吉林省长春市2015届高三上学期第一次模拟考试+数学文+扫描版含答案
2015届高三“一模”数学模拟试卷(1)(含答案)
2015届高三“一模”数学模拟试卷（1）（满分150分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知函数1()y f x -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数，则1()f x -= ．2．若集合2214x A x y ⎧⎫⎪⎪=-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{}1B x x =≥，则A B = ． 3．函数lg 3y x =-的定义域是．4．已知行列式cos sin 21x x =-，(0,)2x π∈，则x = ．5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3050S =，5030S =，则80S = ． 6．函数log (3)1a y x =+-(0a >且1)a ≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为 ． 7．设等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若*2()31n n S n n N T n =∈+，则54a b = ． 8．2310(133)x x x +++展开式中系数最大的项是 ．9．电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由4个数字组成，则一天中任一时刻显示的4个数字之和为23的概率为 ．10．已知tan ,tan αβ是关于x 的方程2(23)(2)0mx m x m +-+-=(0)m ≠的两根，则tan()αβ+的最小值为．11．若不等式(0)x a ≥>的解集为[,]m n ，且2m n a -=，则a 的取值集合为 ．12．如图，若从点O 所作的两条射线,OM ON 上分别有点12,M M 与点12,N N ，则三角形面积之比21212211ON ON OM OM S S N OM N OM ⋅=∆∆，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线,OP OQ 和OR 上， 分别有点12,P P ，点12,Q Q 和点12,R R ，则类似的结论 为 ．13．圆锥的底面半径为cm 5 ，高为12cm ，则圆锥的内接圆柱全面积的最大值为 ．14．已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实根，现有四个命题： ① 方程[()]f f x x =也一定没有实数根；② 若0a >，则不等式[()]f f x x >对一切x R ∈恒成立； ③ 若0a <，则必存在实数0x 使不等式00[()]f f x x >成立； ④ 若0a b c ++=，则不等式[()]f f x x <对一切x R ∈成立； 其中是真命题的有 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．15． “arcsin 1x ≥”是“arccos 1x ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．248211111lim(1)(1)(1)(1)...(1)22222n n →∞+++++=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．417．设(0,0)O ，(1,0)A ，(0,1)B ，点P 是线段AB 上的一个动点，AP AB λ=，若OP AB PA PB ⋅≥⋅，则实数λ的取值范围是（ ）A ．112λ≤≤ B ．112λ-≤≤C ．1122λ≤≤+D ．1122λ-≤≤+18．若对于满足13t -≤≤的一切实数t ，不等式222(3)(3)0x t t x t t -+-+->恒成立，则x 的取值范围为（ ） A ．(,2)(9,)-∞-+∞ B ．(,2)(7,)-∞-+∞ C ．(,4)(9,)-∞-+∞D ．(,4)(7,)-∞-+∞三、解答题：（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题6分．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+．（1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程；（2）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．20．（本题满分12分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题6分．设虚数12,z z 满足212z z =．（1）若12,z z 又是一个实系数一元二次方程的两个根，求12,z z ；（2）若11z mi =+(0,m i >为虚数单位)，1z ≤23z ω=+，求ω的取值范围．21．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题7分，第2小题7分．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知AC BC =，D 为AB 的中点，平面111A B C ⊥平面11ABB A ，且异面直线1BC 与1AB 互相垂直． （1）求证：1AB ⊥平面1ACD ；（2）若1CC 与平面11ABB A 的距离为1，115AC AB =， 求三棱锥1A ACD -体积．7分．已知函数()f x 的图象在[,]a b 上连续不断，定义：若存在最小正整数k ，使 得()()f x k x a ≤-对任意[,]x a b ∈恒成立，则称函数()f x 为[,]a b 上的 “k 函数”. （1）已知函数()2f x x m =+是[1,2]上的“1函数”，求m 的取值范围； （2）已知函数()3f x x m =+是[1,2]上的“2函数”，求m 的取值范围；（3）已知函数221,[1,0)()1,[0,1),[1,4]x x f x x x x ⎧-∈-⎪=∈⎨⎪∈⎩，试判断()f x 是否为[1,4]-上的“k 函数”，若是，求出对应的k ； 若不是，请说明理由．8分．数列{},{}n n a b 满足：11,a a b b ==，且当2k ≥时，,k k a b 满足如下条件： 当1102k k a b --+≥时，111,2k k k k k a ba ab ---+==， 当1102k k a b --+<时，111,2k k k k k a ba b b ---+==。
2015长春十一高第一次联考文科数学
长春市十一高中 东北师大附中 通化一中 2015届高三年级第一次联考数学试卷（文科）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}3,2,1A =，{}7,5B =.{}B b A a ab x x M ∈∈==,,，则M 中元素的个数为（ ）A.3B.4C.5D.6 2.复数iiz ++=121的模等于（ ） A.25B. 2C. 210D.25 3.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果为（ ） A.32 B.1811 C.2713D.434.若x 1-<，则11++=x x y 的最大值为（ ） A. 3 B.1- C.1 D.3- 5.下列命题中，真命题的个数为（ ） ①“若22b a <，则b a <”的否命题； ②“,R x ∈∃使25cos =x ； ③“在ABC ∆中，B A <是B A cos cos >的充要条件；A.1B.2C.3D.06.等比数列}{n a 中，若24313383=a a a 则=1029a a （ ）A .9 B.3 C.3- D.9-7.某化妆品公司市场部对某超市的专柜的销售额作了统计与预测，发现每个季度的销 售额y (单位/元)与第x 季度之间近似满足关系式：()()09500sin 500>++=ωϕωx y ,已知第一、二季度的销售额如下表所示：则此专柜在第三季度的销售额大约是（ ）A.10000元B.9500元C.9000元D.8500元8．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线为21,l l ，过右焦点且垂直于x轴的直线与21,l l 所围成的三角形面积为（ ）A. a b b a 32+B. a b a 33+C. a b b a 3222+D. ab a 3322+9.如图为某三棱椎的三视图，三种视图的轮廓线都是边长为1的正方形，则该三棱锥的体积为（ ） A. 61 B.1 C.31 D.2110.在ABC ∆中，c b a ,,是三个内角C B A ,,的对边，且3,2,5===c b a ，则AB CA CA BC BC AB ⋅+⋅+⋅等于（ ）A.6-B.6C.5D.4-(9题图)11.一个样本容量为20的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{}n a ，若83=a ，且前4项和284=S ，则此样本的平均数和中位数分别是（ ）A.23,22B.22,23C.23,23D.24,23 12.如果对定义在R 上的函数()x f ，对任意21x x ≠都有()()()()12212211x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数为“Z 函数”.给出下列函数：①13++-=x x y ；②()x xx y c o s s i n 23--=；③1+=xe y ；④()⎩⎨⎧=≠=)0(00ln x x x y ，其中函数是“Z 函数”的个数是（ ）A.4B.3C.2D.1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若77=S ，7515=S ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前21项和为 ．14.变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≥5231y x x y x ，则y x z +=2的最大值为 .15.圆C 的方程为2522=+y x ，直线l 过()10,0，且直线l 被圆截得的弦长为152，则l 的方程为 .16.设O 是ABC ∆的内心，7,6,5===BC AC AB ，OB y OA x OP +=，1,0≤≤y x ，则动点P 所覆盖的平面区域的面积是 .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且C B A ,,满足关系：37)cos(12cos =+-C A B ，（1）求B sin ；（2）若11=∆ABC S ，1+=c a ，求b .18．（本小题满分12分）设),(b a 为有序实数对，其中a 是从区间)1,3(-=A 中任取的一个整数，b 是从区间)3,2(-=B 中任取的一个整数. （1）请列举出),(b a 各种情况； （2）求“B A a b ∈-”的概率.19. （本小题满分12分）如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，2=AB ，1==EF CE .（1）求证：AF ∥平面BDE ； （2）求证：CF ⊥平面BDE .20.（本题满分12分）已知圆C ：2)1()1(22=-+-y x 经过椭圆E ：)0(12222>>=+b a b x a y 的上焦点F 和右顶点B ． （1）求椭圆E 的方程； （2）过原点O 的射线l 与椭圆E 在第一象限的交点为M ，与圆C 的交点为P ，N 为OP 的中点，求OM ON ⋅的最大值.21（本小题满分12分）已知函数23)(nx mx x f +=，其图像在点))3(,3(f 处的切线方程为x y 6227-=，且对任意的[)+∞,1，x a x f ln )1(≤-'恒成立. （1）求函数)(x f 的解析式； （2）求实数a 的最小值.请考生在（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，D C B A ,,,四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上.（1）若31=EB EC ，21=EA ED ，求ABDC的值； （2）若FB FA EF ⋅=2，证明：EF ∥CD .23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线1C 的极坐标方程为32cos 2=θρ，曲线2C 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12t y mt x ，（t 是参数，m 是常数）（1）求1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（2）若2C 与1C 有两个不同的公共点，求m 的取值范围.24．（本题满分 10 分）选修 4一5 ：不等式选讲 设x x x f 4)(2+=，12)(++-=a a a g （1）解不等式：)3()(g x f ≥；（2）若存在实数x 使方程0)()(=+a g x f 成立，求实数a 的取值范围.D C BAEF。
2015届高三一诊模拟数学(文)试题及答案
一 .选择题 (共 10 小题 ,每小题 5 分 ,满分 50 分 )
1.已知集合 A { x || x 1| 2} , B { x | log 2 x 2} ,则 A B (
A. ( 1,4)
B. ( 1,3)
C. (0,3)
a 3i
2.若复数
(a
1 2i
A. 6
,对其加工的零件进行检测 ,若两人
加工的合格零件个数之和大于 17 ,则称该车间“质量合格” ,求该车间“质量合格”的概率 .[来源:]
(注 :方差
s2=
1 [(
x1
x)2
( x2
x) 2
n
(xn x)2] ，其中 x 为数据 x1, x2 , , xn 的平均数 ).
19.(本小题满分 12 分 )
6
x02 ,
∴方程①为 x2 2 x0 x x02 0 ,即
0 ,∴直线 l 与椭圆 C 有唯一的公共点 .
(ⅱ )∵ F ( 2,0) ,∴过点 F 且与 l 垂直的直线方程为 3 y0 y x0x 6 0 .
