第62课时 抛物线
抛物线知识点解读
《抛物线》知识点解读一、深刻理解抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线()l F l ∉距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．注意：抛物线的定义中涉及到一个定点和一条定直线，要求这个定点不能在定直线上，否则轨迹就不再是一条抛物线，而是一条直线（过定点且与定直线垂直的直线）． 例1.平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是（ ）A ．抛物线B ．直线C ．椭圆D ．以上都不对解析：应该选D ，因为题目中没有指明所给的定点是否在所给的定直线上，因此动点的轨迹可能是抛物线，也可能是直线。
二、熟练掌握抛物线标准方程1．抛物线的标准方程是指当抛物线在标准位置时的方程．所谓标准位置，就是指抛物线的顶点在坐标原点，抛物线的对称轴为坐标轴．抛物线的标准方程有四种形式：（1）焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，焦点坐标为02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，准线方程为2p x =-，其开口方向向右； （2）焦点在x 轴的负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =->，焦点坐标为02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，准线方程为2p x =，其开口方向向左； （3）焦点在y 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =>，焦点坐标为02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，准线方程为2p y =-，其开口方向向上； （4）焦点在y 轴的负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =->，焦点坐标为02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，准线方程为2p y =，其开口方向向下． 其中抛物线的标准方程中参数p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离．注意：（1）抛物线的标准方程中，有一个一次项和一个二次项，二次项的系数为1，一次项的系数为2p （或2p -）；若一次项的字母是x ，则焦点就在x 轴上，若其系数是正的，则焦点就在x 轴的正半轴上（开口向右），若系数是负的，焦点就在x 轴的负半轴上（开口向左）；若一次项的字母是y ，则焦点就在y 轴上，若其系数是正的，则焦点就在y 轴的正半轴上（开口向上），若系数是负的，焦点就在y 轴的负半轴上（开口向下）.（2）不要受二次函数的影响把抛物线方程记作类似212y x p=的形式，应按本部分要求记作：22x py =．如求抛物线22y px =的焦点坐标，应先将方程写成标准形式：212x y p =，然后得其焦点坐标为108p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 2．抛物线的标准方程的求法是“先定型，后计算”．所谓“定型”是指确定类型，也就是确定抛物线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，是正半轴还是负半轴，从而设出相应的标准方程的形式，“计算”就是指根据题目的条件求出方程中参数p 的值，从而得到抛物线的标准方程．三、把握动点、焦点、准线三者互化抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，因此在解题中，抛物线上的点、焦点、准线三者通常是与抛物线的定义相联系，故它们可以相互转化，这一转化在解题中有着重要的作用．四、准确解读p 的几何意义 1.22p p p ，，等具有鲜明的几何意义：2p 表示通径(通过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点，连接这两点的线段)长，p 表示焦点到准线的距离，2p 表示焦点到顶点的距离．例2.已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点(2)M m -，到焦点的距离为4，则m 等于（ ）A ．4B ．2-C ．4或4-D ．2或2-解析：由已知可设抛物线方程2(0)x py p 2=->，由抛物线定义有242p +=，∴4p =，∴28x y =-，将(2)m -，代入上式得216m =，∴4m =±，故选（C ）． 2.p 的桥梁作用已知抛物线方程求其性质时，可先化为标准方程，由2p 得2p ，进而得焦点坐标、准线方程等性质；已知性质求抛物线方程时，可由2p 得2p ，进而得抛物线的标准方程．例3.