《化工传递过程导论》课程作业参考答案

《传递过程原理》课程第三次作业参考答案1. 不可压缩流体绕一圆柱体作二维流动，其流场可用下式表示θθθsin ;cos 22⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=D r C u D r C u r其中C ，D 为常数，说明此时是否满足连续方程。

解：由题意，柱坐标下的连续性方程一般表达式为： ()()11()0r z u ru u t r r r z θρρρρθ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ 不可压缩流体：0tρ∂=∂且上式后三项可去除密度ρ 二维流动：()0z u zρ∂=∂则连续性方程简化为：()110r u ru r r r θθ∂∂+=∂∂22()111(cos )cos r ru C C r D D r r r r r r r θθ∂∂⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭22111(sin )cos u C C D D r r r r r θθθθθ∂∂⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭故：22()()1111cos cos 0r u ru C C D D r r r r r r r θθθθ∂∂⎛⎫⎛⎫+=--++= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭由题意，显然此流动满足连续方程。

2. 判断以下流动是否可能是不可压缩流动(1) ⎪⎩⎪⎨⎧-+=--=++=z x t u z y t u yx t u z y x 222 (2) ()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-==-=22221211ttz u xy u x y u z y x ρρρρ解：不可压缩流动满足如下条件：0y x zu u u x y z∂∂∂++=∂∂∂ （1）2110y x zu u u x y z∂∂∂++=--=∂∂∂故可能为不可压缩流动 （2）122(222)0y x z u u u t x x t x y z tρρ∂∂∂++=-+-=-=-≠∂∂∂2t ρ=且。

显然不可能是不可压缩流动。

3. 对于下述各种运动情况，试采用适当坐标系的一般化连续性方程描述，并结合下述具体条件将一般化连续性方程加以简化，指出简化过程的依据。

(1) 在矩形截面流道，可压缩流体作定态一维流动； (2) 在平板壁面上不可压缩流体作定态二维流动； (3) 在平板壁面上可压缩流体作定态二维流动； (4) 不可压缩流体在圆管中作轴对称的轴向定态流动； (5) 不可压缩流体作圆心对称的径向定态流动。

解：（1）选取直角坐标系；定态：0t ρ∂=∂；可压缩：考虑密度ρ，即密度ρ为一变量；连续性方程一般式：()()()0y x z u u u xyztρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂故定态一维流动表达式：()0x u xρ∂=∂（2）选取直角坐标系；定态：0tρ∂=∂；不可压缩：不考虑密度ρ，即密度ρ为一常量；连续性方程一般式：()()()0y x z u u u xyztρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂故定态二维流动表达式：0yx u u x y∂∂+=∂∂ （3）选取直角坐标系；定态：0t ρ∂=∂；可压缩：考虑密度ρ，即密度ρ为一变量；连续性方程一般式：()()()0y x z u u u xyztρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂故定态二维流动表达式：()()0y x u u xyρρ∂∂+=∂∂（4）选取柱坐标系；定态：0tρ∂=∂；不可压缩：不考虑密度ρ，即密度ρ为一常量；轴向流动：0,0r u u θ==。

连续性方程一般式：()()11()0r z u ru u t r r r z θρρρρθ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂故该条件下简化式：0zu z∂=∂ （5）选取球坐标系；定态：0tρ∂=∂；不可压缩：不考虑密度ρ，即密度ρ为一常量；径向流动：0,0u u θϕ==连续性方程一般式：22(sin )()111()0sin sin r u r u u t r r r r θϕρθρρρθθθϕ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ 故该条件下简化式：22()10.r r u r r∂=∂《化工传递过程导论》课程作业第四次作业参考2-7流体流入圆管进口的一段距离，流动为轴对称的沿径向和轴向的二维流动，试采用圆环体薄壳衡算方法，导出不可压缩流体在圆管入口段定态流动的连续性方程。

解：参考右图的坐标体系及微分体，对圆环体做微分质量衡算，方法如下：（质量积累速率）=（质量输入速率）-（质量输出速率）+（质量源或质量汇）[kg-or-mol/s]由题意可知：定态流动，故（质量积累速率）为0；且该流动体系不存在质量源或质量汇，即（质量源或质量汇）为0； 故守恒方程简化为：（质量输入速率）-（质量输出速率）=0. 该流动为轴对称的径向和轴向二维流动： 对于径向：质量输入速率=2r u rdz ρπ⋅；质量输出速率= 22r r u rdzu rdz dr rρπρπ∂⋅⋅+∂。

对于轴向：质量输入速率=2z u rdr ρπ⋅；质量输出速率= 22z z u rdru rdr dz zρπρπ∂⋅⋅+∂。

代入简化守恒方程，得到：22(2)(2)(22)0z r z r z r u rdr u rdzu rdr dz u rdz dr u rdr u rdz z rρπρπρπρπρπρπ∂⋅∂⋅⋅++⋅+-⋅+⋅=∂∂220z r u rdr u rdz dz dr z r ρπρπ∂⋅∂⋅⇒+=∂∂（略去2drdz π）0z r u r u r z r ρρ∂∂⇒+=∂∂（流体不可压缩，进一步转化为）10z r u u r z r r ∂∂⇒+=∂∂故该连续性方程最终表达式为：10r zu r u r r z∂∂+=∂∂3-1流体在两块无限大平板间作定态一维层流，求截面上等于主体速度u b 的点距离壁面的距离。

又如流体在圆管作定态一维层流，该点距离壁面的距离为若干？解：（1）流体在两块无限大平板间作定态一维层流⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20max 1y y u u xmax 32u u b =当时b x u u =， max 20max 321u y y u =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02033)321(y y y =-=距离壁面的距离0)331(y d ±= （2）流体在圆管作定态一维层流⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20max 1r r u u xmax 21u u b =当时b x u u =， max 20max 211u r r u =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02022)211(r r y =-=距离壁面的距离0)221(r d -=3-2温度为20℃的甘油以10kg/s 的质量流率流过宽度为1m ，宽度为0.1m 矩形截面管道，流动已充分发展。

已知20℃时甘油的密度ρ=1261kg/m 3，黏度μ=1.499Pa·s。

试求算(1)甘油在流道中心处的流速以及距离中心25mm 处的流速； (2)通过单位管长的压强降； (3)管壁面处的剪应力。

解：由题意可知，该流动为平壁间的轴向流。

（1） 先计算主体流速100.0793126110.1bG m u s A ρ===⨯⨯。

判断流型，需计算e R ，流道为矩形，故e R 中的几何尺寸应采用当量直径e d 替代，e d 的值为：410.10.1822(10.1)e e d d ⨯⨯=⇒=⨯+0.1820.0793126112.11.499e b e e e d u R R R ρμ⨯⨯=⇒=⇒=（显然该流动为层流）对于平壁流，有：max u u =中心且max 23b u u =，故 max 330.07930.11922b m m u u s s ==⨯=，故得到0.119m u s =中心根据2max 0[1()]x y u u y =-，距离中心25mm 处的流速为： 3225100.119[1()]0.08930.1/2x x m u u s -⨯=⨯-⇒=。

（2） 平壁间流体做稳态层流的速度分布为：2201()2x P u y y xμ∂=-∂故中心处最大流速为：2max 012P u y xμ∂=-∂流动方向上的压力梯度Px∂∂的表达式为：max 202u P x y μ∂=-∂ 所考察的流道为直流管道，故上式可直接用于计算单位管长流动阻力：fP L∆，故：-1max 22022 1.4990.119142.7Pa m 0.1()2f P u P P Lx L y μ∆∂∆⨯⨯=-=-===⋅∂ （3） 管壁处剪应力为：2max max 002[(1())]x y y y yu u yu yy y y μτμτμ==∂∂=-⇒=--=∂∂ max 2022 1.4990.119N 7.135m 0.12u y μτ⨯⨯⇒===故得到管壁处的剪应力为2N7.135m《化工传递过程导论》课程第五次作业解题参考关于定态降膜流动问题的求解和讨论问题表述求解如下定态、层流降膜流动的速度分布并讨论。

Steady Falling Film Flowyx u(y)∆yL >> hβh = liquid film thicknessW = width into the page, W >> h解答：我们求解此类简单流动问题有两种殊途同归的建模方法：简化条件下依基本传递和力学定律建立控制方程（如力平衡方法）； 直接简化三维形式的连续性方程和动量方程，得到控制方程。

这里考虑后一种方法；前一种方法请同学们进一步思考。

一、控制方程和边界条件考虑：（1）定态；（2）不可压缩流体（液膜流动）；（3）无限宽平面上的层流（液体流率较小）；（4）在主流方向上（此处为x 方向）充分发展的流动（由于主流方向L h >>，所以入、出口的端效应所占比例小）。

显然此题适宜选直角坐标下处理，并且x 、y 方向做如图所示的选择将会是明智的。

定态下不可压缩流体的连续性方程为：0=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u zy x （1） 降膜为沿x 方向的一维流动故0y u =，0z u =，因有0=∂∂xu x（2） x 方向流体的运动方程为：）（2222221z u y u x u x p X u z u u y u u x u u xx x x x z x y x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂ρμρθ （3） 定态、充分发展的一维流动式（3）左各项为零；式（3）右中的二阶项只有与y 相关的相不为零；液膜外为自由表面，外界压力恒定，即无压强驱动，流动的动力只与质量力（重力）有关，也即X =βcos g （4）式（3）式最终化简为：0cos 22=+∂∂βρμg yu x（5） 此即控制方程。

由于0=∂∂x u x ，0=∂∂zux ，式（3）中的偏导数实际为常导数，有 0cos 22=+βρμg dyu d x（6） 可见为二阶常微分方程。