12-6数学归纳法(理)

一、选择题1．若命题p(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2也成立，又已知命题p(1)成立，则下列结论正确的是()A．p(n)对所有自然数n都成立B．p(n)对所有正偶数n成立C．p(n)对所有正奇数n都成立D．p(n)对所有大于1的自然数n成立[答案] C2．下列代数式(其中k∈N＋)能被9整除的是()A．6＋6·7k B．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)[答案] D[解析]对于选项D3(2＋7k)，(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k＝n时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k＝n＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任何k∈N＋都成立．3．用数学归纳法证明“1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2(n∈N ＋)”，从n＝k到n＝k＋1时，左边添加的代数式为() A．k＋1 B．k＋2C．k＋1＋k D．2(k＋1)[答案] C[解析]在由n＝k到n＝k＋1时，左边式子为1＋2＋3＋…＋k ＋k＋1＋k＋…＋2＋1，因此，左边添加的式子为k＋1＋k.4．在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证()A．n＝1成立B．n＝2成立C．n＝3成立D．n＝4成立[答案] C[解析]凸n边形的内角和为(n－2)π，最少边的凸n边形为三角形，所以应验证n＝3时成立．5．某学生在证明等差数列前n项和公式时，证法如下：(1)当n＝1时，S1＝a1显然成立．(2)假设n＝k时，公式成立，即S k＝ka1＋k(k－1)2 d.当n＝k＋1时，S k＋1＝a1＋a2＋…＋a k＋a k＋1＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋a1＋(k－1)k＋a1＋kd ＝(k＋1)a1＋(d＋2d＋…＋kd)＝(k＋1)a1＋k(k＋1)2 d＝(k＋1)a1＋(k＋1)[(k＋1)－1]2 d.∴n＝k＋1时公式成立．∴由(1)(2)知，对n∈N＋，公式都成立．以上证明错误的原因是()A．当n取第一个值1时，证明不对B．归纳假设的写法不对C．从n＝k到n＝k＋1的推理中未用归纳假设D．从n＝k到n＝k＋1的推理有错误[答案] C[解析]由数学归纳法的原理易知选C.6．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，第二步归纳假设应该写成()A．假设当n＝k(k∈N＋)时，x n＋y n能被x＋y整除B．假设当n＝2k(k∈N＋)时，x n＋y n能被x＋y整除C．假设当n＝2k＋1(k∈N＋)时，x n＋y n能被x＋y整除D．假设当n＝2k－1(k∈N＋)时，x n＋y n能被x＋y整除[答案] D[解析]①显然，当n＝1时，命题成立，即x1＋y1能被x＋y整除②假设当n＝2k－1(k∈N＋)时命题成立，即(x＋y)能整除x2k－1＋y2k－1则当n＝2k＋1时，x2k＋1＋y2k＋1＝x2x2k－1＋x2y2k－1－x2y2k－1＋y2y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)－(x＋y)(x－y)y2k－1∵x＋y能整除(x2k－1＋y2k－1)又x＋y能整除(x＋y)(x－y)y2k－1∴(x＋y)能整除(x2k＋1＋y2k＋1)由(1)(2)可知当n为正奇数时x n＋y n能被x＋y整除．二、填空题7．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n －1)(n∈N＋)时，从k到k＋1，左边需要增加的代数式为________．[答案]2(2k＋1)[解析]当n＝k时左边的最后一项是2k，n＝k＋1时左边的最后一项是2k＋2，而左边各项都是连续的，所以n＝k＋1时比n＝k 时左边少了(k＋1)，而多了(2k＋1)(2k＋2)．因此增加的代数式是(2k＋1)(2k＋2)k＋1＝2(2k＋1)．8．(改编题)用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为：________.[答案](k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6[解析]首先必须应用归纳假设，然后采用配凑法．三、解答题9．证明凸n边形的对角线的条数为f(n)＝12n(n－3)(n≥4)．[证明]①n＝4时，f(4)＝12×4×(4－3)＝2. 四边形有两条对角线，命题成立．②假设n＝k时命题成立，即凸k边形的对角线的条数f(k)＝12k(k－3)(k≥4)，当n＝k＋1时凸k＋1边形是在k边形基础上增加了一边，增加了一个顶点A k ＋1，增加的对角线条数是顶点A k ＋1与不相邻顶点连线再加上原k 边形的一边A 1A k ，共增加了对角线条数(k ＋1－3)＋1＝k －1，f (k ＋1)＝12k(k －3)＋k －1 ＝12(k 2－k －2)＝12(k ＋1)(k －2) ＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]． 故n ＝k ＋1时，命题成立，由①，②可知，对于n ≥4，n ∈N ＋命题成立.一、选择题1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2[答案] D[解析]∵当n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.2．