抛物线26y x =的准线方程是．解析：由标准方程，得26p =，3p =，即232p =；又抛物线的焦点在x 轴正半轴上，所以准线方程为2p x =-，即32x =-． 例4.抛物线2y ax =的准线方程是2y =，则a 的值为（ ） Ａ．18 Ｂ．18- Ｃ．8 Ｄ．8-解析：由准线方程2y =得22p =，4p =；又焦点在y 轴负半轴上，且由原方程化为标准方程21x y a =后可知0a <，从而12p a =-，解得18a =-，故选（B ）． 五、熟记几个常用结论1．关于抛物线焦点弦的几个结论设AB 为过抛物线y 2= 2px (p ＞0)焦点的弦，A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，直线AB 的倾斜角为θ，则：⑴ x 1· x 2=42p ，y 1· y 2=－p 2；⑵|AB| =θ2sin 2p ；⑶以AB 为直径的圆与准线相切；⑷焦点F 对A 、B 在准线上射影的张角为90°；⑸||1FA +||1FB =p2． 2．抛物线的焦半径公式设抛物线上有一点M ，F 是抛物线的焦点，那么线段MF 叫做抛物线的焦半径．根据抛物线的定义，可以得到：⑴抛物线y 2= 2px (p ＞0)上一点M(x 0，y 0)的焦半径的长是|MF| = x 0+2p ． ⑵抛物线y 2=－2px (p ＞0)上一点M(x 0，y 0)的焦半径的长是|MF| =－x 0+2p ． ⑶抛物线x 2= 2py (p ＞0)上一点M(x 0，y 0)的焦半径的长是|MF| = y 0+2p ． ⑷抛物线x 2= 2py (p ＞0)上一点M(x 0，y 0)的焦半径的长是|MF| =－y 0+2p ．。
课件1：2.3.1 抛物线及其标准方程
定义法
求抛物线的方程除了用直接法外，还可以用定义法 （看动点的轨迹是否符合抛物线的定义）。
当堂检测
1.若动点P到点A2,0和直线x=2的距离相等，则动点P的轨迹是 D
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线
2.已知抛物线的准线方程是x=-1.5,则此抛物线的焦 点坐标是（1.5，0），其标准方程是 y2=6x 。
解题反思：
2
2
p值的几何意义是重点，p表示焦点到准线的距离，它是x系
数的一半，是焦点横坐标的两倍；而准线与对称轴垂直，垂
足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离等于x系数的 1。 4
例2. 已知点M与F(4,0)的距离比它到直线L:x+6=0的距离小2， 求点M的轨迹方程。
解：方法一 设点M（x,y),由题意知点M在x=-6的右侧，
所以 （x 4)2 ( y 0)2 2 x 6,
即（x 4)2 ( y 0)2 x 4, 化简整理得y 2 16 x.
直接法
方法二 由题意知：M到直线x+4=0的距离与到点（4，
0）的距离相等，所以由抛物线的定义知:
M点的轨迹是以（4，0）为焦点，以x=-4为准线的抛
物线。所以p=8，因此其方程为y2=16x. 解题反思：
所以方程 y2 2px p 0 叫做抛物线的标准方程.
它所表示的抛物线的焦点Ｆ在 x 轴的正
半轴上，坐标是（ p ，0 ）；它的
L
y
准线方程是 x p
2
，其中p的几何意
Ko
Fx
义是焦点到准线的2距离（焦参数）.
例1.（1）已知抛物线的焦点是F(3,0),写出它的标准方 程和准线方程。 （2）已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的
《抛物线》_课件详解人教版2
求它的焦点坐标和准线方程.
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,－2),
求它的标准方程．
(1)焦点为(
3 2
,
0)
,准线方程为x
3 2
.
(2)x2＝－8y.
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2.4 抛物线
2.4.1 抛物线及其标准方程 第一课时
复习回顾
1.椭圆和双曲线的统一方程
Ax2＋By2＝1（AB≠0，A≠B） 2.椭圆和双曲线有什么共同的几何特征？
到焦点的距离与到相应准线的距离之比 等于离心率.
探求新知
平面内到一个定点F的距离与到一条定直
线l(不经过点F)的距离之比为常数e的点的轨
探求新知
抛物线y＝ax2(a≠0)，其焦点坐标和准 线方程分别是什么？
焦点为
(
0
,
1 4a
)
，
准线方程为 y
1 4a
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典例讲评
例1 (1)已知抛物线的标准方程是y2＝6x,
交抛物线于A、B两点，求线段AB的中点M的轨
迹方程.
y
A
y2＝2(x－1).
M
F
x
OB
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课堂小结
1.椭圆、双曲线、抛物线的定义特征可 统一为：到一个定点的距离与到一条定直线 的距离之比为常数.