∵联立方程组
x
3y0 y x0x 6 0
,∴
x0 x 3y0 y 6 0
y
6x0 18 y02 x0 2 9 y02
③ x2 f ( x1) x1 f ( x2 ) ；
④当 ln x1 1时 , x1 f ( x1) x2 f ( x2 ) 2x2 f (x1) .
其中所有正确命题的序号为
.
三 .解答题 (本大题共 6 小题 ,共 75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )
16.(本小题满分 12 分 )
l ,垂足为 A , | PF | 4,则直线 AF 的倾斜角等于 ( )
吉林省长春市普通高中2015届高三质量监测(二)数学(文)试题(扫描版)(附答案)
长春市普通高中2015届高三质量监测（二）数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)简答与提示：1. 【命题意图】本题主要考查集合交集的运算，属于基础题.【试题解析】D 由题意可知{|1Q x x =-≤或2}x >，所以{|2}P Q x x => . 故选D.2. 【命题意图】本题考查复数的除法运算，以及复平面上的点与复数的关系，属于基础题.【试题解析】D 131255i i i -=--. 故选D. 3. 【命题意图】本题考查解三角函数与几何概型等知识，属于基础题.【试题解析】C 在区间[0,]π上，当5[0,][,]66x πππ∈ 时，1sin [0,]2x ∈，由几何概型知，符合条件的概率为13.故选C. 4. 【命题意图】本题考查含有一个绝对值的函数的单调区间问题，属于简单题.【试题解析】A 函数()f x 在(,)a -∞-上是单调函数，所以1a -≥-，解得1a ≤.故选A.5. 【命题意图】本题主要考查线性规划，是书中的原题改编，要求学生有一定的运算能力.【试题解析】D 由题意可知，35x y +在(1,0)-处取得最小值，在(0,1)处取得最大值，即35[3,5]x y +∈-. 故选D.6. 【命题意图】本题通过正方体的三视图来考查组合体体积的求法，对学生运算求解能力有一定要求.【试题解析】D 该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，所以其体积为41138362--=. 故选D.7. 【命题意图】本题考查向量模的运算.【试题解析】B |2|+==a b 故选B.8. 【命题意图】本题考查学生对茎叶图的认识，通过统计学知识考查程序流程图的认识，是一道综合题.【试题解析】B 由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10. 故选B.9. 【命题意图】本题主要考查学生对三角函数图像的掌握情况，属于基础题.【试题解析】C ()sin(2)6f x x π=+，函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后的解析式为sin(22)y x ϕ=+，从而()12k k πϕπ=+∈N ，有ϕ的最小值为12π. 故选C.10. 【命题意图】本题借助基本不等式考查点到直线的距离，属于中档题.【试题解析】B由直线与圆相切可知||m n +=(1)(1)2m n --=，由222(1)(1)()2m n m n +-=--≤可知2m n +≥+故选B. 11. 【命题意图】本题是最近热点的复杂数列问题，属于较难题.【试题解析】B 由题意知，2n n S na +=，当2n ≥时，1(1)(1)n n n a n a -+=-，从而3241231121341n n a a a a n a a a a n --⋅⋅⋅=⋅⋅+ ，有2(1)n a n n =+，当1n =时上式成立，所以2(1)n a n n =+. 故选B. 12. 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，结合着较大的运算量，属于难题.【试题解析】C 由题可知，过I 、III 象限的渐近线的倾斜角为θ，则tan b aθ=，222tan 2ab a b θ=-，因此△OAB 的面积可以表示为3222112tan 227a b a a a a b θ⋅⋅==-，解得34b a =，则54e =. 故选C.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)简答与提示：13. 【命题意图】本题考查导数的运算. 【试题解析】由21ln ()x f x x -'=，得1ln 2(2)4f -'=.14. 【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查考生的基本运算能力.【试题解析】抛物线焦点为(1,0)，直线l 方程为1y x =-，与抛物线方程联立214y x y x =-⎧⎨=⎩得两交点纵坐标差的绝对值为OAB 的面积为15. 【命题意图】球的内接几何体问题是高考热点问题，本题通过求球的截面面积，对考生的空间想象能力及运算求解能力进行考查，具有一定的难度.【试题解析】由三棱锥的外接球半径为2，可知PA =，从而三棱锥的表面积为8+16. 【命题意图】本题主要考查数形结合以及函数的零点与交点的相关问题，需要学生对图像进行理解，对学生的能力提出很高要求，属于难题.【试题解析】由题意可知()f x 是周期为4的偶函数，对称轴为直线2x =. 若()F x 恰有2个零点，有(1)(1)g f =，解得2a =.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查两角和的正切公式，以及同角三角函数的应用，并借助正弦定理考查边角关系的运算，对考生的化归与转化能力有较高要求.【试题解析】解：(1) +,tan tan()A B C C A B π+=∴=-+ (3分) tan 2,tan 3,tan 1,4A B C C π==∴=∴= (6分)(2)因为tan 3B =sin 3sin 3cos cos B B B B ⇒=⇒=，而22sin cos 1B B +=，且B 为锐角，可求得sin B =. (9分)所以在△ABC 中，由正弦定理得，sin sin AB AC B C =⨯=. (12分) 18. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识.本题主要考查数据处理能力.【试题解析】(1)由图可知0.035a =，0.025b =. (4分)(2) 利用分层抽样从样本中抽取5人，其中属于高消费人群的为3人，属于潜在消费人群的为2人. (6分)令高消费的人为,,A B C ，潜在消费的人为,a b ，从中取出三人，总共有：,,,,,,,,,,ABC ABa ABb ACa ACb BCa BCb Aab Bab Cab 10种情况，(8分)其中,,,,,ABa ABb ACa ACb BCa BCb 为获得代金卷总和为200元的情况，(10分) 因此，三人获得代金券总和为200元的概率为35. (12分) 19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、点到平面的距离等问题.【试题解析】解：(1) 取PB 中点N ，连结MN 、AN M 是PC 中点，1//,22MN BC MN BC ∴==， 又//BC AD ，//,MN AD MN AD ∴=，∴四边形ADMN 为平行四边形,AP AD AB AD ⊥⊥ ，AD ∴⊥平面PAB ，AD AN ∴⊥，AN MN ∴⊥AP AB = ，AN PB ∴⊥，AN ∴⊥平面PBC ，AN ⊂ 平面ADM ，∴平面ADM ⊥平面PBC .(6分)（2）由（1）知，,PN AN PN AD ⊥⊥， 所以PN ⊥平面ADM ，即点P 到平面ADM 的距离为PN ，在Rt △PAB 中，由2PA AB ==，得PB =12PN PB ==分) 20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法，椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解：(1) 已知11(||||||)||||22ABC A S AB AC BC r BC y ∆=++⋅=⋅，且||2BC =,||3A y r =，其中r 为内切圆半径，化简得：||||4AB AC +=，顶点A 的轨迹是以B C 、为焦点，4为长轴长的椭圆（去掉长轴端点），其中2,1,a c b ==进而其方程为22143x y +=(0)y ≠. (5分)(2) 证明：当直线PQ 斜率存在时，设直线:(1)PQ y k x =-且11(,)P x y ，22(,)Q x y ，(4,)H m联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+. (8分) 由题意：13m k =，1214y m k x -=-，2324y m k x -=-. 11212312()(4)()(4)(4)(4)y m x y m x k k x x --+--+=-- 21212121212882(5)()2424224()1636363m k kx x m k x x mk m m k x x x x k ++-+++====-+++ 当直线PQ 斜率不存在时，33(1,),(1,)22P Q -，231332222333m m m k k k -++=+== 综上可得1232k k k =+.(12分) 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值的情况. 本小题对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解：（1）()2a f x x a x '=--，由题意可得(1)0f '=，解得1a = 经检验，1a =时()f x 在1x =处取得极值，所以1a = (3分)（2）证明：由（1）知，2()ln f x x x x =-- 令3232511311()()(4)3ln 326326x x x x g x f x x x x =--+-+=-+-- 由33211(1)()333(1)(0)x x g x x x x x x x x--'=-+-=--=>， 可知()g x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数所以()(1)0g x g ≥=，所以32511()4326x x f x x ≥-+-+成立 (8分) （3）由[,)x e ∈+∞知，ln 0x x +>所以()0f x ≥恒成立等价于2ln x a x x≤+在[,)x e ∈+∞时恒成立 令2()ln x h x x x=+，[,)x e ∈+∞，有2(12ln )()0(ln )x x x h x x x -+'=>+， 所以()h x 在[,)e +∞上是增函数，有2()()1e h x h e e ≥=+，所以21e a e ≤+. (12分)22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到弦切角定理以及三角形 相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解：(1) 由题意可知，EPC APC ∠=∠，PEB PAC ∠=∠，则△PED ∽△PAC ，则PE PD PA PC =，又PE ED PB BD =，则ED PB PD BD PA PC⋅=. (5分) (2) 由EPC APC ∠=∠，PEB PAC ∠=∠，可得CDE ECD ∠=∠，在△ECD 中，30CED ∠= ，可知75PCE ∠= .(10分)23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求. 【试题解析】解：(1) 对于曲线1C 有1x y +=，对于曲线2C 有2214x y +=.(5分) (2) 显然曲线1C ：1x y +=为直线，则其参数方程可写为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）与曲线2C ：2214x y +=联立，可知0∆>，所以1C 与2C 存在两个交点，由12t t +=，1285t t =，得21||d t t =-==. (10分)。
吉林省东北师大附中高三数学上学期第一次摸底考试试题 文(含解析)新人教A版
吉林省东北师大附中2015届高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题（解析版）试卷满分：150分 考试时间：120分钟【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。
第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】（1）设集合M={|1x Z x ∈≤},N={|(2)0x R x x ∈-≤},则如图所示的Venn 图的阴影部分所表示的集合为(A){0} (B){0,1} (C)[0,1](D)[-1,1]【知识点】交集及其运算.A1 【答案解析】B 解析：M={|1x Z x ∈≤}= {}1,0,1-，N={|(2)0x R x x ∈-≤}= {}|02x x ＃，则{}0,1M N =I【思路点拨】先把集合化简，再求交集即可。
【题文】(2)“21x <”是“1x <”成立的（A ）充分必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【知识点】充要条件.A2【答案解析】C 解析：由21x <解得11x -<<Þ1x <，但1x <不能推出11x -<<，所以“21x <”是“1x <”成立的充分不必要条件，故选C.【思路点拨】先解出21x <，再做出双向判断即可。
【题文】（3）函数()ln f x x=的定义域为 （A ）[-2,2] (B)(0,2] (C)(0,1)(1,2) (D)(0,1)(1,2]【知识点】函数的定义域。
B1【答案解析】C 解析：由题意可知满足：24001x x x ì-?ïí>?ïî且，解得其定义域为(0,1)(1,2)，故选C.【思路点拨】由题意列出不等式组即可。
吉林省长春市东北师大附中高三数学上学期第一次摸底试卷 理(含解析)
