NURBS曲面控制点重构方法
基于NURBS的散乱数据点自由曲面重构
计算机辅助设计与图形学学报JOURNAL OF COMPUTER-AIDED DESIGN& COMPUTER GRAPHICS1999 Vol.11 No.5 P.433～436基于NURBS的散乱数据点自由曲面重构来新民 黄田 曾子平 林忠钦摘 要：针对散乱数据点, 首先提出基于曲率测度的大规模散乱数据点自适应压缩方法. 在此基础上,提出先压缩后重构的基于NURBS的曲面重构策略.该方法可在保持原数据点集基本特征的前提下，将散乱数据点压缩到NURBS曲面重构要求的规模，从而实现了大规模散乱数据点的精确曲面重构.关键词：曲面重构，非均匀有理B样条，数据压缩，散乱测点分类号：TP391NURBS BASED APPROACH OF SURFACE RECONSTRUCTIONFROM SCATTERED DATALAI Xin-Min（Department of Mechanical and Electronic Engineering, Hebei University of Technology, Tianjin 300130）（School of Mechanical Engineering, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200030） HUANG Tian ZENG Zi-Ping（School of Mechanical Engineering, Tianjin University， Tianjin 300072）LIN Zhong-Qin（School of Mechanical Engineering, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200030）Abstract：For the large scale scattered data, a two-step adaptive surface reconstruction approach is developed. The first step employs the adaptive extraction of key points based on the measure of curvature to produce the topologic mesh. It follows the second step by reconstructing the surface from the topologic rectangular mesh based on the NURBS method. By this approach, the large scale scattered data can be reduced to the reasonable scale, while main characteristics of the whole scattered data are remained, thereby the precise surface reconstruction with NURBS is realized.Key words：surface reconstruction, NURBS, data extraction, scattered data▲1 引言 采用计算机视觉技术(如激光扫描)对自由曲面数字化，将得到大规模散乱数据点，依据该数据点集恢复形状(即曲面重构)是采用逆向工程方法生成CAD模型的关键步骤.曲面重构分为隐式格式和显式格式两大类.隐式格式中广泛使用二次曲面(平面、球、柱、回转体等)［1，2］，文献［3］对隐式格式下曲面重构的几何不变性、鲁棒性作了详细论述; 显式格式的曲面重构包括曲面逼近和曲面插值. 曲面逼近格式一般可归结为变分问题，Terzopoulos采用有限元法由薄板样条拟合曲面片［4］，再将不同曲面片用薄膜条沿不连续边界拼合.Gu采用多层BP网络实现散乱点曲面重构，其计算费用惊人［5］.通常情况下，曲面逼近格式重构的精确性和光顺性受到限制. 整体插值重构的明显缺陷是计算工作量随插值点的增多而显著增加，而局部插值重构利用数据点的子集构造建模函数，更适合于大量的数据点.针对散乱数据，Shepard通过指定局部影响半径，方便地将整体插值转化成局部插值格式，但插值精度和光顺性较差［6］.Bradely采用多重二次方法构造局部曲面片，借助于特定算法使各局部曲面片融合，以保证局部区域的连续性［6］.这些方法一般不具备几何不变性且不利于图形信息的交换. NURBS方法由于具有许多优良性能，已成为STEP标准中描述产品几何形状的唯一方法，因而在曲面重构中占有重要地位．但就目前CAGD技术而言，NURBS曲面重构不适合于大规模散乱数据点，必须首先将数据量压缩，再进行曲面重构.图1示出曲面重构的一般步骤.文献［7］采用体积剖分(Spatial binning)法压缩数据，但曲率变化较大时得到的仍然是散乱点.文献［7］还提出了先通过局部多重二次技术生成曲面的规则拓扑网格，再进行NURBS拟合，但一般只适合于曲率变化较小的情况.