限制性三体问题的已知解及其应用5_New20110607

第一章
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1855年法国数学家庞加莱写了一偏文章“关于三体问题的动态方程”带来了给三体问题方面近大一步。
下面我们就来简单看一看庞加莱在这一时期的工作究竟给N体问题的解决带来了什么进展
第一，庞加莱证明了对于N体问题在N大于二时，不存在统一的第一积分(uniform first integral)。 也就是说即使是一般的三体问题，也不可能通过发现各种不变量最终降低问题的自由度， 把问题化简成更简单可以解出来的问题，这打破了当时很多人希望找到三体问题一般的显式解的幻想。在一百年后学习微分方程课的人大多在第二个星期就从老师那里知道绝大多数微分方程是没法找到定量的解的，但一般都能从定性理论中了解更多解的性质，甚至可以通过计算机“看到”解的形状行为。而在庞加莱的年代，大多数数学家更热衷于用代数或幂函数方法找到解，使用定性方法和几何方法来讨论微分方程就是起源于庞加莱对于N体问题的研究，这彻底改变人们研究微分方程的基本想法。
(1.4.1)
同样由于 项与 之和为零，故上式
右端总和也为零，积分后得：
(1.4.2)
称为角动量积分常数。由此可见通过系统的质心作一个平面垂直于 ，该平面不随天体运动而改变，故称不变平面，对于太阳系，过太阳的这一平面称为拉普拉斯不变面。
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将运动方程两端点乘 并对i求和：
(1.5.1)
(1.5.2)
故(1.5.2)式右端是 ，积分后得：
天体力学中的基本力学模型。研究三个可视为质点的天体在相互之间万有引力作用下的运动规律问题。这三个天体的质量、初始位置和初始速度都是任意的。在一般三体问题中，每一个天体在其他两个天体的万有引力作用下的运动方程都可以表示成3个二阶的常微分方程，或6个一阶的常微分方程。因此，一般三体问题的运动方程为十八阶方程，必须得到18个积分才能得到完全解。然而，目前还只能得到三体问题的10个初积分，因此还远不能解决三体问题
(2.2.2)
P1，P2相对质心运动角速度n，侧有：
(2.2.3)
显然式(2.2.3)右端含之间t，如果选用以n为角速度
的旋转坐标系o-xyz，使xy平面重合于 平面，x轴始终指向P1，在该坐标系中P1，P2和P的位置分别是
根据坐标系变换
(2.2.4)
但 应该用新坐标表示，
(2.1.5)
（2.2.5)式也可以写成：
第二，为了研究N体问题，庞加莱发明了许多全新的数学工具。例如他完整地提出了不变积分(invariant integrals) 的概念，并且使用它证明了著名的回归定理(recurrence theorem)。另一个例子是他为了研究周期解的行为，引进了第一回归映象(first return map)的概念，在后来的动力系统理论中被称为庞加莱映象。还有象特征指数(characteristicexponents)，解对参数的连续依赖性(continuous dependence of solutions with respect to parameters)等等。所有这些都成为了现代微分方程和动力系统理论中的基本概念。
将(1.3.1)式对时间再积分一次，得：
(1.3.2)
是又一积分常数。设 是N体系质心的位置矢量，利用质心的定义 ，将（1.3.2）式可以写成：
(1.3.3)
其中M为系统质量之总和。（1.3.3）和（1.3.1）式，可得：
。因此，系统的运动方程立即可降低6价。
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将方程（1.1.1）两端乘 ，并将i求和：
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从N体问题的定义看出，N体问题就是一般力学中的质点组动力学问题，正如理论力学中所得出的结论那样，整个系统存在动量守恒，动量矩守恒和能量守恒三大守恒定律。下面我们导出这次类积分。
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将运动方程（1.2.1）两端对i求和：
(1.3.1)
上式右端在求和过程中 相加为零，所以右端总和为零 。假如天体的质量m 与时间t无关,积分上 式得： ，其中 是积分常数，(1.3.1)式表明n个天体在相互引力作用下运动时，它们的总动能量守恒。
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2.2.1运动方程
图（1-2） 代表两个有限质量的
天体，通常称主星体，
图（1-2）
它们的质量分别是 ，它们绕质心o作运动。P代表小天体，其质量为m，m<< ， 为一固定坐标系， 平面与 的轨道平面重合，
在该坐标系中 的位置分别用 和 表示之， 至 的
距离用 表示，P点的引力为函数：
(2.2.1)
小天体P的运动方程：