吉林省长春市东北师大附中2015届高三上学期第一次摸底数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）集合A={x|log3（x﹣1）＜1}，B={x|＜2﹣x＜1}，则A∩B=（）A．（1，2）B．（1，4）C．（﹣2，0）D．（0，2）2．（5分）命题“对任意的x∈R，都有2x2﹣x+1≥0”的否定是（）A．对任意的x∈R，都有2x2﹣x+1＜0B．存在x0∈R，使得2x02﹣x0+1＜0C．不存在x0∈R，使得2x02﹣x0+1＜0D．存在x0∈R，使得2x02﹣x0+1≥03．（5分）曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．4e2C．2e2D．e24．（5分）下列函数中是偶函数且在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=2﹣x B．y=lnx C．y=x﹣2D．y=|x|﹣15．（5分）“a＞1”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）若0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是（）A．ab＜b2＜1 B．log＞logC．2b＜2a＜2 D．a2＜ab＜17．（5分）如图，直线l和圆c，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90度）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）定积分dx的值是（）A．+ln2 B．C．3+ln2 D．9．（5分）偶函数f（x）的定义域为R，g（x）=f（x﹣1），g（x）是奇函数，且g（3）=1，则f=（）A．0 B．1 C．﹣1 D．201410．（5分）函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为（）A．（3，﹣3）B．（﹣4，11）C．（3，﹣3）或（﹣4，11）D．不存在11．（5分）若[﹣1，1]⊆{x||x2﹣tx+t|≤1}，则实数t的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[2﹣2，0] C．（﹣∞，﹣2] D．[2﹣2，2+2]12．（5分）[x]表示不超过x的最大整数，函数f（x）=|x|﹣[x]①f（x）是周期为1的函数；②f（x）的定义域为R；③f（x）的值域为[0，1）④f（x）是偶函数；⑤f（x）的单调增区间为（k，k+1）（k∈N）．上面的结论正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）设函数f（x）=，若f（f（1））=2，则a的值为．14．（5分）函数f（x）=x3﹣3x+m恰好有两个零点，则m的值为．15．（5分）函数f（x）是定义在（0，4）上的减函数，且f（a2﹣a）＞f（2），则a的取值范围是．16．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．三、解答题：解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程17．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，不等式f（x）＞﹣2x的解集为{x|1＜x＜3}．（Ⅰ）若方程f（x）=2a有两个相等正根，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．18．（12分）根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元．方案2：建保护围墙，建设费为2000元．但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施．试比较哪一种方案好．并简单分析你的选择对气象情况多次发生和对一次具体决策的影响．19．（12分）在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AD∥BC，AD=1，AB=BC=2，cos ＜，＞=．（Ⅰ）求直线BS与平面SCD所成角的正弦值；（Ⅱ）求面SAB与面SCD所成二面角的正弦值．20．（12分）分别过椭圆E：=1（a＞b＞0）左、右焦点F1、F2的动直线l1、l2相交于P 点，与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为k1、k2、k3、k4，且满足k1+k2=k3+k4，已知当l1与x轴重合时，|AB|=2，|CD|=．（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出M、N点坐标，若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1、x2，（x1＜x2）（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x1）＜0，f（x2）＞﹣．四、选做题考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号【选修4-1几何证明选讲】22．（10分）如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC 的平分线分别交AB，AC于点D，E．（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；（Ⅱ）若AC=AP，求的值．【选修4-4，坐标系与参数方程】23．在直角坐标系中，直线l经过点P（2，2），倾斜角α=，以该平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度，圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）写出直线l的参数方程与圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l与圆C相交于A、B两点，求+的值．【选修4-5：不等式选讲】24．证明：﹣＜++…+＜（n=2，3，4…）．吉林省长春市东北师大附中2015届高三上学期第一次摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）集合A={x|log3（x﹣1）＜1}，B={x|＜2﹣x＜1}，则A∩B=（）A．（1，2）B．（1，4）C．（﹣2，0）D．（0，2）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用交集的性质和不等式的性质求解．解答：解：∵A={x|log3（x﹣1）＜1}={x|}={x|1＜x＜4}，B={x|＜2﹣x＜1}={x|0＜x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：A．点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意对数函数、指数函数的性质的合理运用．2．（5分）命题“对任意的x∈R，都有2x2﹣x+1≥0”的否定是（）A．对任意的x∈R，都有2x2﹣x+1＜0B．存在x0∈R，使得2x02﹣x0+1＜0C．不存在x0∈R，使得2x02﹣x0+1＜0D．存在x0∈R，使得2x02﹣x0+1≥0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：将量词改为“存在”，将结论否定当结论．由此得到原命题的否定．解答：解：由全称命题的否定方法得：“对任意的x∈R，都有2x2﹣x+1≥0”的否定是“存在x0∈R，使得2x2﹣x+1＜0成立．故选B．点评：本题考查了全称命题的否定方法，属于容易题．3．（5分）曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．4e2C．2e2D．e2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：利用导数求曲线上点切线方程，求直线与x轴，与y轴的交点，然后求切线与坐标轴所围三角形的面积．解答：解：∵曲线y=，∴y′=×，切线过点（4，e2）∴f（x）|x=4=e2，∴切线方程为：y﹣e2=e2（x﹣4），令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），令x=0，y=﹣e2，与y轴的交点为：（0，﹣e2），∴曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|﹣e2|=e2，故选D．点评：此题主要考查利用导数求曲线上点切线方程，解此题的关键是对曲线y=能够正确求导，此题是一道基础题．4．（5分）下列函数中是偶函数且在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=2﹣x B．y=lnx C．y=x﹣2D．y=|x|﹣1考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据基本初等函数的单调性奇偶性，逐一分析答案四个函数在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案．解答：解：A，y=2﹣x定义域是{x|x≠0}，是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，则A不符合；B，函数y=lnx的定义域是（0，+∞），则是非奇非偶函数，B不符合题意；C，函数y=x﹣2的定义域是{x|x≠0}，但在（0，+∞）单调递减，C不符合题意；D，y=|x|﹣1为偶函数，在（0，+∞）上单调递增，D正确．故选：D．点评：本题考查函数奇偶性与单调性，解题的关键是熟练掌握函数奇偶性与单调性的判断方法，以及基本函数奇偶性和单调性，考查了推理判断的能力．5．（5分）“a＞1”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．分析：可以把不等式“”变形解出a的取值范围来，然后再作判断，具体地来说，两边同乘以分母a要分类讨论，分a＞0，a＜0两类来讨论，除了用符号法则，这是解答分式不等式的另一种重要方法．解答：解：由得：当a＞0时，有1＜a，即a＞1；当a＜0时，不等式恒成立．所以⇔a＞1或a＜0从而a＞1是的充分不必要条件．故应选：A点评：本题考查不等式的性质及其应用，解分式不等式的问题，不等式的等价变形！本题需要注意的是在利用不等式的乘法单调性时易出错，比如本题中若原不等式两边同乘以a，等到a＞1就是对不等式两边同乘以一个正数还是负数不等式是否改变方向认识不足导致的错误．6．（5分）若0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是（）A．ab＜b2＜1 B．log＞logC．2b＜2a＜2 D．a2＜ab＜1考点：不等式的基本性质．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：取特殊值，确定A，B，D不正确，0＜b＜a＜1，2＞1，利用指数函数的单调性，可得C正确．解答：解：b=，a=，则ab=，b2=，故A不正确；a2=，ab=，故D不正确；log=﹣2，log=﹣1，故B不正确；∵0＜b＜a＜1，2＞1，∴2b＜2a＜2，故选：C．点评：本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，若利用特殊值代入法，可排除不符合条件的选项．7．（5分）如图，直线l和圆c，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90度）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（）A．B．C．D．考点：直线与圆相交的性质．专题：图表型；规律型；数形结合法．分析：由图象可以看出，阴影部分的面积一开始增加得较慢，面积变化情况是先慢后快然后再变慢，由此规律找出正确选项解答：解：观察可知面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求故选D点评：本题考查直线与圆相交的性质，解答本题的关键是根据所给的图形得出直线扫过的阴影部分的面积变化规律，利用函数的思想找出正确答案，本题考查识图的能力以及根据实际问题选择函数模型的能力．8．（5分）定积分dx的值是（）A．+ln2 B．C．3+ln2 D．考点：定积分．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求出被积函数的原函数，直接代入积分上限和积分下限后作差得答案．解答：解：dx===ln2﹣ln1+=．故选：A．点评：本题考查了定积分，关键是求出被积函数的原函数，是基础题．9．（5分）偶函数f（x）的定义域为R，g（x）=f（x﹣1），g（x）是奇函数，且g（3）=1，则f=（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2014考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据g（x）是奇函数及已知条件得到f（x+1）=﹣f（x﹣1），即f（x﹣1）=﹣f（x+1），所以f（x）=﹣f（x+2）=f（x+4），所以函数f（x）的周期是4，所以f=f（2+503×4）=f（2），所以根据已知条件求f（2）即可．解答：解：∵g（x）是奇函数，∴g（﹣x）=f（﹣x﹣1）=﹣g（x）=﹣f（x﹣1）；又f（x）是偶函数，∴f（x+1）=﹣f（x﹣1），即f（x﹣1）=﹣f（x+1），∴f（x）=﹣f（x+2）=f（x+4）；∴f（x）是周期为4的周期函数；∴f=f（2+503×4）=f（2）=g（3）=1．故选B．点评：考查奇偶函数的定义，以及函数周期的概念．10．（5分）函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为（）A．（3，﹣3）B．（﹣4，11）C．（3，﹣3）或（﹣4，11）D．不存在考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题．分析：首先对f（x）求导，然后由题设在x=1时有极值10可得解之即可求出a和b的值．解答：解：对函数f（x）求导得f′（x）=3x2﹣2ax﹣b，又∵在x=1时f（x）有极值10，∴，解得或，验证知，当a=3，b=﹣3时，在x=1无极值，故选B．点评：掌握函数极值存在的条件，考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力，属于中档题．11．（5分）若[﹣1，1]⊆{x||x2﹣tx+t|≤1}，则实数t的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[2﹣2，0] C．（﹣∞，﹣2] D．[2﹣2，2+2]考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；函数的性质及应用；集合．分析：令y=x2﹣tx+t，由题意，将集合的包含关系可化为求函数的最值的范围．解答：解：令y=x2﹣tx+t，①若t=0，则{x||x2≤1}=[﹣1，1]，成立，②若t＞0，则y max=（﹣1）2﹣t（﹣1）+t=2t+1≤1，即t≤0，不成立；③若t＜0，则y max=（1）2﹣t+t=1≤1，成立，y min=（）2﹣t•+t≥﹣1，即t2﹣4t﹣4≤0，解得，2﹣2≤t≤2+2，则2﹣2≤t＜0，综上所述，2﹣2≤t≤0．