02章 电磁场的守恒定律与对称性

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r r r 定理：给定电场 E 和磁场 B ，不能唯一确定矢势 A 和标势 ϕ r r ⎧ ⎪∇ × A = B 证明：设 ⎨ r r ⎪ ⎩− ∇ϕ − ∂ t A = E r r ⎧ A′ = A + ∇ψ (GT) 对于任意标量场ψ，令 ⎨ ⎩ϕ ′ = ϕ − ∂ tψ 那么，由于标势的梯度的旋度必然为零，我们有 r r r r ⎧ ⎪∇ × A′ = ∇ × ( A + ∇ψ ) = ∇ × A = B r r r r ⎨ ⎪ ⎩− ∇ϕ ′ − ∂ t A′ = −∇(ϕ − ∂ tψ ) − ∂ t ( A + ∇ψ ) = −∇ϕ − ∂ t A = E r r 势 ( A, ϕ ) 为一种 规范，而 ( A′, ϕ ′) 为另一种规范。变换 (GT) r r r ( E , B)，存在不同的规范 ( A, ϕ )， 称为 规范变换。由于对于相同的 r 因此规范( A, ϕ )是不可测量的。
问题：电磁场的唯一性？ ⎧ r ∂χ ⎪∇ ⋅ a + ∂t = const r r r ⎪ ⎧ ′ E = E + ∇×a 2r ∂ a ⎪ ⎪ 2r r 假如 ⎨∇ a − µ 0ε 0 2 = 0 ，作变换 ⎨ r r ∂a t ∂ ⎪ ⎪ B ′ = B + ∇ χ + µ 0ε 0 ∂t ⎩ ⎪ 2 ∂ 2χ ⎪ ∇ χ − µ 0ε 0 2 = 0 ∂t ⎩ 那么 r r ①∇ ⋅ E ′ = ∇ ⋅ E r r r r ∂E ∂E ′ ′ ② ∇ × B − µ 0ε 0 = ∇ × B − µ 0ε 0 ∂t ∂t r r ③∇ ⋅ B ′ = ∇ ⋅ B r r r ∂B ′ r ∂B ④∇ × E ′ + = ∇× E + ∂t ∂t
r r 例子 : 对于磁场 B = Be z ，容易证明下面的三个 矢势 r r ⎧ A1 = − Bye x ⎪r r 1 r 1 ⎪ ⎨ A2 = − Bye x + Bxe y 2 2 ⎪r r r ⎪ A3 = −(1 − c ) Bye x + cBxe y ⎩ r r ⎧ ⎪∇ × A = B 均满足 ⎨ r ⎪ ⎩∇ ⋅ A = 0 ⎧ ⎪ψ = Bxy r r ⎨ 2 ∇ = + ∇ ψ By e Bx e ψ =0 ⎪ x y ⎩
D D
t ( n+1) t ( n ) ⎡ r t ( n+1) ⎤ t ( n ) r t ( n +1) t ( n ) M c = ∫∫∫ dv∇ ⋅ J Mc ⎢ ∫∫ ds ⋅ J ⎥ M c = ∫∫ ds ⋅ J D ∂D ⎣ ∂D ⎦ t ( n +1) ⎤ t ( n ) ⎡ = ⎢ ∫∫∫ dv∇ ⋅ J ⎥ Mc ⎣ D ⎦ t ( n+1) r t ( n +1) 于是，有 ∫∫ ds ⋅ J = ∫∫∫ dv∇ ⋅ J
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(M 2)′
把(M 4)′代入(M1)，得 r ∇ ⋅ ( −∇ ϕ − ∂ t A) = ρ / ε 0 r 2 − ∇ ϕ − ∂ t∇ ⋅ A = ρ / ε 0 即 亦即
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r µ 0 ε 0 ∂ ϕ − ∇ ϕ − ∂ t ∇ ⋅ A + µ 0ε 0 ∂ t ϕ = ρ / ε 0
r r r 定理 ：给定 B 和 E，总能找到满足洛伦兹 规范的 A 和 ϕ。 r r r r ∇× A = B − ∇ ϕ −∂ t A = E 证明 ：设 r ∇ ⋅ A + µ 0ε 0 ∂ t ϕ = u ≠ 0 但 求解方程 ∇ 2ψ − µ 0ε 0 ∂ 2 t ψ = − u ，解出标量场 ψ r r ϕ ′ = ϕ −∂ t ψ 作规范变换 A′ = A + ∇ ψ r r 那么 ∇ ⋅ A′ + µ 0ε 0 ∂ t ϕ ′ = ∇ ⋅ A + µ 0ε 0 ∂ t ϕ + ∇ 2ψ − µ 0ε 0 ∂ 2 tψ = u − u = 0 r r r 定理 ：给定 B 和 E，那么满足洛伦兹规范 的 A 和 ϕ 不是 r r r r ⎧ − ∇ ϕ −∂ t A = E ⎪∇ × A = B 证明 ：设 ⎨ r ⎪ ⎩ ∇ ⋅ A + µ 0ε 0 ∂ t ϕ = 0 求解方程 ∇ 2ψ − µ 0ε 0 ∂ 2 t ψ = 0，解出标量场 ψ r r 作规范变换 A′ = A + ∇ ψ ϕ ′ = ϕ −∂ t ψ r r 那么 ∇ ⋅ A′ + µ 0ε 0 ∂ t ϕ ′ = ∇ ⋅ A + µ 0ε 0 ∂ t ϕ + ∇ 2ψ − µ 0ε 0 ∂ 2 tψ = 0 唯一确定的。
(M1) ( M 2) ( M 3) ( M 4) (L1)
麦克斯韦方程组
洛伦兹力公式
