【精品】第五章力法
第五章力法超静定结构概述（ＰＤＦ）
第五章 力 法§5—1 超静定结构概述超静定结构是工程实际中常用的一类结构，前已述及，超静定结构的反力和内力只凭静力平衡条件是无法确定的，或者是不能全部确定的。
例如图5—1a所示的连续梁，它的水平反虽可由静力平衡条件求出，但其竖向反力只凭静力平衡条件就无法确定，因此也就不能进一步求出其全部内力。
又如图5—1b所示的加劲梁，虽然它的反力可由静力平衡条件求得，但却不能确定杆件的内力。
因此，这两个结构都是超静定结构。
分析以上两个结构的几何组成，可知它们都具有多余约束。
多余约束上所发生的内力称为多余未知力。
如图5—1a所示的连续梁中，可认为B支座链杆是多余约束，其多余未知力(图5—1c)。
又如图5—1b所示的加劲梁，可认为其中的BD杆是多余约束，其多余为FBy未知力为该杆的轴力F(图5—d)。
超静定结构在去掉多余约束后，就变成为静定结构。
N常见的超静定结构类型有：超静定梁（图5—2），超静定刚架（图5—3），超静定桁架（图5—4），超静定拱（图5—5），超静定组合结构（图5—6）和铰接排架（图5—7）等。
超静定结构最基本的计算方法有两种，即力法和位移法，此外还有各种派生出来的方法，如力矩分配法就是由位移法派生出来的一种方法。
这些计算方法将在本章和以下两章中分别介绍。
§5—2 力法的基本概念在掌握静定结构内力和位移计算的基础上，下面来寻求分析超静定结构的方法。
先举一个简单的例子加以阐明。
设有图5—8a 所示一端固定另一端铰支的梁，它是具有一个多余约束的超静定结构。
如果以右支座链杆作为多余约束，则去掉该约束后，得到一个静定结构，该静定结构称为力法的基本结构。
在基本结构上，若以多余未知力代替所去约束的作用，并将原有荷载q 作用上去，则得到如图5—8b 所示的同时受荷载和多余未知力作用的体系。
该体系称为力法的基本体系。
在基本体系上的原有荷载是已知的，而多余力是未知的。
因此，只要能设法先求出多余未知力，则原结构的计算问题即可在静定的基本体系上来解决。
结构力学——力法
超静定梁
超静定刚架
超静定桁架
超静定拱 超静定组合结构 超静定铰接排架
对超静定结构的内力进行分析的方法主要有两 种，即力法和位移法。本章主要介绍如何用力法求 解超静定结构的内力。
超静定结构具有多余约束，用力法计算超静定 结构的内力时，首先应该确定超静定结构中多余约 束的个数。这个数目表示：除去静力平衡方程外， 尚需补充多少个反应位移条件的方程才能求解全部 的反力和内力。
超静定结构用力法计算绘出最后内力图后，也可用这种方法 计算超静定结构任一已知位移，以进行位移条件的校核。我们可 以计算超静定结构解除约束处的位移，若所求位移与原结构相同 即为正确的，否则是错的。例如，原结构中支座A是固定支座，其 角位移应该为零，利用这一条件即可校核所求得的最后内力图。 图（a）所示刚架支座A的角位移等于图（b）所示基本系中截面A 的角位移，计算该位移时，只需将虚拟力FPk=1作用于基本系的截 面A处，得到下图所示虚拟状态。再将该虚力状态的弯矩图与原超 静定结构的弯矩图图乘，如果原超静定结构弯矩图正确，则必有
12PP 3P
0 0 0
ΔxxX ΔP 0
--- 力法的典型方程
ΔxxX ΔP 0
Δxx ：柔度矩阵，即力法方程中的系数矩阵。 X ：基本未知量列阵。 ΔP：自由项列阵。
ii 主系数，恒为正。 ik 副系数，可正、负、零。互等关系ik ki(i k)
3 31 32 33 3P 31X1 32 X 2 33 X3 3P 0
矩阵形式：
11 21 31
12 22 32
13 23 33
X X X
1 2 3
结构力学第五章 力法
超静定结构与静定结构 在计算方面的主要区别
• 静定结构的内力只要根据静力平衡条件即 可求出，而不必考虑其它条件，即：内力是 静定的。 • 超静定结构的内力则不能单由静力平衡
条件求出，而必须同时考虑变形协调条件，即： 内力是超静定的。
求解超静定结构的计算方法
• • 从方法上讲基本有两种：力法和位移法。 从历史上讲分传统方法和现代方法。
M1 M1 M 12 l 3 (图形自乘) • EI dx EI dx 3EI 11
•
1P
4 M1MP ql dx EI 8EI
• 代入变形条件， 得： • X1= - ⊿1P/δ11= 3ql/8 (↑) • 最后弯矩图可用叠加原理（也可将X1作用在基
