基于保险精算的住房反向抵押贷款定价研究

生命表和经验生命表，可以从中直接查得给定年龄的老年人平均剩余可存活的年限 T。《中国人寿保险业经验
生命表（2000—2003）》就是我国最新的经验生命表，本文的死亡率数据也取自该表。
根据生命表的构成和书写习惯，有以下几个重要指标和关系式：
px—— —生存率，表示 x 岁的人在 1 年后仍生存的概率，即到 x+1 岁时仍生存的概率； qx—— —死亡率，表示 x 岁的人在 1 年内死亡的概率； tpx— ——x 岁的人在 t 年后仍生存的概率； tqx— ——x 岁的人在 t 年内死亡的概率； t│nqx— ——x 岁的人在 x+t 岁与 x+t+n 岁的 n 年内死亡的概率。如果 n=1，则表示为 t│qx，其含义为 x 岁的人 在生存 t 年后的那一年死亡的概率。
含义与式（1）相同。
2、模型参数的确定
从式（1）可以看出，住房反向抵押贷款的价格主要取决于利率的变动水平、未来住房的增值率以及老人的
预期寿命，下文将对这三个变量进行具体分析。
（1）利率水平
在固定利率形式下，由于贷款机构在签订反向抵押贷款合约时即确定了将来支付的贷款利率，那么当实
际利率上升时，贷款机构将失去把该笔资金投资于其他项目的机会，机会成本 作者简介：路 静 ，中 国 科 学 院 研 究 生 院 管 理 学 院 硕 士 研 究 生 ；高 鹏 ，中 国 科 学 院 研 究 生 院 管 理 学 院 教 授 ， 博 士 生 导 师 ； 董 纪 昌 ， 中 国
科学院研究生院管理学院副教授，硕士生导师。
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（2）房价数据
k=0.8301，ur=0.0246，σr=0.0241
根据房价模型的要求，模型中需要知道房价增长率 μ、房价波动率 σH 和房屋租金 s 三个参数。由于没有 直接跟踪房屋随时间变化的价格数据，因而要从历史数据中直接估计出房价波动率是比较困难。但是由于房
活 n 年的累计概率，如图 1 所示。
（4）费用率数据 在本文中的费用数据以美国为参照，具体为下：
图 1 60 岁、70 岁、80 岁的累计存活率（tp）x 曲线图
A.发起费（α）：发起费全部由借款人支付，假定其与反向抵押贷款发起时住房资产之比为 α，取 α=1%。
反向抵押贷款定价具体理论的研究在美国比较成熟，具体来讲可以分为三类。第一类是保险精算法。 Mitchell 等[1]提出了反向抵押贷款的保险精算定价模型。他们利用单个借款人能够借到的精算公允金额等于 住房偿还时出售价值的贴现值给出了基于利率、房价增长率和死亡率的一次性支付总额和年金支付的住房 反向抵押贷款价值。我国学者提出的保险精算模型基本上都是对模型进行的修正和拓展：张晶[2]在保险精算 模型中引入了房屋折旧因子，章凌云[3]对保险精算定价模型进行了模拟分析，肖隽子[4]提出了基于平均余命的 保险精算定价模型，奚俊芳[5]推导了年金给付递增的精算定价模型。第二类是因子定价法。Szymanoski[6]提出的 住宅财产转换贷款（HECM）示范价格模型，证明了借款人寿命、利率、财产价值变化对价格的影响，而 Peter 等[7] 设计的模型为住房权益转换抵押贷款（HECM）定价提供了直接借鉴。我国的刘春杰、谭竞[8]指出支付因子定价 是一种定期定价，并深入的探讨了反抵押贷款合同超期的定价问题。第三类是期权定价方法。Boehm 等[9]将住 房反向抵押贷款看做是利率和时间的函数，并计算出了反向抵押贷款价值的基本偏微分方程。Tobias[10]等采用 蒙特卡洛模拟方法对提前出售的住房反向抵押贷款进行定价。国内文献中，只有奚俊芳应用二叉树方法和布
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（2）房价水平
住房反向抵押贷款的周期较长，有的甚至长达几十年。在此期间，房地产价格会发生不同程度的波动，有
的甚至会经历几个不同的波峰波谷。当真实房价的上涨幅度低于预先设定的房价增长率时，贷款机构将面临
合同到期时不足以收回贷款的风险。因此，沿用固定的住房增长率不利于对住房反向抵押贷款进行精确定价，
易费。
对于单生命来说，假设反向抵押贷款合同签订后，贷款人在每年年初付给房主一笔数额相等的年金，直
至房主去世为止，则该产品为期初终生生存年金。在完全竞争的市场中，这些年金的折现值之和应该与一次
性总付的金额相等，则可得出借款人可获得的年金为：
Ax= t LS
Σ npx
n=1 (1+r)n
（2）
上式中，Ax— ——年龄为 x 岁的申请人在反向抵押贷款合同开始后每年年初获得的年金金额，其余参数的
基准利率的基础上，加上一个合理的利差作为浮动利率以减少固定利率计息的风险。在实践中，要对浮动利率
定期（按月或年）进行调整。为了减少固定利率住房反向抵押贷款的影响，本文在住房反向抵押贷款修正模型 中使用浮动利率。根据 Cox 等[11]提出的瞬时无风险利率的均方回归过程，利率满足以下随机微分方程：