r r 洛伦兹力对电荷做功， 功率密度为 P = f ⋅ υ 。 r r r r ⎧ f = ρ ( E + υ × B) r r r r ⎪ ⎪r r r ⇒ P = f ⋅υ = J ⋅ E ① ⎨υ ⋅ (υ × B ) = 0 r ⎪r = ρ υ J ⎪ ⎩ r r r r r r r ∂E ∂E r B B − ε0 ⇒ P = J ⋅ E = (∇ × − ε0 )⋅ E ②J = ∇ × ∂t ∂t µ0 µ0 r r r r r B r B r B r B r B r r r r r r ③(∇ B × ) ⋅ E = ∇ B ⋅ ( × E ) = ∇ B ⋅ ( × E ) + ∇ E ⋅ ( × E ) − ∇ E ⋅ ( × E ) = ∇ ⋅( r B
r r r ⎧ E ( x , t ) = e x E 0 cos( kz − ω t ) k2 1 ⎪ = = µ 0ε 0 例子 : 对于 ⎨ v r ，其中 r E0 2 2 c ω cos( kz − ω t ) ⎪ B( x , t ) = e y c ⎩ r E0 ⎧r r sin( kz − ω t ) ⎪ A1 ( x , t ) = e x 那么 ⎨ kc r ⎪ ⎩ϕ 1 ( x , t ) = 0 r E0 r E0 ⎧r r A2 ( x , t ) = e x sin( kz − ω t ) + e z a cos( kz − ω t ) ⎪ ⎪ kc kc 和⎨ r E0 ⎪ϕ ( x ,t) = a cos( kz − ω t ) 2 ⎪ k ⎩ 均满足 r r r r ⎧ − ∇ ϕ −∂ t A = E E0 ⎪∇ × A = B ψ =a sin( kz − ω t ) r ⎨ kω ⎪ ⎩ ∇ ⋅ A + µ 0ε 0 ∂ t ϕ = 0
§2.2，电荷守恒定律
r ⎧∇ ⋅ E = ρ / ε 0 (M1) r ⎪ r r ∂E ⎪ ( M 2) ∇ × B = µ 0 J + µ 0ε 0 ⎪ ⎪ ∂t 麦克斯韦方程组 r ⎨ ( M 3) ⎪∇ ⋅ B = 0 r ⎪ r ⎪ ∇ × E = − ∂B ( M 4) ⎪ ∂t ⎩ r 对(M 2)两边取散度，并注意到 ∇ ⋅ (∇ × B ) = 0，我们有 r r r r r ∂ρ ∂E ∂ 0 = µ 0 ∇ ⋅ J + µ 0ε 0 ∇ ⋅ ) = µ 0 (∇ ⋅ J + ε 0 ∇ ⋅ E ) = µ 0 (∇ ⋅ J + ∂t ∂t ∂t r ∂ρ r r d ∇⋅J + =0 ⇔ J ⋅ ds = − ∫∫∫ ρdv 亦即 ∫∫ dt D ∂t ∂D 上式即为电荷守恒。
t (n) t ( n +1) Q 为 n 阶张量，那么 定理：设 J 为 n + 1 阶张量场， t (n) t (n) t ( n+1) r t ( n+1) ∂Q d +∇⋅J =0 ⇔ Q dv = − ∫∫ ds ⋅J ∫∫∫ ∂t dt D ∂D 为一个守恒定律。 t (n) t ( n+1) ∂Q +∇⋅J =0 ⇒ 证明： ∂t t (n) 对于任意 n 阶常数张量 c ，有 d dt t (n) t ( n+1) ∫∫∫ Q dv + ∫∫∫ ∇ ⋅ J dv = 0
∂D D
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§2.3，电磁场的能量守恒定律
r ⎧∇ ⋅ E = ρ / ε 0 r ⎪ r r ∂E ⎪ ∇ × B = µ 0 J + µ 0ε 0 ⎪ ⎪ ∂t r ⎨ ⎪∇ ⋅ B = 0 r ⎪ r ⎪∇ × E = − ∂ B ⎪ ∂t ⎩ r r r r r r r f = ρ ( E + υ × B ) = ρE + J × B
2 t 2
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(M1)′
r ⎧∇ ⋅ E = ρ / ε 0 (M1) r r r ⎪ (M2) ⎪∇ × B = µ0 J + µ0ε 0∂ t E ⎨ r (M3) ⎪∇ ⋅ B = 0 r r ⎪ ( M 4) ⎩∇ × E = −∂ t B c r r ⎧B = ∇ × A (M3)′ r ⎪r (M4)′ ⎪ E = −∇ϕ − ∂ t A r r r r ⎨ 2 2 (M2)′ ⎪ µ0ε 0∂ t A − ∇ A + ∇ ∇ ⋅ A + µ0ε 0∂ tϕ = µ0 J r ⎪ 2 2 (M1)′ ⎩ µ0ε 0∂ t ϕ − ∇ ϕ − ∂ t ∇ ⋅ A + µ0ε 0∂ tϕ = ρ / ε 0 r r (M3)′和(M4)′是告诉我们如何由矢势 A 和标势 ϕ 求电场 E r r 和磁场 B，而(M1)′和(M2)′是关于矢势 A 和标势 ϕ 的动力 r r 学方程，是如何根据源 J 和 ρ 求矢势 A 和标势 ϕ
麦克斯韦方程组
由(M 3)式，可令 把(M 3)′代入 (M 4)式，得 由上式，可令 r r E + ∂ t A = −∇ ϕ ⇒