(完整版)动力学建模方法与解法总结
汽车系统动力学第二章 车辆动力学建模方法及基础理论
第二章车辆动力学建模方法及基础理论§2-1 动力学方程的建立方法在车辆动力学研究中，建立系统运动微分方程的传统方法主要有两种：一是利用牛顿矢量力学体系的动量定理及动量矩定理，二是利用拉格朗日的分析力学体系。
本节将对这两种体系作一简单回顾，并介绍几个新的原理。
一牛顿矢量力学体系(1)质点系动量定理质点系动量矢p对时间的导数等于作用于质点系的所有外力F i的矢量和(即主矢),其表达式为:二、分析力学体系分析力学是用分析的方法来讨论力学问题，较适合处理受约束的质点系。
(1)动力学普遍方程动力学普遍方程由拉格朗日(Lagrange)于1760年给出的，方程建立的基本依据是虚位移原理，表示如下：(2-6)(2)拉格朗日方程拉格朗日法的基本思想是将系统的总动能和总势能均以系统变量的形式表示，然后将其代入拉格朗日方程，再对其求偏导数，即可得到系统的运动方程。
拉格朗日方程形式如下：利用此方程推导车辆动力学方程时，因采用广义坐标，从而使描述系统位移的坐标数量大大减少，并可以自动消去无功内力。
但也存在下述问题：①应用拉格朗日方程时，有赖于广义坐标选取得是否得当，而适当地选择广义坐标有时要靠经验；②拉格朗日能量函数对于刚体系统的表达式可能非常复杂，代人拉格朗日方程后要作大量运算。
而对于复杂的车辆系统，写出能量函数的表达式就更加困难。
三、虚功率原理若丹(Jourdain)于1908年推导出另一种形式的动力学普遍方程，其所依据的原理称之为虚功率原理。
虚功率形式的动力学普遍方程为：四、高斯原理1829年，高斯(Gauss)提出动力学普遍方程的又一形式，称为高斯原理，其表达式为：§2-2 非完整系统动力学一、非完整系统动力学简介1894年，德国学者Henz第一次将约束系统分成“完整”和“非完整”两大类，从此开辟了非完整系统动力学(Nonholonomie System)的新领域，如今它已成为分析力学的一个重要分支。
(完整版)传染病动力学模型
课计算出EE的特征值，若根号里<0，则共轭复数根
当 时成立，由阻尼振荡可计算周期
真题：2003年SARS
传病动力学模型
常微分方程
仓室建模法：1.将研究群体分类：感染者，健康者；潜伏者，感染者/免疫者，易感者
2.将不同仓室用箭头加以连接（疾病传染规律）S->E->I->H；可再考虑出生、死亡、迁入
建立转移图
疾病类型：得病后免疫力：终身免疫：单向，不循环/暂时免疫，可循环
由病原体类型划分：病毒/细菌（能否循环）
评估控制策略
估计流行周期，预测爆发
1.估计基本再生数：
解析法
统计方法（简单直接）
下一代矩阵方法：1.将种群分类，广义感染者与广义易感者
2.改写广义感染者X的动力学方程：
3.计算无病平衡点DEF：
R0=
2.控制策略评估：
实施群体免疫：群体免疫覆盖率 ,R0要小一点
3.（1）存在周期解（2）发生环绕地方病平衡点的阻尼振荡
基本概念：
发生率：单位时间多少人被感染（双线性，标准型）
出生、死亡、额外（因病死亡率，输入，输出，隔离率，恢复率）
模型平衡点：无病平衡点DFE、地方病平衡点EE
经典SIR模型：
几个仓室几个变量，由转移图分别列常微分方程
基本再生数R0与阈值定理（现象）：
R0<1:存在无病平衡点且局部稳定/全局渐进稳定，疾病最终绝灭
R0>1:DEF不稳定，存在地方病平衡点，全局渐进稳定，疾病最终流行
R0= ,
R0的意义：在全部是易感者群体中引入一个感染者，最终感染人数
降维：变量可选各仓室人数与总的比例
动力学模型建模与分析
KM－SIR模型
S
SI
I
I
R
dS SI,
dt
dI SI I ,
dt
dR I.
