人教版八年级数学上册第2课时 角的平分线的判定习题.doc

第2课时角的平分线的判定
要点感知1角的内部到角的两边的距离相等的点在角的______上.
预习练习1-1 已知点P为∠AOB内部的一点,PD⊥OB于点D,PC⊥OA于点C,且PC=PD,则OP平分_____.
要点感知2 三角形的三条内角平分线相交于一点,并且这一点到_____.
预习练习2-1 如图,在△ABC中,BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB,并且BD，CE相交于点O,过O点作OP⊥BC于点P,OM⊥AB于点M,ON⊥AC于点N,则OP，OM，ON的大小关系是_____.
知识点1 角平分线的判定
1.已知：如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件中:①∠AOC=∠BOC，②PD=PE，③OD=OE，④∠DPO=∠EPO,能判定OC是∠AOB的角平分线的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.已知：如图所示，BE=CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.
知识点2 角平分线的性质与判定的综合运用
3.如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线相交于O，下面结论中正确的是( )
A.∠1＞∠2
B.∠1=∠2
C.∠1＜∠2
D.不能确定
4.如图,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D,连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线.
知识点3 角平分线的性质与判定的实际应用
5.如图,铁路OA和铁路OB交于O处,河道AB与铁路分别交于A处和B处,试在河岸上建一座水厂M,要求M到铁路OA，OB的距离相等,则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置.
6.某市有一块由三条公路围成的三角形绿地,现准备在其中建一小亭子,供人们休息,而且要使小亭中心到三条公路的距离相等,试确定小亭的中心位置.
7.如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小关系是( )
A.∠1=∠2
B.∠1＞∠2
C.∠1＜∠2
D.无法确定
8.如图所示,P为△ABC外部一点,D，E分别在AB，AC的延长线上,若点P到BC，BD，CE的距离都相等,则关于点P的说法最佳的是( )
A.在∠DBC的平分线上
B.在∠BCE的平分线上
C.在∠BAC的平分线上
D.在∠DBC，∠BCE，∠BAC的平分线上
9.三条公路两两相交于A，B，C三点,现计划修建一个商品超市,要求这个超市到三条公路距离相等,则可供选择的地方有_____处.
10.已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.求证：
(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；
(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.
11.如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC.
12.如图所示,△ABC 中,∠B ＝∠C,D 是BC 边上一动点,过D 作DE ⊥AB,DF ⊥AC,E ，F 分别为垂足,则当D 移动到什么位置时,AD 恰好平分∠BAC,请说明理由.
挑战自我
13.已知：如图所示，在△ABC 中，BD=DC,∠1=∠2，求证：AD 平分∠BAC.
参考答案
课前预习
要点感知1 平分线 预习练习1-1 ∠AOB
要点感知2 三边的距离相等 预习练习2-1 OP=OM=ON 当堂训练
1.D
2.证明：∵DF ⊥AC 于点F ，DE ⊥AB 于点E ，∴∠DEB=∠DFC=90°,在△BDE 和△CDF 中，
∠BDE=∠CDF, ∠DEB=∠DFC,
BE=CF,∴△BDE ≌△CDF(AAS).∴DE=DF.又∵DF ⊥AC 于点F ，DE ⊥AB 于点E ，∴AD 平分∠BAC. 3.B 4.证明：过点D 分别作DE ⊥AB,DG ⊥AC,DF ⊥BC,垂足分别为E,G,F.又∵BD 平分∠ABC,CD 平分∠ACF,∴DE=DF,DG=DF.∴DE=DG.∴AD 平分∠EAC,即AD 是∠BAC 的外角平分线. 5.图略.提示：作∠AOB 的角平分线，与AB 的交点即为点M 的位置.
6.在三角形内部分别作出两条角平分线,其交点O 就是小亭的中心位置,图略. 课后作业
7.A
8.D
9.4
10.(1)证明：∵∠1＝∠2，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴OE ＝OD ，∠ODB ＝∠OEC ＝90°.在△BOD 和△COE 中，
∠BOD=∠COE ，OD=OE ，∠ODB=∠OEC,∴△BOD ≌△COE(ASA).∴OB ＝OC. (2)证明：在△BOD 和△COE 中，∠ODB=∠OEC ，∠BOD=∠COE ，
OB=OC ，∴△BOD ≌△COE(AAS).∴OD ＝OE.又∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴AO 平分∠BAC ，即∠1＝∠2.
11.证明：过点D 作DH ⊥AB 于H ，DG ⊥AC 于G.∵S △DCE =
21CE ·DG ,S △DB F=2
1
BF ·DH,S △DCE =S △DBF ,
∴
21CE ·DG=2
1
BF ·DH.又∵CE=BF,∴DG=DH.∴点D 在∠BAC 的平分线上，即AD 平分∠BAC. 12.移动到BC 的中点时,AD 恰好平分∠BAC.理由如下:∵D 是BC 的中点,∴BD ＝CD.∵DE ⊥AB,DF ⊥AC,∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°.又∵∠B ＝∠C,∴△DEB ≌△D FC(AAS).∴DE ＝DF.又∵DE ⊥AB,DF ⊥AC,∴AD 平分∠BAC.
13.证明：过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.在△BED 和△CFD 中，∠BED=∠CF D=90°, ∠1=∠2,
BD=CD,∴△BED ≌△CFD(AAS).∴DE=DF.又DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 平分∠BAC.。