文献［8］考虑到曲率变化，布点数随曲率的增大而增多，同时需要人机交互地选择型值点，效率较低且不易实现优化布点.图1 曲面重构的一般步骤 本文首先借助于Shepard局部插值方法构造初始曲面模型，然后依据所提出的基于曲面曲率的数据自适应压缩方法，生成矩形拓扑压缩网格；最后，实现基于NURBS的散乱点曲面重构.2 Shepard局部插值法曲面拟合 若散乱测点数据集合为{x i,y i,z i},i=1,2,…,n，则由Shepard局部插值函数构造的曲面模型为 (1)式中，R为所限定的局部影响区域.经过适当地参数化可将式(1)写成为p(u,v)=(x(u,v) y(u,v) s(u,v)) (2) 图2为采用激光位移传感器扫描得到的高尔夫球拍曲面的散乱数据点，共4219个测点；图3为由Shepard局部插值法拟合的初始重构曲面形状，曲面的平均主曲率可由式（1）通过一二阶数字差分来近似.图2 高尔夫球曲面散乱数据点图3 由Shepard法生构的曲面形状3 基于曲率的自由曲面抽样网格规划 连续的自由曲面为三维空间上无限多点组成的集合，对曲面的任何离散抽样都是对曲面的近似.因此，为在有限的抽样点基础上最大限度地提取自由曲面的形状信息，根据抽样定理，抽样点的疏密应随曲面曲率的变化而变化，曲率越大抽样点应越密，反之亦然. 设自由曲面的数学模型为p(u,v)=(x(u,v) y(u,v) z(u,v)) (3)式中，u,v为曲面的参数.若离散曲面的M个抽样点集合D为D={p i|i=1,2,…,M} (4)式中，p i=(x(u i,v i) y(u i,v i) z(u i,v i))T.参数域上的抽样点集合C为C={c i|i=1,2,…,M} (5)式中，c i=(u i v i)T.若N i为第i个抽样点的邻域集合，则所有邻域集合的集合N为N={N i|i=1,2,…,M} (6)式中，i N i，且若i∈N j，j∈N i,则N i可以定义为网格的四邻域.现考察图4所示的质点系，若沿x轴分布的质点m1和m3分别位于x1和x3处，则质点系的质心x2满足 (7)图4 质点系 令r(c)为反映曲面曲率的形状函数(r(c)>0)，若将形状函数r(c)看成质点的质量，则式(7)可推广为 (8)该式确定了与形状函数相适应的抽样集合C.显然，在形状函数r(c)较大的地方，所需抽样点也就越多.考虑到抽样网格的不变性，形状函数r(c)应只依赖于曲面固有的曲率测度, 取为［9］ (9)式中，k(u,v)为点p(u,v)处主曲率的几何平均值，参数q(q>0)的大小影响到曲面上离散点间r(c)的比值.将式(8)改写为 (10)它可以通过如下迭代算法求解［9］ (11)式中，可见，c i等于它的邻域值加权之和.为充分反映迭代过程中网格的实时变化影响，在迭代循环过程中，c i要实时更新网点矢量，故式(11)改写成 (12)式中，c u,t j是更新的网点矢量.迭代求解过程中，收敛准则取为‖c t+1-c t‖<ε (13)式中，‖.‖是平方范数，ε是给定的精度. 以Shepard局部插值函数为曲面模型，采用式（12）给出的基于曲率的抽样网格产生算法，对图3所示的曲面进行抽样网格规划．图5为参数域上初始随机抽样网格，该网格除边界上节点的u、v参数具有约束外，其他节点参数值均为随机值，故初始随机抽样网格呈杂乱状.利用式(12)进行网格节点矢量的迭代运算，N i为节点i的四邻域，c t+1i为其邻域节点矢量的加权平均，由式(13)控制收敛过程.迭代过程中，不需进行参数调整等人工干预，经迭代收敛后，物理域上最终抽样网格见图6.该算例表明，上述算法不需人工干预即可由初始随机网格迭代收敛为矩形拓扑网格(本文称之为网格自组织特征)；抽样的疏密依赖于曲面曲率，该方法不仅适合于曲率平坦的区域，也适合于曲率变化较剧烈的区域.图5 参数域上初始抽样网格4 呈矩形拓扑阵列数据点的NURBS曲面拟合 将NURBS曲面表示成有理基函数形式为［10］ (14) (15)式中，d i,j为控制顶点，N i,k(u)、N j,l(v)分别为u、v方向的k次和l次B样条基函数，w ij为权因子.若NURBS曲面的节点矢量u和v取为u=(0,0,…,0,u k+1,…,u m,1,…,1,1)， v=(0,0,…,0,v l+1,…,v n,1,…,1,1). 其中，u节点矢量两端节点重复k+1次，v节点矢量两端点重复l+1次.与一维数据点参数化相仿［11］，节点矢量u, v内节点可通过数据点阵p i,j=0,1,…,r;j=0,1,…,s的参数化确定. 对于曲面参数化，沿同一参数方向的网格线具有公共的参数分割，但由于同一方向的各排数据点分布一般不一样，公共参数分割只能是各排数据点参数分割的折衷.鉴于各排数据点一般为非均匀分布，本文先对每排采用向心参数化方法，再将各排参数代数平均.给定呈矩形拓扑阵列的数据点p i,j, i=0,1,…,r;j=0,1,…,s，设沿u向第j排数据点p i,j的参数为u ij，则公共参数为 (16)同理 (17) 对于给定的数据点p i,j，由式(14)得出(r+1).(s+1).3个线性方程组，以矩阵形式表示为P=RD (18)式中，P为曲面数据点坐标阵列，维数为(r+1).(s+1).3;R为基函数系数矩阵，维数为(r+1).(s+1).3×(m +1).