故选B．点评：本题考查了集合的包含关系的应用，属于基础题．12．（5分）[x]表示不超过x的最大整数，函数f（x）=|x|﹣[x]①f（x）是周期为1的函数；②f（x）的定义域为R；③f（x）的值域为[0，1）④f（x）是偶函数；⑤f（x）的单调增区间为（k，k+1）（k∈N）．上面的结论正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知中[x]表示不超过x的最大整数，我们可以分别求出函数y=|x|﹣[x]的值域，奇偶性，周期性，单调性，比较已知中的⑤个结论，即可得到答案．解答：解：∵f（x）=|x|﹣[x]，函数的定义域为R∴f（x+1）=|x+1|﹣[x+1]=|x+1|﹣[x]﹣1=|x|﹣[x]=f（x），∴f（x）=|x|﹣[x]在R上为周期是1的函数．∵当0≤x＜1时，f（x）=|x|﹣[x]=|x|﹣0=|x|，∴函数{x}的值域为[0，1），函数y=|x|﹣[x]为非奇非偶函数，∵函数y=|x|﹣[x]在区间（0，1）上为增函数，∴f（x）的单调增区间为（k，k+1）（k∈N）故①②③⑤正确，故选：C点评：本题的考查的知识点是函数的值域，单调性，奇偶性和周期性，其中正确理解新定义是解题的关键．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）设函数f（x）=，若f（f（1））=2，则a的值为﹣5．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得f（1）=2e1﹣1=2，从而f（f（1））=f（2）=log3（4﹣a）=2，由此能求出a 的值．解答：解：∵数f（x）=，f（f（1））=2，∴f（1）=2e1﹣1=2，∴f（f（1））=f（2）=log3（4﹣a）=2，∴4﹣a=9，解得a=﹣5．故答案为：﹣5．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．14．（5分）函数f（x）=x3﹣3x+m恰好有两个零点，则m的值为﹣2或2．考点：利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：若函数f（x）恰好有两个不同的零点，等价为函数的极值为0，建立方程即可得到结论解答：解：：∵f（x）=x3﹣3x+m，∴f'（x）=3x2﹣3，由f'（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1，此时函数单调递增，由f'（x）＜0，得﹣1＜x＜1，此时函数单调递减．即当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值，当x=1时，函数f（x）取得极小值．要使函数f（x）=x3﹣3x+a只有两个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0，由极大值f（﹣1）=﹣1+3+m=m+2=0，解得m=﹣2；再由极小值f（1）=1﹣3+m=m﹣2=0，解得m=2．综上实数m的取值范围：m=﹣2或m=2，故答案为：﹣2或2．点评：本题主要考查三次函数的图象和性质，利用导数求出函数的极值是解决本题的关键，属于中档题．15．（5分）函数f（x）是定义在（0，4）上的减函数，且f（a2﹣a）＞f（2），则a的取值范围是（﹣1，0）∪（1，2）．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：因为f（x）是定义在（0，4）上的减函数，所以由f（a2﹣a）＞f（2）得，解该不等式组即得a的取值范围．解答：解：根据已知条件，原不等式变成，解得﹣1＜a＜0，或1＜a＜2；∴a的取值范围是（﹣1，0）∪（1，2）．故答案为：（﹣1，0）∪（1，2）．点评：考查函数单调性的定义，根据函数的单调性解不等式，以及函数的定义域，解一元二次不等式．16．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：由当x≥0时，f（x）=x2，函数是奇函数，可得当x＜0时，f（x）=﹣x2，从而f（x）在R上是单调递增函数，且满足2f（x）=f（x），再根据不等式f（x+t）≥2f（x）=f（x）在[t，t+2]恒成立，可得x+t≥x在[t，t+2]恒成立，即可得出答案．解答：解：当x≥0时，f（x）=x2∵函数是奇函数∴当x＜0时，f（x）=﹣x2∴f（x）=，∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足2f（x）=f（x），∵不等式f（x+t）≥2f（x）=f（x）在[t，t+2]恒成立，∴x+t≥x在[t，t+2]恒成立，即：x≤（1+）t在[t，t+2]恒成立，∴t+2≤（1+）t解得：t≥，故答案为：[，+∞）．点评：本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．三、解答题：解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程17．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，不等式f（x）＞﹣2x的解集为{x|1＜x＜3}．（Ⅰ）若方程f（x）=2a有两个相等正根，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；二次函数的性质；一元二次不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）由题意可得ax2+（b+2）x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，可得，即，代入ax2+bx+c=2a 整理，根据此方程的判别式△=0，求得a的值，可得b、c的值，从而求得f（x）的解析式．（Ⅱ）由题意可得，由此求得a的范围．解答：解：（Ⅰ）∵已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，不等式f（x）＞﹣2x的解集为{x|1＜x＜3}．故ax2+（b+2）x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，故有，整理可得，代入ax2+bx+c=2a 可得 ax2﹣（4a+2）x+a=0．再根据此方程的判别式△=（4a+2）2﹣4a2=0，求得a=﹣1，或a=﹣．当a=﹣1时，b=2，c=﹣3，此时，f（x）=﹣x2+2x﹣3，满足条件．当a=﹣时，b=﹣，c=﹣1，此时，f（x）=﹣x2﹣x﹣1，此方程有2个负实数根，不满足条件，故舍去．综上可得，f（x）=﹣x2+2x﹣3．（Ⅱ）若f（x）=ax2﹣（4a+2）x+3a（a＜0）的最大值为正数，则有，求得a＜﹣2﹣，或 0＞a＞﹣2+．点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．18．（12分）根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元．方案2：建保护围墙，建设费为2000元．但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施．试比较哪一种方案好．并简单分析你的选择对气象情况多次发生和对一次具体决策的影响．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：用X i表示方案i（i=1，2，3）的损失，由题意即可得出：若采用第一中方案，X i=3800．采用第二种方案，．同样，采用第三种方案，有．再利用数学期望的计算公式即可得出．解答：解：用X i表示方案i（i=1，2，3）的损失，若采用第一中方案，无论是否有洪水，都损失3800元．即X i=3800．采用第二种方案，遇到大洪水时，损失2000+60000=62000元，没有大洪水时，损失2000元，即．同样，采用第三种方案，有．于是E（X1）=3800，E（X2）=62000×P（X2=62000）+2000×P（X2=2000）=62000×0.01+2000×（1﹣0.01）=2600．E（X3）=60000×P（X3=60000）+10000×P（X3=10000）+0×P（X3=0）=60000×0.01+10000×0.25=3100．综上可知：采用方案2的平均损失最小，因此可以选择方案2．点评：上述选择是通过比较“平均损失”而得出的，我们可以这样来理解“平均损失”：如果问题的气象情况多次发生，那么采用方案2将会使损失减到最小，由于洪水是否发生的大小都是随机的，因此个别的因此决策，方案2也不一定是最好的．19．（12分）在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AD∥BC，AD=1，AB=BC=2，cos ＜，＞=．（Ⅰ）求直线BS与平面SCD所成角的正弦值；（Ⅱ）求面SAB与面SCD所成二面角的正弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：（Ⅰ）设SA=m，由已知得4+m2=1+m2+5﹣2××，从而得m=2，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出直线BS与平面SCD所成角的正弦值．（Ⅱ）求出平面SAB的法向量，利用向量法能求出平面SAB与面SCD所成的二面角的正弦值．解答：解：（Ⅰ）设SA=m，∵SA2=DS2+DB2﹣2DS•DBcos＜＞，∴4+m2=1+m2+5﹣2××，解得m=2，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则D（1，0，0），C（2，2，0），S（0，0，2），B（0，2，0），=（0，﹣2，2），=（1，2，0），=（﹣1，0，2），设平面SCD的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，则=（2，﹣1，1），设直线BS与平面SCD所成角为θ，则sinθ===．（Ⅱ）∵SA⊥底面ABCD，AD⊥AB，∴平面SAB的法向量为=（1，0，0），cos＜＞==，平面SAB与面SCD所成的二面角的正弦值为=．点评：本题考查直线BS与平面SCD所成角的正弦值的求法，考查面SAB与面SCD所成二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）分别过椭圆E：=1（a＞b＞0）左、右焦点F1、F2的动直线l1、l2相交于P 点，与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为k1、k2、k3、k4，且满足k1+k2=k3+k4，已知当l1与x轴重合时，|AB|=2，|CD|=．（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出M、N点坐标，若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知条件推导出|AB|=2a=2，|CD|=，由此能求出椭圆E的方程．（2）焦点F1、F2坐标分别为（﹣1，0），（1，0），当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，由此利用韦达定理结合题设条件能推导出存在点M，N其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2．解答：解：（1）当l1与x轴重合时，k1+k2=k3+k4=0，即k3=﹣k4，∴l2垂直于x轴，得|AB|=2a=2，|CD|=，解得a=，b=，∴椭圆E的方程为．（2）焦点F1、F2坐标分别为（﹣1，0），（1，0），当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，∴，，===，同理k3+k4=，∵k1+k2=k3+k4，∴，即（m1m2+2）（m2﹣m1）=0，由题意知m1≠m2，∴m1m2+2=0，设P（x，y），则，即，x≠±1，由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0）也满足，∴点P（x，y）点在椭圆上，∴存在点M，N其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值的判断与证明，对数学思维的要求较高，有一定的探索性，解题时要注意函数与方程思想、等价转化思想的合理运用．21．（12分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1、x2，（x1＜x2）（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x1）＜0，f（x2）＞﹣．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数研究函数的极值，求导，f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，由于函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点⇔g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．对a分类讨论，解得即可．（2）先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．解答：解：（1）f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，∵函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x）=﹣2a=，当a≤0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递增，因此g（x）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=．令g′（x）＞0，解得0＜x＜，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得x＞，此时函数g（x）单调递减．∴当x=时，函数g（x）取得极大值．当x趋近于0与x趋近于+∞时，g（x）→﹣∞，要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，则g（）=＞0，解得0＜a＜．∴实数a的取值范围是（0，）．（2）由（1）得0＜x1＜＜x2，f′（x1）=lnx1+1﹣2ax1=0，f′（x2）=lnx2+1﹣2ax2=0．