•⊿2P=[(ql2/2×l)×l] =ql4/2EI
（3）、解方程 （求解未知量）
• 力法方程：（可消去 l3/EI） • 4/3 X 1 -X 2 - 5ql/8 = 0 • -X1+4/3X2+ ql/2 = 0 • 解出： • X 1 =3ql/7 • X2 = - 3ql/56
1nXn+
… … nnXn+ ⊿nP = 0
• (n次超静定结构在荷载作用下的力法典型方程） • 基本未知量：n个多余未知力X1 、X2、… Xn； • 基本体系：从原结构中去掉相应的n个多余约 束后所得的静定结构； • 基本方程：n个多余约束处的n个变形条件。
力法典型方程的讨论：
• （1）、可写成矩阵形式: 11 12 1n X 1 1P 0 • 22 2 n X 2 2 P 0 21 n1 n 2 nn X N nP 0 • [δ ]{X} + {⊿P } = {0} • [δ ]——系数矩阵、柔度矩阵 • （2）、力法方程主系数： δ ii≠0,恒为正 . • 因为δ ii是Xi=1作用在自身方向上，所产 生的位移系数，所以不为零，恒为正。
结构力学第五章力法
12kN/m
EI
2
2 M1 基本体系
24
2EI
2EI
4m
MP
6 216
6
d11 =
D1 P =
1 6 6 2 6 1 1 2 2 2 2 224 2 = 2 EI 2 3 EI 2 EI 2 3 3EI
M
1 6 216 3 6 2 EI 3 4 1 2 24 3 2 984 1 = 4 EI EI 2 EI 3
(A)
由上述，力法计算步骤可归纳如下： 1）确定超静定次数，选取力法基本体系； 2）按照位移条件，列出力法典型方程； 3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，用（A）式求系数和自由项； 4）解方程，求多余未知力； 5）叠加最后弯矩图。 M = M i X i M P
q=23kN/m
q=23kN/m
6m
=
撤除约束时需要注意的几个问题： （1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。
（2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替， 撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。 （3）内外多余约束都要撤除。
（4）不要把原结构撤成几何可变或几何瞬变体系
4 5 1 2 外部一次，内部六次 撤除支杆1后体系成为瞬变 不能作为多余约束的是杆 1、2、 5 共七次超静定 1 3
力法基本体系的合理选择
1 1 2 1 1 1 21 aa qa2 21= 2a = d a = qa3 d12P = d 21 = D1d 11力法基本体系有多种选择，但必须是几何不变体系。同时应 == = ,22 D 2 P = 0 EI 3 3 624 EI EI EI2 28 32 3EI EI 尽量使较多的副系数、自由项为零或便于计算。所选基本体系应 含较多的基本部分，使Mi,MP尽可能分布局部。 qa 2 用力法解图示连续梁， 2kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓ 15 各跨EI=常数,跨度为a. 2kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓ 2kN/m 2a X1 qa 2 X2 d 11 = = d 22 ↓↓↓↓↓↓↓↓ 3EI 60 a d 12 = d 21 = X1=1 M1 6 EI qa3 D1P = , D2P = 0 1 24 EI X2=1 M 2
第5章力法
（3）撤除一个固定端或切断一个梁式杆，等于撤除三个约束。
撤除约束时需要注意的几个问题： （1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。
X1 X3 X1 X2 X3 X1 X3
X2
X1 X2
X3