(n+1).3;D是控制网点列阵，维数为(m+1).(n+1).3;m+1和n+1分别为参数u和v方向的控制顶点数. 若r.s=m.n,则R为方阵.由下式可直接求出控制网点D=R-1P (19) 此时，NURBS曲面将严格通过数据点P，实现了NURBS曲面插值.此种情况适用于测量数据精确的情况. 若r.s≥m.n，则NURBS曲面对数据点集P是一种平均意义上的近似.依矩阵论［11］，式(18)可写成D=［R T R］-1R T P (20)在给定m,n，阶数k,l，节点向量u和v及对p i,j参数化的情况下，系数矩阵R已知，由式(20)可计算D，此时得到的初始重构曲面可能与数据点之间存在较大误差，可用参数值的迭代改善逼近精度［12］.5 散乱数据点NURBS曲面重构 对于大规模散乱数据点，采用两步法实现NURBS曲面重构.首先由所提出的基于曲面曲率的数据压缩方法将数据量压缩到NURBS拟合允许的规模，再由NURBS拟合实现被测曲面重构， 其基本步骤如下： (1) 用Shepard局部插值法拟合曲面. (2) 产生基于曲率信息的抽样拓扑矩形阵列. 以Shepard局部插值函数为曲面模型，由基于曲率的自由曲面抽样规划方法确定基于曲率信息的抽样拓扑矩形阵列. (3) 产生数据压缩后实际的拓扑矩形阵列； 依据抽样拓扑矩形阵列，在测量数据集合中抽取距抽样拓扑矩形阵列中每个节点最近的数据点，产生实际的拓扑矩形阵列. (4) 对实际产生的拓扑矩形阵列进行NURBS拟合，得到最终重构曲面. 该方法中，Shepard局部插值函数用于对散乱数据点插值，构造初始重构曲面.虽然Shepard方法构造的曲面精度和光顺性稍差，但它反映了曲面的基本形状(见图3).因而，以Shepard插值函数为曲面模型构造基于曲率测度的形状函数，再采用基于曲率的自由曲面抽样自适应规划方法即可确定基于曲率的拓扑矩形网格（见图6）.由步骤2给出的拓扑矩形网格点实际上是由Shepard插值函数确定的，为消除Shepard插值带来的误差，提高曲面重构精度，将上述拓扑网格作为抽样网格，从大规模散乱数据点中抽取实际网格（见图7），其数据量从4219锐减为400.故采用该方法可基于曲率自适应地将大规模散乱数据点压缩到合适规模的拓扑矩形阵列.图8为NURBS曲面重构后的形状.比较图8和图3可见，NURBS方法较Shepard局部方法重构后的曲面更光顺.图6 物理域上基本于曲率抽样网格图7 基于曲率抽样压缩后的数据点图8 NURBS曲面重构的形状6 结语 自由曲面重构是采用逆向工程方法生成CAD模型的关键步骤，因而成为CAD研究的热点问题，但大规模散乱数据点的处理是曲面重构的制约因素.由于NURBS方法的优越性能，基于NURBS的曲面重构成为逆向工程中的上选方法.鉴于目前NURBS曲面拟合的限制，本文提出先压缩后拟合的两步法重构策略.首先提出基于曲率的数据自适应压缩方法，一方面将数据压缩到NURBS拟合允许的规模，另一方面将散乱的数据点转化成拓扑矩形网格；然后再采用NURBS方法拟合成最终重构曲面.算例表明，该方法可在保持原数据点集基本特征的前提下，将散乱数据点压缩到NURBS曲面重构要求的规模，从而实现了大规模散乱数据点的精确曲面重构，同时NURBS的性质也保证了重构的几何不变性. ■作者简介：来新民，男，1964年8月生，博士，讲师，现为上海交通大学博士后，主要研究方向为CAD/CAM，计算机视觉检测、汽车车体质量控制. 黄田，教授，博士生导师，主要研究方向为CAD/CAM、振动冲击噪声技术、虚轴机床. 曾子平，教授，博士生导师，主要研究方向为CAD/CAM、振动冲击噪声技术. 林忠软，教授，博士生导师，主要研究方向为轿车车体制造技术.作者单位：来新民（河北工业大学机电工程系 天津 300130 上海交通大学机械工程学院 上海 200030） 黄田（天津大学机械工程学院 天津 300072） 曾子平（天津大学机械工程学院 天津 300072） 林忠钦（上海交通大学机械工程学院 上海 200030）参考文献：［1］ Bolle R M, Cooper D B. Bayesian recognition of local 3-D shape by approximating image intensity functions with quadric polynomials. IEEE Transactions on Pattern Anal Machine Intelligence,1984, PAMI-6：418-429［2］ Bolle R M, Cooper D B. On optimally combining pieces of information, with application to estimating 3-D complex-object position from range data. IEEE Transactions on Pattern Analysis Machine Intelligence, 1986, PAMI-8：619-638［3］ Bolle R M, Vemuri B C. On three dimensional surface reconstruction methods. IEEE Transactions