第三点，也许是最重要的一点，是庞加莱通过研究所谓的渐进解(asymptotic solutions)，同宿轨道 (homoclinic orbits) 和异宿轨道(hetroclinic orbits)，发现即使在简单的三体问题中，在这样的同宿轨道或者异宿轨道附近，方程的解的状况会非常复杂，以至于对于给定的初始条件，几乎是没有办法预测当时间趋于无穷时，这个轨道的最终命运。事实上半个世纪后，后来的数学家们发现这种现象在一般动力系统中是常见的，他们把它叫做稳定流形(stable manifold)和不稳定流形(unstable manifold)正态相交(intersects transversally)所引起的同宿交错网(homoclinic tangle)，而这种对于轨道的长时间行为的不确定性，数学家和物理学家称之为混沌(chaos)。庞加莱的发现可以说是混沌理论的最早起源了
论文（设计）题目：限制性三体问题的已知解及其应用
专题：理论物理
要求完成的内容：1、查找相关资料
2、了解自由电子激光的概念和历史发展
3、了解电子在电磁场中的运动特性
4、理解自由电子激光的原理
5、了解自由电子激光的的应用
发题日期：2008年12月25日
完成日期：2009年05月30日
实习实训单位：新疆大学地点：物理科学与技术学院
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设N个天体P1、P2、P3、,….Pn，它们的质量分别是 它们在某一惯性系里的位置矢量是 根据牛顿的万有引力定律，任意两个天体的相互引力是： 式中 表示Pi和Pj之间的距离 。
按照牛顿第二定律，任意一个 天体的方程可写成：
(1.2.1)
定义：
(1.2.2)
U称N体系统的力函数，是一个标量函数，与天体相互位置有关。
作者签名：日期：年月日
摘
最简单的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的运动。在浩瀚的宇宙中，星球的大小可以忽略不记，所以我们可以把它们看成质点。如果不计太阳系其他星球的影响，那么它们的运动就只是在引力的作用下产生的，所以我们就可以把它们的运动看成一个三体问题。天体力学中的基本力学模型。研究三个可视为质点的天体在相互之间万有引力作用下的运动规律问题。这三个天体的质量、初始位置和初始速度都是任意的。在一般三体问题中，每一个天体在其他两个天体的万有引力作用下的运动方程都可以表示成3个二阶的常微分方程，或6个一阶的常微分方程。因此，一般三体问题的运动方程为十八阶方程，必须得到18个积分才能得到完全解。然而，目前还只能得到三体问题的10个初积分，因此还远不能解决三体问题
关键词：三体问题，平动点，令速度面，主星体，运动区，禁止区
ABSTRACT
Key word:
前
最简单的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的运动。在浩瀚的宇宙中，星球的大小可以忽略不记，所以我们可以把它们看成质点。如果不计太阳系其他星球的影响，那么它们的运动就只是在引力的作用下产生的，所以我们就可以把它们的运动看成一个三体问题.
新疆大学毕业论文(设计)
题目：限制性三体问题的已知解及其应用
指导老师：博尔汗·沙来
学生姓名：阿力木·热西提
所属院系：物理科学与技术学院
专业：材料物理
班级：材料物理06-2班
学号：20060900435
完成日期：2011年5月30日
新疆大学
毕业论文（设计）任务书
班级：物理学06-2班
姓名：布尔汗.沙拉木
用力函数U，可将（1.2.1）式写成：
(1.2.3)
由（1.2.1）或（1.2.3）看出N体系统的运动方程共有3n个二价微分方程，所以是6n
价的。若存在6个独立积分：
(1.2.4)
（i=1，2，……,6n）其中C为独立的积分常数，它们仅依懒于天体初始时刻的位置和速度。因此N体系统中任意天体的位置r和速度v都可由（1.2.4）式解出，它们是时间t和积分常数C的函数。200多年来尽管有很多数学工作者和天体力学工作者致力于这一工作，但到目前，仅找到十个独立积分，故除二体问题外，其他N体系统的求积分问题尚未解决。
(1.5.3)
E为积分常数，上式左端为系统的总动能T，可将(1.5.3)写作：T—U=E，故(1.5.3)式的物理意义是能量守恒。至此，我们得到三个动量积分(1.2.1)，三个质心运动积分(1.3.2),三个角动量积分(1.4.2)和一个能量积分，(1.5.3)共十个积分，这十个积分称作N体问题的首次积分，利用这十个首次积分可将低N体问题运动方程的价数。
先谈一下更广泛的限制性问题。在讨论天体或天体系统的运动时，应该考虑
所有的作用力。但是作用力是很难全部考虑完的，使全部找出后，运动方程也是无法解出的。就以n体问题为列，其中只考虑n个质点之间万有引力，运动方程也解不出来。主要困难在于运动方程的价数太高，很难用分析方法或定性方法
进行讨论。于是，邦加雷等人提出一种简化模型：只讨论一个天体的运动，而这个天体所受的作用力是以知的，可以用时间的已知函数来表示。这种类型的问题中已进行过大量研究的有：希耳问题，两个不动中心问题，多个不动中心问题，或法都问题，限制性三体问题等 。这里只介绍最后一个。