（2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替， 撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。 （3）内外多余约束都要撤除。 （4）不要把原结构撤成几何 可变或几何瞬变体系
Fp B 图(a) 原结构
1 21 11
Fp
X2
Fp
X1
X3 图(b) 基本结构
1 31 1p
2p 3p
图(c) 仅有荷载作用
1
22
23 13 33
图(d) 当X1=1时
图(e)
12
32
当X2=1时
图(f) 当X3=1时
设在荷载与多余力X1、X2和X3共同作用下基本结构沿X1、X2和X3三个
图(a)
图(b)
图(a)中支座反力无法确定，因而无法求出内力。图(b)中支座反力可 以求出，但不能求所有杆的内力。在第二章中曾讨论过，有多余约束 的几何不变体系是超静定的。上面的这两个结构均具有多余约束，是 超静定的。 多余约束：对保证体系几何不变并非必要的约束，称为多余约束。 多余力：与多余约束相对应的约束力，称为多余力。 图(a)和图(b)两结构的多余力如下图所示，也可选其它的多余力。
上式中的11和1p可用第4章的方法确定。对于该题
11
1 p
1 1 l 2l l l EI 2 3 3EI
3
3 1 l F p l 5l 5 F p l 2 2 2 6 48 EI
5第五章 力法-xhy1
（只有X1作用，支座转角θ 对杆端A无影响）
2）力法基本方程 位移条件 BV 0 力法方程 11 X1 1C 0
A
11 X1
22
3）求系数和自由项
A
FR1 l
B
A
X1=1
B
河 l M 图 X1=1 南 科 1 1 2 l3 l l l 技 11 EI 2 3 3EI 大 学 1C FRK CK l 力 学 4）求未知力X1 系 3EI X 1 1C / 11 l 3 l 3EI 2 ( ) l
10
A
河 南 科 技 大 学 力 学 系
EI l/2
FP
FP
B l/2
A 基本体系
A 基本结构 FP B
B
X1
原结构（ΔBV=0） Δ11 B A
A
X1
+
A
B
Δ1P
(
δ11
B
） 〃X1
11
X1 1
2. 力法方程
力法方程为
河 南 科 技 大 学 力 学 系
11 1P BV 0
基本结构的位移=原结构的位移
BV ——原结构B截面竖向位移
因为 方程可写为
11 11 X1
11 X1 1P 0
12
讨论：
1）力法方程是位移方程。
河 南 科 技 大 学 力 学 系
2）方程的物理意义：基本结构在荷载FP和未知 量X1共同作用下沿X1方向的位移等于原结构B支 座竖向位移。 3）系数的物理意义：
2）去掉一个简单铰，相当于去掉两个约束；
5
3）去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当 于去掉三个约束；
第五章 力法共38页
基本 未知量
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
基本体系
X1
基本结构
通过把多余约束去掉用 多余未知力来代替，将 超静定结构变为静定结 构，解题的关键就是多 余未知力的求解问题。
(2)基本方程
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
原结构 基本方程
1 0
基本体系
X1
δ12 δ22
11 1 X 11 2 X 2 1 P 0
22 1 X 12 2 X 2 2 P 0
X2=1
两次超静定结构的力法基本方程
位移的表示采用双下标，第一个下标表示位移的位置和方向； 第二个下标表示产生的原因。δ12表示在X2＝1单独作用下，沿 X1方向的位移。
2、多次超静定结构的计算
内区力别静超 于定静 静结定 定构，结约构束的有基多本余特，点是。超超静静定定结结构构
静定结构与超静定结构的差别
项目
静定结构
超静定结构
几何特性
无多余约束的几何不 变体系
有多余约束的几何不变体系
静力特性
满足平衡条件内力解 满足平衡条件内力解答有无穷
答是唯一的，即仅由 多种，即仅由平衡条件求不出
平衡条件就可求出全 全部内力和反力，还必须考虑
用力法计算荷载作用下的超静定刚架和排架时，通 常忽略剪力和轴力对位移的影响。
(2)基本方程
1P11X1 0
ql4 8EI
l3 3EI
X1
0
3ql X1 8
ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
M图
ql2/2 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MP图
l
M 1图
第五章力法——精选推荐
第五章⼒法第五章⼒法⼀. 教学⽬的正确的判断静定结构和超静定结构;理解⼒法⽅程的物理意义;掌握⼒法的基本概念及解题步骤;能够应⽤⼒法求解超静定粱、刚架、排架、桁架在荷载作⽤下的内⼒;了解温度变化时的内⼒计算。
⼆. 主要章节第⼀节超静定结构和超静定次数第⼆节⼒法的基本概念和典型⽅程第三节超静定梁、刚架和排架第四节超静定桁架和组合结构第五节对称结构的计算第六节⼒法计算超静定拱第七节温度变化和⽀座移动时超静定结构的内⼒计算第⼋节超静定结构的位移计算和最后内⼒图的的校核⼩结思考与讨论三. 学习指导⼒法计算超静定结构主要是利⽤静定结构内⼒计算和位移计算来解决超静定结构的内⼒计算，因此静定结构的内⼒计算和位移计算是本章的基础；由于⼒法的计算量较⼤，本章的学习重点应是⼒法的基本⽅程的理解和应⽤，主要是超过三次超静定结构。
四. 参考资料《结构⼒学》P84～P118第⼀节超静定结构和超静定次数⼀. 教学⽬的正确理解超静定结构的概念和超静定的次数;能够正确确定超静定结构的次数。
⼆. 主要内容1. 超静定结构2. 超静定次数三. 学习指导正确理解超静定结构的含义，理解超静定结构的⼏何特征和静⼒特征，可以为今后的学习打下⼀个基础。
四. 参考资料《结构⼒学》P84～P865.1.1 超静定结构从受⼒上分析：静定结构:结构的反⼒和各截⾯的内⼒都可以⽤静⼒平衡条件唯⼀确定(图5-1a)。
超静定结构:结构的反⼒和各截⾯的内⼒不能完全由静⼒平衡条件唯⼀的加以确定(图5-1b 、补充图见教材P84图5-1)。
图5-1从⼏何组成分析中可知：静定结构和超静定结构都是⼏何不变体体系，⽽静定结构没有多余的约束，超静定结构存在多余约束，将图7-1b中⽀座C去掉结构仍为⼏何不变体系(图5-1C)。
结论：满⾜平衡⽅程的内⼒解不唯⼀，⼏何上有多余约束，这就是超静定结构区别于静定结构的基本特点。
5.1.2 超静定次数超静定次数：超静定结构中多余约束的个数；也可以认为是多余未知⼒的数⽬。
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第五章力法学习目的和要求力法是超静定结构计算的基本方法之一，也是学习其它方法的基础,非常重要。
本章即基本要求:1.熟练掌握力法基本结构的确定、力法方程的建立及其物力意义、力法方程中的系数和自由项的物理意义及其计算。
2.熟练掌握力法解刚架、排架和桁架，了解用力法计算其它结构计算特点。
3.会利用对称性，掌握半结构的取法。
4.掌握超静定结构的位移计算及力法计算结果的校核。
5.重点是荷载作用下的超静定结构计算，领会其它因素下的超静定结构计算。
学习内容超静定结构的性质,超静定次数的确定，超静定结构的计算思想与基本方法；力法基本概念，荷载作用下用力法计算超静定梁、刚架、排架、桁架和组合结构。
支座移动、温度改变用力法计算超静定梁和刚架.对称结构的特性及对称性的利用。
超静定结构的位移计算及力法校核。
§5。
1超静定次数的确定1、超静定结构的特性：与静定结构比较,超静定结构有如下特性：静定结构超静定结构几何特性无多余约束的几何不变体系有多余约束的几何不变体系静力特性满足平衡条件内力解答是唯一的，即仅由平衡条件就可求出全部内力和反力.超静定结构满足平衡条件内力解答有无穷多种，即仅由平衡条件求不出全部内力和反力,还必须考虑变形条件.非荷载外因的影响不产生内力产生了自内力内力与刚度的关系无关荷载引起的内力与各杆刚度的比值有关,非载载外因引起的内力与各杆刚度的绝对值有关。
内力超静定，约束有多余，是超静定结构区别于静定结构的基本特点。
2、超静定次数的确定：结构的超静定次数为其多余约束的数目，因此上,结构的超静定次数等于将原结构变成静定结构所去掉多余约束的数目。
在超静定结构上去掉多余约束的基本方式，通常有如下几种：（1）断一根链杆、去掉一个支杆、将一刚接处改为单铰联接、将一固定端改为固定铰支座，相当于去掉一个约束.（例子66)（2）断一根弯杆、去掉一个固定端，相当于去掉三个约束。
（例子67）(3)开一个单铰、去掉一个固定铰支座、去掉一个定向支座，相当于去掉两个约束。