on Pattern Analysis Machine Intelligence, 1991,13(1)：1-12［4］ Terzopoulos D. The computation of visible-surface representations. IEEE Transactions on Pattern Analysis Machine Intelligence, 1988,10(4)：417-438［5］ Gu P, Yan X. Neural network approach to the reconstruction of freeform surface for reverse engineering. Computer-Aided Design, 1995,27(1)：59-64［6］ Bradley C, Vickers G W. Free-form surface reconstruction for machine vision rapid prototyping. Optical Engineering, 1993,32(9)：2191-2199［7］ Weir D J, Milroy M J, Bradley C, et al. Reverse engineering physical models employing wrap-around B-spline surfaces and quadrics. Proceedings of the Institution Mechanical Engineering, Journal of Engineering Manufacture,Part B, 1996,210：147-157［8］ Jones C, Bradely C, Vickers G W. Laser scanning and quasi-helical tool path definition of arbitrary curved surface models. Computers & Industry Engineering, 1994, 26(2)：349-357［9］ Li S Z. Adaptive sampling and mesh generation. Computer-Aided Design, 1995, 27(3)：235-240 ［10］ Shi Fa-Zhong. CAGD & NURBS. Beijing： Beijing University of Aeronautics & Astronautics Press,1994 (施法中. 计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条. 北京：北京航空航天大学出版社，1994) ［11］ Wu Xiong-Hua,Chen Bing-Dong,Qian Zhong-Yuan. Theory of Matrix. Shanghai： Tongji University Press,1994 (吴雄华，陈秉东，钱仲苑. 矩阵论. 上海：同济大学出版社，1994)［12］ Rogers D F, For N G. Constrained B-spline curve and surface fitting. Compute-Aided Design, 1989,21 (10)：641-648收稿日期：1998-05-26修稿日期：1998-09-07基于NURBS的散乱数据点自由曲面重构作者：来新民， 黄田， 曾子平， 林忠钦， LAI Xin-Min， HUANG Tian， ZENG Zi-Ping， LIN Zhong-Qin作者单位：来新民,LAI Xin-Min(河北工业大学机电工程系,天津,300130;上海交通大学机械工程学院,上海,200030)， 黄田,曾子平,HUANG Tian,ZENG Zi-Ping(天津大学机械工程学院,天津,300072)， 林忠钦,LIN Zhong-Qin(上海交通大学机械工程学院,上海,200030)刊名：计算机辅助设计与图形学学报英文刊名：JOURNAL OF COMPUTER-AIDED DESIGN & COMPUTER GRAPHICS年，卷(期)：1999，11(5)引用次数：55次1.Bolle R M.Cooper D B Bayesian recognition of local 3-D shape by approximating image intensity functions with quadric polynomials 19842.Bolle R M.Cooper D B On optimally combining pieces of information, with application to estimating 3-D complex-object position from range data 19863.Bolle R M.Vemuri B C On three dimensional surface reconstruction methods 1991(01)4.Terzopoulos D The computation