2013-2014学年高中数学 第二章 2.3 等差数列的前n项和(一)课件 新人教A版必修5
∴30,70，S3m－100 成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
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Sm S2m S3m 方法二 在等差数列中， m ， ， 成等差数列， 2m 3m 2S2m Sm S3m ∴ 2m ＝ m ＋3m .
第 2 次相遇是在开始运动后 15 分钟．
小结
建立等差数列的模型时，注意相遇时甲、乙两人的路
程和是两个等差数列的前 n 项和．
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跟踪训练 3 现有 200 根相同的钢管，把它们堆成正三角形 垛， 要使剩余的钢管尽可能少， 那么剩余钢管的根数为( B ) A．9 B．10 C．19 D．29
小结
在解决等差数列问题时，如已知 a1，an，n，d，Sn 中任
意三个，可求其余两个，这种问题在数学上常称为“知三求 二”型．
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跟踪训练 1 已知等差数列{an}中， 3 1 (1)a1＝ ，d＝－ ，Sn＝－15，求 n 及 an； 2 2 (2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求 d.
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[问题情境] “数学王子”高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被 誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同 享盛名． 高斯十岁那年，老师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生 把 1 到 100 的所有整数加起来，老师刚叙述完题目，高斯即 刻把写着答案的小石板交了上去．老师起初并不在意这一举 动，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一 惊．而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最 后一个数的和是 101，第二个数加倒数第二个数的和也是
解得 a1＝－15，d＝4.
6×5 6×5 ∴S6＝6a1＋ 2 d＝6×(－15)＋ 2 ×4＝－30.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
4．已知等差数列{an}的前 3 项依次为 a,4,3a，前 k 项和 Sk＝ 2 550，求 a 及 k.
解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差 数列，最上面一层钢管数为 1，逐层增加 1 个．
nn＋1 ∴钢管总数为：1＋2＋3＋„＋n＝ 2 .
当 n＝19 时，S19＝190.当 n＝20 时，S20＝210>200.
∴n＝19 时，剩余钢管根数最少，为 10 根．
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解 设 Sn＝1＋2＋3＋„＋(n－1)＋n，
又 Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋„＋2＋1，
∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋„＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)， nn＋1 ∴2Sn＝n(n＋1)，∴Sn＝ 2 .
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探究 设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，你能利用“倒 序相加法”求等差数列{an}的前 n 项和 Sn 吗？Leabharlann 研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 等差数列前 n 项和公式的推导
问题 求和：1＋2＋3＋„＋100＝？ 对于这个问题， 著名数学家高斯十岁时就能很快求出它的结 果．当时他的思路和解答方法是：S＝1＋2＋3＋„＋99＋ 100，把加数倒序写一遍：S＝100＋99＋98＋„＋2＋1. 所以有 2S＝(1＋100)＋(2＋99)＋„＋(99＋2)＋(100＋1)＝ 100×101，∴S＝50×101＝5 050. 请你利用“高斯的算法”求 1＋2＋3＋„＋n＝？
即 S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
a5 9a1＋a9 S9 65 (2) ＝ ＝ ＝ . b5 9b1＋b9 T9 12
小结 等差数列前 n 项和 Sn 的有关性质在解题过程中，如果 运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．
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Sn 探究 2 若数列{an}是公差为 d 的等差数列，求证：数列{ n } 也是等差数列．
证明 ∵{an}是等差数列，公差为 d，
nn－1 d 2 d ∴Sn＝na1＋ d＝ n ＋(a1－ )n， 2 2 2 Sn d d ∴ n ＝2n＋(a1－2)， Sn＋1 Sn d ∴ － ＝ (常数)， n＋1 n 2 Sn d ∴数列{ n }为等差数列，公差为2.
