_住房反向抵押贷款_养老模式的精算模型构建与应用_沈志江

１
概念解析 ２
“住 房 反 向 抵 押 贷 款 ”养 老 的 运 作 模 式 是 老 年 房 屋 拥 有
模型构建
构建思路 本 文 主 要 建 立 个 体 “住 房 反 向 抵 押 贷 款 ”精 算 模 型 和 家
者以自己已有的房屋作为抵押 ， 从金融机构获得一笔或多笔 款 项 ，主 要 用 于 老 年 时 的 生 活 或 其 他 费 用 ，他 可 以 选 择 在 死 亡前通过出售房产或其他资金来源返还所借本息 ， 或选择死 亡时将房屋的所有权转给金融机构 。 “ 住房反向抵押贷款 ” 的基本原理是 ： （1 ） PVI=PVE 其 中 ，PVI 表 示 反 向 抵 押 贷 款 的 债 务 现 值 ；PVE 表 示 一 系列贷款支付额的现值 。 设 ：L 表示 “ 住房反 向 抵 押 贷 款 ” 养 老 借 款 人 可 以 申 领 到 的 贷 款 基 数 ；V 表 示 住 房 即 期 的 评 估 价 值 ；λ 表 示 贷 款 的 限 额 ；v 表示贷款数额与贷款基数的比例 ；a 表 示 贷 款 的 名 义 利 率 ；h 表示房产价格波动率 ；γ 表示未 来 贷 款 的 时 间 起 点 ；S(t) 表示借款人在时间 0-t 内的存活概率 ；A(t) 表示在时间 0-t 领 到的贷款数额 ；g 表示通货膨胀率 。 则 ：
2.2.3
年金按年领取假设 假设 “ 住房反向抵押贷款 ” 养老金给付中 ， 使按年在借款
者生日当天领取 。 按月领取的情况可参照利息理论进一步讨 论 ， 本文暂不涉及 。
2.2.4
“ 住房反向抵押贷款 ” 养老起始年龄假设 由于 “住房反向抵押贷款 ”是一种养老的模式 ，因此 ，它面
30
统计与决策 ２００８ 年第 20 期 （ 总第 ２72 期 ）
2.3.2
家庭 “ 住房反向抵押贷款 ” 精算模型构建 家 庭 “住 房 反 向 抵 押 贷 款 ”是 考 虑 到 夫 妇 双 方 的 生 存 期
限 ， 只要一方存活就继续给付 。 现实中 ， 房产是夫妻双方的共 同财产 ， 因此 ， 这种方式更具有现实可行性 。
咬 表示最后生存 设 ：x 为男性的年龄 ；y 为女性的年龄 ； a xy
参照式 （6 ） 可得年金型精算模型 ：
PMT=
LS ω
t = 0
（7 ）
Σtpx(1+r)-t Σ V(1-α)(1-β) (1+r+g) (1+r+m)
t t -t t x x+t
进一步推导可得 ：
Amax -x+1
pq
PMT=
t = 0
ω
t = 0
（8 ）
t x -t
Σ p (1+r)
式 （6 ） 和式 （8 ） 即为个体情况下的趸领型和年金型 “ 住房 反向抵押贷款 ” 养老的精算模型 。
进一步推导可得 ：
A max -x+1
（11 ）
PMT =
t = 0
1+r+g Σ V(1- α )(1- β ) ( 1+r+m
t
) t ( tpxqx+ttqy+ tpytqxqy+t + tpxtpyqx+tqy+t ) 咬 a xy
（12 ）
综上 ， 个体 “ 住房反向抵押贷款 ” 的趸领精算模型和年金 精 算 模 型 为 式 （6 ） 和 式 （8 ）， 式 （10 ） 和 式 （12 ） 为 家 庭 “ 住 房 反 向抵押贷款 ” 的趸领精算模型和年金精算模型 。
(1 ） 计算双方至少有一方存活的概率 p 。 p= tpxqx+ttqy+ tpytqxqy+t + tpxtpyqx+tqy+t (2 ） 将 p 带入到个体精算模型 。
理 论 新 探
“住房反向抵押贷款” 养老模式 的精算模型构建与应用
沈志江
（ 西安交通大学 人文与社会科学学院 ， 西安 710049 ）
摘