of visible-surface representations 1988(04)5.Gu P.Yan X Neural network approach to the reconstruction of freeform surface for reverse engineering 1995(01)6.Bradley C.Vickers G W Free-form surface reconstruction for machine vision rapid prototyping 1993(09)7.Weir D roy M J.Bradley C Reverse engineering physical models employing wrap-around B-spline surfaces and quadrics 19968.Jones C.Bradely C.Vickers G W Laser scanning and quasi-helical tool path definition of arbitrary curved surface models 1994(02)9.Li S Z Adaptive sampling and mesh generation 1995(03)10.施法中计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条 199411.吴雄华.陈秉东.钱仲苑矩阵论 199412.Rogers D F.For N G Constrained B-spline curve and surface fitting 1989(10)1.期刊论文史国友.贾传荧基于NURBS的三维船体曲面重构-交通运输工程学报2004,4(3)针对重大件货仿真系统中船体曲面造型问题,给出了基于NURBS(非均匀有理B样条方法)技术重构船体曲面的主要步骤.对于给定的船舶型值点,用累加弦长参数化方法构造节点矢量,用非均匀有理B样条方法进行横剖线和水线的全局插值,并构造出规整的船体曲面的插值点网格,进而重构出以NURBS为统一数学表达式的船体曲面.仿真结果表明应用NURBS方法重构出的三维船体具有高度真实感.2.学位论文赵作智基于非均匀有理B样条(NURBS)的曲面反求的研究2000反求工程作为复杂工业产品设计与制造的重要技术手段之一,深受CAD/CAM领域的广 泛重视.特别是自由曲面重构技术作为复杂曲面产品反求工程中的"瓶颈"问题,是今后一个时期的研究热点.CAD/CAM中用有理多项式函数表示曲线曲面越来越广泛. 由于非均匀有理B样条(NURBS)可以精确表示解析形状自由曲线曲面,国际标准组织(ISO)于1991年把NURBS作为表示工业产品几何形状的工业标准.目前各种文献大都在理论上阐述了由数据点重构NURBS曲面的方法,尚未见具体的算法实现和实例.该文提 出了由数据点直接重构NURBS曲线曲面切实可行的插值和逼近基本算法,并给出了程 序实现算法和数据结构.3.期刊论文韩庆瑶.赵保亚.谭建鑫.李巧红.HAN Qing-yao.ZHAO Bao-ya.TAN Jian-xin.LI Qiao-hong NURBS曲线曲面重构的方法-机械设计与制造2006,""(3)CAD/CAM中用有理多项式函数表示曲面越来越广泛.由于非均匀有理B样条(NURBS)可以精确表示解析形状和自由曲线曲面,国际标准组织(ISO)与1991年把NURBS作为表示工业产品几何形状的工业标准.这里主要讨论了NURBS曲线曲面重构的方法.4.期刊论文赵柳.纪丽婷.王立建.黄福逆向工程中点云数据的曲面重构方法研究-电子测试2010,""(2)逆向工程是数字化产品开发方法之一,它极大地缩短了产品的开发周期,提高了产品精度,是消化、吸收先进技术进而创造和开发各种新产品的蕈要手段.在逆向工程中,曲面模型重建是整个逆向工程中最关键、最复杂的一环.本文提出一种基于传统的参数曲线曲面方法:Bezier法、B-样条法,而义有所创新的C2连续保形五次样条曲线曲面方法.充分利用相邻四个控制点的几何信息,构造了通过中间两点的五次参数曲线段,使得相邻段之间自然C2连接.并通过实验加以验证,最后对该算法做了总结.5.期刊论文陆进.Lu Jin SOFM和NURBS为基的散乱数据点自由曲面重构-现代制造工程2008,""(9)利用自组织神经网络对原始曲面上的散乱数据点进行聚类,应用Unigraphics软件中的NURBS对聚类数据进行曲面重构,以获取原始曲面的CAD数字化模型.具体方法是利用Unigraphics软件设计原始曲面,在所设计的原始曲面上随机设置大量的散乱点数据,应用MATLAB中的神经网络工具箱中的自组织神经网络,对原始曲面上的散乱点数据进行聚类,获取样条曲线,再应用Unigraphics软件中的NURBS完成曲面重构.6.学位论文蔡清华散乱数据的NURBS曲面建模与数控加工技术研究2004随着当前数字化测量技术的快速发展,反求工程技术在工程中已经得到广泛的应用.与此相应,对点云数据的曲面重构研究也引起了足够的重视.该文主要研究了散乱数据的NURBS曲面重构和在重构网格基础上的后续数控加工路径规划问题.散乱数据重建存在点与点之间几何拓扑关系建立困难和存在大量冗余数据两大难点.