dt
这里 为恢复率．记
．
R0
S (0)
研究结果表明，当 R0 1 时，疾病流行；当 R0 1 时，疾病不会流
行． R0 1 是区分疾病流行与否的阈值．Kermack和Mckendrick的建
模思想对流行病模型的动力学研究方法上起了 基本的指导作用．此外
由于在人群中进行流行病的实验是不现实的，因此对流行病进行 理论分析就显得十分重要．流行病学数学模型(mathematical model)又称数学流行病学(mathematical epidemiology)和理论流 行病学(theoretical epidemiology)，它使用数学公式明确地和定量 地表达病因、宿主和环境之间构成的疾病流行规律，同时从理论 上探讨不同防制措施的效应．
1760年，D.Bernoulli为了研究天花建立了有史以来第一个流行病模型。
D Bernoulli. Essai d‘une nouvelle analyse de la mortalite causee par la petiteve role et des avantages de l’inoculation pour al prevenir, in Memoires de Mathematiques et de physique. Paris: Academie Royale des Sciences, 1760, 145.
传染病动力学模型建模与分析
传染病动力学模型建模与分析
流行病历来就是危害人类健康的大敌，历史上流行病一次又一次 的流行给人类生存和国计民生带来了巨大的灾难。世界卫生组织 （WTO）发表的世界卫生报告表明，流行病依然是人类的第一杀 手。目前全球60亿人口中约有半数受到各种不同流行病的威胁。 以1995年为例，全世界死亡共5200万人，其中1700万人丧生于 各种流行病．
传染病的传播动力学建模与方法研究
传染病的传播动力学建模与方法研究传染病是由病原微生物（如细菌、病毒等）引起的一类疾病，它在人群中的传播十分迅速。
了解传染病的传播动力学是预防和控制传染病的关键。
传染病的传播动力学建模与方法研究通过数学模型和数据分析，帮助我们更好地理解传染病的传播规律和速度，为制定合理的防控策略提供科学依据。
一、传播动力学建模传播动力学建模是研究人群中传染病传播过程的可视化数学模型。
通过建立传播模型，我们可以模拟传染病在人群中的传播速度和传播范围。
常见的传播动力学模型有SI模型、SIR模型以及SEIR模型等。
SI模型中，人群被分为两个状态：易感者（Susceptible）和感染者（Infected）。
这个模型适用于传染病传播速度较慢和没有免疫力的情况。
SIR模型在SI模型的基础上增加了康复者（Recovered）状态，适用于传染病传播速度较快且感染后有免疫力的情况。
而SEIR模型在SIR模型的基础上增加了潜伏者（Exposed）状态，适用于传染病具有潜伏期的情况。
二、方法研究1. 数据收集与处理传播动力学研究的第一步是收集和处理相关数据。
通过收集人群流动和交往数据、病例数据和病原微生物特征等信息，可以获得传染病传播的基础数据。
同时，对这些数据进行统计学分析和建模处理，以便后续的传播动力学建模分析。
2. 参数估计与模型验证在传染病传播动力学建模中，参数估计是一个重要的环节。
通过利用已知的病例数据和实验结果，可以估计模型中的传染率、潜伏期、康复率等参数。
此外，为了验证建立的传播动力学模型是否准确，可以利用模型预测结果与实际数据进行比较，进一步调整和优化模型。
3. 预测与控制基于建立的传播动力学模型和参数估计结果，可以进行传染病的预测和控制策略制定。
通过对人群流动和交往网络的分析，可以预测传染病的传播路径和传播速度。
同时，结合疫苗、药物和健康宣传等措施，制定合理的传染病控制策略，以最大程度地减少传播风险。
结论传染病的传播动力学建模和方法研究为我们深入了解传染病传播规律和传播速度提供了有效的工具和方法。
matlab 动力学建模
MATLAB 动力学建模1. 引言动力学建模是一种描述物体运动和行为的数学建模方法。
在工程学和物理学中，动力学建模被广泛应用于设计、控制和优化系统。
MATLAB是一个强大的数值计算软件，可以用于动力学建模和仿真。
本文将介绍MATLAB在动力学建模中的应用。
2. 动力学建模基础动力学建模的基础是牛顿第二定律，即力等于质量乘以加速度。
