2-4匀变速直线运动的位移与速度的关系方法

Vt 2 V02 0 602 X 900m 1000m 2a 2 (2)
所以，该列车无危险．
[规律方法] 匀变速直线运动的基本规律都是以矢量 方程表示的，选用方程后注意选取正方 向，确定好各个物理量的正负，由此将 矢量运算转化为标量运算． 在没有特殊说明的情况下，一般以初速 度的方向为正方向．
• [规律方法] • 因为初速度为零的匀加速运动是最简单的匀 变速运动，因此，遇到做匀减速直线运动的物 体到停止的情况，可以用逆向思维的方法，用 反方向的匀加速直线运动的方法处理． • 末速度为零的匀减速直线运动可看成是初速度 为零、加速度等值反向的匀加速直线运动，这 样处理问题可使求解过程简化．
解析：物体做匀变速直线运动，
平均速度等于中间时刻的瞬时速度．所以C点的速 X AC X CD 度等于AE距离的平均速度 X DE 0.986m / s v V
c AE
4T
为使得到的实验数据更准确，应该采用逐差法计算加速度 由Xm－Xn=(m－n)aT2得
X CD X AB a1 2T 2 X DE X BC a2 2T 2
解法三：用逐差法．由 Δx＝aT2 可得 Δx 64－24 a＝ 2 ＝ m/s2＝2.5 m/s2 2 T 4 1 又 x1＝vAT＋ aT2 2 vC＝vA＋a· 2T 由①②③解得：vA＝1 m/s，vC＝21 m/s. ① ② ③
[规律方法] 质点做匀加速直线运动，设质点运动的 初速度为v0、加速度为a，可根据位移公 式或速度公式与平均速度推论式或逐差 法求解．
X1
X2
X3
X4
X5
X6
Δx1 Δx2 Δxn a1＋a2＋…＋an＋1 T2 ＋ T2 ＋…＋ T2 如： a ＝ ＝ n n x2－x1＋x3－x2＋…＋xn＋1－xn xn＋1－x1 ＝ ＝ nT2 nT2 这样求平均值的结果仍是由两段 T 内的位移 xn＋1 和 x1 决定，偶然误差相同． 怎样就能把纸带上各段位移都利用起来呢？
• 典例4 做匀减速直线运动的物体，经4 s后 停止，若在第1 s内的位移是14 m，则最后1 s的位移与4 s内的位移各是多少？
[解析] 此运动可看成反向初速度为零的匀加速直线运动，
1 2 1 2 1 1 2 则得 at4 － at3 ＝x4，即 ×a×4 － ×a×32＝14， 2 2 2 2 解得 a＝4 m/s2. 1 2 1 最后 1 s 内的位移为 x1＝ at1 ＝ ×4×12 m＝2 m, 2 2 1 2 1 4 s 内的位移为 x＝ at4 ＝ ×4×42 m＝32 m. 2 2
X1
X2
X3
X4
X5
X6
推论：Xm－Xn=(m－n)aT2 此推论常有两方面的应用： 一是用以判断物体是否做匀变速直线运动， 二是用以求加速度
• [练习] 在测定匀变速直线运动的加速度实验 中，得到一条纸带如下图所示，A、B、C、D、 E、F为相邻的6个计数点，若相邻计数点的时 间间隔为0.1 s，则粗测小车的加速度为 1.58 ________m/s2.
X1
X2
X3
X4
X5
X6
(2)逐差法求加速度
如果纸带上测得连续6个相同时间T内的位移x1、x2、x3、…、 x6，如图所示． 由Xm－Xn=(m－n)aT2得 偶数
x4 x1 a1 2 3T
x5 x2 a2 2 3T
x6 x3 a3 2 3T
a1 a2 a3 ( x4 x5 x6 ) ( x1 x2 x3 ) a 3 9T 2
• 2．适用范围：匀变速直线运动 • 3．特例 • (1)当v0＝0时，v2＝2ax
• 物体做初速度为零的匀加速直线运动， 如自由下落问题． • (2)当vt＝0时，－v02＝2ax • 物体做匀减速直线运动直到静止，如刹 车问题．
(1)公式vt2 －v02 ＝2ax中四个物理量均是 矢量，应用它解题时要注意各物理量的 正、负值． (2)刹车问题由于末速度为零，应用此公式 解题往往很方便．
[练习]物体由静止开始做匀加速直线运动，当其位移为 x x 时速度为 v，求位移为 时的速度 v′为多大？ 3
解析：v0＝0 由 vt2－v02＝2ax 可得 v2＝2ax
① ②
3 v′＝ v. 3
v
,2
x 2a 3
由①②联解得
1．平均速度：做匀变速直线运动的物体，在一段 时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的 瞬时速度，还等于这段时间初末速度矢量和的 一半．
此式把各段位移都利用上，有效地减小了仅由两次位移 测量带来的偶然误差，这种方法被称为逐差法．
逐差法求加速度 B O A
C
D
E
X1 X2 X3 X4 X5 如图所示，如果纸带上测得连续5个相同时间T内的位移x1、x2、 x3、…、x5 奇数 去一段留连续部分 由Xm－Xn=(m－n)aT2得
x5 x3 x4 x 2 a2 a1 2 2 2T 2T a1 a2 ( x4 x5 ) ( x2 x3 ) a 2 2 4T
• (1)以上比例成立的前提是物体做初速度为 零的匀加速直线运动． • (2)对于末速度为零的匀减速直线运动，可 把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线 运动，应用比例关系，可使问题简化．
• 典例3 一滑块自静止开始从斜面顶端匀加速 下滑，第5 s末的速度是6 m/s，试求： • (1)第4 s末的速度； • (2)运动后7 s内的位移； • (3)第5 s内的位移．
X CD X DE X AB X BC a1 a2 a 2.58m / s 2 2 4T 2 Δx＝XDE－XCD＝XCD－XBC＝XBC－XAB
代入数据得XAB＝5.99 cm.