为了实现数据的精确压缩,简化点与点之间拓扑结构的建立,把散乱数据转化为扫描线数据,对点云数据进行了直接分层处理,采用了基于最小距离关联点对的线面截交算法和截面轮廓数据的八方向编码追踪算法,并用实例验证了方法的可行性.基于截面轮廓数据,详细探讨了NURBS曲线的拟合方法.用积累弦长的方法对截面轮廓数据进行参数化;给出了节点矢量选择的合理数学模型;用最小二乘法对截面轮廓数据进行了NURBS曲线的拟合;二分法寻找最优控制点的算法使NURBS曲线的拟合达到全自动化的程度.基于轮廓曲线,详细探讨了网格生成技术.在曲线相容、蒙皮的基础上,形成了四边形网格;在曲线相容的基础上,实现了三角剖分算法;通过计算NURBS曲线的曲率,实现了三角网格简化算法,并且分析了简化后三角网格的精度.最后用实例验证了算法的可行性.面向数控加工,该论文讨论了STL模型的刀具路径规划问题.在STL切片的基础上,对切片数据进行三次分段NURBS曲线插值,通过刀触点计算出刀位点,实现了数控加工路径的规划.最后对论文的工作进行了总结.介绍了建模模块的界面、整体框架以及OpenGL下曲线、曲面的显示.文中还给出了一个具体工程实例,验证了该建模模块的功能.7.期刊论文张伟.姜献峰.孙毅.马亚良.王秋成基于ANN-NURBS的散乱数据点自由曲面重构-浙江工业大学学报2003,31(5)探讨了曲面三维密集散乱点数据的几何建模方法.按照先压缩后拟合的两步方法重构策略,实施基于ANN-NURBS的散乱点自由曲面重构.提出了基于人工神经网络(ANN)的散乱数据点的拓扑矩形网格重建方法并建立了神经网络模型.该模型利用神经元对曲面散乱点的学习和训练来模拟曲面上的点与点之间的内在关系,结点连接权矢量集作为对散乱点集的工程近似化并重构曲面样本点的内在拓扑关系.算例表明,该方法可实现三维密集散乱点数据自组织压缩,生成期望疏密程度和精度的矩形拓扑网格,并可有效保持原数据点集的拓扑特征,从而实现了基于NURBS的大规模散乱数据点的精确曲面重构.8.学位论文李院生基于网格的NURBS曲面重构算法的研究2008网格计算是构筑在Internet上的一组新兴技术，其基础设施一定是基于IP协议的宽带数字通信网络，它将改变传统的Client/Server和Client/Cluster结构，形成新的Pervasive/Grid体系结构，这种体系结构将使得用户把整个网络视为一个巨大的计算机，并从中享受一体化的、动态变化的、可灵活控制的、智能的、协作式信息服务。
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权威3DMAX NURBS曲线和曲面教程一、NuRBS曲线作用：可制作圆滑的曲线外形‘Create(创建)‘shape(外形)‘NURBSpoint curve(点曲线)CV curve(控制点曲线)：曲线在各控制点连接的多边形内参数：attach(附加)：将其它曲线附加到当前曲线中二、NURBS曲面作用：可制作圆滑的面，如汽车外壳，床罩，窗帘丝织物品表面‘create(创建) →‘Geomotry(三维几何体) →‘NurBs surface(NurBs曲面) →‘point surface(点曲面)‘cv surface(控制点曲面)1、point surface(点曲面)参数：u lines:X轴节点数v lines:Y轴节点数次对象：point(点)：选择1个顶点（单个）：选择一行顶点（单行）：选择一列顶点（单列）：选择交叉的一行一列顶点（行列）：选择所有顶点2、cv suface(控制点曲面)参数：Length cvs:长控制点数Width cvs:宽控制点次对象：与点曲面相同三、NurBs创建工具箱作用：方便创建曲线或者曲面1、Curves（曲线）工具箱第一个（）：建立cv curve(控制点曲线)第二个（）：建立Point curve(点曲面)第三个（）：连接两个顶点，限定在点曲线面类第四个（）：复制曲线第五个（）：连接2个顶点，点曲线，CV曲面都可相连第六个（）：产生曲线的轮廓线第七个（）：镜像复制曲线3、surface(曲面)工具箱第一个（）：建立cv surface(控制点曲面)第二个（）：建立point surface(点曲面)第三个（）：复制曲面第四个和第九个（）：将2个曲线连接成面第五个（）：复制曲面，不能分开第六个（）：镜向复制曲面第七个（）：将曲面拉伸成面第八个（）：将曲线旋转成面3DMAX 第十五讲（材质1）一、材质编辑器作用：赋于物体材质，表现出各种实际效果1、主窗口组成①样本窗②水平工具栏③垂直工具栏④材质名称类型⑤参数展示栏2、样本窗显示方式选择某样本球’→‘5╳3或‘6╳43、垂直工具栏①样本类型：以何种方式显示样本②背光：显示/隐藏样本球暗区光线③背景：检查透明材质效果④重复：检查透明材质效果⑤视频颜色检查：检查材质颜色以适应电视输出⑥材质动画预览⑦选项：设置材质，相关参数⑧按材质选择物体4、水平工具栏（1）获取材质（包括复合标准材质）（2）将冷材质重新赋予场景中的物体（3）将材质赋予场景中被选择的物体（4）清除材质（5）热材质变为冷材质（6）保存材质备以后使用（8）材质效果通道，给材质起编号（9）显示场景中物体的贴图（10）显示最后结果（11）回到父层级（12）到同一层次（13）材质/贴图导航器二、同步材质，异步材质1、同步材质称为热材质，当改变材质参数，场景中的物体材质会同步变化，样本球4个角为白三角形2、异步材质称为冷材质，当改变材质参数，场景中的物体材质不随之变化三、给物体贴图选择物体→（材质编辑器按钮）→选择一个样本球→diffuse(散播颜色) →‘（贴图按钮）→“Bitmap(位图) →选择某图片→‘打开→‘（显示贴图按钮）。