跟踪训练 2 设{an}为等差数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和， Sn 已知 S7＝7，S15＝75，Tn 为数列 n 的前 n 项和，求 Tn. 1 解 设等差数列{an}的公差为 d，则 Sn＝na1＋2n(n－1)d，
7a ＋21d＝7 1 ∵S7＝7，S15＝75，∴ 15a1＋105d＝75
a1＋a2＋„＋am，am＋1＋am＋2＋„＋a2m，a2m＋1＋a2m＋2＋„ ＋a3m 也成等差数列，公差为 m2d .上述性质可以用前 n 项 和符号 Sn 表述为：若{an}成等差数列，则 Sm， S2m－Sm ，
S3m－S2m _________也成等差数列．
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【学习目标】 1．理解等差数列前 n 项和公式的推导过程． 2．熟练掌握等差数列的五个量 a1，d，n，an，Sn 的关系， 能够由其中三个求另外两个． 3．掌握等差数列前 n 项和公式及性质的应用． 【学法指导】 1．运用等差数列的前 n 项和公式的关键在于准确把握它们 的结构特征，这样才能根据具体情境(已知条件和待求目 标)选用恰当的公式解决问题． 2．要善于从推导等差数列的前 n 项和公式中，归纳总结出 一般的求和方法——倒序相加法．
解之得 d＝－171.
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例2 (1)等差数列{an}的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，
求数列{an}的前 3m 项的和 S3m； (2)两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，已 Sn 7n＋2 a5 知T ＝ ，求 的值． b5 n＋3 n
na1＋an 由此可得等差数列{an}的前 n 项和公式：Sn＝ . 2
根据等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d，
nn－1 代入上式可得 Sn＝na1＋ 2 d.
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探究点二 探究 1
等差数列前 n 项和的性质
设{an}是等差数列，公差为 d，Sn 是前 n 项和，易知
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探究 3 设 Sn、 n 分别为两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和， T an S2n－1 证明：b ＝ . T2n－1 n
2n－1 1 证明 ∵S2n－1＝2(2n－1)(a1＋a2n－1)＝ 2 · n＝(2n－1)an； 2a
同理 T2n－1＝(2n－1)bn；
S2n－1 2n－1an an ∴ ＝ ＝ . T2n－1 2n－1bn bn an S2n－1 即b ＝ . T2n－1 n
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【典型例题】 例1 在等差数列{an}中，已知 d＝2，an＝11，Sn＝35，求 a1 和 n.
an＝a1＋n－1d， 解 由 nn－1 Sn＝na1＋ 2 d， a1＋2n－1＝11， 得 nn－1 na1＋ 2 ×2＝35， n＝5 n＝7， 解方程组得 或 a1＝3 a1＝－1.
3 nn－1 1 解 (1)∵Sn＝n·＋ (－ )＝－15， 2 2 2
整理得 n2－7n－60＝0，解之得 n＝12 或 n＝－5(舍去)， 3 1 a12＝ ＋(12－1)×(－ )＝－4. 2 2 na1＋an n1－512 (2)由 Sn＝ ＝ ＝－1 022， 2 2
解之得 n＝4. 又由 an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，
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解 (1)设 n 分钟后第 1 次相遇，依题意， nn－1 有 2n＋ 2 ＋5n＝70， 整理得 n2＋13n－140＝0.解之得 n＝7，n＝－20(舍去)．
第 1 次相遇是在开始运动后 7 分钟．
(2)设 n 分钟后第 2 次相遇，依题意， nn－1 有 2n＋ 2 ＋5n＝3×70， 整理得 n2＋13n－420＝0.解之得 n＝15，n＝－28(舍去)．
填一填·知识要点、记下疑难点
3．写出下列常见等差数列的前 n 项和 1 n(n＋1) (1)1＋2＋3＋„＋n＝ 2 ． (2)1＋3＋5＋„＋(2n－1)＝ n2 . (3)2＋4＋6＋„＋2n＝ n2＋n . 4．等差数列{an}中 (1)已知 d＝2，n＝15，an＝－10，则 Sn＝________； －360 17 (2)已知 a1＝20，an＝54，Sn＝999，则 d＝________； 13 5 1 15 (3)已知 a1＝ ，d＝－ ，Sn＝－5，则 n＝________. 6 6
nn－1 1 1 9 ∴Tn＝n(－2)＋ 2 ×2＝4n2－4n.
