z-4，请问过直线l且垂直于z轴的平面的方程是什么？解析：首先，我们可以通过对称式方程得到直线l的一个点P(-2, -3, 4)。
由于该平面与z轴垂直，那么该平面上的任意一点Q的坐标可以表示为Q(x, y, 0)。
由于点Q在平面上，所以平面上的任意一点Q满足直线l和点Q联立方程组：x-2=(y+3)=-4x-2=y+3由此，我们可以得到平面的方程为x-2=y+3。
三、空间图形的投影问题在高考数学试卷中，空间图形的投影问题是一个重要的考点。
考生需要了解图形投影的概念和性质，并能够根据给定条件解决相关问题。
例如：【例题】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，顶点A1在平面(x+y+z=5)上，则正方体的投影在该平面上的形状是什么？解析：首先，我们可以通过正方体的特性得到A点坐标为(0, 0, 0)，A1点坐标为(1, 0, 4)。
高考数学试题汇编 应用题 试题
2021届高考数学试题汇编 应用题制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题1、〔2021〕拉练行HY 中，某人从甲地到乙地一共走了500m ，途中涉水横穿过一条宽为xm 的河流，该人不小心把一件物品遗落在途中，假设物品遗落在河里找不到，假设那么可以找到，找到该物品的概率为45，那么河宽为 DA ．40m B50m C ．80m D ．100m二、填空题1、〔2021一中〕我某旅行社组团参加香山文化一日游，预测每天游客人数在50至130人之间，游客人数x 〔人〕与游客的消费总额y 〔元〕之间近似地满足关系：224010000y x x =-+-．那么游客的人均消费额最高为***** 元．40三、解答题1、〔2021八中〕某造船公司年造船量是20艘，造船x 艘的产值函数为23()37004510R x x x x =+-〔单位：万元〕，本钱函数为()4605000C x x =+〔单位：万元〕，又在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()(1)()Mf x f x f x =+-。
〔Ⅰ〕求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ；〔提示：利润=产值本钱〕 〔Ⅱ〕问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？〔Ⅲ〕求边际利润函数()MP x 单调递减时x 的取值范围，并说明单调递减在此题中的实际意义是什么？解：〔Ⅰ〕32()()()104532405000P x R x C x x x x =-=-++-,*(,x 20)x N ∈≤≤且1; 2分2MP(x)P(x 1)P(x)30x 60x 3275=+-=-++,*(N ,)x x 19∈≤≤且1．…………… 4分〔Ⅱ〕()()().2P x 30x 90x 324030x 12x 9'=-++=--+ (),()0x 12 P x 0x 12P x 0∴><＇＇当 <<时当>时 .12()x P x ∴=，有最大值.即年造船量安排12 艘时，可使公司造船的年利润最大． ……………………8分〔Ⅲ〕())22MP x 30x 60x 3275=30x 13305,=-++--+( ……………………11分所以，当x 1≥时，()MP x 单调递减，x 的取值范围为[]1,19，且.x N *∈ …………12分()MP x 是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少．14分2、〔2021〕某企业原有员工2000人,每人每年可为企业创利润3.5万元.为应对国际HY 给企业带来的不利影响,该企业施行“优化重组,分流增效〞的策略,分流出一局部员工待岗.为维护消费稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的5％,并且每年给每位待岗员工发放生活补贴O.5万元.据评估,当待岗员工人数x 不超过原有员工1％时,留岗员工每人每年可为企业多创利润(1-x10081)万元；当待岗员工人数x 超过原有员工1％时,留岗员工每人每年可为企业多创利润O.9595万元.为使企业年利润最大,应安排多少员工待岗?解：设重组后,该企业年利润为y 万元.∵2000×1%=20,∴当0<x ≤20且x ∈N 时, y=(2000-x)(3.5+1-x 10081)-0.5x=-5(x+x324)+9000.81. …………………………3分∵x ≤2000×5% ∴x ≤100,∴当20<x ≤100且x ∈N 时, y=(2000-x)(3.5+0.9595)-0.5x=-4.9595x+8919. …………………………………6分-5(x+x324)+9000.81,(0<x ≤20且x ∈N), ∴y=-4.9595x+8919, (20<x ≤100且x ∈N).当0<x ≤20时,有 y=-5(x+x324≤-5×2324+9000.81=8820.81, 当且仅当x=x 324,即x=18时取等号,此时y 获得最大值.…………………………10分当20<x ≤100时,函数y=-4.9595x+8919为减函数,×20+8919=8819.81.…………………………………………………12分 综上所述x=18时,y 有最大值8820.81万元.即要使企业年利润最大,应安排18名员工待岗.……………………………………13分3、〔2021三中〕甲乙两地相距400千米，一汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/小时，该汽车每小时的运输本钱P(元)关于速度υ(千米/小时)的函数关系是 υυυ15160119200134+-=P 。
高考数学专题练习 36应用性问题 理