最小二乘法的nurbs曲面
最小二乘法的nurbs曲面
（原创实用版）
目录
1.最小二乘法的基本原理
2.Nurbs 曲面的基本概念
3.最小二乘法在 Nurbs 曲面拟合中的应用
4.应用实例与结果分析
5.结论与展望
正文
一、最小二乘法的基本原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用于通过最小化误差的平方和来寻找最佳拟合函数。
在最小二乘法中，拟合函数通常表示为参数的形式，而参数的值则是通过最小化误差平方和来确定的。
二、Nurbs 曲面的基本概念
urbs（Non-Uniform Rational B-Splines）曲面是一种通过基函数和控制点加权求和来描述的曲面。
它具有很好的局部性和灵活性，广泛应用于计算机图形学、数值分析和建模等领域。
三、最小二乘法在 Nurbs 曲面拟合中的应用
在最小二乘法中，我们通过拟合数据点来确定 Nurbs 曲面的控制点，以达到最佳拟合效果。
具体来说，就是将数据点上的误差平方和最小化，从而得到最佳的控制点坐标。
四、应用实例与结果分析
我们可以通过一个具体的例子来说明最小二乘法在 Nurbs 曲面拟合中的应用。
假设我们有一组三维数据点，我们希望通过最小二乘法拟合一
个 Nurbs 曲面。
首先，我们需要确定 Nurbs 曲面的阶数和控制点个数。
然后，我们通过最小化误差平方和来确定控制点的值。
最后，我们得到最佳拟合的 Nurbs 曲面。
五、结论与展望
最小二乘法在 Nurbs 曲面拟合中具有很好的应用效果，可以得到较为精确的拟合结果。
弧齿锥齿轮测量齿面的NURBS重构
i =0
B ∑
i,k
N U RBS 曲面是 N U RBS 曲线的张量积形式的
推广 ,设 B j , l 为沿 v 向的 l 次 B 样条基函数 , 可由
de2Boor 递推公式求出 ;q i , j 为曲面的控制顶点 ; w i , j
为 q i , j 的权因子 . 故 N U RBS 曲面的表达式为 :
U =
ui+3 =
i =1
∑|
Pi P i+1 | / S
(3 )
un+3 = un+4 = un+5 = un+6 = 1
b. 建立方程组 . 将非均匀有理 B 样条表示成矩
阵形式为 [ 6 ] :
ri ( t ) = TM i V TM i W
2 3
(4 )
T = [1 ,t , t ,t ], M i 是一个 4 × 4 的矩阵 ,M i 元
摘要 : 利用三坐标测量机获得了弧齿锥齿轮齿 面上采样点的坐标值 , 然后采用双三次 NU RBS 插 值方法拟合出了数值齿面 , 能够为弧齿锥齿轮的数 字化啮合分析提供参数化的齿面模型 . 最后 ,通过一 个实例说明了该方法的可行性 . 关键词 : 弧齿锥齿轮 ;NU RBS ; 拟合 ; 重构 ; 测量 齿面 中图分类号 : T H132. 4 文献标识码 :A 文章编号 :100122257 ( 2010) 0220041203 Abstract : The t hree coordinates’values o n t he
素的值可参照参考文献 [ 7 ]计算得到 . T V = [w i q i , w i + 1 qi + 1 , ∗ ,w i + 3 qi + 3 ]
nurbs节点矢量、阶数、控制点数量关系
nurbs节点矢量、阶数、控制点数量关系摘要：1.NURBS 简介2.NURBS 节点矢量3.NURBS 阶数4.NURBS 控制点数量5.NURBS 节点矢量、阶数、控制点数量关系正文：1.NURBS 简介URBS（Non-Uniform Rational B-Splines，非均匀有理B 样条）是一种用于曲线和曲面建模的数学表示方法。
它具有很好的局部性和灵活性，广泛应用于计算机图形学、数值分析、建模等领域。
2.NURBS 节点矢量URBS 节点矢量是一个有序的点集，用于描述NURBS 曲线或曲面的基函数和控制点。
节点矢量中的点按照一定的规则排列，通常包括两个部分：节点和控制点。
节点决定了基函数的阶数，而控制点则决定了曲线或曲面的形状。
3.NURBS 阶数URBS 阶数是一个非负整数，用于表示NURBS 曲线或曲面的光滑程度。
阶数越大，曲线或曲面越光滑。
NURBS 阶数与节点矢量中的节点数量有关，具体关系为：阶数= 节点数量- 1。
4.NURBS 控制点数量URBS 控制点是指在节点矢量中，除了节点之外的其余点。
控制点决定了NURBS 曲线或曲面的形状，数量越多，形状越复杂。
NURBS 控制点数量与节点矢量中的控制点数量有关，具体关系为：控制点数量= 节点矢量长度- 节点数量。