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例 3 甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动， 甲第 1 分钟走 2 m，以后每分钟比前 1 分钟多走 1 m，乙 每分钟走 5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？ (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比 前 1 分钟多走 1 m，乙继续每分钟走 5 m，那么开始运动 几分钟后第二次相遇？
9 9 解析 S9＝2(a1＋a9)＝2(a2＋a8)＝36.
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3．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S12＝84，S20＝460，则
-30 S6＝________.
解析 ∵{an}是等差数列，
nn－1 ∴Sn＝na1＋ 2 d.
12a ＋12×11d＝84， 1 2 由 S12＝84，S20＝460，代入，得 20×19 20a1＋ 2 d＝460.
高中数学第二章2.3《等差数列的前n项和》优秀课件
上两式 :5(a 1 相 an)1 加 8 得 a 0 1 得 an36
Sn
n(a1an)234 2
数列的项n数 13, 即S13 234
a7
S1323418 13 13
例题讲解
3、如图，一个堆放铅笔的 V形架的最下面一层 放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支， 最上面一层放120支.这个V形架上共放着多少支 铅笔？
2
5、等差数列的性质：
若 m n p q ,则 a m a n a p a q ( m 、 n 、 p 、 q N )
泰姬陵坐落于印度古都 阿格，是十七世纪莫卧儿 帝国皇帝沙杰罕为纪念其 爱妃所建，是世界七大奇 迹之一。
传说陵寝中有一个三角 形图案，以相同大小的圆 宝石镶饰而成 ，共有 100 层，奢靡之程度，可见一 斑。
〔1〕a1=5，an=95，n=10
500
〔2〕a1=100，d=－2，n=50 2550
解： 1Sn
n(a1an) 2
10
(5 2
95)
500
解 ： 2Snna1n(n21)d 5010050(501)-2 2550
2
课堂练习
等差数列{an}的首项为a1，公差为d，项数为n，第n 项为an，前n项和为Sn，请填写下表：
Sn= a1+a2+…+an
倒序相加法
计 1 算 2 3 ： ( n 1 ) n ①
n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1 ②
分析：这 其实是求 一个具体 的等差数 列前n项
和.
2 1 2 3 ( n 1 ) n n ( n 1 )
12 3 (n 1 )nn (n 1 ) 2
2.3 等差数列的前n项和
《等差数列的前n项和》人教版高二数学下册PPT课件
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
[跟踪训练] 2．植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距 10 米， 开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的 路程总和最小，此最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ 米.
解得 a 1＝－5 ，d ＝3. ∴a 8＝a 6＋2 d ＝1 0 ＋2×3 ＝1 6 ，
1 0 ×9 S 10＝1 0 a 1＋ 2 d ＝1 0 ×(－5 )＋5 ×9 ×3 ＝8 5 .
1 7 × a 1＋a 17
1 7 × a 3＋a 15
1 7 ×4 0
(2 )S 17＝
2
＝
2
＝
＝3 4 0 .
S 1，n ＝1 ，
项公式，那么数列{a n
}的通项公式要分段表示为
a
n
＝
S
n －S
n －1，n
≥2 .
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
等差数列前 n 项和公式的实际应用
例 3、某抗洪指挥部接到预报，24 小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来 之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用 20 台同 型号翻斗车，平均每辆车工作 24 小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用， 每隔 20 分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集 25 辆，那么在 24 小时内能否构筑成第二道防线？
3，n ＝1，
∴a
n
＝ 2
n
，n
≥2
.
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
2 ．(变条件变结论)将本例中的条件“S n ＝2 n 2－3 0 n ”变为“正数数列{b n }的前 n 项和 S n
高中数学课件：第二章 2.3 等差数列的前n项和 第一课时 等差数列的前n项和
n＝1 n≥2.
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在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[解] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，
1010－1 d＝100， 10a1＋ 2 公差为 d，则 100a ＋100100－1d＝10. 1 2
2
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1 022，求公差d；
(2)已知等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.
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nn－1 解：(1)因为 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋ 2 d， 又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022， 1＋n－1d＝－512， 所以 1 n＋2nn－1d＝－1 022. ① ②
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[研一题] [例1] 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝
35，求a1和n.