最新人教版九年级全一册数学培优课件第62课时 反比例函数的概念
反比例函 （1）反比例函数y= （k≠0）的图象是双曲线； 数的图象 （2）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第 和性质 三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
（3）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第 四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大
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（2）某种大米的单价是y元/kg，若购买x kg大米花费了2.2元
，则y与x之间的函数关系式是__________.
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B组 9. 如图1-26-62-1，若△ABC的边BC的长为x cm，高AD长为y cm ，△ABC的面积为6 cm2. （1）写出y与x之间的函数关系式及 自变量x的取值范围； （2）当AD=5 cm时，求BC的长度.
（3）把y=5代入y=
，得x=-2．
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C组
11. 已知反比例函数y=
和一次函数y=-kx-1的图象都经过
点P（m，-3m），求点P的坐标以及反比例函数和一次函数的解
析式.
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解：把点P（m，-3m）代入反比例函数y= ， 得-3m= . 解得m=1. ∴P（1，-3）. ∴反比例函数的解析式为y=
6. 函数y= A. x>0 C. x≠0
中，自变量x的取值范围是（ C ） B. x<0 D. x取任意实数
7. 若函数y=x2m－1为反比例函数，则m的值是____0______．
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8. 填空： （1）有x个小朋友平均分20个苹果，每人分得的苹果y（个/人 ）
与x（人）之间的函数关系式为__________；
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解：(1)∵y与x成反比例， ∴设y=kx（k≠0）. ∵当x=4时，y=5, ∴k=4×5=20. ∴y与x的函数关系式为y=
2021年高考数学大一轮复习 第十一章 第62课 抛物线自主学习
2021年高考数学大一轮复习第十一章第62课抛物线自主学习1. 抛物线的几何性质方程焦点准线焦半径图形y2=2px(p>0)F x=-x+y2=-2px(p>0)F x=-x+x2=2py(p>0)F y=-y+x2=-2py(p>0)F y=-y+2. 点P(x0,y)和抛物线y2=2px(p>0)的关系:(1) P在抛物线内(含焦点) <2px;(2) P在抛物线上=2px;(3) P在抛物线外>2px.3. 焦半径:抛物线上的点P(x0,y)与焦点F的距离PF称作焦半径.(1) y2=2px(p>0),PF=x+;(2) y2=-2px(p>0),PF=-x+;(3) x2=2py(p>0),PF=y+;(4) x2=-2py(p>0),PF=-y+.4. 焦点弦:AB为抛物线y2=2px(p>0)经过焦点F的弦(简称焦点弦).已知点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的倾斜角为α,那么:(1) x1x2=; (2) y1y2=-p2; (3) AB=x1+x2+p=,当且仅当α=时,ABmin=2p.1. (选修2-1P46例1改编)若抛物线的准线方程为x=1,则该抛物线的焦点坐标为.[答案](-1,0)[解析]因为抛物线的准线与x轴的交点和焦点关于y轴对称,所以焦点坐标为(-1,0).2. (选修2-1P47习题2改编)抛物线y2=ax的准线方程为.[答案]x=-3. (选修2-1P48习题5改编)顶点在原点、对称轴为坐标轴、焦点在直线2x-y+4=0上的抛物线的标准方程为.[答案]x2=16y或y2=-8x4. (选修1-1P47练习3改编)已知一个抛物线形拱桥,当水面离拱顶2 m时,水面宽4 m.若水面上升1 m,则水面宽度为m.(第4题)[答案]2[解析]以抛物线顶点为原点、过焦点且垂直于抛物线准线的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py,则M(2,-2)是抛物线上的点,所以2p=2,抛物线方程是x2=-2y,若水面上升1 m,则点N(m,-1)在抛物线上,所以m=±,所以水面宽度是2 m.5. (选修1-1P41练习2改编)若P(x,4)是抛物线y2=-32x 上一点,F是抛物线的焦点,则PF=.[答案][解析]因为点P(x0,4)在抛物线y2=-32x上,所以x=-,抛物线的准线是x=8,所以PF=8-x=.j28618 6FCA 濊 37463 9257 鉗-29511 7347 獇22982 59C6 姆39334 99A6 馦38887 97E7 韧34869 8835 蠵 i。
第62课时：二次函数应用(2)
x第62课时：二次函数应用（2）主备：王静 雍亚波班级 姓名 学号一、中考考点：在几何图形中构建二次函数，利用二次函数的最值思想从而解决问题。
二、问题探索：（一）基础问题探索：1、用铝合金钢材做一个形状如图所示的矩形窗框，设窗框的一边为x m ，窗户的透光面积为y m 2，y 与x 的函数图象如图12所示.当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是 m..2、抛物线过点A （2，0）、B （6，0）、C （1，3），平行于x 轴的直线CD 交抛物线于点C 、D ，以AB 为直径的圆交直线CD 于点E 、F ，则CE+FD .3、校园要建苗圃，其形状如直角梯形，其两边借用夹角为1350的两面墙，另外两边是总长为30米的竹篱笆。
则所建苗圃面积的最大值为 。
