高考数学应用题

A 218．(本题满分16分)如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离)(OB 即为2m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3。

点C 为OB 上一点（不包含端点O 、B ），同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等。

设细绳的总长为y （1）设∠CA 1O = θ (rad )，将y 表示成θ的函数关系式；（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时 BC 应为多长。

18. （Ⅰ）解：在Rt △COA 1中，θcos 21=CA ，θtan 2=CO ， ………2分 θθtan 22cos 2331-+⋅=+=CB CA y = 2cos )sin 3(2+-θθ（40πθ<<）……7分（Ⅱ）θθθθθθ222/cos 1sin 32cos )sin )(sin 3(cos 2-=----=y ，令0='y ，则31sin =θ ………………12分 当31sin >θ时，0>'y ；31sin <θ时，0<'y ，∵θsin =y 在]4,0[π上是增函数∴当角θ满足31sin =θ时，y 最小，最小为224+；此时BC 222-=m …16分19．由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量()P t （单位：吨）与上市时间t （单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线ABCDE 表示，销售价格()Q t（单位：元／千克）与上市时间t （单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段GHR 表示（H 为顶点）．（1）请分别写出()P t ,()Q t 关于t 的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份（2）图（1）中由四条线段所在直线．．．．围成的平面区域为M ，动点(,)P x y 在M 内（包括边界），求5z x y =-的最大值；（3） 由（2），将动点(,)P x y 所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如1233x y ≤-≤类比为2313x y≤≤），试列出(,)P x y 所满足的条件，并求出相应的最大值．（图1） （图2）19.解(Ⅰ)503,136,()1169,7912t t t t P t t t t t -+≤≤⎧⎪-<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎪-<≤⎩21()(4)6(012)16Q t t t =--+≤≤．21()()(1)[(4)6]16P t Q t t t ⋅=---+ （36)t <≤ '23(()())[(3)33]16P t Q t t ⋅=---0>在(3,6]t ∈恒成立，所以函数在]6,3(上递增 当t =6时，max [()()]P t Q t =． ∴6月份销售额最大为34500元 ． (Ⅱ) ⎩⎨⎧≤-≤≤+≤71115y x y x ，z =x —5y ．令x —5y=A (x +y )+B(x —y )，则⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=-=+3251B A B A B A ， ∴z =x —5y=—2(x +y )+3(x —y )．由10)(222-≤+-≤-y x ,21)(33≤-≤y x ，∴1911z -≤≤,则(z )max =11 ．(Ⅲ)类比到乘法有已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤71115y x xy ,求5y x z =的最大值．由5y x =(xy )A ·(y x )B⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=-=+3251B A B A B A ．∴251)(12112≤≤-xy ,343)(13≤≤xy ∴253431211≤≤z ，则(z )max = 25343 ． 18．（本题满分15分）如图甲，一个正方体魔方由27个单位（长度为1个单位长度）小立方体组成，把魔方中间的一层1111EFGH E FG H -转动α，如图乙，设α的对边长为x ．（1）试用α表示x ；（2）求魔方增加的表面积的最大值．18．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．解：（1）由题意得3sin tan x x x αα++=， 解得()3sin 0 1sin cos x ααααπ=∈++2，，，（6分）（2）魔方增加的表面积为28tan x S α=⋅，由（1）得()272sin cos 0 (1sin cos )S αααααπ=∈2++，，，（10分） 令()(sin cos 1t t αααπ=+=+∈4，， 则()()(2236123613611081(1)t S t t -==-⨯-=-++≤t =απ=4时等号成立），答：当απ=4时，魔方增加的表面积最大为108-（15分）17．