高考数学专题练习 36应用性问题理(推荐时间：75分钟)1．张林在李明的农场附近建了一个小型工厂，由于工厂生产须占用农场的部分资源，因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定净收入．工厂在不赔付农场的情况下，工厂的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x＝2 000t.若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s元(以下称s为赔付价格)．(1)将工厂的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出工厂获得最大利润的年产量；(2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额y＝0.002t2(元)，在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中获得最大净收入，应向张林的工厂要求赔付价格s是多少？2．甲、乙、丙三人都报考某大学，根据他们的成绩与表现，他们被录取的概率分别为0.5,0.7,0.8，并且他们是否被录取之间互不影响．(1)求至少两人被录取的概率；(2)若用ξ表示被录取的人数，求ξ的概率分布列，并求这3人被录取的人数期望值．3．某城市决定对城区住房进行改造，在建新住房的同时拆除部分旧住房．第一年建新住房a m2，第二年到第四年，每年建设的新住房比前一年增长100%，从第五年起，每年建设的新住房都比前一年减少a m2；已知旧住房总面积32a m2，每年拆除的数量相同．(1)若10年后该城市住房总面积正好比改造前的住房总面积翻一番，则每年拆除的旧住房面积是多少平方米？(2)求前n(1≤n≤10且n∈N)年新建住房总面积S n.4.某观测站在城A 的南偏西20°的方向，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路上B 处有一人，距C 为31千米，正沿公路向A 城走去，走了20千米后到达D 处，此时CD 间的距离为21千米，问：这人还要走多少千米才能到达A 城？5．某企业投放81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x 个月的利润f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，1≤x ≤20，x ∈N *，110x ，21≤x ≤60，x ∈N *.(单位：万元)为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润再投入到次月的经营中．记第x 个月的利润率为g (x )＝第x 个月的利润第x 个月前的资金总和，例如g (3)＝f 381＋f 1＋f 2.(1)求g (10)；(2)求第x 个月的利润率；(3)求该企业经销此产品期间，哪一个月的利润率最大，并求出该月的利润率． 答案1．解 (1)工厂的实际年利润为：w ＝2 000t －st (t ≥0)． w ＝2 000t －st ＝－s (t －1 000s )2＋1 0002s，当t ＝(1 000s)2时，w 取得最大值．所以工厂取得最大年利润的产量t ＝(1 000s)2(吨)．(2)设农场净收入为v 元，则v ＝st －0.002t 2. 将t ＝(1 000s )2代入上式，得v ＝1 0002s －2×1 0003s4. 又v ′＝－1 0002s 2＋8×1 0003s 5＝1 00028 000－s3s 5.令v ′＝0，得s ＝20.当s <20时，v ′>0；当s >20时，v ′<0， 所以s ＝20时，v 取得最大值．因此李明向张林要求赔付价格s ＝20(元/吨)时，获最大净收入．2．解 (1)设“至少两人被录取”为事件A ，则A 的对立事件A 为“只有1人被录取或都没有被录取”，而三人都没有被录取的概率为：P 0＝(1－0.5)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.03.恰好有一人被录取的概率为：P 1＝(1－0.5)×(1－0.7)×0.8＋(1－0.5)×0.7×(1－0.8)＋0.5×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.22，故P (A )＝P 0＋P 1＝0.22＋0.03＝0.25.所以，P (A )＝1－P (A )＝1－0.25＝0.75，即至少有两人被录取的概率为0.75. 也可直接求；三人都被录取的概率为：P 3＝0.5×0.7×0.8＝0.28，两人被录取的概率为：P 2＝0.5×0.7×(1－0.8)＋0.5×(1－0.7)×0.8＋(1－0.5)×0.7×0.8＝0.47，故P (A )＝P 2＋P 3＝0.75.(2)根据(1)可知，P (ξ＝0)＝0.03，P (ξ＝1)＝0.22， 恰有三人被录取的概率为：P (ξ＝3)＝0.5×0.7×0.8＝0.28，所以，恰好有二人被录取的概率为：P (ξ＝2)＝1－0.03－0.22－0.28＝0.47. 故ξ的概率分布列为：ξ 0 1 2 3 P (ξ)0.030.220.470.28则被录取的人数期望值为：E (ξ)＝1×0.22＋2×0.47＋3×0.28＝2. 3．解 (1)10年后新建住房总面积为a ＋2a ＋4a ＋8a ＋7a ＋6a ＋5a ＋4a ＋3a ＋2a ＝42a .设每年拆除的旧住房为x m 2，则42a ＋(32a －10x )＝2×32a ， 解得x ＝a ，即每年拆除的旧住房面积是a m 2. (2)设第n 年新建住房面积为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1a1≤n ≤4，12－n a 5≤n ≤10，所以当1≤n ≤4时，S n ＝(2n－1)a ； 当5≤n ≤10时，S n ＝a ＋2a ＋4a ＋8a ＋7a ＋6a ＋…＋(12－n )a＝15a ＋n －419－n a2＝23n －n 2－46a2故S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n－1a ，1≤n ≤423n －n 2－462a 5≤n ≤10.4.解 本题为解斜三角形的应用问题，要求这人走多少路可到达A 城，也就是要求AD 的长，在△ACD 中，已知CD ＝21千米，∠CAD ＝60°，只需再求出一个量即可．