dr(t)=k(ur-r(t))dt+σr姨r(t) dzr
ΣHt 1+rt
Σt ×npx
（1）
上式中：LSx— ——初始年龄为 x 的借款人得到的一次性支付总额（Lump Sum，LS）；Ht———住房反向抵押贷款
合约签订时房屋的市场价值；T—— —借款人的平均余命；rt— ——反向抵押贷款年利率，也即包含贷款人正常利
润的年利率；npx———年龄为 x 岁的申请人还可以再活 n 年的概率；α— ——发起费；β— ——保险费；γ— ——其他交
本文的结构安排如下：第一部分是引言；第二部分描述住房方向抵押贷款产品的修正定价模型；第三部 分是对构建的定价模型进行模拟分析；第四部分给出本文的结论。
模型的建立
1、模型建立的过程
本文假定参与反向抵押贷款的老年人没有其它以住房为抵押的贷款；在屋主死亡后，住房资产随之以市
场价格出售，二者之间不存在时间差；贷款的成本费用为房价的一个固定比例数。对于单生命借款人，本文假
也会增加住房反向抵押贷款的房价波动风险。美国联邦住房管理局在住房反向抵押贷款项目中假设房价服从
几何布朗运动，将房价表示为：
dH=uHHdt+6HHdzH
（4）
其中：uH 表示房价的期望增值率，σH 表示房价的波动率，dzH 表示一般标准维纳过程。由于借款人将从房
屋居住中获益（以房屋租金的形式表示），因此本文将上述过程修正为：
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基于保险精算的住房反向抵押贷款定价研究
路 静 高 鹏 董纪昌 （中国科学院研究生院管理学院，北京 100190）
摘要：住 房 反 向 抵 押 贷 款 是 一 种 新 型 的 住 房 金 融 产 品 ， 本 文 在 文 献 综 述 的 基 础 上 对 传 统 住 房 反向抵押贷款精算模型进行了修正， 提出了基于浮动利率及变动房价的一次性支付产品和 终生生存年金产品的定价模型，并利用历史数据对模型中的参数进行了估计。 最后，本文采 用蒙特卡洛模拟方法测算了不同年龄的借款人可以获得的贷款额度， 并对利率和房价的敏 感性进行了分析。 结果显示，住房反向抵押贷款产品能够显著改善老年人的生活水平。 关键词：住房反向抵押贷款；保险精算定价；蒙特卡洛模拟
屋价值随时间的变化与房屋销售价格指数的变化基本是一致，因此可以将房屋销售价格指数波动率作为房
屋价值波动率参数。本文的房价数据选取天相数据库 1991 年 1 月到 2008 年 7 月的全国房屋销售价格指数，
总共 211 个数据。在参数估计时，应将月度数据换算为年度房屋销售价格指数数据。本文利用 Eviews5.1 估计
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莱克-舒尔斯期权定价思想对反向抵押贷款的定价进行了尝试，但是没有给出算例。 相对于因子定价法和期权定价法，保险精算定价模型兼顾了准确性和实用性的特点，因为得到了学者的
深入研究。但是，现有文献在计算一次性支付总额和终身支付年金时，均采用了固定的反向抵押贷款年利率 和预先设定的房价增长率。这不仅与现实情况差距较大，也使住房反向抵押贷款面临更多的利率风险和房价 波动风险。因此，本文试图对现有住房反向抵押贷款模型的这两个缺陷进行修正。
显然，有以下几个等式关系：
px+qx=1 tpx+tqx=1 t│qx=tpx-t+1px 根据累计存活率 tpx 的定义，有： tpx=px×px+1×px+2×…×px+t-1=(1-qx)×(1-qx+1)×(1-qx+2)×…×(1-qx+t-1)
（6） （7） （8）
（9）
实证分析
1、数据来源 （1）利率数据 一般认为，同业拆借市场利率代表金融机构取得批发性资金的成本，因此能及时反映资金供求关系的状 况。因为同业拆借市场交易规模巨大，其利率和银行的存款准备金关系密切，所以其利率要比其它货币市场利 率变动得更加频繁，其变动也更加明显。同业拆借市场利率是最敏感的货币市场利率，同其它利率指标相比， 它更能及时准确地反映出货币市场上资金的供求变化，因此它在整个金融市场的利率结构中具有导向作用。 而且，同业拆借利率作为金融市场资金供求状况的综合反映，具有较好的传导性，其变动会迅速波及到整个市 场利率体系，引起整个货币市场利率的变动。因此可以把银行间拆借市场利率作为利率的历史数据并进行估 计利率模型参数。 本文选取天相数据库 2005 年 1 月至 2008 年 8 月全国银行间同业拆借市场月度 7 天内交易加权平均利 率数据，除缺少 2006 年 9 月、2006 年 12 月、2008 年 3 月的 3 个数据之外，共有 41 个数据。本文模型利用的是 CIR 利率模型，利用最小二乘法估计参数，根据在统计软件 Eviews5.1 的统计结果，其参数取值如下：
定其在生日当天投保。虽然死亡时间是一个随机过程，为方便起见，假定借款人死亡时间也为其生日。在这些