（例子68）3、几点注意：由图10-1结构的分析可得出结论:一个无铰闭合框有三个多余约束，其超静定次数等于三。
对于无铰闭合框结构其超静定次数=3×闭合框数。
如图10-2所示结构的超静定次数为3×5=15次；对于带铰闭合框结构其超静定次数=3×闭合框数－结构中的单铰数（复铰要折算成单铰）如图10-3所示结构的超静定次数为3×5-（1+1+3）=15次。
D点是连接四个刚片的复铰，相当于（4-1）=3个单铰。
一结构的超静定次数是确定不变的，但去掉多余约束的方式是多种多样的。
如图10—1结构。
〓q R B当ΔB =Δ1=0↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓BR BX 1↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B=由ΔB =Δ1=0解出 在确定超静定次数时，要将内外多余约束全部去掉.如图10—4结构外部1次超静定，内部6次超静定，结构的超静定次数是7。
在支座解除一个约束，用一个相应的约束反力来代替，在结构内部解除约束,用作用力和反作用力一对力来代替。
如图10-1结构所示。
只能去掉多余约束，不能去掉必要的约束，不能将原结构变成瞬变体系或可变体系。
如图10-4结构中A 点的水平支杆不能作为多余约束去掉。
如图10—5结构中支杆a ，b 和链杆c 不能作为多余约束去掉，否则就将原结构变成了瞬变体系。
§5。
2 力法基本概念1、超静定结构的求解思路：求解超静定结构，先选取一个便于计算结构作为基本体系，然后让基本体系与原结构受力一致,变形一致即完全等价，通过这个等价条件去建立求解基本未知量的基本方程。
(基本未知量是超静定结构计算中必须首先求解的关键未知量)。
由于求解过程中所选的基本未知量和基本体系不同，超静定结构的计算有两大基本方法——力法和位移法.2、力法基本概念：（例子69）在力法中，以去掉多余约束得到的静定结构作为力法基本体系,以多余未知力作为力法的基本未知量，通过基本体系中沿多余未知力方向的位移应等于原结构相应的位移来建立力法基本方程，解方程求出多余未知力；多余未知力求出以后，其它反力和内力的计算问题就转化为静定结构的计算问题,可按叠加法或平衡条件计算.3、力法典型方程：（例子70）力法典型方程是根据原结构的位移条件建立起来的。
典型方程的数目等于结构的超静定次数.n 次超静定结构的基本体系有n 个多余未知力，相应的有n 个位移协调条件。
利用叠加原理将这些位移条件表述成如下的力法典型方程.几点注意:力法方程的物理含义是：基本体系在外部因素和多余未知力共同作用下产生的多余未知力方向上的位移,应等于原结构相应的位移.实质上是位移协调条件。
主系数δii 表示基本体系仅由X i =1作用所产生的X i 方向的位移。
付系数δij 表示基本体系仅由X j =1作用所产生的X i 方向的位移。
主系数恒大于零,负系数可为正、负或零。
力法方程的系数只与结构本身和基本未知力的选择有关，是基本体系的固有特性，与结构上的外因无关。
自由项，分别表示基本体系仅由荷载作用，支座移动,温度变化所产生的X i 方向的位移，可为正、负或零。
对于具有弹性支承和内部弹性约束的超静定结构，若取弹性约束力作为基本未知力X i ，右端项为，若选取的基本体系中保留弹性约束，在的计算公式中应增加一项弹性力的虚功项：两种情况下的反力同向，乘积为正。
4、计算步骤：由上述，力法计算步骤可归纳如下： 1）确定超静定次数,选取力法基本体系； 2)按照位移条件，列出力法典型方程； 3)画单位弯矩图、荷载弯矩图,求系数和自由项; 4)解方程,求多余未知力;5）按M=∑M i ·X i +M P 叠加最后弯矩图。
§5。
3力法计算及举例1、超静定梁和刚架：（例子76,77）用力法计算荷载作用下的超静定梁和刚架时，通常忽略剪力和轴力对位移的影响，因此，力法方程中系数和自由项计算公式为:－－35°35°－35°++15°+15°15°40cm60c m8m6m94.2N=－15.74M&N ×αEI⎰⎰⎰<=>=∆<=>=>=00,000,02ds EI M M ds EI M M ds EI M P i iP k i ik i ii δδ（a ）同一结构取不同的基本体系计算，力法典型方程代表的位移条件不同,力法方程中的系数、自由项不同,计算过程的简繁程度不同，最后内力图相同。