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[自主解答]
an＝a1＋n－1d， 由 nn－1 Sn＝na1＋ 2 d，
பைடு நூலகம்
a1＋2n－1＝11， 得 nn－1 na1＋ 2 ×2＝35，
n＝5， 解方程组得 a1＝3， n＝7， 或 a1＝－1.
2 . 3
课前预习·巧设计
第 二 章 数 列
等 差 数 列 的 前
第一 课时 等差 数列 的前 n项 和
名 师 课 堂 · 一 点 通
创 新 演 练 · 大 冲 关
考点一 考点二 考点三
n
项 和
N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测
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高中数学必修5课件：第2章2-3-1等差数列的前n项和
数学 必修5
第二章 数列
与前n项和有关的最值问题
已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值． [思路点拨]
数学 必修5
第二章 数列
[规范解答] (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，
数学 必修5
第二章 数列
等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数
求和
na1＋an
公式 Sn＝_____2________
首项、公差与项数 Sn＝__n_a_1＋__n__n_2－__1__d___
数学 必修5
第二章 数列
对等差数列前n项和公式的理解 (1)等差数列的前n项和公式有两种形式，涉及a1，an，Sn， n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方 法就是解方程组．
数学 必修5
第二章 数列
如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢 管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．
[问题1] 共有几层？图形的横截面是什么形状？ [提示] 六层 等腰梯形
数学 必修5
第二章 数列
[问题2] 假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如 图所示，则这样共有多少钢管？
数学 必修5
第二章 数列
由an≤0解得n≤4，即数列{an}前3项为负数，第4项为0， 从第5项开始为正数．
∴当n≤4时，Tn＝－Sn＝n(7－n)， 当n>4时，Tn＝Sn－S4＋(－S4) ＝Sn－2S4＝n(n－7)－2×4×(4－7) ＝n2－7n＋24
∴Tn＝nn2－7－7nn＋，2n4≤，4n，>4.
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中，解决一些组合 问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题，如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案，确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中，等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项 ，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。
高二数学必修5第二章 数列2-3课件(共22张PPT)
2.3 等差数列前n项和公式
第一页，编辑于星期一：一点 二十分。
本节主要学习等差数列前n项和公式及其简单应用。以泰姬陵中的 宝石数为引子，研究求和公式。用高斯小时候的故事来讲解求和公式。 问题探究一：用倒序相加法得出公式并总结变形公式。用例1加以巩 固。问题探究二：公式的灵活应用，知三求二，用变式2、3加以巩固。
第十一页，编辑于星期一：一点 二十分。
第十二页，编辑于星期一：一点 二十分。
(II)在等差数列 an中,已知: d 4 , n 20 , sn 460
求
a1
及
a 20
.
解: 利用 公式2
Sn
na1
n(n 1) 2
d
a1= -15
再根据
a20= 61
第十三页，编辑于星期一：一点 二十分。
例2 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校 通”工程的通知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目 标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的 校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500 万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一 年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校
通”工程中的总投入是多少？
第十四页，编辑于星期一：一点 二十分。
解：根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经 费都比上一年增加50万元。所以，可以建立一个等差数列{an},表示从 2001年起各年投入的资金，其中 那么，到2010年(n=10),投入的资金总额为
答：从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元。
问题1:图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
高中数学：第二章 2.3 等差数列的前n项和
等差数列的前n项和(1)数列前n项和的定义是什么？通常用什么符号表示？(2)能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前n项和？(3)能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前n项和？[新知初探]1．数列的前n项和对于数列{a n}，一般地称a1＋a2＋…＋a n为数列{a n}的前n项和，用S n表示，即S n＝a1＋a2＋…＋a n.2．等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式S n＝n(a1＋a n)2S n＝na1＋n(n－1)2d[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项a n所有项的和()(2)a n＝S n－S n－1(n≥2)化简后关于n与a n的函数式即为数列{a n}的通项公式()(3)在等差数列{a n}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝a n＋1()解析：(1)正确．由前n项和的定义可知正确．(2)错误．例如数列{a n}中，S n＝n2＋2.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又∵a1＝S1＝3，∴a1不满足a n＝S n－S n－1＝2n－1，故命题错误．(3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.★答案★：(1)√(2)×(3)×预习课本P42～45，思考并完成以下问题2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( ) A ．n B ．n (n ＋1) C ．n (n －1)D.n (n ＋1)2解析：选D 因为a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ＋n (n －1)2×1＝2n ＋n 2－n 2＝n 2＋n 2＝n (n ＋1)2，故选D.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6等于( )A ．16B ．24C ．36D ．48解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ， 由已知得4a 1＋4×32d ＝20， 即4×12＋4×32d ＝20，解得d ＝3，∴S 6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.4．在等差数列{a n }中，S 4＝2，S 8＝6，则S 12＝________.解析：由等差数列的性质，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，所以2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，S 12＝3(S 8－S 4)＝12.