如图，令∠ACD ＝α，∠CDB ＝β，在△CBD 中，由余弦定理得cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD ＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sin β＝437.而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β ＝437×12＋32×17＝5314， 在△ACD 中，21sin 60°＝AD sin α，∴AD ＝21×sin αsin 60°＝15(千米)．∴这个人再走15千米就可到达A 城．5．解 (1)依题意，得f (1)＝f (2)＝f (3)＝…＝f (9)＝f (10)＝1，∴g (10)＝f 1081＋f 1＋f 2＋…＋f9＝190. (2)当x ＝1时，g (1)＝181.当1<x ≤20时，f (1)＝f (2)＝…＝f (x －1)＝f (x )＝1，∴g (x )＝f x 81＋f 1＋f 2＋…＋f x －1＝1x ＋80.∵当x ＝1时也符合上式，故当1≤x ≤20时，g (x )＝1x ＋80. 当21≤x ≤60时，g (x )＝f x81＋f 1＋f 2＋…＋f 20＋f 21＋…＋f x －1＝110x 81＋20＋f 21＋…＋f x －1 ＝110x 101＋x －21x ＋2020＝2xx 2－x ＋1 600.∴第x 个月的利润率为g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋80，1≤x ≤20，2x x 2－x ＋1 600，21≤x ≤60.(3)当1≤x ≤20时，g (x )＝1x ＋80是减函数，此时g (x )的最大值为g (1)＝181. 当21≤x ≤60时，g (x )＝2xx 2－x ＋1 600＝2x ＋1 600x－1≤279.当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时，g (x )有最大值279.又∵279>181，∴当x ＝40时，g (x )有最大值279.即该企业经销此产品期间，第40个月的利润率最大，其利润率为279.。
高考数学应用题专项练习
1 应用题专项练习 1．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计. 请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
（Ⅰ）填充频率分布表的空格(在答题纸上写出a，b，c，d，e的值)； （Ⅱ）补全频数条形图； （Ⅲ）若成绩在75.585.5分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？
解：(1)
(2) 频数直方图如右上所示
(3) 成绩在75.580.5分的学生占70.580.5分的学生的510，因为成绩在70.580.5分的学生频率为0.2 ，所以成绩在76.580.5分的学生频率为0.1 ， 成绩在80.585.5分的学生占80.590.5分的学生的105，因为成绩在80.590.5分的学生频率为0.32 ，所以成绩在80.585.5分的学生频率为0.16 所以成绩在76.585.5分的学生频率为0.26，
分组 频数 频率 50.560.5 4 0.08 60.570.5 a 0.16 70.580.5 10 b 80.590.5 16 0.32 90.5100.5 c d 合计 50 e
分组 频数 频率 50.560.5 4 0.08 60.570.5 8 0.16 70.580.5 10 0.20 80.590.5 16 0.32 90.5100.5 12 0.24 合计 50 1.00 2
由于有900名学生参加了这次竞赛， 所以该校获得二等奖的学生约为0.26900=234（人） 2． 在房屋装修的过程中，估计需要用到学校的客货两用车，经实际探索，知该车的燃料
费与其速度的立方成正比。且知其速度为每小时64公里时，燃料费为每小时40元，其余费用（不随速度变化：如过桥费、使用年限等）为每小时250元，则当汽车的速度为每小时多少公里时，行驶每公里的费用之和最小？最小值为多少元？ 解：设汽车的速度为每小时x公里时，燃料费用为m，由题意可得 m＝kx3，∵速度为每小时30公里时，燃料费为每小时20元， ∴ 64＝k·403，从而k＝11000 ，即m＝11000 x3。 又设行驶每公里的费用总为y（元），则 y＝0.001x3＋250x ＝0。001x2＋125x＋125x ≥330.001x2·125x·125x ＝3×2510 ＝7.5（元） 当且仅当0。001x2＝125x ，即时成立x＝50时，等号成立． 即当车速为每小时50公里时，行驶每公里的费用总和为最小，最小值是7。5元． 3． 一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），车上有一节邮政车厢，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，试求： （1）列车从第k站出发时，邮政车厢内共有邮袋数是多少个？ （2）第几站的邮袋数最多？最多是多少？ 解：设列车从各站出发时邮政车厢内的邮袋数构成一个数列}{na （1）由题意得：.21)3()2()1(,1)2()1(,1321nnnannana…2分 在第k站出发时，前面放上的邮袋共：)()2()1(knnn个 而从第二站起，每站放下的邮袋共：1＋2＋3＋…＋（k－1）个 故)]1(21[)()2()1(kknnnak
高考数学应用问题(含答案解析)