要 ： 文章通过对 “ 住房反向抵押贷款 ” 的概念解析 ， 构建了个 体 “ 住 房 反 向 抵 押 贷 款 ” 精 算 模
型和家庭 “ 住房反向抵押贷款 ” 精算模型 ； 利用两个模型 ， 测算了固定 房 产 值 时 的 给 付 标 准 和 固 定 给 付标准时对房产值的要求 。 研究发现 ， 实行 “ 住房反向抵押贷款 ” 养老的警戒线为房产净价值 136576 元 ； 当拥有房产价值 227627 元时 ， 给付标准可达到城镇居民人均可支配收入水平 。 关键词 ： 住房反向抵押贷款 ； 养老 ； 精算模型 中图分类号 ：F840.67 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１００２－６４８７ （２００8 ）20－0030-03 案设计都是由这两种组合而成 。
者状态下首付终身生存年金的精算现值 。
Y.K.Tse 提供了家庭 “ 住房反向抵押贷款 ” 精算 模 型 的 构
建思想 ， 但他并未构建出这一模型 。 本文依据他的思想 ， 加入 了费用和折旧因素 ， 并充分考虑了夫妇双方的存货概率及其 组合 ， 在个体精算模型的基础上 ， 构建了家庭 “ 住房反向抵押 贷款 ” 精算模型 。
0 ， 即收入的精算现值等于支出的精算现值 。 以此作为构建个
体精算模型和家庭精算模型的思路 。
2.2 前提假设 2.2.1 政策稳定性假设
“ 住房反向抵押贷款 ” 养老不仅涉及到借贷双方 ， 而且与 资 本 市 场 、房 产 市 场 以 及 国 家 的 政 策 密 切 相 关 ，本 文 的 研 究 是基于我国现行政策稳定的基础之上的 。
LS=
t = 0
1+r+g Σ V(1-α)(1-β) ( 1+r+m
t
)ttpxqx+t
（6 ）
拥 有 住 房 100m2， 且 面 临 急 切 的 养 老 压 力 ， 有 “ 住 房 反 向 抵 押 贷款 ” 养老的需求 。 运用上述精算模型进行数据模拟 ， 以对此 家庭的决策提供依据 。 具体参数设定如下 。
取金额 ， 假设年金期初领取 。 以 x 岁借款人为例 ， 依据 “ 住房反向抵押贷款 ” 的基本 原 理 ， 参 考 Olivia S. Mitchell 和 John Piggott 提 出 的 “ 住 房 反 向
[6]
日及之后S 咬 a xy
γ S(t)A(t)e
-(a-g)t
款 ” 养老 ， 尽管在此之后借款人可能因多种原因搬出住房 ， 但
dt
（5 ）
考虑到老年人口搬迁率较低的现实 ， 以及搬迁对老年人生活 的影响 ， 本文假设老年人一直居住实行 “ 住房反向抵押贷款 ” 的住房中 。
由式 （5 ） 可以解得 A(t) 的值 。 “住 房 反 向 抵 押 贷 款 ”养 老 的 运 作 模 式 按 照 保 障 对 象 的 不 同 ，可 以 分 为 个 体 “住 房 反 向 抵 押 贷 款 ”和 家 庭 “住 房 反 向 抵 押贷款 ”。 个体 “ 住房反向抵押贷款 ” 是指仅考虑户主的养老 保障问题 ， 在户主的生存期限内按约定给付养老金 ； 家庭 “ 住 房反向抵押贷款 ” 是指以保障老年人口夫妇双方的生活为目 的 ， 在夫妇双方任何一方生存的期限内给付养老金 。 同时 ， 养 老金的给付方式可以分为趸领型和年金型 ， 现实操作中的方
2.1
庭 “住 房 反 向 抵 押 贷 款 ”精 算 模 型 ，目 的 是 检 验 “住 房 反 向 抵 押贷款 ” 养老是否对供 、 需双方均具有吸引力 ， 即是否能够通 过合理的风险回报率等假设， 一方面使得寿险公司有利可 图 ， 另一方面使得领取金额对需方的生活质量会产生足够重 大 的 影 响 ；同 时 ，在 两 个 模 型 内 部 又 分 为 趸 领 精 算 模 型 和 年 金型精算模型 。 根 据 期 望 收 支 平 衡 的 原 则 ，金 融 机 构 在 “住 房 反 向 抵 押 贷款” 养老业务中未来可能发生的收付的精算现值之和为