因此，在保证基本体系是几何不变的前提下，尽量选择恰当的基本体系，使力法方程中的系数和自由项计算简单，并有较多的副系数和自由项等于零。
另外,应使基本体系是由几个独立的基本部分形成,荷载所在部分尽量是基本部分，这样可使各单位弯矩图和荷载弯矩图分布局部，减少它们之间的重叠，使副系数和自由项的计算简单，也有可能为零。
解力法方程也简单。
(例子78）2、超静定排架:（例子79）铰接排架由屋架和柱组成.当对排架柱进行内力分析时，通常可将屋架简化为轴向刚度为无穷大的链杆.用力法计算排架时，切断链杆，代以一对等值反向的多余未知力。
因链杆的轴向刚度为无穷大，计算系数和自由项时仍用（a )式.3、超静定桁架：（例子80)桁架是铰接链杆体系，在结点荷载作用下,各杆只有轴力.力法方程中得系数和自由项及最后轴力叠加公式为:2000,0,000ii k i P ii i ik i iP i N N N N Nl l l EA EA EAδδ>>=>==∆==<<∑∑∑4、超静定组合结构：（例子81）在组合结构中，链杆只受轴力,梁式杆既受弯矩，也承受轴力和剪力。
在计算位移时，对链杆只考虑轴力项的影响,对梁式杆只考虑弯矩项的影响.因此，力法方程中得系数和自由项及最后内力叠加公式为:5、非荷载外因作用下的超静定结构的计算：由于超静定结构有多余约束，无荷载作用时，只要有发生变形的因素，如温度改变、支座移动、材料收缩、制造误差等，都可以产生内力（自内力）.3m3m 3m1mEI=常数2cm2c m(a )38.9027.59M ×10－４EIM 图用力法分析这些非荷载因素作用下的超静定结构，其基本原理及步骤与荷载作用下相同，力法典型方程中的系数是基本体系的固有特性,不随外界作用因素而变，所不同的是力法典型方程中的自由项不再是由荷载所产生，而是由上述因素产生的基本体系在多余未知力方向的位移. （1）温度改变时的力法计算特点:（例子82)温度改变引起的自内力全由多余未知力引起,且与杆件刚度EI 的绝对值成正比； 力法典型方程的形式、系数与荷载作用时相同，自由项不同；（2）支座移动时的力法计算特点：(例子83)取不同的基本体系计算时，不仅力法方程代表的位移条件不同,而且力法方程的形式也可能不一样，方程的右边可不为零（＝±与多余未知力对应的支座位移）。
系数计算同前;自由项Δic =－∑R·c，c 是基本体系的支座位移。
所以,基本体系的支座位移产生自由项。
与多余未知力对应的支座位移出现在方程的右边。
内力全由多余未知力引起，且与刚度EI 的绝对值成正比。
§5.3 对称性利用1、对称性：结构的对称性:对称结构是指几何形状、支座情况、刚度都对称于某轴的结构。
如图(a ）所示结构。
荷载的对称性：①对称荷载——绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、同向.在大小相等、作用点对称的前提下，下,与对称轴垂直反向布置的荷载、与对称轴平行同向布置的荷载、与对称轴重合的集中力是对称荷载.如图（b )所示.PP 2一般荷载X 3X 2X 1X 2X 1=11M X 2=1X 22M X 3=13M ②反对称荷载-—绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、反向。
在大小相等、作用点对称的前提下，与对称轴垂直同向布置的荷载、与对称轴平行反向布置的荷载、垂直作用在对称轴上的荷载、位于对称轴上的集中力偶是反对称荷载。
如图（c ）所示。
2、取对称的基本体系计算：(荷载可以是任意，仅用于力法)。
不论在何种外因作用下，对称结构应考虑利用对称的基本体系计算.沿对称轴上梁的中央截面切开，三对多余未知力中,弯矩X 1和轴力X 2是对称未知力,剪力X 3是反对称未知力.对称未知力产生的单位弯矩图和变形图是对称的；反对称未知力产生的单位弯矩图和变形图是反对称的.如下图所示。
因此,力法方程中的系数：于是，力法方程可简化为：(例子71）力法方程分解为独立的两组，一组只包含对称未知力，一组只包含反对称未知力。
如果荷载对称,M P 对称，Δ3P =0，X 3=0，对称未知力不为零;如果荷载反对称,M P 反对称，Δ1P =0,Δ2P =0，X 1=X 2=0，反对称未知力不为零。