★答案★：12等差数列的前n 项和的有关计算[典例] 已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求d 和n ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .[解] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－5， 解得n ＝15或n ＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝8(a1＋a8)2＝8(4＋a8)2＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，a n和S n，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q，常与求和公式S n＝n(a1＋a n)2结合使用．[活学活用]设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于() A．13B．35C．49 D．63解析：选D∵{a n}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8，∴S9＝9(a2＋a8)2＝9×142＝63.已知S n求a n问题[典例]已知数列{a n}的前n项和S n＝－2n2＋n＋2.(1)求{a n}的通项公式；(2)判断{a n}是否为等差数列？[解](1)∵S n＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，S n－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，∴a n＝S n－S n－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3，∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.(2)由(1)知，当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝[－4(n ＋1)＋3]－(－4n ＋3)＝－4， 但a 2－a 1＝－5－1＝－6≠－4，∴{a n }不满足等差数列的定义，{a n }不是等差数列．(1)已知S n 求a n ，其方法是a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，这里常常因为忽略条件“n ≥2”而出错． (2)在书写{a n }的通项公式时，务必验证n ＝1是否满足a n (n ≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2表示．[活学活用]1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－n 2，则( ) A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝－2n ＋1 C ．a n ＝－2n －1D ．a n ＝2n －1解析：选B 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋(n －1)2＝－2n ＋1，此时满足a 1＝－1.综上可知a n ＝－2n ＋1.2．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，根据条件求a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ＋2； (2)S n ＝3n －1.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝7，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n ＋2)－[2(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝4n ＋1，又a 1＝7不适合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7，n ＝1，4n ＋1，n ≥2.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，显然a 1适合上式， 所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *).等差数列的前n 项和性质[典例] (1)等差数列前n 项的和为30，前2n 项的和为100，则它的前3n 项的和为( ) A ．130 B ．170 C ．210D ．260(2)等差数列{a n }共有2n ＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n 等于________．(3)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.[解析] (1)利用等差数列的性质： S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列． 所以S n ＋(S 3n －S 2n )＝2(S 2n －S n )， 即30＋(S 3n －100)＝2(100－30)， 解得S 3n ＝210.(2)因为等差数列共有2n ＋1项，所以S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1，即132－120＝132＋1202n ＋1，解得n ＝10.(3)由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. [★答案★] (1)C (2)10 (3)53等差数列的前n 项和常用的性质(1)等差数列的依次k 项之和，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k …组成公差为k 2d 的等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)⇔数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列．(3)若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d ， ①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1；②当项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1. [活学活用]1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( ) A ．18B ．17C ．16D ．15解析：选A 设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.2．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．解析：因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3， 所以S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n ， 所以S nn＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.★答案★：75等差数列的前n 项和最值问题[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求前n 项和S n 的最大值． [解] 由S 17＝S 9，得 25×17＋17×(17－1)2d ＝25×9＋9×(9－1)2d ， 解得d ＝－2， [法一 公式法] S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－(n －13)2＋169. 由二次函数性质得，当n ＝13时，S n 有最大值169. [法二 邻项变号法]∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212，即1212≤n ≤1312.又n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.求等差数列的前n 项和S n 的最值的解题策略(1)将S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n 配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．(2)邻项变号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0的项数n 使S n 取最大值．当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0的项数n 使S n 取最小值．