5.NURBS 节点矢量、阶数、控制点数量关系URBS 节点矢量、阶数和控制点数量之间的关系可以通过以下公式表示：阶数= 节点数量- 1控制点数量= 节点矢量长度- 节点数量通过这个关系，我们可以在已知其中两个参数的情况下，求解第三个参数。
NURBS基础教程
转载】NURBS基础教程NURBS, 模型像3DMAX的其它物体一样，一个NURBS模型也能集合多个NURBS次物体。
例如，一个NURBS物体可能包含两个曲面，而它们在空间里是相互独立的，没有依附关系。
无论是NURBS曲线还是NURBS曲面都是可以进入其次物体级别，用点或者可控点来调节。
这里的点和可控点与传统的3DMAX的Spline Objects(样条物体）的控制点表现都很出色。
在NURBS模型的父物体如果是一个NURBS曲面，下面列出了NURBS Sub-Objects(次物体）有可能包含的所有项目：Surfaces(曲面）：在3DMAX中有两种NURBS曲面。
一种是用点来控制的Point surface(点曲面），这些点总是在曲面上。
另一种使用CV（可控点）来控制的CV surface(可控曲面），这些点可以在曲面的外部来控制曲面的形态，调节起来更加灵活。
Curves(曲线）：在3DMAX中也有两种NURBS曲线。
这两种是完全符合上面提到的那两种曲面的。
Point Curve(点曲线）是由曲线上的点来控制的，这些点总在曲线上。
CV Curve(可控曲线）是由可控点来控制的，这些点不一定在曲线上。
Points(点）：点曲面和点曲线的Sub- Objects(次物体）里有这个项目。
能建立一个点次物体，可以不是曲线或曲面的一部分。
CV(可控点）：可控曲面和可控曲线有CV（可控点）次物体。
不像点那样，CV（可控点）总是曲线或曲面的一部分。
Import(引入）：引入是NURBS物体把其它3DMAX物体引入到自身造型内的一个过程。
在NURBS造型内部，被引入的物体会被当作NURBS造型来渲染，但是保持最初的参数和变动修改。
2.1 建立NURBS模型3DMAX提供了多种途径来建立NURBS曲面。
下面是建立NURBS物体的几种方法：可以在Create(建立）命令面板的Shape(图形）面板中建立NURBS Curves(曲线）。
最小二乘法的nurbs曲面
最小二乘法的nurbs曲面
【最新版】
目录
1.最小二乘法简介
2.Nurbs 曲面简介
3.最小二乘法在 Nurbs 曲面拟合中的应用
4.结论
正文
1.最小二乘法简介
最小二乘法是一种数学优化技术，用于通过最小化误差的平方和来寻找最佳拟合函数。
该方法广泛应用于数据分析、工程建模和科学研究等领域。
最小二乘法可以解决的问题包括线性回归、非线性回归以及曲线拟合等。
2.Nurbs 曲面简介
urbs（Non-Uniform Rational B-Splines）曲面是一种通过基函数和控制点加权求和来描述的曲面。
Nurbs 曲面具有很好的局部性和灵活性，广泛应用于计算机图形学、数值分析和建模等领域。
Nurbs 曲面的控制点决定了曲面的形状，而基函数则决定了曲面在不同方向上的平滑程度。
3.最小二乘法在 Nurbs 曲面拟合中的应用
在最小二乘法的框架下，可以通过拟合数据点来构造 Nurbs 曲面。
具体来说，可以将数据点视为 Nurbs 曲面上的控制点，然后使用最小二乘法寻找最佳的 Nurbs 曲面。
为了实现这一目标，需要将 Nurbs 曲面表示为基函数的线性组合，并将基函数的系数视为待求解的参数。
接着，将问题转化为求解线性最小二乘问题，从而得到最佳的 Nurbs 曲面。
4.结论
最小二乘法在 Nurbs 曲面拟合中发挥了重要作用。
通过将数据点视为 Nurbs 曲面上的控制点，并使用最小二乘法寻找最佳的 Nurbs 曲面，可以实现对复杂数据的精确拟合。
此外，Nurbs 曲面具有很好的局部性和灵活性，可以很好地适应数据的变化。
基于NURBS的光学镜片重构算法研究
几
％在
程中，选
值设置为1以
简
的计算难度％
2.2节点 参数化
到曲面的表达式，欲构
面，正
除了要控制点和次数还需要确定节点矢量。控制矩阵
构造的控制网格只能控制曲面大体走向，而要曲面
贴 值点，需要选择较优的节点矢量参数
％
选择修正弦长参数 ［12］,修正弦长参数化的表
达式
[M0 = 0 [Mi = M+1 + 代 I /
modiication ; evaluation of the lens ; FFV simulation
渐进多焦点镜片能够为近视或远视患者提供连续
清晰的视觉,给配戴 来舒适的体验，得到
的应用。随着
点镜片和自 面技术的发
展，设计
变得
重要［1］%在光学
镜片设
计实验中，用 学计算出的渐进镜片总
不必
要的侧向散光和聚集误差，镜
面（6）%
点镜片在上为远视区，在下为近视
区，
区的渐变区为 ，
数渐变。渐
进镜 图1
%
结构排列（8）%
1.2 点的
制
产生影响，从而影
重构出来的曲面。
点数据
面重
建， 点的
能导致 局部曲率变化大的问
，在后期
面重建的过程中
面光滑度
不够，增加曲面重构计算负担。
，需要
处
理，去
点。点数据由大量的型值点构成，而噪
点可以认为 种高频的随
样点，大量随机变
量服从或近似正态分布。所以， 使用高斯滤波来
处理， 高滤波器在指定 的权重服
从高斯分布的特征来去
点，并 保持原有的数