根据这个定律，可以建立物体的运动方程。
在MATLAB中，可以使用符号计算工具箱来求解运动方程。
例如，考虑一个简单的弹簧振子系统，其中一个质量m通过一个弹簧与墙壁相连。
弹簧的劲度系数为k，质量m的加速度为a，弹簧的位移为x，墙壁的位置为0。
可以建立如下运动方程：m * a = -k * x在MATLAB中，可以使用符号计算工具箱来求解这个方程，并得到系统的运动方程。
3. 动力学建模方法在动力学建模中，有几种常用的方法可以用于建立系统的数学模型。
以下是一些常见的方法：3.1. 基于物理原理的建模基于物理原理的建模是一种常见的动力学建模方法。
这种方法基于系统的物理特性和力学原理，建立系统的数学模型。
例如，对于一个机械系统，可以根据质量、惯性、摩擦等物理特性，建立系统的动力学方程。
3.2. 系统辨识建模系统辨识建模是一种通过实验数据来建立系统模型的方法。
通过对系统进行实验观测，收集系统的输入和输出数据，然后使用系统辨识算法来估计系统的动力学模型。
MATLAB提供了多种系统辨识工具箱，可以用于建立系统的数学模型。
3.3. 仿真建模仿真建模是一种通过数值仿真来建立系统模型的方法。
通过使用数值计算方法和数学模型，可以模拟系统的运动和行为。
MATLAB提供了强大的仿真工具箱，可以用于建立系统的数学模型，并进行仿真研究。
4. MATLAB 动力学建模工具MATLAB提供了多种工具和函数，用于动力学建模和仿真。
以下是一些常用的工具和函数：4.1. 符号计算工具箱符号计算工具箱可以用于求解符号方程和符号运算。
动力学过程建模和仿真方法
动力学过程建模和仿真方法动力学过程建模和仿真方法是一种模拟和预测系统或过程动态行为的技术。
它涉及将系统的物理规律、过程参数、初始条件等纳入数学模型中，并通过模型求解和仿真来预测系统的状态演变和行为。
为了准确描述和分析系统的动态行为，动力学过程建模和仿真方法使用了多种数学和计算工具。
这些工具包括微分方程、差分方程、概率论、优化算法等。
在动力学过程建模中，首先需要确定系统的动力学行为。
这可以通过物理定律和实验数据来确定。
然后，根据动力学规律建立数学模型，包括参数和状态变量。
常用的模型类型包括连续模型和离散模型。
连续模型基于微分方程，描述系统在连续时间下的演化。
离散模型基于差分方程，描述系统在离散时间点上的演化。
根据具体问题的需要，可以选择合适的模型类型。
建立数学模型后，需要确定模型的参数。
这可以通过实验观测数据进行参数估计，或者根据物理规律和系统特性进行估算。
参数的准确确定对于模型的精度和预测能力至关重要。
在模型建立和参数确定之后，接下来是模型求解和仿真。
模型求解可以使用数值方法或符号计算方法。
数值方法将微分方程或差分方程转化为差分方程，然后通过计算机程序进行求解。
常用的数值方法有欧拉方法、龙格-库塔方法等。
符号计算方法则通过代数运算和符号推导来求解模型。
仿真是指利用数学模型和求解方法模拟系统的动态行为。
仿真可以通过改变模型的输入条件和参数来预测系统的响应。
动力学过程建模和仿真方法在许多领域都有广泛的应用。
在物理学和工程学中，它可以用来研究和设计机械系统、电路和流体系统等。
在经济学和管理学中，它可以用于模拟市场和经济系统的演化和波动。
在生物学和生态学中，它可以用来描述生物群落的竞争和演化过程。
在交通运输领域，它可以用来模拟和优化交通流量和路网设计。
尽管动力学过程建模和仿真方法具有广泛的应用前景，但也存在一些挑战和困难。
其中之一是模型的复杂性和计算量。
随着模型的复杂度增加，模型的求解和仿真会变得非常耗时。
(完整word版)系统动力学(自己总结)
系统动力学1.系统动力学的发展系统动力学（简称SD—system dynamics）的出现于1956年，创始人为美国麻省理工学院的福瑞斯特教授。
系统动力学是福瑞斯特教授于1958年为分析生产管理及库存管理等企业问题而提出的系统仿真方法，最初叫工业动态学。
是一门分析研究信息反馈系统的学科，也是一门认识系统问题和解决系统问题的交叉综合学科。
从系统方法论来说：系统动力学是结构的方法、功能的方法和历史的方法的统一。
它基于系统论，吸收了控制论、信息论的精髓，是一门综合自然科学和社会科学的横向学科。
系统动力学的发展过程大致可分为三个阶段：1）系统动力学的诞生—20世纪50-60年代由于SD这种方法早期研究对象是以企业为中心的工业系统，初名也就叫工业动力学。