（本题满分15分）请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）．它的上部是底面圆半径为5m 的圆锥，下部是底面圆半径为5m 的圆柱，且该仓库的总高度为5m ．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为400元/2m 、100元/2m ，问当圆锥的高度为多少时，该仓（图甲）库的侧面总造价（单位：元）最少17．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．解：（法一）设圆锥母线与底面所成角为θ，且()π0 4θ∈，，（2分） 则该仓库的侧面总造价[]152π55(1tan )1002π54002cos y θθ⎡⎤=⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦()2sin 50π3+cos θθ-=，（8分） 由22sin 150π0cos y θθ⎛⎫-'== ⎪⎝⎭得1sin 2θ=，即π6θ=，（13分） 经检验得，当π6θ=时，侧面总造价y 最小，此时圆锥的高度为53m ．（15分）（法二）设圆锥的高为x m ，且()0 5x ∈，，（2分） 则该仓库的侧面总造价[]212π55(1)1002π5254002y x x ⎡⎤=⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯+⨯⎢⎥⎣⎦()2150π+10π225x x=+-，（8分） 由()2210π1025x y x '=-=+得53x =，（13分）经检验得，当53x =时，侧面总造价y 最小，此时圆锥的高度为53m ．（15分）3. 在一个六角形体育馆的一角 MAN 内，用长为a 的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知 120A =∠，B 是墙角线AM 上的一点，C 是墙角线AN 上的一点．(1) 若BC =a =20, 求储存区域面积的最大值；(2) 若AB =AC =10,在折线MBCN 内选一点D ，使20=+DC BD ，求四边形储存区域DBAC 的最大面积.解：(1)设,,0,0.AB x AC y x y ==>>由222202cos12022cos120x y xy xy xy =+-≥-，得222202022cos1204sin 60xy ≤=-. 2222112020cos 60201003sin1202sin 60cos 60.224sin 604sin 604tan 603S xy ∴=≤⋅⋅=== 即1003y 四边形DBAC 面积的最大值为，当且仅当x=时取到． (2) 由20=+DC DB ，知点D 在以B ，C 为焦点的椭圆上，∵32523101021=⨯⨯⨯=∆ABC S ，∴要使四边形DBAC 面积最大，只需DBC ∆的面积最大，此时点D 到BC 的距离最大, 即D 必为椭圆短轴顶点．由103BC =，得短半轴长5,BCD b S ∆=面积的最大值为110352532⨯⨯=. 因此，四边形ACDB 面积的最大值为503．3.某直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m ． (1)过点P 的一条直线与走廊的外侧两边交于,A B 两点，且与走廊的一边的夹角为(0)2πθθ<<，将线段AB 的长度l 表示为θ的函数；(2)一根长度为5m 的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊请说明理由（铁棒的粗细忽略不计）． 解：(1) 根据图得22(),(0,).sin cos 2l BP AP πθθθθ=+=+∈ (2) 铁棒能水平通过该直角直廊，理由如下： 令()0l θ'=得，4πθ=．当04πθ<<时，()0,()l l θθ'<为减函数； 当42ππθ<<时，()0,()l l θθ'>为增函数； 所以当4πθ=时，()l θ有最小值42，因为425>，所以铁棒能水平通过该直角走廊． 19．（本小题满分16分）如图一块长方形区域ABCD ，AD ＝2（km ），AB ＝1（km ）．在边AD 的中点O 处，有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF 始终为π4，设∠AOE ＝α，探照灯O照射在长方形ABCD 内部区域的面积为S ．（1）当0≤α＜π2时，写出S 关于α的函数表达式；（2）当0≤α≤π4时，求S 的最大值．（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE 自OA 转到OC ，再回到OA ，称“一个来回”，忽略OE 在OA 及OC 反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，设AB 边上有一点G ，且∠AOG ＝π6，求点G在“一个来回”中，被照到的时间． 19．解：（1）过O 作OH ⊥BC ，H 为垂足．