（二）典型例题： 问题一、如图，在平面直角坐标系中，直角梯形A B C O 的边O C 落在x 轴的正半轴上，且A B ∥O C ，B C O C ，A B =4，B C =6，O C =8．正方形O D E F 的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形A B C O 面积．将正方形O D E F 沿x 轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形A B C O 的重叠部分面积为S ．（1）分析与计算：求正方形O D E F 的边长； （2）操作与求解：①正方形O D E F 平行移动过程中，通过操作、观察，试判断S（S ＞0）的变化情况是 ；A ．逐渐增大 B ．逐渐减少 C②当正方形O D E F顶点O 移动到点C 时，求S 的值；（3）探究与归纳：设正方形O D E F 的顶点O 向右移动的距离为x ，求重叠部分面积S 与x 的函数关系式．问题二、如图，已知抛物线P ：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上)，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：（1） 求A 、B 、C 三点的坐标；（2） 若点D 的坐标为(m ，0)，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围；（3） 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM ＝k ·DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围．问题三、初三(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度的铝合金材料,将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大. 小组讨论后,同学们做了以下三种试验:图案(1) 图案(2) 图案(3) 图案(4)请根据以上图案回答下列问题:(1)在图案(1)中,如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长度和)为6m,当AB 为1m,长方形框架ABCD 的面积是 m 2;(2)在图案(2)中,如果铝合金材料总长度为6m,设AB 为x m,长方形框架ABCD 的面积为Ｓ＝ (用含x 的代数式表示)；当AB ＝ m 时, 长方形框架ABCD 的面积Ｓ最大;在图案(3)中,如果铝合金材料总长度为l m, 设AB 为x m,当AB = m 时, 长方形框架ABCD 的面积Ｓ最大.(3)经过这三种情形的试验,他们发现对于图案(4)这样的情形也存在着一定的规律． 探索: 如图案(4),如果铝合金材料总长度为l m 共有ｎ条竖档时, 那么当竖档AB 多少时,长方形框架ABCD 的面积最大.初三数学一轮复习 A BCD图1 图2三、课后作业：1、如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园A B C D ，设A B 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为 （不要求写出自变量x 的取值范围）．2、某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x 米，面积为S 平方米.（1）求出S 与x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围； （2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.3、某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如图ABCD 所示）．由于地形限制，三级污水处理池的长、竟都不能超过16米．如果池的外围墙建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米300元，池底建造单价为每平方米80元．（池墙的厚度忽略不计）（1）当三级污水处理池的总造价为47 200元时，求池长x ； （2）如果规定总造价越低就越合算，那么根据题目提供的信息，以 47 200元为总造价来修建三级污水处理池是否最合算？请说明理由．4、已知抛物线1)12(22-+-+=n x n x y （n 为常数）（1）当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；（2）设A 是（1）所确定的抛物线，位于x 轴下方，且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C . ①当BC ＝1时，求矩形ABCD 的周长；②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由.5、有一块边长为120cm 的正方形铁皮，现准备利用这块铁皮，把它做成一个开口水槽的横截面积最大．（1）若横截面是矩形，设AM=xcm ，横截面积为ycm 2，写出y 与x 的函数关系式，并求y 的最大值；（2）若横截面是等腰梯形，且∠AMN=120°，设AM=xcm ，横截面积为ycm 2，，求y 的最大值。
《抛物线的几何性质》教案(公开课)