[活学活用]已知{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．11B ．17C ．19D ．21解析：选C ∵S n 有最大值，∴d <0，则a 10>a 11，又a 11a 10<－1，∴a 11<0<a 10，a 10＋a 11<0，S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0，S 19＝19a 10>0，∴S 19为最小正值．故选C.层级一 学业水平达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n 2B ．－32n 2－n 2C.32n 2＋n 2D.32n 2－n 2解析：选A ∵a n ＝2－3n ，∴a 1＝2－3＝－1，∴S n ＝n (－1＋2－3n )2＝－32n 2＋n 2.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7>0，a 8<0，则下列结论正确的是( ) A ．S 7<S 8 B ．S 15<S 16 C ．S 13>0D ．S 15>0解析：选C 由等差数列的性质及求和公式得，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7>0，S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8<0，故选C.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27解析：选B ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173.又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析：选A S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝9×2a 55×2a 3＝9a 55a 3＝95×59＝1. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________． 解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .★答案★：2A7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝________.解析：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0，解得m ＝4. ★答案★：48．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析：设等差数列{a n }的项数为2n ＋1， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1 ＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1， 所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项． ★答案★：11 79．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式． 解：由已知条件，可得S n ＋1＝2n ＋1， 则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n ， 又当n ＝1时，3≠21，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.10．在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项的和，已知a 1＋a 3＝22，S 5＝45. (1)求a n ，S n ；(2)设数列{S n }中最大项为S k ，求k .解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2＝22，5a 3＝45， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 3＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，d ＝－2，所以a n ＝－2n ＋15，S n ＝－n 2＋14n .(2)由a n ≥0可得n ≤7，所以S 7最大，k ＝7.层级二 应试能力达标1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：选B 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14.2．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016D ．2 017解析：选C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，可得2 011＋2 0142＝2 009＋k 2，解得k ＝2 016.故选C.3．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 1<0,2S 21＋S 25＝0，则S n 取最小值时，n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由2S 21＋S 25＝0得，67a 1＋720d ＝0，又d >0，∴67a 11＝67(a 1＋10d )＝67a 1＋670d <0,67a 12＝67(a 1＋11d )＝67a 1＋737d >0，即a 11<0，a 12>0.故选A.4．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D ∵a nb n ＝a 1＋a 2n －12b 1＋b 2n －12＝a 1＋a 2n －12(2n －1)b 1＋b 2n －12(2n －1)＝A 2n －1B 2n －1＝7(2n －1)＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7＋12n ＋1，∴当n 取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n 的个数是5. 5．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．解析：由a 203＋a 204>0⇒a 1＋a 406>0⇒S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.★答案★：4056．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≤4，S 5≥15，则a 4的最小值为________． 解析：S 4＝2(a 1＋a 4)≤4⇒2a 3－d ≤2，S 5＝5a 3≥15⇒a 3≥3.因为2a 3－d ≤2，所以d －2a 3≥－2，又因为a 3≥3，所以2a 3≥6，所以d ≥4，所以a 4＝a 3＋d ≥7，所以a 4的最小值为7.★答案★：77．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c (c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值． 解：(1)∵S 4＝28，∴(a 1＋a 4)×42＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14， 又a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c， 解得c ＝－12(c ＝0舍去)．8．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533， ∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n . 当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2⎝⎛⎭⎫－32×172＋1032×17－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.。
高中数学：第二章数列课件—等差数列求和公式(1)
(1+100)+(2+99)+…+(50+51) =101× 50 =5050
新课引入
这个故事告诉我们：
（1） 作为数学王子的高斯从小就善于观察， 敢 于思考， 所以他能从一些简单的事物中发现和 寻找出某些规律性的东西。
（2） 该故事还告诉我们求等差数列前 n 项和的 一种很重要的思想方法， 这就是下面我们要介 绍的“倒序相加”法。
根据等差数列的求和公 , 得 式
400 400 1 S 400 400 40.1 0.2 2 32000 mm.
