1.4.2空间图形的公理(公理4、定理) 课件(北师大版必修二)
北师大版高中数学必修2同步测试题：第1章 第4节 空间图形的基本关系与公理(含答案解析)
《空间图形的基本关系与公理》同步测试题
例1. 下列命题：
①空间不同的三点可以确定一个平面；
②有三个公共点的两个平面必定重合；
③空间中两两相交的三条直线可以确定一个平面；
④平行四边形、梯形等所有的四边形都是平面图形；
⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
⑥一条直线和两平行线中的一条相交，必定和另一条也相交。
其中正确的命题是
例2. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条线段所在的直线是异面直线的有__________对，分别是____________________
例3. 三个平面两两相交有三条交线，求证：三条交线或平行，或交于一点。
已知：平面cba,,，求证：a∥b∥c或者a，b，c交于一点P。
例4. 如图，O1是正方体ABCD-A1B1C1D1的面A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C和截面B1D1A的交点，求证：O1、M、A三点共线。
例5. 如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG＝BC/3，CH＝DC/3E、F、G、H四点共面；直线FH、EG、AC共点。
同步训练
一、 选择题
1.下列命题：
①书桌面是平面；②有一个平面的长是50 m，宽是20 m；
③平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．
其中正确命题的个数为 ( )
A．1个 B．2个 C．3个
D．0个
2.下列图形中，不一定是平面图形的是 ( )
A．三角形 B．菱形 C．梯形
D．四边相等的四边形
3.下列推理错误的是（ ）
A．lBlBAlA,,,
B．ABBBAA,,,
(北师大版)数学必修二课时作业：1.4.2空间图形的公理2(含答案)
温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看
比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(五)
空间图形的公理(公理4、定理)
一、选择题(每小题3分，共18分) 1.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( ) A.平行或异面B.相交或异面
C.异面D.相交【解析】选B.假设a与b是异面直线，而c∥a，则c显然与b不平行(否则c
∥b，则有a∥b，矛盾)，因此c与b可能相交或异面. 2.如图所示，在三棱锥S-MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )
A.平行B.相交
C.异面D.平行或异面【解析】选A.因为E，F分别是SN和SP的中点，
所以EF∥PN.同理可证HG∥PN. 所以EF∥HG.
3.(2014·焦作高一检测)有下面说法：①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；
2017北师大版高中数学(必修2)1.4《空间图形的基本关系与公理》word教案.doc
空间图形的基本关系与公理
一. 教学内容：
空间图形的基本关系与公理
二. 学习目标：
1、学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握空间图形的有关概念和有关定理；掌握平面的基本性质、公理4和等角定理；
2、培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力、通过典型例子的学习和自主探索活动，理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的数学思想方法；
3、培养严谨的思维习惯与严肃的科学态度；体会推理论证中反映出的辩证思维的价值观。
三、知识要点
（一）空间位置关系：
I、空间点与线的关系
空间点与直线的位置关系有两种：点P在直线上：；点P在直线外：；
II、空间点与平面的关系
空间点与平面的位置关系有两种：点P在平面上：点P在平面外：；
III、空间直线与直线的位置关系：
IV、空间直线与平面的位置关系：
V、空间平面与平面的位置关系：平行；相交
说明：本模块中所说的“两个平面”“两条直线”等均指不重合的情形。
（二）异面直线的判定
1、定义法：采取反证法的思路，否定平行与相交两种情形即可；
2、判定定理：已知P点在平面上，则平面上不经过该点的直线与平面外经过该点的直线是异面直线。
（三）平面的基本性质公理
1、公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内，或曰平面经过这条直线）。
2、公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即确定一个平面）。
3、公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过该点的公共直线
4、平面的基本性质公理的三个推论
经过直线和直线外一点，有且只有一个平面；
经过两条相交直线，有且只有一个平面；
经过两条平行直线，有且只有一个平面
思考：
公理是公认为正确而不需要证明的命题，那么推论呢？
平面的基本性质公理是如何刻画平面的性质的？
北师大版高中数学(必修2)1.4《空间图形的基本关系与公理》教案
1 空间图形的基本关系与公理
一. 教学内容：
空间图形的基本关系与公理
二. 学习目标：
1、学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握空间图形的有关概念和有关定理；掌握平面的基本性质、公理4和等角定理；
2、培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力、通过典型例子的学习和自主探索活动，理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的数学思想方法；