①当0≤α≤π4时，E 在边AB 上，F 在线段BH 上（如图①）， 此时，AE ＝tan α，FH ＝πtan()4α-， (2)分∴S ＝S 正方形OABH －S △OAE －S △OHF＝11π1tan tan()224αα---． ………… 4分 ②当π4＜α＜π2时，E 在线段BH 上，F 在线段CH 上（如图②）， 此时，EH ＝1tan α，FH ＝13πtan()4α-， (6)分∴EF ＝113πtan tan()4αα+-．∴S ＝S △OEF ＝1113π2tan tan()4αα⎛⎫⎪+ ⎪ ⎪-⎝⎭．E19D图EO 图综上所述，11ππ1tan tan(),(0),2244111ππ,().3π2tan 42tan()4S αααααα⎧---⎪⎪⎪⎛⎫=⎨ ⎪⎪+<< ⎪⎪ ⎪-⎪⎝⎭⎩≤≤ ………… 8分（2）当0≤α≤π4时，S ＝11π1tan tan()224αα---，即S 122(1tan )21tan αα=-+++． ……………… 10分∵0≤α≤π4，∴0≤tan α≤1．即1≤1＋tan α≤2．∴21tan 1tan αα+++≥∴S ≤2．当tan α1时，S 取得最大值为2． ……………… 12分 （3）在“一个来回”中，OE 共转了2×3π4＝3π2．其中点G 被照到时，共转了2×π6＝π3．……………… 14分则“一个来回”中，点G被照到的时间为π3923π2⨯=（分钟）．……16分17．（本小题满分14分）第十八届省运会将于2014年9月在徐州市举办．为营造优美的环境，举办方决定在某“葫芦”形花坛中建喷泉．如图，该花坛的边界是两个半径为10米的圆弧围成，两圆心1O 、2O 之间的距离为10米．（1）如图甲，在花坛中建矩形喷泉，四个顶点A ，B ，C ，D 均在圆弧上，12O O AB ⊥于点M ．设2AO M，求矩形的宽AB 为多少时，可使喷泉ABCD 的面积最大；（2）如图乙，在花坛中间铺设一条宽为2米的观赏长廊以作休闲之用，则矩形喷泉变为两个全等的等腰三角形，其中NA NB =，24NO =米．若2[,]64AO M ，求喷泉的面积的取值范围．、17．=20cos 10θ+， ，………4分 令f 3，则2'()2cos2cos 4cos cos 2f θθθθθ=+=+-，令'()0f θ=，得cos θ0cos θ=，且03，列表如下：所以当θθ=的面积最大． ………………10分 （2）由（1）易得，喷泉的面积20sin (10cos 4)100sin 280sin S θθθθ=+=+， 由[,]64知，2[,]32，所以函数()100sin 280sin g θθθ=+是单调增函数， 所以40,100S ∈+． ………………………………13分答：（1）矩形的宽AB =ABCD 的面积最大；（2）喷泉的面积的取值范围是40,100+（单位：平方米）． ……14分17. （本小题满分14分）如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园，种植桃树，已知角A 为120°，AB ，AC 的长度均大于200米．现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆．（1）若围墙AP ，AQ 总长为200米，如何围可使三角形地块APQ 的面积最大（第17题图乙）（第17题图甲）QP CBA（第17题）（2）已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省 17．解 设AP x =米，AQ y =米． （1）则200x y +=，APQ ∆的面积1sin12024S xy xy =︒=． …………………………………………………………3分∴S 2()42x y +≤= 当且仅当100x y ==时取“=”． …………………………………………………………6分 （注：不写“＝”成立条件扣1分）（2）由题意得100(1 1.5)20000x y ⨯⋅+⋅=，即 1.5200x y +=． …………………8分要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ 最短，所以21.7540040000y y =-+（40003y <<） ………………………………………11分当8007y =时，PQ 有最小值7，此时2007x =． …………………………13分答：（1）当100AP AQ ==米时，三角形地块APQ 的面积最大为平方米； （2）当2007AP =米800,7AQ =米时，可使竹篱笆用料最省．……………………… 14分18．(本小题满分14分)因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放(14≤≤a a ,且)∈a R 个单位的药剂,它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (天)变化的函数关系式近似为()y a f x =⋅,其中161(04)8()15(410)2⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩x xf x x x .