32000 mm 100 m
答 满盘时卫生纸和长度约 100 m . 为
例题讲解
1 例 6 已知数列{a n }的前n项和为Sn n n, 求这个数列 2 列的通项公式． 这个数列是等差数列吗？如果是， 它的
由等差数列的通项公式得 60 a1 20 1 2 , , , 所以 a1 22 . 由等差数列的求和公式得 20 22 60 S 20 820 . 2 答 这个剧场共有 个座位. 820
例题讲解
例5 某种卷筒卫生纸绕在盘 , 空 上 盘时盘芯直径40 mm , 满 盘 时 直 径 120 mm (如图) . 已知卫生纸的厚度为 0.1 mm ,问: 满盘时卫生纸的总长度 大约是多少米( 精确到1 米 ) ? 解 卫生纸的厚度为 .1mm, 可以把绕在盘上的卫生 0 纸近似地看做是一组同 心圆, 然后分别计算各圆的周 长, 再求总和. 由内向外各圈的半径分 别为 各圈的半径为该层纸 20.05 , 20.15 , , 59.95 . 的中心线至盘芯中心 因此, 各圈的周长分别为 的距离. 40.1 ,40.3 , , 119.9 .
高中数学2.3 等差数列的前n项和(一)优秀课件
为数列{an}的前n项和，用 S n 表示， S n a 1 a 2 a 3 a n 1 a n
合作探究
问题 ：如 何 求 等 差 数 列 a n 的 前 n 项 和 S n ?
S n a 1 a 2 a 3 a n 1 a n
S n a n a n 1 a n 2 a 2 a 1
如果把两式左右两端相加，将会有什么结果？
合作探究
如 何 求 等 差 数 列 a n 的 前 n 项 和 S n ?
S n a 1 ( a 1 d ) [ a 1 （ n 1 ) d ]
第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和
xx实验高级 崔中明
复习回忆
1.等差数列的概念 an-an-1=d (n∈N*且 n≥2) 2.等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d
情境导入
等差数列的前n项和
德国著名数学家高斯10岁的时候就能快速度 解决这个问题：
1＋2＋3＋…＋100=？ 你知道高斯是怎样算出来的吗？
2
求二 2、等差数列－10，－6，－2，2，
…的前______项的和为54？
答案: n=9，或n=-3〔舍去〕
提 示 ： d 4 , 5 4 1 0 n n n 1 4
2
谢谢大家！
变式 1：(I)已知等差数列{an}中， (1)a1＝12，S4＝20，求 S6； (2)a1＝32，d＝－12，Sn＝－15，求 n 及 an；
解析：(1)S4＝4a1＋442 －1d＝4a1＋6d＝2＋6d＝20，∴d＝3. 故 S6＝6a1＋662 －1d＝6a1＋15d＝3＋15d＝48.
2.3等差数列的前n项和
第二章 数列
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 已知Sn求an
例1 已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an.
【解】 ∵Sn＝3＋2n， ∴Sn－1＝3＋2n－1，an＝Sn－Sn－1， ＝2n－1(n≥2)，而 a1＝S1＝5，
∴an＝52，n－1，
n＝1， n≥2.
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第二章 数列
2．等差数列的前n项和 等差数列的前n项和公式
已知量 求和公式
首项、末项与项数 Sn＝na12＋an
首项、公差与项数 Sn＝na1＋nn－2 1d
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第二章 数列
想一想 在公式 Sn＝na1＋nn2－1d 中，Sn 一定是关于 n 的二次 函数吗？
提示：不一定，d＝0时不是．
n＝1 n≥2 .
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第二章 数列
做一做
1.已知：数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋1，求数列{an} 的通项公式． 解：当 n＝1 时，a1＝S1＝2， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 ＝n2＋1－(n－1)2－1＝2n－1， ∵a1＝2，不满足 an＝2n－1， ∴an＝22， n－1，nn＝≥21. ，
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第二章 数列
【名师点评】 已知数列的前n项和Sn，求an，要分三步进行 ：第一步：令n＝1求a1；第二步：令n≥2，求an＝Sn－Sn－1； 第三步：验证a1与an的关系，来确定an.
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第二章 数列
互动探究 1．把例1中的Sn＝3＋2n改为Sn＝－1＋2n，再求an. 解：∵Sn＝－1＋2n， ∴a1＝S1＝－1＋2＝1， 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝－1＋2n－(－1＋2n－1)＝2n－2n－1＝2n－1 当n＝1时，a1＝1符合an＝2n－1， ∴an＝2n－1.