难点41 应用性问题数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题.高考对应用题的考查已逐步成熟，大体是三道左右的小题和一道大题，注重问题及方法的新颖性，提高了适应陌生情境的能力要求.1.（★★★★★）一只小船以10 m/s 的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s 的速度前进（如图），现在小船在水平P 点以南的40米处，汽车在桥上以西Q 点30米处（其中PQ ⊥水面），则小船与汽车间的最短距离为 .（不考虑汽车与小船本身的大小）.2.（★★★★★）小宁中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜6分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开10分钟；（5）煮面条和菜共3分钟.以上各道工序除（4）之外，一次只能进行一道工序，小宁要将面条煮好，最少用分钟.3.（★★★★★）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R (x )满足R (x )=⎩⎨⎧>≤≤-+-)5(2.10)50( 8.02.44.02x x x x .假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律.（1）要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？［例1］为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A 孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）？命题意图：本题考查建立函数关系、不等式性质、最值求法等基本知识及综合应用数学知识、思想与方法解决实际问题能力，属★★★★级题目.知识依托：重要不等式、导数的应用、建立函数关系式.错解分析：不能理解题意而导致关系式列不出来，或a 与b 间的等量关系找不到. 技巧与方法：关键在于如何求出函数最小值，条件最值可应用重要不等式或利用导数解决.解法一：设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y ，则由条件y =ab k (k ＞0为比例系数)其中a 、b 满足2a +4b +2ab =60 ①要求y 的最小值，只须求ab 的最大值.由①(a +2)(b +1)=32(a ＞0,b ＞0)且ab =30–(a +2b )应用重要不等式a +2b =(a +2)+(2b +2)–4≥124)22)(2(2=-++b a∴ab ≤18，当且仅当a =2b 时等号成立将a =2b 代入①得a =6,b =3.故当且仅当a =6,b =3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二：由2a +4b +2ab =60,得a a b +-=230, 记aa a ab u +-==2)30((0＜a ＜30)则要求y 的最小值只须求u 的最大值. 由22)2()2(64++-='a a u ，令u ′=0得a =6 且当0＜a ＜6时，u ′＞0，当6＜u ＜30时u ′＜0,∴aa a u +-=2)30(在a =6时取最大值，此时b =3. 从而当且仅当a =6，b =3时,y =ab k 取最小值. ［例2］某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相等.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？命题意图：本题考查等比数列、数列求和解不等式等知识以及极限思想方法和运用数学知识解决实际问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：数列极限、等比数列、解不等式.错解分析：①不能读懂题意，找不到解题的突破口；②写出b n +1与x 的关系后，不能进一步转化为极限问题；③运算出错，得不到准确结果.技巧与方法：建立第n 年的汽车保有量与每年新增汽车数量之间的函数关系式是关键、尽管本题入手容易，但解题过程中的准确性要求较高.解：设2001年末的汽车保有量为b 1万辆，以后各年汽车保有量依次为b 2万辆，b 3万辆，……每年新增汽车x 万辆，则b 1=30,b 2=b 1×0.94+x ,…对于n ＞1，有b n +1=b n ×0.94+x =b n –1×0.942+(1+0.94)x ,…所以b n +1=b 1×0.94n +x (1+0.94+0.942+…+0.94n –1)=b 1×0.94n +n n x x x 94.0)06.030(06.006.094.01⨯-+=⋅-. 当06.030x -≥0，即x ≤1.8时，b n +1≤b n ≤…≤b 1=30 当06.030x -＜0，即x ＞1.8时，06.0]94.0)06.030(06.0[lim 1x x x n n =⨯-+-∞→ 并且数列{b n }逐项递增，可以任意靠近06.0x . 因此如果要求汽车保有量不超过60万辆，即b n ≤60(n =1,2,…)则有06.0x ≤60，所以x ≤3.6 综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆.1.解应用题的一般思路可表示如下2.解应用题的一般程序（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础.（2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关.（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程.（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果.3.中学数学中常见应用问题与数学模型（1）优化问题.实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决.（2）预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决.（3）最（极）值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值.