且f（x1）=x1（lnx1﹣ax1）=x1（2ax1﹣1﹣ax1）=x1（ax1﹣1）＜x1（﹣ax1）=﹣a＜0，f（x2）=x2（lnx2﹣ax2）=x2（ax2﹣1）＞1×（a×﹣1）=﹣．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．四、选做题考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号【选修4-1几何证明选讲】22．（10分）如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC 的平分线分别交AB，AC于点D，E．（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；（Ⅱ）若AC=AP，求的值．考点：弦切角；相似三角形的性质．专题：证明题．分析：（Ⅰ）根据弦切角定理，得到∠BAP=∠C，结合PE平分∠APC，可得∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，最后用三角形的外角可得∠ADE=∠AED；（Ⅱ）根据AC=AP得到∠APC=∠C，结合（I）中的结论可得∠APC=∠C=∠BAP，再在△APC中根据直径BC得到∠PAC=90°+∠BAP，利用三角形内角和定理可得．利用直角三角形中正切的定义，得到，最后通过内角相等证明出△APC∽△BPA，从而．解答：解：（Ⅰ）∵PA是切线，AB是弦，∴∠BAP=∠C．又∵∠APD=∠CPE，∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE．∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，∴∠ADE=∠AED．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠BAP=∠C，∵∠APC=∠BPA，∵AC=AP，∴∠APC=∠C∴∠APC=∠C=∠BAP．由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°．∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．∴∠APC+∠C+∠BAP=180°﹣90°=90°．∴．在Rt△ABC中，，即，∴．∵在△APC与△BPA中∠BAP=∠C，∠APB=∠CPA，∴△APC∽△BPA．∴．∴．…（10分）点评：本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理、直角三角形中三角函数的定义和相似三角形的性质等知识点，属于中档题．找到题中角的等量关系，计算出Rt△ABC是含有30度的直角三角形，是解决本题的关键所在．【选修4-4，坐标系与参数方程】23．在直角坐标系中，直线l经过点P（2，2），倾斜角α=，以该平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度，圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）写出直线l的参数方程与圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l与圆C相交于A、B两点，求+的值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）由直线l经过点P（2，2），倾斜角α=，可得直线l的参数方程（t为参数）；圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ．利用即可得出直角坐标方程．（II）把直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程可得：，可得根与系数的关系，可得+==．解答：解：（I）由直线l经过点P（2，2），倾斜角α=，可得直线l的参数方程（t为参数）；圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ．∴直角坐标方程为x2+y2=2x．（II）把直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程可得：+=2，化为，t1+t2=﹣＜0，t1t2=4＞0，∴t1＜0，t2＜0．∴+===．点评：本题考查了直线的参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．证明：﹣＜++…+＜（n=2，3，4…）．考点：反证法与放缩法．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：利用＜=﹣，＞=﹣，即可证明结论．解答：证明：∵＜=﹣，∴++…+＜1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；∵＞=﹣，∴++…+＞﹣+﹣…+﹣=﹣，∴﹣＜++…+＜（n=2，3，4…）．点评：本题考查放缩法，考查学生分析解决问题的能力，利用＜=﹣，＞=﹣，是关键．。
吉林省长春外国语学校2015届高三上学期第一次月考数学(文)(附答案)
吉林省长春外国语学校2015届高三上学期第一次月考数学（文）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中，只有一项正确.1. 已知集合}4,3,2,1{=A ，}6,5,4,3{=B ，若=B A },{b a ，则b a +=（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 92. 已知集合}076|{2<--=x x x A ，}082|{2≥-+=x x x B ，则B C A R =( ) A. }71|{<<-x x B.}42|{-<>x x x 或 C.}21|{<<-x x D.}74|{<<-x x3. 若命题p ：0122>+-x x ，命题q ：0342≤+-x x ，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件 D 既不充分也不必要条件4. 已知命题p ：R x ∈∀，0422>+-x x ，则命题p 的否定形式为（ ） A. R x ∈∀，0422≤+-x x B. R x ∈∀，0422<+-x x C. R x ∈∃，0422≤+-x x D. R x ∈∃，0422<+-x x5. 已知命题p ：012=-x ，命题q ：a x <||，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1≤aB. 1<aC. 1≥aD. 1>a6. 已知函数1||4)(2--=x x x f ，则其定义域为（ ）A.[2-，2]B.[2-，11() ，2]C.]2,1()1,1()1,2[ ---D. )2,1()1,1()1,2( ---7. 已知函数⎩⎨⎧<+≥=)0)(2()0()(2x x f x x x f ，则=-)7(f （ ）A. 1B. 4C. 16D. 498. 若函数)(x f 对任意的R x ∈满足)()(x f x f -=-，当0≥x 时，x x x f 2)(2-= 则不等式0)(>x xf 的解集是（ ）A. ),2(+∞B. )0,2(-),2(+∞C. )2,(--∞),2(+∞D. )2,0()0,2( -9. 在复平面内，复数i z -=1对应于点P ，则该点在以原点为极点，实轴的正半轴为极轴的极坐标系中所对应的极坐标是（ ） A. )47,2(π B. )45,2(π C. )43,2(πD. )43,2(π10. 已知圆的极坐标方程为θρcos 2=，则它所对应的参数方程为（ ）甲班 乙班2 18 1 9 9 1 0 17 0 2 6 8 98 8 3 2 16 2 5 88 15 9A ．)(sin 1cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+==y x B. )(sin -1cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x C. )(sin cos 1为参数θθθ⎩⎨⎧=+=y x D. )(sin cos 1-为参数θθθ⎩⎨⎧=+=y x 11.已知圆C ：θρsin 4=与直线)(423为参数t ty tx ⎩⎨⎧-==交于B A ,两点，则=||AB （ ）A. 2B. 4C. 6D. 812.已知函数)(x f ,对任意的R x ∈,满足0)()(=+-x f x f ,)()2(x f x f =-,且当]1,0[∈x 时,ax x f =)(,若方程0lg )(=-x x f 恰有五个实根,则实数a 的取值范围是（ ） A. )13lg ,3lg 2()7lg ,11lg ( -- B. )13lg ,11(lg )7lg ,3lg 2( --C. )3lg 2,7(lg )11lg ,13lg ( --D. )11lg ,7(lg )3lg 2,13lg ( --第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的指定位置.13.曲线122=+y x 经过⎩⎨⎧='='y y x x 43:ϕ变换后，得到的新曲线的方程为________________.14.定义}|{B x A x x B A ∉∈=*且，若}51|{<<=x x M ，}086|{2≥+-=x x x N ,则N M *=______________________.15.若函数)(x f 对任意的R y x ∈,满足)()()(y f x f y x f +=+且4)2(=f ,则=-)1(f ____.16. 对于函数x x e e x f --=)(的叙述正确的是_____________.(填正确序号) （1）)(x f 为奇函数 （2）)(x f 为增函数（3）)(x f 在0=x 处取极值 （4）)(x f 的图象关于点（0,1）对称三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.(12分) 已知数列}{n a 满足231+=+n n a a ，*∈N n ，11=a ，1+=n n a b (1)证明数列}{n b 为等比数列.(2)求数列}{n a 的通项公式n a 与前n 项和n S .18.（12分）最近我校对高一学生进行了体检，为了了解甲乙两班男生的身高状况，随机从甲乙两班中各抽取 10名男生的身高（单位cm ）,绘制身高的茎叶图如右图： （1）通过茎叶图判断哪个班男生的平均身高较高？ （2）计算甲班的样本方差.1B（3）现从乙班样本身高不低于172cm的同学中随机抽取两名同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率.19.（12分）在三棱柱111CBAABC-中，侧棱1AA⊥底面ABC，1==ACAB,∠0120=BAC,异面直线CB1与1AA成060角，ED,分别是BC,1AB的中点.(1)求证：DE∥平面CCAA11.(2)求三棱锥ABCB-1的体积.20.（12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+babyaxC，椭圆上一点)23,1(--A到其两焦点的距离之和为4.（1）求椭圆C的标准方程.（2）如果斜率为21的直线与椭圆交于FE,两点，试判断直线AFAE,的斜率之和是否为定值？若是，求出其定值.若不是，请说明理由.21.（12分）已知函数2ln)(2++=xaxxf.（1）若)(xf在1=x处的切线与直线13-=xy平行，求实数a的值.（2）若)(xf在),2(+∞上单调递增，求实数a的取值范围.22.（10分）已知曲线1C：)(sin3cos2为参数θθθ⎩⎨⎧==yx，直线2C)(221为参数ttytx⎩⎨⎧=-=（1）将曲线21CC与的参数方程化为普通方程.（2）若曲线21CC与交于BA,两点，求AB的长参考答案一 选择题1B 2D 3D 4C 5D 6C 7A 8C 9A 10C 11B 12A 二 填空题13116922=+y x 14 }{42<<x x15 -2 16 ①② 三 解答题。
吉林省长市东北师大附中高三数学上学期第一次摸底试卷 文(含解析)
吉林省长春市东北师大附中201 5届高三上学期第一次摸底数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）集合A={x|log3（x﹣1）＜1}，B={x|＜2﹣x＜1}，则A∩B=（）A．（1，2）B．（1，4）C．（﹣2，0）D．（0，2）2．（5分）命题“对任意的x∈R，都有2x2﹣x+1≥0”的否定是（）A．对任意的x∈R，都有2x2﹣x+1＜0B．存在x0∈R，使得2x02﹣x0+1＜0C．不存在x0∈R，使得2x02﹣x0+1＜0D．存在x0∈R，使得2x02﹣x0+1≥03．（5分）曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．4e2C．2e2D．e24．（5分）下列函数中是偶函数且在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=2﹣x B．y=lnx C．y=x﹣2D．y=|x|﹣15．（5分）“a＞1”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）若0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是（）A．ab＜b2＜1 B．log＞logC．2b＜2a＜2 D．a2＜ab＜17．（5分）如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（）A．B．C． D．8．（5分）已知函数f（x）=ln﹣3x）+1，则f（lg2）+f=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．29．（5分）偶函数f（x）的定义域为R，g（x）=f（x﹣1），g（x）是奇函数，且g（3）=1，则f=（）A．0 B．1 C．﹣1 D．201410．（5分）函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为（）A．（3，﹣3）B．（﹣4，11）C．（3，﹣3）或（﹣4，11）D．不存在11．（5分）若[﹣1，1]⊆{x||x2﹣tx+t|≤1}，则实数t的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[2﹣2，0] C．（﹣∞，﹣2] D．[2﹣2，2+2]12．（5分）[x]表示不超过x的最大整数，函数f（x）=|x|﹣[x]①f（x）的定义域为R；②f（x）的值域为（0，1]；③f（x）是偶函数；④f（x）不是周期函数；⑤f（x）的单调增区间为（k，k+1）（k∈N）．