3、培养严谨的思维习惯与严肃的科学态度；体会推理论证中反映出的辩证思维的价值观。
三、知识要点
（一）空间位置关系：
I、空间点与线的关系
空间点与直线的位置关系有两种：点P在直线上：；点P在直线外：；
II、空间点与平面的关系
空间点与平面的位置关系有两种：点P在平面上：点P在平面外：；
III、空间直线与直线的位置关系：
IV、空间直线与平面的位置关系：
V、空间平面与平面的位置关系：平行；相交
2 说明：本模块中所说的“两个平面”“两条直线”等均指不重合的情形。
（二）异面直线的判定
1、定义法：采取反证法的思路，否定平行与相交两种情形即可；
2、判定定理：已知P点在平面上，则平面上不经过该点的直线与平面外经过该点的直线是异面直线。
（三）平面的基本性质公理
1、公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内，或曰平面经过这条直线）。
2、公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即确定一个平面）。
3、公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过该点的公共直线
4、平面的基本性质公理的三个推论
经过直线和直线外一点，有且只有一个平面；
经过两条相交直线，有且只有一个平面；
经过两条平行直线，有且只有一个平面
思考：
公理是公认为正确而不需要证明的命题，那么推论呢？
平面的基本性质公理是如何刻画平面的性质的？
1.4.2空间图形的公理 教案 (高中数学必修二北师大版)
第2课时 空间图形的公理(公理4，定理)
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解公理4及等角定理，会用公理4和等角定理进行简单的推理论证．
(2)了解异面直线所成的角的定义，会求异面直线所成的角．
2．过程与方法
通过学习公理4及等角定理培养学生的空间想象能力，通过异面直线所成的角让学生体会数学的转化、化归方法．
3．情感、态度与价值观
培养学生严谨的思维习惯与严肃的科学态度．
●重点难点
重点：公理4与等角定理．
难点：异面直线所成的角．
公理4表明了平行的传递性，可以作判断两条直平行的依据，其直接作用是证明等角定理，为研究异面直线所成角打基础．等角定理是定义异面直线所成角的理论基础．
(教师用书独具)
●教学建议
本节知识是上节课的继续，上节课讲了3个公理、异面直线的概念，本节课解决异面直线所成角及它的理论基础公理4、定角定理，因此教学时宜采用探究式模式，让学生以长方体为载体，通过“观察”引入公理4，通过画平行线的方式，使两条异面直线移到同一平面的位置上，是研究异面直线所成的角时经常要使用的方法，这种把立体图形的问题转化为平面图形问题的思想方法很重要，要让学生在学习中认真体会．
●教学流程
通过问题引出公理4，等角定理及异面直线所成的角⇒通过例1及变式训练，使学生掌握公理4的应用⇒通过例2及互动探究，使学生掌握等角定理的应用⇒通过例3及变式训练，使学生掌握如何求异面直线所成的角⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行矫正
课标解读
1.了解公理4及等角定理．
2．会用公理4和等角定理进行简单的推理论证(重点)．
3．了解异面直线所成的角的定义，并会求异面直线所成的角(重点、难点).
公理4、等角定理
【问题导思】
1．把一张长方形的纸对折两次，打开以后，这些折痕之间有什么关系呢？
2．在空间中有两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行吗？
北师大版高中数学必修二第4讲：空间图形的基本关系与公理(教师版)
1
北师大版高中数学 空间图形的基本关系与公理
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
理解和掌握平面的性质定理，能合理运用；
掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；
会判断异面直线、掌握异面直线的求法；
会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系．
一、平面
1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．
平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量．
2.平面的表示方法：
(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角
画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图．
(2)两个相交平面：
画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）
3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言
空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示
点、线、面的基本位置关系如下表所示： BAABBAAB2
图形语言
符号语言 文字语言（读法）
Aa 点A在直线a上
Aa 点A不在直线a上
A 点A在平面内
A 点A不在平面内
baA abA 直线a、b交于A点
a 直线a在平面内
a 直线a与平面无公共点
aA 直线a与平面交于点A
l 平面、相交于直线l
空间点线面之间位置关系知识点总结
高中空间点线面之间位置关系知识点总结
第一章 空间几何体
（一）空间几何体的结构特征
（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，台，球的结构特征
1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.
2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。
3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台.
3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.