若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用. （1）若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天（2）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放a 个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求a 的最小值(精确到,参考数据.18．解：（1）因为4a =,所以644(04)8202(410)x y x x x ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩…………………………………………………1分 则当04x ≤≤时,由64448x-≥-,解得0x ≥,所以此时04x ≤≤…………………………………… 3分当410x <≤时,由2024x -≥,解得8x ≤,所以此时48x <≤………………………………………5分综合,得08x ≤≤,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天………………………… 6分（2）当610x ≤≤时,1162(5)(1)28(6)y x a x =⨯-+---……………………………………………9分=161014a x a x -+--=16(14)414ax a x-+---,因为14[4,8]x -∈,而14a ≤≤, 所以[4,8],故当且仅当14x -=时,y有最小值为4a - ………………………12分令44a -≥,解得244a -≤≤,所以a 的最小值为24 1.6-≈ ………………14分17．（本小题满分14分）已知 A 、B 两地相距2R ，以AB 为直径作一个半圆，在半圆上取一点C ，连接AC 、BC ，在三角形ABC 内种草坪（如图），M 、N 分别为弧AC 、弧BC 的中点，在三角形AMC 、三角形BNC 上种花，其余是空地．设花坛的面积为1S ，草坪的面积为2S ，取ABC θ∠=．（1） 用θ及R 表示1S 和2S ； （2） 求12S S 的最小值． 17．（1）因为ABC θ∠=，则2sin ,2cos AC R BC R θθ==，则22212sin cos sin 22S AC BC R R θθθ=⋅==．………………………………………3分 设AB 的中点为O ，连MO 、NO ，则,MO AC NO BC ⊥⊥．易得三角形AMC 的面积为2sin (1cos )R θθ-，三角形BNC 的面积为2cos (1sin )R θθ-，∴1S =2sin (1cos )R θθ-+2sin (1cos )R θθ-2(sin cos 2sin cos )R θθθθ=+-．（2）∵2122(sin cos 2sin cos )sin cos 12sin cos 2sin cos S R S R θθθθθθθθθθ+-+==-， 令sin cos (1,2]t θθ+=∈，则22sin cos 1t θθ=-． ∴12211111S t S t t t=-=---．∴12S S 的最小值为21-．17.（本小题满分14分）据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k (0)k >．现已知相距18km 的A ，B 两家化工厂（污染源）的污染强度分别为,a b ，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC x =（km ）．（1）试将y 表示为x 的函数；（2）若1a =，且6x =时，y 取得最小值，试求b 的值． 17．解：（1）设点C 受A 污染源污染程度为2kax ，点C 受B 污染源污染程度为2(18)kb x -，其中k为比例系数，且0k >． (4)分从而点C 处受污染程度22(18)ka kby x x =+-． …………………………………………6分 （2）因为1a =，所以，22(18)k kb y x x =+-， ……………………………8分 '3322[](18)b y k x x -=+-，令'0y =，得x =， ……………………………12分又此时6x =，解得8b =，经验证符合题意． 所以，污染源B的污染强度b的值为8． ……………………………14分19.一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁FG 和外壁BC 都是半径为1m 的四分之一圆弧，AB ，DC 分别与圆弧BC 相切于B ，C 两点，EF ∥AB ，GH ∥CD ，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m ．（1）若水平放置的木棒MN 的两个端点,M N 分别在外壁CD 和AB 上，且木棒与内壁圆弧相切于点P ．设(rad)CMN θ∠=，试用θ表示木棒MN 的长度()f θ； （2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．19.(1)如图，设圆弧FGT ，且交MN 或其延长线与于S ，并连接PQ W ．在R ∆t NWS 中，因为2=NW ，∠SNW所以2cos θ=NS ． 