这阶段主要是以福雷斯特教授在哈佛商业评论发表的《工业动力学》作为奠基之作，之后他又讲述了系统动力学的方法论和原理，系统产生动态行为的基本原理。
后来，以福雷斯特教授对城市的兴衰问题进行深入的研究，提出了城市模型。
2）系统动力学发展成熟—20世纪70-80这阶段主要的标准性成果是系统动力学世界模型与美国国家模型的研究成功。
这两个模型的研究成功地解决了困扰经济学界长波问题，因此吸引了世界范围内学者的关注，促进它在世界范围内的传播与发展,确立了在社会经济问题研究中的学科地位。
3）系统动力学广泛运用与传播—20世纪90年代-至今在这一阶段，SD在世界范围内得到广泛的传播,其应用范围更广泛,并且获得新的发展.系统动力学正加强与控制理论、系统科学、突变理论、耗散结构与分叉、结构稳定性分析、灵敏度分析、统计分析、参数估计、最优化技术应用、类属结构研究、专家系统等方面的联系。
许多学者纷纷采用系统动力学方法来研究各自的社会经济问题，涉及到经济、能源、交通、环境、生态、生物、医学、工业、城市等广泛的领域。
2．系统动力学的原理系统动力学是一门分析研究信息反馈系统的学科。
它是系统科学中的一个分支，是跨越自然科学和社会科学的横向学科。
机械系统的动力学建模与仿真
机械系统的动力学建模与仿真机械系统的动力学建模与仿真是一项重要的工程技术，它可以帮助我们深入理解机械系统的运动规律和性能特点，优化系统设计，提高工程效率。
本文将探讨机械系统动力学建模与仿真的方法和应用。
一、动力学建模的基本原理机械系统的动力学建模是通过分析系统的几何和物理特性，建立系统的方程来描述系统的运动规律和力学行为。
动力学建模的基本原理包括以下几个步骤：1. 定义系统：首先需要确定机械系统的边界和组成部分，明确主体和附属物之间的关系。
2. 描述物体的运动：通过建立物体的坐标系和选择适当的坐标变量，可以描述物体的位置、速度和加速度。
3. 列写动力学方程：根据牛顿定律和运动学关系，可以得到描述系统的动力学方程。
这些方程可以是线性的，也可以是非线性的。
4. 边界条件：在给定系统边界上的约束条件，对系统加入边界条件。
二、动力学建模的方法机械系统的动力学建模可以采用多种方法，常见的方法有以下几种：1. 深入分析法：通过详细分析机械系统的每个部分，推导出系统的运动学和动力学方程。
这种方法适用于简单的机械系统，但对于复杂的系统来说，分析会相当繁琐。
2. 力学模型法：利用已有的力学模型和理论，将机械系统转化为力学模型，建立系统的运动学和动力学方程。
这种方法适用于已有较为成熟的力学模型的情况。
3. 实验数据法：通过采集机械系统的实验数据，利用数据处理和分析方法建立系统的数学模型。
这种方法可以快速获取系统的运动规律，但对采集的数据质量有一定要求。
4. 计算机辅助法：借助计算机辅助工具，如MATLAB、Simulink等，通过数值仿真的方法建立系统的动力学模型。
这种方法可以快速、灵活地建立系统模型和进行仿真分析。
三、动力学仿真的应用机械系统的动力学仿真可以应用于各个领域，比如航天、汽车、机器人、机械加工等。
以下是动力学仿真的几个应用示例：1. 航天器姿态控制：通过建立航天器的动力学模型，仿真分析不同控制策略对航天器姿态的影响，优化控制算法，提高姿态控制的精度和鲁棒性。
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目录1 刚体系统 (1)2 弹性系统动力学 (6)3 高速旋转体动力学 (10)1 刚体系统一般力学研究的对象，是由两个或两个以上刚体通过铰链等约束联系在一起的力学系统，为一般力学研究对象。
自行车、万向支架陀螺仪通常可看成多刚体系统。
人体在某种意义上也可简化为一个多刚体系统。
现代航天器、机器人、人体和仿生学中关于动物运动规律的研究都提出了多刚体系统的一系列理论模型作为研究对象。
多刚体系统按其内部联系的拓扑结构，分为树型和非树型（包含有闭链）；按其同外界的联系情况，则有有根和无根之别。
利用图论的工具可以一般地分析多刚体系统的构造，建立系统的数学模型和动力学方程组。
也可从分析力学中的高斯原理出发，用求极值的优化算法直接求解系统的运动和铰链反力。
依照多刚体系统动力学的理论和方法，广泛采用电子计算机对这些模型进行研究，对于精确地掌握这些对象的运动规律是很有价值的。