上面的结论正确的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）设函数f（x）=，若f（f（1））=2，则a的值为．14．（5分）函数f（x）=x3﹣3x+m恰好有两个零点，则m的值为．15．（5分）函数f（x）是定义在（0，4）上的减函数，且f（a2﹣a）＞f（2），则a的取值范围是．16．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．三、解答题：解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程17．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，不等式f（x）＞﹣2x的解集为{x|1＜x＜3}．（Ⅰ）若方程f（x）=2a有两个相等正根，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．18．（12分）有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：组别 A B C D E人数50 100 150 150 50（Ⅰ）为了调查评委对7位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．组别 A B C D E人数50 100 150 150 50抽取人数 6（Ⅱ）在（Ⅰ）中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．19．（12分）如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆O上的点．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC．20．（12分）分别过椭圆E：=1（a＞b＞0）左、右焦点F1、F2的动直线l1、l2相交于P 点，与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为k1、k2、k3、k4，且满足k1+k2=k3+k4，已知当l1与x轴重合时，|AB|=2，|CD|=．（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出M、N点坐标，若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1、x2，（x1＜x2）（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x1）＜0，f（x2）＞﹣．四、选做题考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号【选修4-1几何证明选讲】22．（10分）如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC 的平分线分别交AB，AC于点D，E．（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；（Ⅱ）若AC=AP，求的值．【选修4-4，坐标系与参数方程】23．在直角坐标系中，直线l经过点P（2，2），倾斜角α=，以该平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度，圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）写出直线l的参数方程与圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l与圆C相交于A、B两点，求+的值．【选修4-5不等式选讲】24．证明：﹣＜++…+＜（n=2，3，4…）．吉林省长春市东北师大附中2015届高三上学期第一次摸底数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）集合A={x|log3（x﹣1）＜1}，B={x|＜2﹣x＜1}，则A∩B=（）A．（1，2）B．（1，4）C．（﹣2，0）D．（0，2）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用交集的性质和不等式的性质求解．解答：解：∵A={x|log3（x﹣1）＜1}={x|}={x|1＜x＜4}，B={x|＜2﹣x＜1}={x|0＜x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：A．点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意对数函数、指数函数的性质的合理运用．2．（5分）命题“对任意的x∈R，都有2x2﹣x+1≥0”的否定是（）A．对任意的x∈R，都有2x2﹣x+1＜0B．存在x0∈R，使得2x02﹣x0+1＜0C．不存在x0∈R，使得2x02﹣x0+1＜0D．存在x0∈R，使得2x02﹣x0+1≥0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：将量词改为“存在”，将结论否定当结论．由此得到原命题的否定．解答：解：由全称命题的否定方法得：“对任意的x∈R，都有2x2﹣x+1≥0”的否定是“存在x0∈R，使得2x2﹣x+1＜0成立．故选B．点评：本题考查了全称命题的否定方法，属于容易题．3．（5分）曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．4e2C．2e2D．e2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：利用导数求曲线上点切线方程，求直线与x轴，与y轴的交点，然后求切线与坐标轴所围三角形的面积．解答：解：∵曲线y=，∴y′=×，切线过点（4，e2）∴f（x）|x=4=e2，∴切线方程为：y﹣e2=e2（x﹣4），令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），令x=0，y=﹣e2，与y轴的交点为：（0，﹣e2），∴曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|﹣e2|=e2，故选D．点评：此题主要考查利用导数求曲线上点切线方程，解此题的关键是对曲线y=能够正确求导，此题是一道基础题．4．（5分）下列函数中是偶函数且在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=2﹣x B．y=lnx C．y=x﹣2D．y=|x|﹣1考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据基本初等函数的单调性奇偶性，逐一分析答案四个函数在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案．解答：解：A，y=2﹣x定义域是{x|x≠0}，是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，则A不符合；B，函数y=lnx的定义域是（0，+∞），则是非奇非偶函数，B不符合题意；C，函数y=x﹣2的定义域是{x|x≠0}，但在（0，+∞）单调递减，C不符合题意；D，y=|x|﹣1为偶函数，在（0，+∞）上单调递增，D正确．故选：D．点评：本题考查函数奇偶性与单调性，解题的关键是熟练掌握函数奇偶性与单调性的判断方法，以及基本函数奇偶性和单调性，考查了推理判断的能力．5．（5分）“a＞1”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．分析：可以把不等式“”变形解出a的取值范围来，然后再作判断，具体地来说，两边同乘以分母a要分类讨论，分a＞0，a＜0两类来讨论，除了用符号法则，这是解答分式不等式的另一种重要方法．解答：解：由得：当a＞0时，有1＜a，即a＞1；当a＜0时，不等式恒成立．所以⇔a＞1或a＜0从而a＞1是的充分不必要条件．故应选：A点评：本题考查不等式的性质及其应用，解分式不等式的问题，不等式的等价变形！本题需要注意的是在利用不等式的乘法单调性时易出错，比如本题中若原不等式两边同乘以a，等到a＞1就是对不等式两边同乘以一个正数还是负数不等式是否改变方向认识不足导致的错误．6．（5分）若0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是（）A．ab＜b2＜1 B．log＞logC．2b＜2a＜2 D．a2＜ab＜1考点：不等式的基本性质．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：取特殊值，确定A，B，D不正确，0＜b＜a＜1，2＞1，利用指数函数的单调性，可得C正确．解答：解：b=，a=，则ab=，b2=，故A不正确；a2=，ab=，故D不正确；log=﹣2，log=﹣1，故B不正确；∵0＜b＜a＜1，2＞1，∴2b＜2a＜2，故选：C．点评：本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，若利用特殊值代入法，可排除不符合条件的选项．7．（5分）如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（）A．B．C． D．考点：函数的图象．分析：由图象可以看出，阴影部分的面积一开始增加得较慢，面积变化情况是先慢后快然后再变慢，由此规律找出正确选项解答：解：观察可知阴影部分的面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知选项D符合要求，故选D．点评：本题考查直线与圆相交的性质，解答本题的关键是根据所给的图形得出直线扫过的阴影部分的面积变化规律，利用函数的思想找出正确答案，本题考查识图的能力以及根据实际问题选择函数模型的能力．8．（5分）已知函数f（x）=ln﹣3x）+1，则f（lg2）+f=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2考点：函数奇偶性的性质；函数奇偶性的判断；函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用对数函数是奇函数以及对数值，直接化简求解即可．解答：解：函数，则=f（lg2）+f（﹣lg2）=+=+1+=+=2．故选：D．点评：本题考查函数的奇偶性，函数值的求法，考查分析问题解决问题的能力与计算能力．9．（5分）偶函数f（x）的定义域为R，g（x）=f（x﹣1），g（x）是奇函数，且g（3）=1，则f=（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2014考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据g（x）是奇函数及已知条件得到f（x+1）=﹣f（x﹣1），即f（x﹣1）=﹣f（x+1），所以f（x）=﹣f（x+2）=f（x+4），所以函数f（x）的周期是4，所以f=f（2+503×4）=f（2），所以根据已知条件求f（2）即可．解答：解：∵g（x）是奇函数，∴g（﹣x）=f（﹣x﹣1）=﹣g（x）=﹣f（x﹣1）；又f（x）是偶函数，∴f（x+1）=﹣f（x﹣1），即f（x﹣1）=﹣f（x+1），∴f（x）=﹣f（x+2）=f（x+4）；∴f（x）是周期为4的周期函数；∴f=f（2+503×4）=f（2）=g（3）=1．故选B．点评：考查奇偶函数的定义，以及函数周期的概念．10．（5分）函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为（）A．（3，﹣3）B．（﹣4，11）C．（3，﹣3）或（﹣4，11）D．不存在考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题．分析：首先对f（x）求导，然后由题设在x=1时有极值10可得解之即可求出a和b的值．解答：解：对函数f（x）求导得f′（x）=3x2﹣2ax﹣b，又∵在x=1时f（x）有极值10，∴，解得或，验证知，当a=3，b=﹣3时，在x=1无极值，故选B．点评：掌握函数极值存在的条件，考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力，属于中档题．11．（5分）若[﹣1，1]⊆{x||x2﹣tx+t|≤1}，则实数t的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[2﹣2，0] C．（﹣∞，﹣2] D．[2﹣2，2+2]考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；函数的性质及应用；集合．分析：令y=x2﹣tx+t，由题意，将集合的包含关系可化为求函数的最值的范围．解答：解：令y=x2﹣tx+t，①若t=0，则{x||x2≤1}=[﹣1，1]，成立，②若t＞0，则y max=（﹣1）2﹣t（﹣1）+t=2t+1≤1，即t≤0，不成立；③若t＜0，则y max=（1）2﹣t+t=1≤1，成立，y min=（）2﹣t•+t≥﹣1，即t2﹣4t﹣4≤0，解得，2﹣2≤t≤2+2，则2﹣2≤t＜0，综上所述，2﹣2≤t≤0．故选B．点评：本题考查了集合的包含关系的应用，属于基础题．12．（5分）[x]表示不超过x的最大整数，函数f（x）=|x|﹣[x]①f（x）的定义域为R；②f（x）的值域为（0，1]；③f（x）是偶函数；④f（x）不是周期函数；⑤f（x）的单调增区间为（k，k+1）（k∈N）．上面的结论正确的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据新定义的函数f（x）=x﹣[x]，可以画出其图象根据图象对①②③④⑤5个选项逐一判断即可．解答：解：[x]表示不超过x的最大整数，函数f（x）=|x|﹣[x]，当x为整数时，f（x）=0，作出函数f（x）的图象如下：由图可以看出，函数f（x）的定义域为R，①正确；当0≤x＜1时，f（x）=x﹣[x]=x﹣0=x，∴函数{x}的值域为（0，1]，②都正确；由图可知，函数f（x）的图象不关于y轴对称，故f（x）不是偶函数，③错误；又∵f（x+1）=（x+1）﹣[x+1]=x﹣[x]=f（x），∴函数{x}=x﹣[x]是周期为1的函数，每隔一个单位重复一次，④错误；由图可得，f（x）的单调增区间为（k，k+1）（k∈N），⑤正确；综上所述，结论正确的个数是3个，为①②⑤，③④错误．故选：A．点评：本题考查命题的真假判断与应用，作图是关键，考查函数f（x）=|x|﹣[x]的图象与奇偶性、单调性、周期性及定义域、值域等性质，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）设函数f（x）=，若f（f（1））=2，则a的值为﹣5．