• (1)以上推论只适用于匀变速直线运动， 其他性质的运动不能套用推论式来处理 问题． • (2)推论式xm －xn ＝(m－n)aT2 常在实验 中根据打出的纸带求物体的加速度．
解法二：用平均速度公式法． 连续两段时间 T 内的平均速度分别为： x1 24 v 1＝ T ＝ ＝6 m/s 4 vA＋vB 且 v 1＝ 2 x2 64 v 2＝ T ＝ ＝16 m/s. 4 vB＋vC v 2＝ ， 2
由于 B 是 A、C 的中间时刻， vA＋vC v 1＋ v 2 6＋16 则 vB＝ ＝ ＝ ＝11 m/s. 2 2 2 解得：vA＝1 m/s，vC＝21 m/s
例：在实验中，得到纸带如图所示，图中的点为计数点，在 每两个相邻的计数点间还有4个点没有画出，则小车运动的 加速度为(单位：m/s2)
A．0.2 B．2.0 C．20.0 D．200.0
解：相邻两计数点间的时间间隔
T＝5×0.02 s＝0.1 s
任意两连续相等的时间间隔T内的位移之差 Δx＝2.00 cm＝0.02 m 由Δx＝aT2得
典例1在全国铁路第六次大提速后，火车的最高时速可达250 km/h，若某列车正以216 km/h的速度匀速运行，在列车头 经路标A时，司机突然接到报告要求紧急刹车，因前方1000 m处有障碍物还没有清理完毕，若司机听到报告后立即以最 大加速度a＝2 m/s2刹车，问该列车是否发生危险？
解: 设列车从刹车到停止运动的位移为x v0＝216 km/h＝60 m/s vt＝0 a＝－2 m/s2 由vt2－v02＝2ax得：
V0
t 2
Vt
2
Vt
t 2
即
V0 Vt V Vt 2 2
例：一物体做匀加速直线运动，在某一时刻前的t1 秒内位移是X1，在该时刻后的t2秒内位移是X2，求 物体运动的加速度？
2．逐差相等：做匀变速直线运动的物体，在任意两 个连续相等的时间间隔T内 ，位移之差是一个常量 即Δx＝x2－x1＝ x3－x2 =··· xn－xn-1= aT 2 ··= ··
X1
X2
X3
X4
X5
X6
(2)逐差法求加速度 Δx 虽然用 a＝ 2 可以从纸带上求得加速度，但利用一个 Δx 求得 T 的加速度偶然误差太大，最好多次测量求平均值． 求平均值的方法可以有两个： 一是求各段 Δx 的平均值，用 Δx 求加速度， 二是对每一个位移差分别求出加速度，再求加速度的平均值． 两种求平均值的实质是相同的，达不到减小偶然误差的目的．
• 1．1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比 v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n • 2．1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比 • x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2 • 3．第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、 第n个T内位移之比 • xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)
典例2一物体做匀变速直线运动，在连续相等的 两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和 64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速 度、末速度及加速度．
[解析]
解法一：基本公式法．
如图所示，由位移公式得， 1 2 x1＝vAT＋ aT 2 1 1 2 2 x2＝vA· 2T＋ a(2T) －(vAT＋ aT )， 2 2 vC＝vA＋a· 2T， 将 x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s 代入以上三式， 解得 a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s.
推论：Xm－Xn=(m－n)aT2
• • • • •
3．应用：分析纸带时常用此方法及规律 (1)判断物体是否做匀加速直线运动 由于相邻相等时间内物体位移差 Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT 2 如果物体做匀加速直线运动，即a恒定，则Δx为 一恒量，这一结论反过来也成立. • 即如果所打纸带在任意两个相邻相等时间内位移 差相等，则说明物体做匀加速直线运动．
匀变速直线运动位移与速度的关系
1 2 由位移公式： x v0t at 2