1.1 自由物体的变分运动方程任意一个刚体构件i ，质量为i m ，对质心的极转动惯量为i J '，设作用于刚体的所有外力向质心简化后得到外力矢量i F 和力矩i n ，若定义刚体连体坐标系y o x '''的原点o '位于刚体质心，则可根据牛顿定理导出该刚体带质心坐标的变分运动方程：0][][=-'+-ii i i i i i T i n J F r m r φδφδ&&&& (1-1) 其中，i r 为固定于刚体质心的连体坐标系原点o '的代数矢量，i φ为连体坐标系相对于全局坐标系的转角，i r δ与i δφ分别为i r 与i φ的变分。
定义广义坐标：T i T i i r q ],[φ= (1-2)广义：T i T i i n F Q ],[= (1-3)及质量矩阵：),,(i i i i J m m diag M '= (1-4)体坐标系原点固定于刚体质心时用广义力表示的刚体变分运动方程：0)(=-i i i T i Q q M q &&δ (1-5)1.2 束多体系统的运动方程考虑由nb 个构件组成的机械系统，对每个构件运用式(1-5)，组合后可得到系统的变分运动方程为：0][1=-∑=i i i nb i T i Q q M q&&δ (1-6)若组合所有构件的广义坐标矢量、质量矩阵及广义力矢量，构造系统的广义坐标矢量、质量矩阵及广义力矢量为：T T nb T T q q q q ],...,,[21= (1-7)),...,,(21nb M M M diag M = (1-8)T T nb T T Q Q Q Q ],...,,[21= (1-9)系统的变分运动方程则可紧凑地写为：0][=-Q q M q T &&δ (1-10)对于单个构件，运动方程中的广义力同时包含作用力和约束力，但在一个系统中，若只考虑理想运动副约束，根据牛顿第三定律，可知作用在系统所有构件上的约束力总虚功为零，若将作用于系统的广义外力表示为：T TA nb T A T A A Q Q Q Q ],...,,[21= (1-11) 其中：T A TA i A i n F Q ],[=，nb i ,...,2,1= (1-12) 则理想约束情况下的系统变分运动方程为：0][=-A T Q q M q &&δ (1-13)式中虚位移q δ与作用在系统上的约束是一致的。
系统运动学约束和驱动约束的组合如式(1-10)，为：0),(=Φt q (1-14)对其微分得到其变分形式为：0=Φq q δ (1-15)式(1-13)和(1-15)组成受约束的机械系统的变分运动方程。
为导出约束机械系统变分运动方程易于应用的形式，运用拉格朗日乘子定理对式(1-13)和(1-15)进行处理。
拉格朗日乘子定理：设矢量n R b ∈，矢量n R x ∈，矩阵n m R A ⨯∈为常数矩阵，如果有：0=x b T (1-16)对于所有满足式（1-84）的x 条件都成立。
0=Ax (1-17)则存在满足式（1-85）的拉格朗日乘子矢量m R ∈λ。
0=+Ax x b T T λ (1-18)其中x 为任意的。
在式(1-13)和(1-15)中，n R q ∈，n n R M ⨯∈，n A R Q ∈，n m q R ⨯∈Φ，运用拉格朗日乘子定理于式(1-13)和(1-15)，则存在拉格朗日乘子矢量m R ∈λ，对于任意的q δ应满足：0][][=-Φ+=Φ+-q Q q M q q Q q M T A Tq q T T A δλδλδ&&&& (1-19)由此得到运动方程的拉格朗日乘子形式：A T qQ q M =Φ+λ&& (1-20) 式(1-20)还必须满足式(1-10)、(1-12)和(1-14)表示的位置约束方程、速度约束方程及加速度约束方程，如下：0),(=Φt q (1-21)0),(),,(=-Φ=Φυq t q t q q q &&&，),(t q t Φ-=υ (1-22)0),,(),(),,,(=-Φ=Φt q q q t q t q q q q &&&&&&&&η，tt qt q q q q qΦ-Φ-Φ-=&&&2)(η (1-23) 以上三式其维数同式(1-14)。
式(1-20)、(1-21)、(1-22)和(1-23)组成约束机械系统的完整的运动方程。