《抛物线的几何性质》教案一、教学目标(一)知识教学点使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．(二)能力训练点从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题．二、教材分析1．重点：抛物线的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出．)2．难点：抛物线的几何性质的应用．(解决办法：通过几个典型例题的讲解，使学生掌握几何性质的应用．) 3．疑点：抛物线的焦半径和焦点弦长公式．(解决办法：引导学生证明并加以记忆．)三、活动设计提问、填表、讲解、演板、口答．四、教学过程(一)复习1．抛物线的定义是什么？请一同学回答．应为：“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．”2．抛物线的标准方程是什么？再请一同学回答．应为：抛物线的标准方程是y2=2px(p＞0)，y2=-2px(p＞0)，x2=2py(p＞0)和x2=-2py(p＞0)．下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)出发来研究它的几何性质．(二)几何性质怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质？以y2=2px(p＞0)为例，用小黑板给出下表，请学生对比、研究和填写．填写完毕后，再向学生提出问题：和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？学生和教师共同小结：(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为1．注意：这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了．(三)应用举例为了加深对抛物线的几何性质的认识，掌握描点法画图的基本方法，给出如下例1．例1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点程是y2=4x．后一部分由学生演板，检查一下学生对用描点法画图的基本方法掌握情况．第一象限内的几个点的坐标，得：(2)描点作图描点画出抛物线在第一象限内的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分(如图2-33)．例2 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则准线方因为抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离得p=4．因此，所求抛物线方程为y2=-8x．又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)．解法二：由题设列两个方程，可求得p和m．由学生演板．由题意在抛物线上且|MF|=5，故本例小结：(1)解法一运用了抛物线的重要性质：抛物线上任一点到焦点的距离(即此点的焦半径)等于此点到准线的距离．可得焦半径公式：设P(x0，这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到，因此必须熟练掌握．(2)由焦半径不难得出焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)则有|AB|=x1+x2+p．特别地：当AB⊥x轴，抛物线的通径|AB|=2p(详见课本习题)．例3 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B 两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图2-34)．证明：(1)当AB与x轴不垂直时，设AB方程为：此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，则有y1y2=-p2．或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2．综合上述有y1y2=-p2又∵A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线上的两点，本例小结：(1)涉及直线与圆锥曲线相交时，常把直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程，然后用韦达定理求解，这是解决这类问题的一种常用方法．(2)本例命题1是课本习题中结论，要求学生记忆．(四)练习1．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，若x1+x2=6，求|AB|的值．由学生练习后口答．由焦半径公式得：|AB|=x1+x2+p=82．证明：与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点．请一同学演板，其他同学练习，教师巡视．证明：可设抛物线方程故抛物线y2=2px与平行于其轴的直线只有一个交点．(五)全课小结1．抛物线的几何性质；2．抛物线的应用．五、布置作业1．在抛物线y2=12x上，求和焦点的距离等于9的点的坐标．2．有一正三角形的两个顶点在抛物线y2=2px上，另一顶点在原点，求这个三角形的边长．3．图2-35是抛物线拱桥的示意图，当水面在l时，拱顶高水面2m，水面宽4m，水下降11m后，水面宽多少？4．求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆，必与抛物线的准线相切．作业答案：3．建立直角坐标系，设拱桥的抛物线方程为x2=-2py，可得抛物线4．由抛物线的定义不难证明六、板书设计。
2021年高考数学大一轮复习 第十一章 第62课 抛物线要点导学
2021年高考数学大一轮复习第十一章第62课抛物线要点导学求抛物线的方程已知点P在抛物线y2=2px上,求该抛物线的方程.[思维引导]将点P的坐标代入抛物线方程y2=2px即可.[解答]因为点P在抛物线y2=2px上,所以=2p×,p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点在直线x-2y-2=0上,则该抛物线的准线方程为.[答案]x=-2[解析]抛物线的焦点坐标为,代入直线x-2y-2=0,得-2=0,即p=4,所以抛物线的准线方程为x=-=-2.直线与抛物线的问题过点M(2,0)的直线l与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,过点A,B分别作y轴的垂线交直线l':y=-2x-2于点A',B'.(1) 若四边形A'B'BA是等腰梯形,求直线l的方程;(2) 若A',O,B三点共线,求证:AB'与y轴平行.[思维引导](1) 若四边形A'B'BA是等腰梯形,直线l的斜率与直线l':y=-2x-2斜率互为相反数;(2) 通过计算A',B'的坐标来证明AB'与y轴平行.