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得f（1）=2e1﹣1=2，从而f（f（1））=f（2）=log3（4﹣a）=2，由此能求出a 的值．解答：解：∵数f（x）=，f（f（1））=2，∴f（1）=2e1﹣1=2，∴f（f（1））=f（2）=log3（4﹣a）=2，∴4﹣a=9，解得a=﹣5．故答案为：﹣5．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．14．（5分）函数f（x）=x3﹣3x+m恰好有两个零点，则m的值为﹣2或2．考点：利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：若函数f（x）恰好有两个不同的零点，等价为函数的极值为0，建立方程即可得到结论解答：解：：∵f（x）=x3﹣3x+m，∴f'（x）=3x2﹣3，由f'（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1，此时函数单调递增，由f'（x）＜0，得﹣1＜x＜1，此时函数单调递减．即当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值，当x=1时，函数f（x）取得极小值．要使函数f（x）=x3﹣3x+a只有两个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0，由极大值f（﹣1）=﹣1+3+m=m+2=0，解得m=﹣2；再由极小值f（1）=1﹣3+m=m﹣2=0，解得m=2．综上实数m的取值范围：m=﹣2或m=2，故答案为：﹣2或2．点评：本题主要考查三次函数的图象和性质，利用导数求出函数的极值是解决本题的关键，属于中档题．15．（5分）函数f（x）是定义在（0，4）上的减函数，且f（a2﹣a）＞f（2），则a的取值范围是（﹣1，0）∪（1，2）．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：因为f（x）是定义在（0，4）上的减函数，所以由f（a2﹣a）＞f（2）得，解该不等式组即得a的取值范围．解答：解：根据已知条件，原不等式变成，解得﹣1＜a＜0，或1＜a＜2；∴a的取值范围是（﹣1，0）∪（1，2）．故答案为：（﹣1，0）∪（1，2）．点评：考查函数单调性的定义，根据函数的单调性解不等式，以及函数的定义域，解一元二次不等式．16．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：由当x≥0时，f（x）=x2，函数是奇函数，可得当x＜0时， f（x）=﹣x2，从而f （x）在R上是单调递增函数，且满足2f（x）=f（x），再根据不等式f（x+t）≥2f（x）=f（x）在[t，t+2]恒成立，可得x+t≥x在[t，t+2]恒成立，即可得出答案．解答：解：当x≥0时，f（x）=x2∵函数是奇函数∴当x＜0时，f（x）=﹣x2∴f（x）=，∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足2f（x）=f（x），∵不等式f（x+t）≥2f（x）=f（x）在[t，t+2]恒成立，∴x+t≥x在[t，t+2]恒成立，即：x≤（1+）t在[t，t+2]恒成立，∴t+2≤（1+）t解得：t≥，故答案为：[，+∞）．点评：本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．三、解答题：解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程17．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，不等式f（x）＞﹣2x的解集为{x|1＜x＜3}．（Ⅰ）若方程f（x）=2a有两个相等正根，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；二次函数的性质；一元二次不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）由题意可得ax2+（b+2）x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，可得，即，代入ax2+bx+c=2a 整理，根据此方程的判别式△=0，求得a的值，可得b、c的值，从而求得f（x）的解析式．（Ⅱ）由题意可得，由此求得a的范围．解答：解：（Ⅰ）∵已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，不等式f（x）＞﹣2x的解集为{x|1＜x＜3}．故ax2+（b+2）x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，故有，整理可得，代入ax2+bx+c=2a 可得 ax2﹣（4a+2）x+a=0．再根据此方程的判别式△=（4a+2）2﹣4a2=0，求得a=﹣1，或a=﹣．当a=﹣1时，b=2，c=﹣3，此时，f（x）=﹣x2+2x﹣3，满足条件．当a=﹣时，b=﹣，c=﹣1，此时，f（x）=﹣x2﹣x﹣1，此方程有2个负实数根，不满足条件，故舍去．综上可得，f（x）=﹣x2+2x﹣3．（Ⅱ）若f（x）=ax2﹣（4a+2）x+3a（a＜0）的最大值为正数，则有，求得a＜﹣2﹣，或 0＞a＞﹣2+．点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．18．（12分）有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：组别 A B C D E人数50 100 150 150 50（Ⅰ）为了调查评委对7位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．组别 A B C D E人数50 100 150 150 50抽取人数 6（Ⅱ）在（Ⅰ）中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．考点：相互独立事件的概率乘法公式；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）利用分层抽样中每层所抽取的比例数相等直接计算各层所抽取的人数；（Ⅱ）利用古典概型概率计算公式求出A，B两组被抽到的评委支持1号歌手的概率，因两组评委是否支持1号歌手相互独立，由相互独立事件同时发生的概率公式计算从这两组被抽到的评委中分别任选1人，2人都支持1号歌手的概率．解答：解：（Ⅰ）按相同的比例从不同的组中抽取人数．从B组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从150人中抽取6人，填表如下：组别 A B C D E人数50 100 150 150 50抽取人数 3 6 9 9 3（Ⅱ）A组抽取的3人中有2人支持1好歌手，则从3人中任选1人，支持1号歌手的概率为．B组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持1号歌手的概率为．现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，则2人都支持1号歌手的概率p=．点评：本题考查了分层抽样方法，考查了相互独立事件同时发生的概率乘法公式，若事件A，B是否发生相互独立，则p（AB）=p（A）p（B），是中档题．19．（12分）如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆O上的点．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由PA⊥圆所在的平面，可得PA⊥BC，由直径对的圆周角等于90°，可得BC⊥AC，根据直线和平面垂直的判定定理可得结论．（2）连接OG并延长交AC于点M，则由重心的性质可得M为AC的中点．利用三角形的中位线性质，证明OM∥BC，QM∥PC，可得平面OQM∥平面PBC，从而证明QG∥平面PBC．解答：解：（1）AB是圆O的直径，PA⊥圆所在的平面，可得PA⊥BC，C是圆O上的点，由直径对的圆周角等于90°，可得BC⊥AC．再由AC∩PA=A，利用直线和平面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAC．（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，连接OG并延长交AC于点M，连接QM，则由重心的性质可得M为AC的中点．故OM是△ABC的中位线，QM是△PAC的中位线，故有OM∥BC，QM∥PC．而OM和QM是平面OQM内的两条相交直线，AC和BC是平面PBC内的两条相交直线，故平面OQM∥平面PBC．又QG⊂平面OQM，∴QG∥平面PBC．点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理、直线和平面平行的判定定理的应用，属于中档题．20．（12分）分别过椭圆E：=1（a＞b＞0）左、右焦点F1、F2的动直线l1、l2相交于P 点，与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为k1、k2、k3、k4，且满足k1+k2=k3+k4，已知当l1与x轴重合时，|AB|=2，|CD|=．（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出M、N点坐标，若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知条件推导出|AB|=2a=2，|CD|=，由此能求出椭圆E的方程．（2）焦点F1、F2坐标分别为（﹣1，0），（1，0），当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，由此利用韦达定理结合题设条件能推导出存在点M，N其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2．解答：解：（1）当l1与x轴重合时，k1+k2=k3+k4=0，即k3=﹣k4，∴l2垂直于x轴，得|AB|=2a=2，|CD|=，解得a=，b=，∴椭圆E的方程为．（2）焦点F1、F2坐标分别为（﹣1，0），（1，0），当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，∴，，===，同理k3+k4=，∵k1+k2=k3+k4，∴，即（m1m2+2）（m2﹣m1）=0，由题意知m1≠m2，∴m1m2+2=0，设P（x，y），则，即，x≠±1，由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0）也满足，∴点P（x，y）点在椭圆上，∴存在点M，N其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值的判断与证明，对数学思维的要求较高，有一定的探索性，解题时要注意函数与方程思想、等价转化思想的合理运用．21．（12分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1、x2，（x1＜x2）（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x1）＜0，f（x2）＞﹣．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数研究函数的极值，求导，f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，由于函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点⇔g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．对a分类讨论，解得即可．（2）先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2⇔函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．解答：解：（1）f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，∵函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x）=﹣2a=，当a≤0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递增，因此g（x）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=．令g′（x）＞0，解得0＜x＜，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得x＞，此时函数g（x）单调递减．∴当x=时，函数g（x）取得极大值．当x趋近于0与x趋近于+∞时，g（x）→﹣∞，要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，则g（）=＞0，解得0＜a＜．∴实数a的取值范围是（0，）．（2）由（1）得0＜x1＜＜x2，f′（x1）=lnx1+1﹣2ax1=0，f′（x2）=lnx2+1﹣2ax2=0．且f（x1）=x1（lnx1﹣ax1）=x1（2ax1﹣1﹣ax1）=x1（ax1﹣1）＜x1（﹣ax1）=﹣a＜0，f（x2）=x2（lnx2﹣ax2）=x2（ax2﹣1）＞1×（a×﹣1）=﹣．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．四、选做题考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号【选修4-1几何证明选讲】22．（10分）如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC 的平分线分别交AB，AC于点D，E．（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；（Ⅱ）若AC=AP，求的值．考点：弦切角；相似三角形的性质．专题：证明题．分析：（Ⅰ）根据弦切角定理，得到∠BAP=∠C，结合PE平分∠APC，可得∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，最后用三角形的外角可得∠ADE=∠AED；（Ⅱ）根据AC=AP得到∠APC=∠C，结合（I）中的结论可得∠APC=∠C=∠BAP，再在△APC中根据直径BC得到∠PAC=90°+∠BAP，利用三角形内角和定理可得．