（4（5）测量问题：可设计成“图形模型”利用几何知识解决.一、选择题1.（★★★★）某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠，②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠，③如果超过500元，其500元按②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次购买上述同样的商品，则应付款( )A.413.7元B.513.7元C.546.6元D.548.7元2.（★★★★）某体育彩票规定：从01到36共36个号码中抽出7个号码为一注，每注2元.某人想先选定吉利号18，然后再从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30到36中选1个号组成一注，则此人把这种要求的号买全，至少要花( )A.1050元B.1052元C.2100元D.2102元二、填空题3.（★★★★）一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它最后静止在地面上时，共经过了米.4.（★★★★）有一广告气球直径为6米，放在公司大楼上空（如图），当某行人在A地观测气球时，其中心仰角为∠BAC=30°，并测得气球的视角β=2°，若θ很小时，可取sinθ=θ，试估计气球的高B C的值约为米.三、解答题5.（★★★★★）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为v千米/小时、2v千米/小时、10v千米/小时，每千米的运费分别为a元、b元、c元.且b＜a＜c,又这批海鲜在运输过程中的损耗为m元/小时，若使用三种运输工具分别运输时各自的总费用（运费与损耗之和）互不相等.试确定使用哪种运输工具总费用最省.（题中字母均为正的已知量）。
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2008届高三文科数学第二轮复习资料 ——《应用题》专题 高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型， 另外，估测计算型和信息迁移型也时有出现.当然，数学高考应用性问题关注当前国内外的政治，经济，文化， 紧扣时代的主旋律，凸显了学科综合的特色. 1．解应用题的一般思路可表示如下
2．解应用题的一般程序 （1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础. （2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关. （3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程. （4）答：将数学结论还原给实际问题的结果. 3．中学数学中常见应用问题与数学模型 （1）优化问题.实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决. （2）预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决. （3）最（极）值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值. （4）等量关系问题：建立“方程模型”解决 （5）测量问题：可设计成“图形模型”利用几何知识解决. 练习题 1．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f(t)越大， 表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：
)4020(3807)2010(240)100(10024)(2tttttttf
（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ （2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？ （3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？
2．某公司试销一种成本单价为500元／件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元／件．经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元／件）之间近似于如图所示的一次函数y＝kx＋b的关系． （1）根据图象，求一次函数y＝kx＋b的解析式； （2）设公司获得毛利润（毛利润＝销售总价－成本总价）为S元． ① 试用销售单价x表示毛利润S． ② 试问销售单价定为多少时，此公司获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？
3．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件。为了 获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表： x（十万元） 0 1 2 „
y 1 1.5 1.8 „ （1）求y与x之间的函数关系式； （2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式； （3）如果投入的年广告费为10 ~ 30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
4．为了在如图所示的直河道旁建造一个面积为5000m2的矩形堆物场，需砌三面砖墙BC、CD、DE，出于安全原因，沿着河道两边需向外各砌10m长的防护砖墙AB、EF，若当BC的长为xm时，所砌砖墙的总长度为ym，且在计算时，不计砖墙的厚度，求 （1）y关于x的函数解析式y=f(x); （2）若BC的长不得超过40m，则当BC为何值时，y有最 小值，并求出这个最小值.