4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.
（二）空间几何体的三视图与直观图
1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。
2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等
3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法：在坐标系'''xoy中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。 重点记忆：直观图面积=原图形面积
(三)空间几何体的表面积与体积
1、空间几何体的表面积
①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和
②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2Srlr
《新课程标准高中数学必修②复习讲义》第一、二章-立体几何
第一、二章 立体几何 张
37643090
第1页 一、立体几何知识点归纳
第一章 空间几何体
（一)空间几何体的结构特征
（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.
围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做顶点.
旋转体--把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中,这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥,台，球的结构特征
1。棱柱
1。1棱柱—-有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1。2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：
①底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱
②四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面为矩形
长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体
1.3棱柱的性质：
①侧棱都相等,侧面是平行四边形;
②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；
④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
1。4长方体的性质：
①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211ACABADAA
②（了解)长方体的一条对角线1AC与过顶点A的三条棱所成的角分别是，，，那么222coscoscos1，222sinsinsin2；
③（了解）长方体的一条对角线1AC与过顶点A的相邻三个面所成的角分别是，，,则，222sinsinsin1222coscoscos2.
空间点、直线、平面之间的位置关系（教案）
空间点、直线、平面之间的位置关系
适用学科
高中数学 适用年级
高中一年级
适用区域
人教版 课时时长（分钟）
60
知识点
平行、垂直关系的综合问题
教学目标 考查空间线面平行、垂直关系的判断考查空间线面平行、垂直关系的判断
教学重点 空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系.
教学难点 用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系.
教学过程
一、 复习预习
平面的基本性质平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的
公共直线．公共直线．
(4)公理2的三个推论：的三个推论：
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；：经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．：经过两条平行直线有且只有一个平面．
二、知识讲解
空间中两直线的位置关系空间中两直线的位置关系
(1)空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系
相交相交
(2)异面直线所成的角异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′
与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：2π
.
(3)平行公理和等角定理平行公理和等角定理
①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
向量空间八条公理
向量空间八条公理
向量空间是线性代数中的一个重要概念，它是一种具有特定结构和性质的数学对象。在向量空间中，有着八条公理，这些公理规定了向量空间的基本性质和运算规则。
第一条公理是加法封闭性。向量空间中的任意两个向量相加的结果仍然属于该向量空间。换句话说，对于任意的向量u和v，它们的和u+v也是一个向量。
第二条公理是加法结合律。在向量空间中，任意三个向量u、v和w的和满足结合律，即(u+v)+w=u+(v+w)。
第三条公理是加法交换律。向量空间中的任意两个向量u和v相加的结果与v和u相加的结果相等，即u+v=v+u。
第四条公理是存在零向量。向量空间中存在一个特殊的向量0，它与任意向量u相加的结果等于u本身，即u+0=u。
第五条公理是存在逆元。向量空间中的任意向量u都存在一个对应的逆元-v，使得u+(-v)=0。
第六条公理是标量乘法的结合性。在向量空间中，任意标量k和l与向量u的乘积满足结合律，即(kl)u=k(lu)。
第七条公理是向量与标量的乘法分配律。在向量空间中，任意标量k和向量u、v进行乘法运算后再进行加法运算，结果等于先对向量进行加法运算再进行乘法运算的结果，即k(u+v)=ku+kv。
第八条公理是标量与向量的乘法分配律。在向量空间中，任意两个标量k和l与向量u进行乘法运算后再进行加法运算，结果等于先对标量进行加法运算再进行乘法运算的结果，即(k+l)u=ku+lu。
这八条公理是向量空间的基本性质和运算规则，它们确保了向量空间的内部结构的一致性和运算的可靠性。通过这些公理，我们可以定义向量空间的各种性质和推导出一系列的定理和结论。
在实际应用中，向量空间有着广泛的应用。例如，在计算机图形学中，向量空间用于描述三维物体的位置和方向；在量子力学中，向量空间用于描述粒子的状态和运动；在经济学中，向量空间用于描述商品的属性和价格等等。
向量空间是线性代数中的重要概念，它通过八条公理定义了一种具有特定结构和性质的数学对象。这些公理规定了向量空间的基本性质和运算规则，确保了向量空间的内部结构的一致性和运算的可靠性。向量空间在各个领域都有着广泛的应用，它为我们理解和解决复杂问题提供了有力的工具和方法。