理 论 新 探
向的对象是老龄人口 。 根据国家对退休年龄的规定 ，本文假设 男性、女性统一实施“住房反向抵押贷款”养老的年龄为 60 岁。
t xt y x+t y+t
（10 ） p pq q ) 对 x 岁 和 y 岁 的 两 人 在 参 加 “住 房 反 向 抵 押 贷 款 ”养 老
2.3 模型推导 2.3.1 个体 “ 住房反向抵押贷款 ” 精算模型构建 设 ：x 表 示 借 款 者 年 龄 ， 并 假 设 在 其 生 日 当 天 参 加 “ 住 房 反向抵押贷款 ” 养 老 ；r 表 示 无 风 险 投 资 回 报 率 ；g 表 示 房 产 投 资 风 险 回 报 率 ；m 表 示 反 向 抵 押 贷 款 风 险 利 率 ；V 表 示 房 产评估现值 ；tPx 表示 x 岁的人生 存 至 x+t 岁 的 概 率 ；qx+1 表 示 x+t 岁的人在 x+t+1 岁死亡的概率 ；Amax 表示生命表中人可能 生存的最大年龄 ；α 表示费用占房产现值的比例 ；β 表示房屋 的年折旧率 ；ω 表示 x 岁的人生存至 生 命 表 中 人 可 能 生 存 的 最大年龄所经过的年度 ；LS 表示趸领 金 额 ；PMT 表 示 年 金 领
(1)V：假设经权威机构评估，此住房的资产现值为 30 万元。 (2)r ： 以银行利率为基准 ， 在过去 20 年 里 ， 银 行 定 期 存 款 的真实利率平均值为 0.32% ， 在 未 来 20 年 的 时 间 尺 度 上 ， 可 按照 1%来估计，再加上 1.5%的利差，无风险利率假定为 2.5%。 (3)g ： 按宋国青 [7]从现在的情况推断 ， 未来 20 年中国经济 还将保持比较高的增长率 ， 平均增长率为 7%~8% ， 比过 去 大 约低 2 个百分点 。 根据稳健性原则 ， 本文假设平均增长率为 7% ， 房价按同样的增长率上升 。 根 据 经 验 数 据 ， 按 住 房 总 值 计算的折旧率每年不超过 2% 。 房价按 7% 的年率上升 ， 减去 2% 的折旧率 ， 即住房将以 5% 的年利率升值 。 (4)m ： 考 虑 到 目 前 中 国 处 于 利 率 不 断 调 整 期 ， 参 考 国 外 的数据 ， 设定风险利率为 3.5% 。 (5)α ： 费用包括发起费 、 第三方费用 、 服务费和保险费等 ， 假设占房产现值的 10% 。 (6)β ： 国内的房屋折旧率是比较低的 ， 一般不超过 2% ， 本 文假设为 2% 。 (7)t|uqx： 根 据 《 中 国 人 寿 保 险 业 经 验 生 命 表 （1990~1993 ）》 计算生存概率和死亡概率 。 其中 ，t|uqx=t+uqx-tqx=tpxuqx+t。 咬 ： 采用 《Actuarial Mathematics 》 中 的 计 算 方 法 ， 根 据 (8)a xy 咬 的值 。 《 中国人寿保险业经验生命表 （1990~1993 ）》 计算 a xy 3.2 测算结果 3.2.1 个体 “ 住房反向抵押贷款 ” 精算结果 根 据 公 式 （6 ）、（8 ） 及 3.1 的 参 数 设 定 ， 可 得 个 体 “ 住 房 反 向抵押贷款 ” 精算结果 ①， 见表 1 。 由 表 1 可 知 ， 在 当 前 的 经 济 、 社 会 条 件 下 ， 拥 有 价 值 30 万 元 房 产 的 60 岁 老 龄 男 性 ， 如 果 办 理 “ 住 房 反 向 抵 押 贷 款 ” 养老 ， 可以一次性得到 238871.74 元 ， 或者每年得到 15497.72