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断前10件首饰所用珠宝总颗数为()A．190B．715C．725D．385[答案] B[解析]由条件可知前5件首饰的珠宝数依次为：1,1＋5,1＋5＋9,1＋5＋9＋13,1＋5＋9＋13＋17，即每件首饰的珠宝数为一个以1为首项，4为公差的等差数列的前n项和，通项a n＝4n－3.由此可归纳出第n件首饰的珠宝数为n[1＋(4n－3)]2＝2n2－n.则前n件首饰所用的珠宝总数为2(12＋22＋…＋n2)－(1＋2＋…＋n)＝4n3＋3n2－n6.当n＝10时，总数为715.二、填空题3．数列{a n}中，已知a1＝2，a n＋1＝a n3a n＋1(n∈N＋)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出a n的表达式为________．[答案] a n ＝26n －5[解析] a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219， 猜测a n ＝26n －5. 4．(2012·青岛二模)利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n)(n ≥2，n ∈N ＋)的过程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了________项．[答案] 2k[解析] 当n ＝k 时为1＋12＋13＋…＋12k －1， 当n ＝k ＋1时为1＋12＋…＋12k －1＋12k ＋…＋12·2k －1， 所以从n ＝k 到n ＝k ＋1增加了2k 项．三、解答题5．数列{a n }满足a 1＝1且a n ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋n a n ＋12n (n ≥1)．用数学归纳法证明：a n ≥2(n ≥2)．[解析] 证明：(1)①当n ＝1时，a 2＝2≥2，不等式成立． ②假设当n ＝k(k ≥2)时不等式成立，即a k ≥2(k ≥2)，那么，当n＝k＋1时，a k＋1＝(1＋1k(k＋1))a k＋12k≥(1＋1k(k＋1))×2＋12k＝2＋2k(k＋1)＋12k>2，这就是说，当n＝k＋1时不等式成立．根据①②可知a n≥2对所有n≥2成立．6．(2010·江苏卷)已知△ABC的三边长都为有理数(1)求证：cosA是有理数；(2)对任意正整数n，求证cosnA是有理数．[解析]本题主要考查余弦定理、数学归纳法等础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力．解：(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cosA＝AB2＋AC2－BC22AB·AC是有理数．(2)用数学归纳法证明cosnA和sinA·sinnA都是有理数．①当n＝1时，由(1)知cosA是有理数，从而有sinA·sinA＝1－cos2A也是有理数．②假设当n＝k(k≥1)时，coskA和sinA·sinkA都是有理数．当n＝k＋1时，由cos(k＋1)A＝cosA·coskA－sinA·sinkA，sinA·sin(k＋1)A＝sinA·(sinA·coskA＋cosA·sinkA)＝(sinA·sinA)·coskA＋(sinA·sinkA)·cosA，及①和归纳假设，知cos(k＋1)A与sinA·sin(k＋1)A都是有理数．即当n＝k＋1时，结论成立．综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数．7．在数列{a n}、{b n}中，a1＝2，b1＝4，且a n，b n，a n＋1成等差数列，b n，a n＋1，b n＋1成等比数列(n∈N＋)．(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{a n}、{b n}的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：1a1＋b1＋1a2＋b2＋…＋1a n＋b n<512.[解析]考查等差数列、等比数列、数学归纳法、不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证的能力．(1)由条件得2b n＝a n＋a n＋1，a2n＋1＝b n b n＋1，由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜测a n＝n(n＋1)，b n＝(n＋1)2.用数学归纳法证明：①当n＝1时，由上可得结论成立．②假设当n＝k时，结论成立，即a k＝k(k＋1)，b k＝(k＋1)2，那么当n＝k＋1时，a k＋1＝2b k－a k＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，b k＋1＝a2k＋1b k＝(k＋2)2，∴当n＝k＋1时，结论也成立．由①②可知，a n＝n(n＋1)，b n＝(n＋1)2对一切正整数都成立．(2)1a1＋b1＝16<512，n≥2时，由①知a n＋b n＝(n＋1)(2n＋1)>2(n＋1)n，故1a1＋b1＋1a2＋b2＋…＋1a n＋b n<16＋12[12×3＋13×4＋…＋1n(n＋1)]＝16＋12[(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n－1n＋1)]＝16＋12(12－1n＋1)<16＋14＝512.综上，原不等式成立．。