[解答](1) 因为四边形A'B'BA为等腰梯形,所以k AB=2,故直线l的方程为y=2x-4.(2) 设直线AB的方程为x=ty+2,A(x1,y1),B(x2,y2),则A',B',由得y2-4ty-8=0,故y1+y2=4t,y1y2=-8.因为A',O,B三点共线,所以=,即2y1+y2=8t+4,又y1+y2=4t,得y2=-4,又y1y2=-8,所以y1=2,所以A(1,2),B'(1,-4),故直线AB'与y轴平行.【题组强化·重点突破】1. (xx·辽宁卷)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与抛物线C在第一象限相切于点B,记抛物线C的焦点为F,则直线BF的斜率为.[答案][解析]由于点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,所以-=-2,p=4,所以y2=8x.设直线AB的方程为x=k(y-3)-2,与y2=8x联立,得y2-8ky+24k+16=0 ①,由Δ=64k2-96k-64=0,得k=2(负值舍去).将k=2代入①,得y=8,x=8,故B(8,8),所以k BF==.2. (xx·莆田一中模拟)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是坐标原点,若AF=5,则△AOB的面积为.[答案][解析]由已知可得p=2.如图,过点A作AA1⊥l,l为准线,垂足为A1,则由抛物线的定义得AA1=AF,所以x A+=5,x A=4,代入y2=4x,得y A=4(-4舍去),所以A(4,4).又F(1,0),所以直线AB的方程为=,即x=y+1,代入y2=4x,得y2=3y+4,所以y B=-1.所以S△AOB=OF·(|y A|+|y B|)=×1×(4+1)=.(第2题)3. (xx·河南模拟)过抛物线y2=4x的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A,B两点,则=.(第3题)[答案]3[解析]如图,过点A,B作准线的垂线,垂足分别为A1,B1,过点B作BC⊥AA1于点C,由垂直及抛物线的定义可知∠CAB=60°,所以AB=2AC,所以AF+BF=2(AF-BF),所以=3.抛物线与其他曲线的综合已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=.[答案]2(例3)[解析]由e==2,得c=2a,b=a,所以双曲线的渐近线为y=±x.又抛物线的准线方程为x=-,联立双曲线的渐近线和抛物线的准线方程得点A,B（-,-）.在△AOB中,AB=p,O到AB的距离为,S△AOB=,所以·p·=,解得p=2.若过点P(1,2)的直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求AB的中点M所在曲线的方程.[解答]设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),AB中点为M(x,y),则x1+x2=2x,y1+y2=2y.又=4x1,=4x2,所以(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2).所以k AB==.又k AB=,x≠1,于是由=,得2x-y2+2y-2=0.当x=1时,M为(1,0),满足上式.故点M所在曲线的方程为2x-y2+2y-2=0.已知抛物线C:y2=4x的顶点为O,过点(-1,0)且斜率为k的直线与抛物线C交于A,B两点,当实数k变化时:(1) 求证:·是一个与k无关的常数;(2) 若=+,求||的最小值.[思维引导]建立直线的方程,将y2=4x代入直线方程后得到关于y的方程,设A(x1,y1),B(x2,y2),建立y1与y2的关系,再建立x1与x2的关系,进而求得x1x2+y1y2.[规范答题](1) 由题意可设直线AB的方程为y=k(x+1),由得ky2-4y+4k=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=4,x1x2=·=1,所以·=x1x2+y1y2=5,它为常数. (6分)(2) 设M(x,y),由=+=(x1+x2,y1+y2),得=(x1+x2)2+(y1+y2)2=+(y1+y2)2=[(y1+y2)2-2y1y2]2+(y1+y2)2=+4,由于Δ=16-16k2≥0,得-1≤k≤1,且k≠0,所以||min=2. (14分)1. (xx·福建六校联考)过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则AB=.[答案]8[解析]设A(x1,y1),B(x2,y2),因为AB的中点的横坐标为3,即=3,所以x1+x2=6.又因为AB=x1+x2+p,p=2,所以AB=2+6=8.2. 已知P为抛物线C:y2=4x上一点,若点P到抛物线C准线的距离与到顶点的距离相等,则点P到x轴的距离为.[答案][解析]由题意得点P到焦点的距离与到顶点的距离相等,所以x P==,所以|y P|=.3. (xx·济南期末)已知定点Q(2,-1),F为抛物线y2=4x的焦点,动点P为抛物线上任意一点,当PQ+PF取最小值时点P的坐标为.[答案][解析]设点P在准线上的射影为点D,则根据抛物线的定义可知PF=PD,要使PQ+PF取得最小值,则需D,P,Q三点共线,将Q(2,-1)的纵坐标代入y2=4x,得x=,故点P的坐标为.4. (xx·湖南卷)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则=.(第4题)[答案]+1[解析]由题意可得C,F,因为点C,F在抛物线上,所以-2-1=0=+1(舍去负值).[温馨提醒]趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第123-124页).21665 54A1 咡27639 6BF7 毷<a ;e|&37293 91AD 醭y29787 745B 瑛•q36846 8FEE 迮。
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第62课时 抛物线
一．考纲要求
二．知识梳理
1．抛物线的定义
2．抛物线的标准方程与几何性质