将式(1-20)与(1-23)联立表示为矩阵形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ΦΦηλA q T q Q q M &&0 (1-24) 式(1-24)即为多体系统动力学中最重要的动力学运动方程，式(1-24)还必须满足式(1-22)和(1-23)。
它是一个微分——代数方程组，不同于单纯的常微分方程组问题，其求解关键在于避免积分过程中的违约现象，此外，还要注意DAE 问题的刚性问题。
如果系统质量矩阵是正定的，并且约束独立，那么运动方程就有唯一解。
实际中的系统质量矩阵通常是正定的，只要保证约束是独立的，运动方程就会有解。
在实际数值迭代求解过程中，需要给定初始条件，包括位置初始条件)(0t q 和速度初始条件)(0t q &。
此时，如果要使运动方程有解，还需要满足初值相容条件，也就是要使位置初始条件满足位置约束方程，速度初始条件满足速度约束方程。
对于由式(1-24)及(1-21)、(1-22)确定的系统动力学方程，初值相容条件为：0)),((00=Φt t q (1-25)0)),(()()),(()),(),((00000000=-Φ=Φt t q t q t t q t t q t q q υ&&& (1-26)1.3 正向动力学分析、逆向动力学分析与静平衡分析对于一个确定的约束多体系统，其动力学分析不同于运动学分析，并不需要系统约束方程的维数m 等于系统广义坐标的维数n ，n m <。
在给定外力的作用下，从初始的位置和速度，求解满足位置约束式(1-22)及速度约束式(1-23)的运动方程式(1-24)，就可得到系统的加速度和相应的速度、位置响应，以及代表约束反力的拉格朗日乘子，这种已知外力求运动及约束反力的动力学分析，称为正向动力学分析。
如果约束多体系统约束方程的维数m 与系统广义坐标的维数n 相等，n m =，也就是对系统施加与系统自由度相等的驱动约束，那么该系统在运动学上就被完全确定，由2.2.3节的约束方程、速度方程和加速度方程可求解系统运动。
在此情况下，雅可比矩阵是非奇异方阵，即：0),(≠Φt q q (1-27)展开式(1-24)的运动方程，为：A T qQ q M =Φ+λ&& (1-28) η=Φq q && (1-29)由式(1-29)可解得q &&，再由式(1-28)可求得λ，拉格朗日乘子λ就唯一地确定了作用在系统上的约束力和力矩（主要存在于运动副中）。
这种由确定的运动求系统约束反力的动力学分析就是逆向动力学分析。
如果一个系统在外力作用下保持静止状态，也就是说，如果：0==qq &&& (1-30) 那么，就说该系统处于平衡状态。
将式(1-30)代入运动方程式(1-20)，得到平衡方程：A Tq Q =Φλ (1-31)由平衡方程式(1-21)及约束方程式(1-13)可求出状态q 和拉格朗日乘子λ。
这种求系统的平衡状态及在平衡状态下的约束反力的动力学分析称为（静）平衡分析。
1.4 约束反力对于约束机械系统中的构件i ，设其与系统中某构件j 存在运动学约束或驱动约束，约束编号为k 。
除连体坐标系y o x '''外，再在构件i 上以某点P 为原点建立一个新的固定于构件上的坐标系y P x ''''，称为运动副坐标系，设从坐标系y P x ''''到坐标系y o x '''的变换矩阵为i C ，从坐标系y o x '''到坐标系xoy 的变换矩阵为i A ，则可导出由约束k 产生的反作用力和力矩分别为：k Tkr T i T i k i i A C F λΦ-='' (1-32) k T k T k r T i T P i k i i i B s T λφ)(Φ-Φ'='' (1-33) 以上两式中，k λ为约束k 对应的拉格朗日乘子，反作用力k i F ''和力矩ki T ''均为运动副坐标系y P x ''''中的量。
2 弹性系统动力学由于工业机器人、机械手、弹性联动装置、带柔性附件人造卫星、直升飞机的旋翼等工程结构发展的需求， 使运动中的弹性结构的动力学分析得到了很大的进展。
运动弹性体的动力学分析属于多体系统动力学的范畴。
而导出其有限元格式的动力学方程并研究其数值解法则是计算多体系统动力学的任务。
由于弹性变形与刚体运动的耦合导致了运动弹性体的动力学方程为时变的或非线性的，因此运动中的弹性体会出现诸多非线性效应。
运动中弹性体的动力分析问题可分为两类, 其一是具有给定刚体运动的弹性体的动力分析，这类问题仅讨论弹性体的刚体运动对其弹性变形的影响，比如机械手的弹性终端杆的振动分析一般可归于此类。