利用直角三角形中正切的定义，得到，最后通过内角相等证明出△APC∽△BPA，从而．解答：解：（Ⅰ）∵PA是切线，AB是弦，∴∠BAP=∠C．又∵∠APD=∠CPE，∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE．∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，∴∠ADE=∠AED．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠BAP=∠C，∵∠APC=∠BPA，∵AC=AP，∴∠APC=∠C∴∠APC=∠C=∠BAP．由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°．∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．∴∠APC+∠C+∠BAP=180°﹣90°=90°．∴．在Rt△ABC中，，即，∴．∵在△APC与△BPA中∠BAP=∠C，∠APB=∠CPA，∴△APC∽△BPA．∴．∴．…（10分）点评：本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理、直角三角形中三角函数的定义和相似三角形的性质等知识点，属于中档题．找到题中角的等量关系，计算出Rt△ABC是含有30度的直角三角形，是解决本题的关键所在．【选修4-4，坐标系与参数方程】23．在直角坐标系中，直线l经过点P（2，2），倾斜角α=，以该平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度，圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）写出直线l的参数方程与圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l与圆C相交于A、B两点，求+的值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）由直线l经过点P（2，2），倾斜角α=，可得直线l的参数方程（t为参数）；圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ．利用即可得出直角坐标方程．（II）把直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程可得：，可得根与系数的关系，可得+==．解答：解：（I）由直线l经过点P（2，2），倾斜角α=，可得直线l的参数方程（t为参数）；圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ．∴直角坐标方程为x2+y2=2x．（II）把直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程可得：+=2，化为，t1+t2=﹣＜0，t1t2=4＞0，∴t1＜0，t2＜0．∴+===．点评：本题考查了直线的参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5不等式选讲】24．证明：﹣＜++…+＜（n=2，3，4…）．考点：反证法与放缩法．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：利用＜=﹣，＞=﹣，即可证明结论．解答：证明：∵＜=﹣，∴++…+＜1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；∵＞=﹣，∴++…+＞﹣+﹣…+﹣=﹣，∴﹣＜++…+＜（n=2，3，4…）．点评：本题考查放缩法，考查学生分析解决问题的能力，利用＜=﹣，＞=﹣，是关键．- 21 -。
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长春市2014—2015学年新高三起点调研考试数学（文科）试题答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C2. D3. D4. C5. B6. D7. B8. B9. C 10. C 11. A 12. D 简答与提示：1. 【命题意图】本题考查集合中子集的概念与集合中元素的互异性.【试题解析】C 由题可得2x =或4x =才能满足集合的互异性. 故选C.2. 【命题意图】本题考查复数的除法运算，另外对复平面上点与复数的对应也提出较高要求.【试题解析】D 由图可知：1z i =，22z i =-，则1212255z i i z i ==-+-. 故选D.3. 【命题意图】本题考查函数奇偶性的概念，同时也对函数单调性与函数极值做出考查.【试题解析】D 由题可知，B 、C 选项不是奇函数，A 选项3y x =单调递增（无极值），而D 选项既为奇函数又存在极值. 故选D.4. 【命题意图】本题主要对向量的运算进行考查，同时也对向量的几何意义等考点提出一定的要求.【试题解析】C 由||-=m n 222||217-=+-⋅=m n m n m n 可知，2⋅=-m n . 故选C.5. 【命题意图】本题考查同角基本关系以及二倍角公式.【试题解析】B 将4sin cos 5αα+=两边平方得，1612sin cos 1sin 225ααα=+=+，可得9sin 225α=-，故选B.6. 【命题意图】本题通过三视图考查几何体体积的运算.【试题解析】D 几何体体积=半球体积-圆锥体积=314182422333πππ⋅⋅-⋅⋅=，选D. 7. 【命题意图】本题考查数列基本量的求法.【试题解析】B 由题意，123420a a a a +++=，345636a a a a +++=， 作差可得816d =，即2d =. 故选B.8. 【命题意图】本题考查指对两种基本初等函数的图像和充要条件的概念等基础知识.【试题解析】B 如右图可知，“1x >”⇒“a b >”，而 “a b >”/⇒“1x >”，因此“a b >”是“1x >”的必要不充分条件. 故选B. 9. 【命题意图】本题考查圆的标准方程以及弦长的基本知识.【试题解析】C 由题意可设圆心为(,2)a a ，半径为R ，则有2224416R a a =+=+或2221644R a a =+=+，解得2a =±，故选C.10. 【命题意图】本题利用程序框图考查对数的运算性质及对数不等式的求解.【试题解析】C 由程序框图可知，从1n =到15n =得到3S <-，因此将输出16n =. 故选C.11. 【命题意图】本题通过图像考查绝对值函数以及函数的值域、奇偶性和单调性.【试题解析】A 由条件可知，该函数定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且ln ||ln ||()()x x f x f x x x--==-=--，所以该函数为奇函数，图像关于原点对称，排除B 、C ，当01x <<时，ln 0x <，从而排除D. 故选A.12. 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系等知识.【试题解析】D 由题可知，点B 的横坐标4B px ≤时，满足OB FB ≤，此时B y ≤≤，故直线AB （即直线FB ）的斜率的取值范围是[(0,22]-. 故选D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 114. 96015.4π16.273a π 简答与提示：13. 【命题意图】本题考查线性规划以及目标函数的几何意义等知识.【试题解析】由题可知，可行域如右图，目标函数2z x y =+的几何意义为过区域内点的直线2y x z =-+的截距大小，故z 的最小值是1.14. 【命题意图】本题考查用样本对总体的估计.【试题解析】设鱼塘中大鱼数量的估计值为M ，有56080M=，从而估算出M =960. 15. 【命题意图】本题考查三角函数奇偶性、两角和差公式和诱导公式运用.【试题解析】由题意可知())(||)42f x x ππϕϕ++<为偶函数，所以()42k k Z ππϕπ+=+∈，根据||2πϕ<，有4πϕ=16. 【命题意图】本题考查正棱柱与球体等基本几何体表面积问题.【试题解析】，圆心到底面的距离为2a，从而其外接圆的半径22227()212a R a =+=，则该球的表面积22743S R a ππ==.三、解答题17. (本小题满分10分)【命题意图】本题考查数列通项公式及其前n 项和公式的求法.【试题解析】解：(1) 设等比数列的公比为q ，有12311424a q a q a q =⎧⎨+=⎩，解得12,2a q ==，所以2n n a =；（5分）(2) 由(1)知2log 2n n b n ==，有2n n n a b n +=+，从而21(1)(222)(12)222n n n n n T n ++=+++++++=+-. （10分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查正弦定理与余弦定理在解三角形问题中的应用，结合三角形面积的求法综合考查学生的运算求解能力. 【试题解析】解：(1) 根据正弦定理c a C b -=2cos 2可化为2sin cos 2sin sin B C A C =- 即2sin cos 2sin()sin B C B C C =+-整理得2sin cos sin CB C =，即1cos 2B =，3B π=. （6分）(2) 由面积1sin 2S ac B ==4ac =，而4a c +=， 所以2a c ==，由3B π=可得△ABC 为等边三角形，所以2b =.（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过考查随机抽样，对学生的数据处理能力提出较高要求.【试题解析】(1) 设事件A =“某人获得优惠金额不低于300元”，则1501005()501501006P A +==++.（6分） (2) 设事件B =“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，分别记为112312,,,,,a b b b c c ，从中选出两人的所有基本事件如下：11a b ，12a b ，13a b ，11a c ，12a c ，12b b ，13b b ，11b c ，12b c ，23b b ，21b c ，22b c ，31b c ，32b c ，12c c ，共15个，其中使得事件B 成立的为12b b ，13b b ，23b b ，12c c ，共4个，则4()15P B =.（12分） 20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以正方体为载体，考查立体几何的基础知识. 本题通过分层设计，考查了空间直线与平面的垂直关系，简单几何体体积的求法，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：(1) 证明：因为几何体是正方体1111ABCD A B C D -截取三棱锥111B A BC -后所得，11111111111111DA DC DM AC A M C M BA BC AC MBD BM AC A M C M DM BM M ⎫=⎫⇒⊥⎬⎪=⎭⎪⎪=⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬=⎪⎭⎪⎪⎪ =⎭平面 ； （6分）(2)由题意知BD =M 到BD则△MBD的面积为12MBD S ∆==，由(1)知11AC ⊥平面MBD所以11111133D A BC MBD V S A C -∆=⋅== （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的离心率的有关运算，直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力. 【试题解析】解：(1) 设(,0)(0)F c c ->，则根据椭圆性质得,,M a c m a c =+=-而234M m a ⋅=，所以有22234a c a -=， 即224a c =，2a c =，因此椭圆的离心率为12c e a ==. （4分）(2) 由(1)可知2a c =，b =，椭圆的方程为2222143x y c c+=.根据条件直线AB 的斜率一定存在且不为零，设直线AB 的方程为()y k x c =+，并设1122(,),(,)A x y B x y 则由2222()143y k x c x y c c=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得 222222(43)84120k x ck x k c c +++-=从而有21212122286,(2)4343ck ckx x y y k x x c k k +=-+=++=++，（6分）22243(,)4343ck ck G k k -++.因为DG AB ⊥，所以2223431443D ck k k ckx k +⋅=---+，2243D ck x k =-+. 由Rt FGD ∆与Rt EOD ∆相似，所以22222222122222243()()943434399()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k k -+++++===+>-+. （12分）22. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等，以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】(1)解：222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+ （2分）因为13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，即12910,935a a a -+==. 而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点. 因此95a =.（4分）(2) 当a 取正实数时，222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+，令()0f x '=得2210ax ax -+=，当1a >时，解得12x x ==. 所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是单调减区间为；当01a <≤时，()0f x '≥恒成立，故()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞. （9分）(3) 当4a =-时， ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，1(,122--，(1)2++∞. （12分）。