因为MN 与圆弧FG 切于点P ，所以⊥PQ MN ， 在R ∆t QPS ，因为1=PQ ，θ∠=PQS ， 所以1cos θ=QS ，12cos θ-=-QT QS ， ①若S 在线段TG 上，则=-TS QT QS 在R ∆t STM 中，sin sin θθ-==TS QT QSMS ， 因此=+MN NS MS sin θ-=+QT QSNS ②若S 在线段GT 的延长线上，则=-TS QS QT 在R ∆t STM 中，sin sin θθ-==TS QS QTMS ， 因此=-MN NS MS sin θ-=-QS QT NS sin θ-=+QT QSNS 2(sin cos )1(0)sin cos 2θθθθθ+-π=<<．………………………………………8分（2）设sin cos (12)t t θθ+=<≤，则21sin cos 2t θθ-=，因此242()()1t f g t t θ-==-． 因为2224(1)()(1)t t g t t -+'=--，又12t <≤，所以()0g t '<恒成立， 因此函数242()1t g t t -=-在(1,2]t ∈是减函数，所以min ()(2)422g t g ==-， 即min 422MN =-．答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为422-． 17．(本小题满分14分)某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进 行开发建设，阴影部分为一公共设施不能建设开发，且要求NMABC DEFG HPS 1m1mT Q W用栏栅隔开（栏栅要求在直线上），公共设施边界为曲线2()1(0)f x ax a =->的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，切曲线于点P ，设(,())P t f t ．（1）将OMN ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示成f 的函数S(t)； （2）若12t =，S(t)取得最小值，求此时a 的值及S(t)的最小值． 17．解：（Ⅰ）2y ax '=-，直线MN 的斜率为2at -，∴直线MN 的方程为2(1)2()y at at x t --=--令0,y =得22221121222at at at at x t at at at --++=+== 21(,0)2at M at+∴令0x =,得2222121,(0,1)y at at at N at =-+=+∴+,MON ∴∆的面积222211(1)()(1)224at at S t at at at ++=⋅+=, （Ⅱ）2422222321(1)(31)()44a t at at at S t at at+-+-'==, 因为0,0a t >>,由()0S t '=,得2310,at t -==得当2310,at t ->>即时, ()0S t '>,当2310,0at t -<<<即时, ()0S t '<,()t S t ∴=当有最小值. 已知在12t =处, ()S t 取得最小值,14,23a =∴=，故当41,32a t ==时,2min41(1)1234()()4123432S t S +⋅===⋅⋅ 17．（本小题满分14分）在综合实践活动中，因制作一个工艺品的需要，某小组设计了如图所示的一个门（该图为轴对称图形），其中矩形ABCD 的三边AB 、BC 、CD 由长为6分米的材料弯折而成，BC 边的长为t 2分米（231≤≤t ）；曲线AOD 拟从以下两种曲线中选择一种：曲线1C 是一段余弦曲线（在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为1cos -=x y ），此时记门的最高点O 到BC 边的距离为()t h 1；曲线2C 是一段抛物线，其焦点到准线的距离为89，此时记门的最高点O 到BC 边的距离为)(2t h（1）试分别求函数()t h 1、)(2t h 的表达式（2）要使得点O 到BC 边的距离最大，应选用哪一种曲线此时最大值是多少 解：（1）()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--=231cos 41t tt t h()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤+-=23139422t t t t h (6)分（2）由于10()1sin h t t '=-+≤恒成立， 所以函数1()h t 在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此，()()11max 13cos1h t h ==- ………10分 而()2523max2=⎪⎭⎫ ⎝⎛=h th ， ………12分 53cos13cos32π-<-=所以选用2C ………14分 17．（本小题满分15分）某农户准备建一个水平放置的直四棱柱形储水窖（如图），其中直四棱柱的高1AA =10m ，两底面1111,ABCD A B C D 是高为2m ，面积为210m 的等腰梯形，且02ADC πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭。