理论力学 动静法

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§14-4 刚体定轴转动时轴承动反力的概念
一、刚体的轴承动反力 刚体的角速度 ，角加速度（逆时针） 主动力系向OБайду номын сангаас简化: 主矢 R ' ,主矩 M O
惯性力系向O点简化: 主矢 RQ ',主矩M QO
Ma C RQ M QO ri Qi mO (Qi ) M Qx i M Qy j M Qz k m x (Qi )i m y (Qi ) j m z (Qi )k
作用在C点
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讨论： ①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。RQ m e 2
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讨论： ②转轴过质点C，但0，惯性力偶 M Q I C （与反向）
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讨论： ③刚体作匀速转动，且转轴过质心，则 RQ 0 , M QC 0
（主矢、主矩均为零）
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三、刚体作平面运动 假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运
由 由质心运动定理：
m a R A m gcos 0 0 m an m gsin 0 R A
n

3g l a ε cos 0 2 4
RA mgsin 0
n
mg , RA cos 0 4

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[例2] 牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道
由(2)得: R A m gsin 0 ;
n
3g 由(3)得: cos 0 ; 2l mg 代入(1)得: R A cos 0 。 4
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用动量矩定理+质心运动定理再求解此题： 解：选AB为研究对象
I A mgcos l 得： 2 m g l cos 3g 2 cos 2 1 ml 2l 3 3g t 0时 , 0 , cos 0 , 此时 0 2l
d 2s Q m a m 2 dt v2 Qn m an m

Qb m ab 0
[注] 质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施 力体反作用力的合力。
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二、质点的动静法 非自由质点M，质量m，受主动力 F， 约束反力 N ，
合力 R F N ma
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用动静法求解动力学问题时， 对平面任意力系：
X i Qix 0 (e) Yi Qiy 0
(e)
mO ( Fi ) mO (Qi ) 0
(e)
对于空间任意力系：
(e) (e) X i Qix 0 , mx ( Fi ) mx (Qi ) 0 (e) (e) Y Q 0 , m ( F i iy y i ) m y (Qi ) 0 ( e) (e) Z i Qiz 0 , mz ( Fi ) mz (Qi ) 0
实际应用时, 同静力学一样任意选取研究对象, 列平衡方 程求解。
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§14-3 刚体惯性力系的简化
简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的
惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力 RQ 和一个 惯性力偶 M QO 。
RQ Q ma MaC M QO mO (Q )
O
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由动静法，得：
(1) X 0 , F T RQ 0 (2) Y 0 , N P S 0 mC ( F ) 0 , M FR M QC 0 (3)
O
由(1)得 RQ mR F T
所以 F T 代入(3)得 mR
M FR M QC FR m 2 M FR
静反力；一部分是由于惯性力系的不平衡引起的，称为附加动 反力，它可以通过调整加以消除。 动反力 静反力 附加动反力 使附加动反力为零，须有
动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。 刚体平面运动可分解为
随基点（质点C）的平动： RQ MaC 绕通过质心轴的转动：M
QC
IC
作用于质心
RQ MaC
M QC I C
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对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程：
X 0 , X ( e ) RQx 0 Y 0 , Y ( e ) RQy 0 mC ( F ) 0 , mC ( F ( e ) ) M QC 0
解得
a g tg
角随着加速度 a 的变化而变化，当 a 不变时， 角也
不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 。这就是摆 a
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式加速计的原理。
§14-2 质点系的动静法
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有
Fi Ni Qi 0 ( i 1,2,...... ,n )
RQ Mac
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二、定轴转动刚体 先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面 的简单情况。 直线 i : 平动， 过Mi点，
O
Qi mi ai
空间惯性力系—>平面惯性力系（质量对称面） O为转轴z与质量对称平面的交点，向O点简化：
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主矢： RQ MaC 主矩：
其中有五个式子与约束反力有关。设AB=l , OA=l1, OB=l2 可得
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X A [(M y Rx 'l2 ) ( M Qy RQx 'l2 )]/l Y A [(M x R y 'l2 ) ( M Qx RQy 'l2 )]/l YB [(M x R y 'l1 ) ( M Qx RQy 'l1 )]/l X B [(M y Rx 'l1 ) ( M Qy RQx 'l1 )]/l Z B Rx ' 由两部分组成，一部分由主动力引起的，不能消除，称为
施力物体(人手)产生的反抗力。称为小车的惯性力。
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定义：质点惯性力
Q ma
加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯
性反抗的总和。
2 d x Qx m ax m 2 dt d2y Q y m ay m 2 dt 2 d z Qz m az m 2 dt
一种统一的解题格式。
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[例1] 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向 右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车
厢的加速度 a 。
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解： 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力
Q ma ( Q ma )
由动静法, 有
X 0 , mgsin Qcos 0

根据动静法：
X A X B Rx ' R ' Qx 0 , Y A YB R y ' R ' Qy 0 , Z B Rz ' 0 , M x M Qx YB OB Y A OA 0, M y M Qy X A OA X B OB 0, M z M Qz 0 .
令 I zx mi zi xi , I yz mi yi zi 惯性积 M Qx I zx I yz 2
同理可得 M Qy I zx 2 I yz M Qz mz (Qi ) mi ai Ri mi Ri2 I z
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M QO mO (Qi ) mO (Qi )
n

r i mi ri 0 mi ri I O
2
(负号表示与反向)
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向O点简化：
RQ MaC
M QO I O
作用在O点
向质点C点简化：
RQ MaC
M QC I C
实质上：
2 2 d 2 xC d y d C ( e) ( e) M 2 X , M 2 Y , I C 2 mC ( F ( e) ) dt dt dt
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[例1]
均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆由与平面成0角位
置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。
F T mR
2
R
( F T ) F (
2
R
R ) T
2
R
(4)
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由(2)得 N= P +S，要保证车轮不滑动， 必须 F<f N =f (P+S) 把(5)代入(4)得： (5)
M f ( P S )(
2
R
R) T
2
R
O
可见，f 越大越不易滑动。 Mmax的值为上式右端的值。
解： 选杆AB为研究对象
虚加惯性力系：
ml RQ 2

ml2 RQ man 0 , M QA I A 3
n
根据动静法，有
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F 0 , RA m gcos 0 RQ 0 Fn 0 , RA m gsin 0 RQ 0
n n


(1) (2)
m A ( F ) 0 , m gcos 0 l /2 M QA 0 (3)
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M Qx m x (Qi ) m x (Qi ) m x (Qi )
n

zi mi ai sin i zi mi ai cos i
n

mi zi Ri 2 sin i mi zi Ri cos i
而 sin i yi / Ri cos i xi / Ri 故 M Qx ( mi zi xi ) 2 ( mi yi zi )
本章介绍动力学的一个重要原理——达朗伯原理。应用 这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题，从 而根据关于平衡的理论来求解。这种解答动力学问题的方法， 因而也称动静法。
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第十四章 §14–1 §14–2
动静法
质点的动静法 质点系的动静法
§14–3
§14–4
刚体惯性力系的简化
刚体定轴转动时轴承动反力的概念
对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上
构成平衡力系。这就是质点系的动静法。可用方程表示为：
Fi N i Qi 0 mO ( Fi ) mO ( N i ) mO (Qi ) 0
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注意到 外力划分, 则
Fi 0 , mO (Fi )0
(i ) (i )
, 将质点系受力按内力、
Fi Qi 0
(e)
mO ( Fi ) mO (Qi ) 0
(e)
表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
d dK Q m a M a ( m v ) i i i i i C dt dt dLO d mO (Qi ) mO (mi ai ) dt mO (mi vi ) dt
滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力S 、T 及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回 转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f , 试求在车轮滚动而不滑 动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。 解： 取轮为研究对象 虚加惯性力系：
RQ m aC m R M QC I C m 2
F N ma 0
F N Q 0
质点的动静法
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即：质点在任意瞬时，除作用的主动力和约束反力外，如再 假想地加上惯性力，则这些力在形式上将组成一平衡力系。
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该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有
改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最
大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题
达朗伯原理的应用
§14-1
一、惯性力的概念
质点的动静法
人用手推车，人给小车一个力 F ，而 反过来小车也给人手一个力 F ' ，由牛
顿第三定律，F ' F
（作用力与反
作用力定律）；由牛顿第二定律
F ma
所以
F ' F ma
力 F '是由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，对于
与简化中心无关 与简化中心有关
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质
心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
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一、刚体作平动 向质心C简化：
RQ MaC
MQC mC (Qi )ri (mi aC )mi ri aC 0
刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。