基础训练1.动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 。
2.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________。
3.已知抛物线2
:2(0)C y px p =＞的准线为l ，过(1,0)M l 相交于点A ，与C 的一
个交点为B ．若AM MB =
，则p = ．
4.抛物线2
3y x =-的焦点坐标是 。
5.已知以F 为焦点的抛物线2
4y x =上的两点A 、B 满足3AF FB =
,则弦AB 的中点到准线的距离为
___________.
6.设圆C 位于抛物线22y x 与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为__________ 。
7.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB
? .
8.两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数为 。
9.已知F 是抛物线2y x =
的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点， 3AF BF +=，则线段AB 的中点到y
轴的距离为 . 四．合作探究
例1.已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准
线相交于点N ，则|FM |∶|MN |＝________.
例2.已知A (8,0)，B 、C 两点分别在y 轴上和x 轴上运动，并且满足AB →·BP →＝0， BC →＝CP →
，
(1)求动点P 的轨迹方程；
(2)是否存在过点A 的直线l 与动点P 的轨迹交于M 、N 两点，且满足QM →·QN →＝97，其中Q (－1,0)，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
例3. 设抛物线C ：x 2
＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A
为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．
(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为4 2，求p 的值及圆F 的方程；
(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．
第62课时抛物线
同步训练题
1．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.
2．过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝25
12，|AF|＜|BF|，则|AF|
＝________.
3．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是________．
4．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．
5.已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则p的值为________．
6.抛物线y2＝8x的焦点到直线x－3y＝0的距离是________．
7.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线x2
4－
y2
5＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴
的交点为K，点A在抛物线上且|A K|＝2|AF|，则A点的横坐标为________．
8．已知抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x0＝________.
9.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l 的方程为________．
10.已知双曲线C1：x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x
2＝2py(p>0)的焦点到双
曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．
11.已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是________．
12.抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．如果直线AF 的倾斜角为120°，那么|PF|＝________.
13.已知圆x2＋y2＋mx－1
4＝0与抛物线y＝
1
4x
2的准线相切，则m＝________.
14.已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值．
15.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|，BF ||AF |＝3，则此抛物线的方程为________．
16.已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是(4，a )，则当|a |＞4时，|P A |＋|PM |的最小值是________．
17．设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点． (1)设l 的斜率为1，求|AB |的大小； (2)求证：OA →·OB →是一个定值．
18.已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，过点K (0，－1)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为D . (1)证明：点F 在直线BD 上；
(2)设F A →·FB
→＝89
，求∠DB K 的平分线与y 轴的交点坐标．。