5． 已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t(0≤t≤24，单位小时）的函数，记作y=f(t)，下表是某日各时的浪高数据 t（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y（米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.49 1 0.51 0.99 1.5
经长期观测y=f(t)的曲线可近似地看成函数y=Acosωt+b. （1）根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T，振幅A及函数表达式； （2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动.
6．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签，根据下列
j河道ABEFCD 条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率： (1) 标签的选取是无放回的； (2) 标签的选取是有放回的．
7．已知舰A在舰B的正东，距离6公里，舰C在舰B的北偏西30，距离4公里，它们准备围找海洋动物，某时刻舰A发现动物信号，4秒后，舰B，C同时发现这种信号，A于是发射麻醉炮弹，设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1公里/1秒，求舰A炮击的方位角。 分析：求方位角应在水平面内求，所以应建立直角坐标系。
8．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损率分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
9．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时段中随机地到达，试求这两艘轮船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率．
10．某县与沙漠化进行长期的斗争． 全县面积为 p， 2002 年底绿化率达 25 ，从 2003 年 开始，每年绿化原有沙漠面积的 15 ，但与此同时，原有绿化面积的 120 被沙化． 设2002 年底的绿化面积为 a1，经过 n 年后的绿化面积为 an+1 ． (I) 求2003年底的绿化面积 (II ) 经过多少年后，绿化率达710 ?
11．某观测站C在城A的南20˚西的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南40˚东，在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，
到达D处，此时C、D间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A城？
12．为促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下： 贷款期(年数) 公积金贷款月利率(‟) 商业性贷款月利率(‟) „„ 11 12 13 14 15 „„ „„ 4.365 4.455 4.545 4.635 4.725 „„ „„ 5.025 5.025 5.025 5.025 5.025 „„ 汪先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万元，分十二年还清；商业贷款15万元，分十五年还清．每种贷款分别按月等额还款，问： (1)汪先生家每月应还款多少元? (2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还清；那么他家在这个月的还款总数是多少? (参考数据：1.004455144＝1.8966，1.005025144＝2.0581，1.005025180＝2.4651)
参考答案 1．解：（1）当时100t，244)12(10024)(22ttttf是增函数，且 240)10(f；时当4020t，3807)(ttf是减函数，且240)20(f.所以，讲
课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟. （2）205)25(,195)5(ff，故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5
分钟更集中. 当100t时，4,18010024)(2ttttf则；当4020t，
（3）令57.28,18387)(2tttf则，则学生注意力在180以上所持续的时间28.57－4=24.57＞24，所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题.
2．分析：（1）本题把一次函数、二次函数及其有关计算问题赋予实际意义，把市场经济引进初中数学．观察图象可知，直线y＝kx＋b经过（600，400）、（700，300）两点，利用待定系数法即可求出其解析式；（2）根据公式“毛利润＝销售总价－成本总价”，得S＝xy－500y． （2）本题的解答要实现由一次函数向二次函数的转化，即要灵活运用一次函数和二次函数的有关知识，并要考虑题设中对单价的限制，把求得的值代入检验，看是否符合要求． 解：（1）把（600，400），（700，300）两点的坐标分别代入y＝kx＋b，得
.700300600400bkbk
解得 .10001bk ∴ y＝－x＋1000，其中x的取值范围是500≤x≤800． （2）① S＝xy－500y ＝x（－x＋1000）－500（－x＋1000）， 即 S＝－x2＋1500x－500000（500≤x≤800）． ② S＝－x2＋1500x－500000＝－（x－750）2＋62500．